天津一中届高三数学第四次月考(文)

2024届天津市塘沽一中高三下学期定位考试（4月）数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．102．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）A ．﹣3∈AB ．3∉BC ．A∩B=BD ．A ∪B=B3．若复数1a i z i -=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞- C ．()1,+∞ D ．()0,∞+4．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13B ．3C ．12D ．25．若()*3n x n N⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则a a-=（ ） A ．36π B ．812π C ．252π D ．25π6．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 7．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC + 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．11．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2009-2010-1天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（文）一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A ．11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B ．{}23x x <<C ．122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=（ ）A ．12i + B C ．2 D ．543． 若命题2:,210P x R x ∀∈->，则命题P 的否定是（ ） A ．2,210x R x ∀∈-< B ．2,210x R x ∀∈-≤ C ．2,210x R x ∃∈-≤ D ．2,210x R x ∃∈->4． 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则11121314a a a a +++=（ ） A ．18 B ．17 C ．16D ．155．程序框图如图：如果上述程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填人（ ）A ．K<10？B ．K ≤10？C ．K<11？D ．K ≤11？ 6．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图像关于直线3x π=对称；③在(,)63ππ-上是增函数．”的一个函数是（ ） A ．sin()26x y π=+B ．cos()26x y π=- C ．cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=-7． 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ） A ．3- B ． 13- C ． 3D ．138．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值是（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 9．设,αβ是三次函数3211()2(,R)32f x x ax bx a b =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则12--a b 的取值范围是（ ）．A ．)1,41(B ． )1,21(C ．)41,21(-D ．)21,21(-10． 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）高考资源网 A ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的边长，则hd的取值范围为(2C ．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为D ．若侧棱的长大于底面的边长，则hd的取值范围为()3+∞ 2009-2010-1天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷班级 姓名 成绩二、填空题：（每小题4分，共24分）11． 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．12．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 ．13．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为 ． 14． 五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 ．15．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是__________．16． 半径为r 的圆的面积()2S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作()0,+∞上的变量，则()22rrππ'=①．①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作()0,+∞上的变量，请你写出类似于①的式子： _______________________________________②；②式可用语言叙述为_________________________ _______________． 三．解答题：17．已知△ABC 的内角B 满足2cos 28cos 50,B B -+=，若BC a =，CA b =且,a b 满足：9a b ⋅=-，3,5a b ==，θ为,a b 的夹角．（1）求B ； （2）求sin()B θ+．18．一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．（1）用列举法列出所有可能结果；（2）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；（3）设第一次取出的球号码为x ,第二次取出的球号码为y ,求事件B=“点（,x y ）落在直线1y x =+上方”的概率．19．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB =60°，AD =AA 1，F 为棱BB 1 的中点，M 为线段AC 1的中点． （1）求证：直线MF ∥平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与与平面ABCD 所成二面角的大小．20．设函数2()()xf x x a e =-．（1）若3a =，求()f x 的单调区间和极值； （2）若12x x 、为 ()f x 的两个不同的极值点，且211222121212|()()|4||x x x x e f x e f x e x x x x +-≥-，3233()32f a a a a b <+-+恒成立，求实数b 的取值范围．21． 如图，已知圆,8)1(:22=++y x C 定点A （1，0），M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λλ求,=的取值范围．22．已知数列{}n b 是公比大于1的等比数列，n S 数列{}n b 的前n 项和，满足314S =，且1238,3,6b b b ++构成等差数列，数列{}n a 满足：11a =，*121111(......)(2)n n n a b n n N b b b -=+++≥∈且．（1）求{}n b 的通项公式n b ； （2）证明：*111(2)n nn n a b n n N a b +++=≥∈且； （3）求证：*12111(1)(1)......(1)4()nn N a a a +++<∈．2009-2010-1天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（文）答案一、选择题1． D 2． C 3． C 4． A 5． A 6． D 7． B 8． B 9． A 10．C二、填空题： 11． 2500 12．343cm 1314．4 15．92- 16．32443R R ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭②；②式可用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．三．解答题：17． 解：222(2cos 1)8cos 50,4cos 8cos 50B B B B --+=-+=，得1cos ,sin 2B B ==，所以060B ∠=； 34cos ,sin ,55a ba bθθ⋅==-=⋅4sin()sin cos cos sin 10B B B θθθ-+=+=．18． 解：（1）所有可能结果数为15．列举如下： （1，1），（1，2），（1，3） ，（1，4），（1，5） （2，1），（2，2），（2，3） ，（2，4），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3） ，（3，4），（3，5） （4，1），（4，2），（4，3） ，（4，4），（4，5） （5，1），（5，2），（5，3） ，（5，4），（5，5）（2）取出球的号码之和不小于6的是：（1，5），（2，4），（2，5）（3，3），（3，4），（3，5）（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共15种， 所以，35P A =15（）=25．（3）点x y （，）落在直线 1y x =+上方的有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）；共6种，所以，P B 6（）=25．19．证明：（1）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN ．因为F 是BB 1的中点， 所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．又M 是线段AC 1的中点，故MF ∥AN ． 又MF ⊄平面ABCD ，AN ⊆平面ABCD ． ∴MF ∥平面ABCD ．（2）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1 可知A 1A ⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ， ∴A 1A ⊥BD ． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ． 又∵AC ∩A 1A =A ，AC ，AA ⊂平面ACC 1A 1． ∴BD ⊥平面ACC 1A 1． 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，所以四边形DANB 为平行四边形 故NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1，又因为NA ⊂平面AFC 1 ∴平面AFC 1⊥ACC 1A 1（3）由（2）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ACC 1A 1， ∴BD ⊥AC 1，∴BD ∥NA ，∴AC 1⊥NA ． 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ， ∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角． 在Rt △C 1AC 中，tan 3111=CA C C CAC ，故∠C 1AC=30°∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°．20． 解：（1）当3a =时，22()(3)3xxxf x x e x e e =-=-，22()23(23)(1)(3)x x x x x f x xe x e e x x e x x e '=+-=+-=-+，令()0f x '=，得11x =或23x =-，所以，函数()f x 在(,3)-∞-单调增，在(3,1)-单调减，在(1,)+∞单调增． 当3x =-时，()f x 的极大值为3(3)6f e --=； 当1x =时，()f x 的极小值为(1)2f e =-．（2）由题设知12x x 、为22()2(2)0x x x x f x xe x e ae e x x a '=+-=+-=的两个根， 则122x x +=-，12x x a =-，由211222121212|()()|4||xxx x e f x e f x ex x x x +-≥-，得211122122222121212|(3)(3)|4||xxxxxxx x e x e e e x e e ex x x x +---≥-，121222121212|()|4|()|x x x x e x x e x x x x ++-≥-，12121212|()()|4|()|x x x x x x x x +-≥-，1212||4||x x x x +≥，即|2|4||a -≥-，所以，1||2a ≤，1122a -≤≤． 又3233()32f a a a a b <+-+恒成立，所以23233()(3)2ab a a e a a a >--+-恒成立， 令2323()3()(3)2a h a a a e a a a =--+-，则222()3(1)(333)3(1)(1)a ah a a a e a a a a e '=+--+-=+--， 当102a -<<时，()0h a '>，()h a 为增函数， 当102a <<时，()0h a '<，()h a 为减函数， 所以0a =时，函数()h a 的极大值为(0)0h =，当1122a -≤≤，函数()h a 的最大值为0， 所以0b >．21． 解：（1）.0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又,22||||=+NM CN.222||||>=+∴AN CN∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为222a c ==焦距．.1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x（2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.034)21(22=+++kx x k 由.2302>>∆k 得 设2112212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 又,λ=)2,()2,(2211-=-∴y x y x λ,21x x λ=∴2221221,)1(x x x x x x λλ=+=+∴λλ2122221)1(x x x x x ==++∴ ,213))1(214(2222λλk k k +=++- 整理得λλ22)1()121(316+=+k， ,232>k .3163231642<+<∴k .331.316214<<<++<∴λλλ解得 又,10<<λ.131<<∴λ 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λx ,131<≤∴λ即所求λ的取值范围是)1,31[22． 解：（1）设数列{}n b 的公比为q ．由314S =，得12314b b b ++=； 由1238,3,6b b b ++成等差数列，得213686b b b =+++即2111211114686b b q b q b q b b q ⎧++=⎪⎨=+++⎪⎩，消去1b ，得22520q q -+=，解得2q =或12q =，又因为1q >，所以2q =．将2q =代入211114b b q b q ++=，解得12b =，所以1222n n n b -=⋅=（2）由2n n b =，得11()2n n b =，当2n ≥时，1112111[1()]111122......1()1212n n n b b b ----+++==--，当2n ≥时，11211111(......)2[1()]222n n n n n n a b b b b --=+++=-=-， 所以1(1)22(2)n n n a n =⎧=⎨-≥⎩．当2n ≥时，因为111221211222(21)2n n n n n n a a +++-+-===--；112n n b b += 所以，当2n ≥时，111n n n n a b a b +++=．（3）121212111111(1)(1)......(1)n n n a a a a a a a a a ++++++=⨯⨯⨯ 121231111111(1)(1)(2)(221)222n n n n a a a a a a a -++=+⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯-+2211()(21)4()422n n n --=⨯-=-<． 所以对*n N ∈有12111(1)(1)......(1)4n a a a +++<．。

天津市天津一中2025届高考数学一模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值2．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-3． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21B ．22C ．23D ．244．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．06．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．510．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23πB ．3π C ．6π D ．56π 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．6312．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津一中2013-2014学年高三年级四月考数学试卷（文科） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设集合{}{}|,|5,,A x x k NB x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ）A ． {1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}2．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）A. 50B. 60C. 70D. 1003. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥” B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )ABC ．32 D6. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A.72πB. 48πC.D. 24π30π7. 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ）A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8. 已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[-4，0]D ．(0,)+∞二、填空题（每小题5分，共30分）9. i 是虚数单位，复数i i 43)21(2-+的值是_______________________10. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ________________11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知AF 3,4||==,则=p ____________________12. 如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 ____________13. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________________14. 若实数,,222,2222,a b a ba b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是 _____三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15． 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.16．已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=-+>，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π.（I ）求ω的值； （II ）求函数()f x 的单调增区间；（III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且nn S a ,,21等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若nb na )21(2=，设n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .AC19．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值．20．设函数()ln af x x x x =+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x =的单调性(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.四月考答案 1．设集合{}{}|,|5,,A x x k NB x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ）A ． {1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4} 【答案】B【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.2．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）A. 50B. 60C. 70D. 100 【答案】D3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B4．下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥” B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 【答案】C5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )ABC ．32 D【答案】A【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，即0bx ay -=，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离2d ==，即22294()b a b =+，所以2254b a =，222245b a c a ==-，即2295a c =，所以29,5e e == A.6．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A.72πB. 48πC.D. 24π30π【答案】C7．已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞【答案】B8．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[-4，0]D ．(0,)+∞【答案】B9．i 是虚数单位，复数i i 43)21(2-+的值是_________________【答案】 1-10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ．11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知AF 3,4||==,则=p __________【答案】 3812．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 ．13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________.【解析】由图知DE ·DF=BD ·CD=1，同理EG ·FG=1.又DG=12AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，∴DE FG ==答案14．若实数,,222,2222,a b a b a b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题. 【解析】∵2a b+=22a b+≥2a b+≥4，又∵222a b c ++=2a b c ++，∴22a b c ++=22a b c +∙，∴221c c -=2a b+≥4，即221c c -≥4，即43221c c -⨯-≥0，∴2c ≤43，∴c ≤24log 3=22log 3-，∴c 的最大值为22log 3-.【答案】22log 3-15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………13分16．已知函数())22sin cos0f x x x xωωωω=->，直线12,x x x x==是函数()y f x=的图像的任意两条对称轴，且12x x-的最小值为2π.（I）求ω的值；（II）求函数()f x的单调增区间；（III）若()23fα=，求5sin46πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】17． 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDBAC（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，AC∴PC DE ⊥ ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥ ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角 由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==在PDB Rt ∆中，a a a a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=在EFD Rt ∆中，233622sin ===aaDF DE EFD ，∴3π=∠EFD 所以，二面角C —PB —D 的大小为3π18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且nn S a ,,21等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若nb na )21(2=，设n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】解（1）由题意知0,212>+=n n n a S a ………………1分当1=n 时，21212111=∴+=a a a当2≥n 时，212,21211-=-=--n n n n a S a S 两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分整理得：21=-n na a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以21为首项，2为公比的等比数列. 211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ……………………5分42222--==n b n n a∴n b n 24-=，……………………6分n n n n n nn a b C 28162242-=-==-n n n n n T 28162824282028132-+-⋯+-++=- ①13228162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ②①-②得1322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n nT ………………9分111122816)211442816211)2112184+-+-----=----⋅-=n n n n nn （（n n24=.………………………………………………………11分.28nn n T =∴…………………………………………………………………13分19. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值． 【答案】解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+，c a =，…………2分122b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分 （Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+………………………………………… …………………7分 因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得k =±…………9分 （2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++20．设函数()ln af x x x x =+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x =的单调性(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围. 1.【解】(Ⅰ)2()ln a h x x x =+,233212()a x ah x x x x -'=-+=,①00,()a h x '≤≥,函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ②0a >,0(),h x x '≥≥函数()h x的单调递增区间为)+∞00(),h x x '≤<≤,函数()h x的单调递减区间为0((Ⅱ)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立等价于:12max [()()]g x g x M -≥,考察32()3g x x x =--,22'()323()3g x x x x x =-=-,由上表可知:min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==, 12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=,所以满足条件的最大整数4M =;(Ⅲ)当1[,2]2x ∈时,()ln 1a f x x x x =+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立,记2()ln h x x x x =-,所以max ()a h x ≥ '()12ln h x x x x =--, '(1)0h =.记'()(1)2ln h x x x =--,1[,1)2x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -><> 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增,记'()(1)2ln h x x x =--,(1,2]x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(1,2]上递减, 1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =所以1a ≥另解()12ln m x x x x =--,'()32ln m x x =--,由于1[,2]2x ∈,'()32ln 0m x x =--<,所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减, 当1[,1)2x ∈时,'()0h x >,(1,2]x ∈时,'()0h x <, 即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增,在区间(1,2]上递减, 所以max ()(1)1h x h ==,所以1a ≥。

2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

天津一中2015-2016-2高三年级第四次月考数学（理）试卷一．选择题：1.设集合21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥，则A B =I ( C ) (A)(,1]-∞ (B)[0,1] (C) (0,1](D) (,0)(0,1]-∞U2.设变量,x y 满足约束条件2023,246x y x y x y z x y --≤⎧⎪+≤=⎨⎪-≥-⎩则的取值范围为（ D ） A. []4,32B. 1,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []8,16D. 1,432⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为( C ) A ．n ≤5? B ．n ≤6? C ．n ≤7? D ．n ≤8?[4.以下说法错误的是( C )A .命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”.B .“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C .若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.D .若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈则210x x ++≥.5.已知{}n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为（ A ）（A ）58 （B ）56 （C ）50 （D ）456.已知抛物线28y x =与双曲线2221x y x-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若｜MF ｜＝5，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）A 、5x ±3y ＝0B 、3x ±5y ＝0C 、4x ±5y ＝0D 、5x ±4y ＝07.在ABC △中 ,若sin 2sin C A=,2232b a ac -=,则cos B =（ C ）A ．12B ．13C ．14D ．158.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，|1|12,02,()1(2),2,2x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩则函数()g x ＝()1xf x -在[6,)-+∞上的所有零点之和为（ B ）A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题：9.设i 为虚数单位,若复数()()2282i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =______-4_____．10.二项式52ax x ⎛⎝的展开式中常数项为160，则a 的值为 2 ．11．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为 13．12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为10313.如图，∠BAC 的平分线与BC 和外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点F ．若AE=6，EF=3，则AF•AC 的值为___27___．14.在平行四边形ABCD 中，BAD ∠=60°，1AB =，3AD =，P 为平行四边形内一点，且23=AP ，若()AP AB AD R λμλμ=+∈u u r u u r u u u r，，则μλ3+的最大值为______1_____． 三．解答题：15.已知函数2()2sin 23sin()2f x x x x π=+⋅+（0>ω）． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围．16.袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球. (I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =5 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105Eξ=⨯+⨯+⨯=17.如图, ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，DEAF//，AFDE3=，BE与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求二面角DBEF--的余弦值；(Ⅲ)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得//AM平面BEF，并证明你的结论. (Ⅰ)证明：因为DE⊥平面ABCD，所以ACDE⊥. ……………2分因为ABCD是正方形，所以BDAC⊥，又,BD DE相交从而AC⊥平面BDE. …………………4分(Ⅱ)解：因为DEDCDA,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyzD-如图所示.因为BE与平面ABCD所成角为060，即60DBE∠=o， 5分所以3=DBED.由3=AD可知36DE=，6AF=. …6分则(3,0,0)A，(3,0,6)F，(0,0,36)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0,3,6)BF=-u u u r，(3,0,26)EF=-u u u r，………7分设平面BEF的法向量为=n(,,)x y z，则BFEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnn，即3603260y zx z⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令6z=，则=n(4,2,6). ………8分因为AC⊥平面BDE，所以CAu u u r为平面BDE的法向量，(3,3,0)CA=-u u u r，所以613cos,133226CACACA⋅〈〉===⨯u u u ru u u ru u u rnnn. ……9分因为二面角为锐角，所以二面角DBEF--的余弦值为1313. ………10分(Ⅲ)解：点M是线段BD上一个动点，设(,,0)M t t. 则(3,,0)AM t t=-u u u u r，因为//AM平面BEF，所以AM⋅u u u u rn0=,……11分即4(3)20t t-+=，解得2=t. ………12分此时，点M坐标为(2,2,0)，13BM BD=，符合题意. …………13分18.如图,在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于A 、B 两点． 当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时， 弦AB 的长为26． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E 的坐标为3(,0)，点A 在第一象限且横坐标为3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ∆的面积；（3）是否存在点E ，使得2211EA EB+请说明理由．【解析】（1）由63c a =，设3(0)a k k =>，则6c k =，223b k =， 所以椭圆C 的方程为2222193x y k k +=，因直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点，即6A B x x k ==，代入椭圆方程，解得y k =±，于是262k =6k =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=………………………………5分 （2）将3x =22162x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而3,1)A ， 由点E 的坐标为3，所以3AB k =PA 的方程为323y x =-， 联立直线PA 与椭圆C 的方程，解得37()5B -， yxBPAO E F 1F 2又PA 过原点O，于是(1)P -，4PA =，所以直线PA的方程为0x -=，所以点B 到直线PA的距离5h ==，14255PAB S ∆=⋅⋅=………………10分（3）假设存在点E ，使得2211EA EB+为定值，设0(,0)E x ， 当直线AB 与x轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++==-， 当直线AB 与x 轴垂直时，222200112662(1)6x EA EB x +==--，由20222001226(6)6x x x +=--，解得0x =，20626x =-， 所以若存在点E，此时(E ，2211EA EB+为定值2． …………………12分 根据对称性，只需考虑直线AB过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB的方程为x my =C 联立方程组，化简得22(3)30m y ++-=，所以12y y +=，12233y y m -=+，又222222111111(1)EA m y y m y ===++， 所以212122222222221212()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=．综上所述，存在点(E ，使得2211EA EB +为定值2……………16分19.已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，． （1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）证明：12233334n n x x x +++<L ．解：（1）由(1)1f =，得3a b += 由1()2f =34得24a b += 解得2,1a b ==，3()21∴=+xf x x ，----------------------------------------------2分 2133392()()328212x f x f ⨯∴====⨯+-----------------------------------------------3分 32927()()826x f x f ===---------------------------------------------------------4分 （2）解法一：由13()21n n n n x x f x x +==+且0n x ≠得：1211211333n n n nx x x x ++==+⋅，-------5分 即11111(1)3n nx x +-=-，----------------------------------------------------------7分 ∵131,=2n x x ≠否则与矛盾 ∴1111131n nx x +-=-，------------------------------------8分 ∴数列1{1}n x -是以11113x -=-为首项，公比为13的等比数列， ∴11111()33n n x --=-⨯，331n n n x =-.-----------------------------------------------9分 【解法二：由132=x ，23927826==x x ，，猜想3()31+=∈-n n n x n N .---------------------6分 下面用数学归纳法证明.①当n = 1猜想显然成立；②假设当n = k （1≥k ）结论成立，即331kk k x =-，则当1n k =+时，111133331()321312131k k k k k k k k k k x x f x x ++++-====+-⋅+-， 即当1=+n k 猜想成立. ----------------------------------------------------------8分综合①、②可知猜想对+∈n N 都成立. 即3()31+=∈-nn nx n N -------------------------9分】（3）证法一：由331n n n x =-得1331n n nx =-， ∵111131331233123n n n n n -----=⋅-=⋅+-≥⋅-------------------------------------11分∴111111,(1,2,...,)331233123k k k k k k a k n ---==≤=-⋅+-⋅----------------------------12分 ∴122211*********3(1)(1)13332333243413nn n n n a a a --+++≤++++=⋅=-<-L L ． ∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分 以下其它解法请参照给分。

天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。

天津一中2012-2013学年高三年级四月考数学试卷）（ ）． A． B． C． D． 2．实数，满足不等式组,则有（ ） A． B．C． D． ，，若的运算原理如图示， 则的值为（ ） A． B．C． D．则（ ）． A． B． C． D． 是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）． A． B． C．D． 6．对于任意实数,表示不小于的最小整数，例如=2,=,那么”是=”（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）． A． B． C． D． 8．平面直角坐标系内，已知点，点在函数 的图象上，的平分线与的图象恰交于点，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共30分），且,则的值为 ． 10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的体积是 ． 11． 已知各项为正数的数列满足()，且是的等差中项，则数列的通项公式是 ． 12．设为的两点，且满足=+,则__________的直径，为圆周上一点，，，过作圆的切线，于点，交⊙于点，则的长为 ． 14． 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、解答题： 15．（本小题满分13分） 2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示 （Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ （Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ （Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率． 系统抽样 16．（本小题满分13分） 在中，分别为内角的对边，且． 求角的大小；若， ，求边的长． 为正三角形的直三棱柱中，，，是的中点，点在平面内，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：∥平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 18．（本小题满分13分） 已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足 ． （1）求和； （2）记数列，若的前项和为，求证． 19．（本小题满分14分） 已知函数． （）当时，求证：函数在上单调递增；（）若函数有三个零点，求的值已知椭圆:的一个焦点为且过点. （）轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．．）） 11． 12． 13． 14．（-4，2） 三、解答题： 15．（本小题满分13分） 解：（I）系统抽样 （II）2名 （III） 16．（本小题满分13分） 解：（I）cosBcosC+sinBsinC-2sinBsinC=- cosBcosC-sinBsinC=- cos(B+C)=- ∵0°<B+C1时，lna >0 当x∈（0，+∞）时，ax-1>0,2x>0 ∴f’(x)>0 ∴f(x)在（0，+∞）↑ （II）当a>1时，x∈（-∞，0）时 ax-1<0,2x<0 f’(x)0, lna <0 f’(x)0且a≠1时，f(x) 在（-∞，0）↓,f(x)在（0，+∞）↑ ∴x=0是f(x)在k上唯一极小值点，也是唯一最小值点. f(x)min=f(0)=1 若y=[f(x)-t]-1有三个零点 即|f(x)-t|=1 f(x)=t±1有三个根 t+1>t-1 ∴t-1=f (x)min=1 ∴t=2 20．（本小题满分14分） 解:（），，解得， 所以椭圆的方程为. （Ⅱ）由（），设，其中， 直线:，令，得； 直线:，令，得. 设圆的圆心为，半径为， 则，， 而，所以，所以， 所以，即线段的长为定值.。

2009-2010-2天津一中高三年级第四次月考数学试卷（理）第I 卷班级 姓名 成绩 一．选择题：（每题5分，共5×10=50分） 1.若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ D ） （A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭2．计算242(1)12ii i+---等于 （ D ） A ．0 B ．2C ．－4iD ．4i3.若命题2:,210P x R x ∀∈->，则该命题的否定是（ C ） A ．2,210x R x ∀∈-< B ．2,210x R x ∀∈-≤ C ．2,210x R x ∃∈-≤ D ．2,210x R x ∃∈->4．设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若（A ） A ．18 B ．17C ．16D ．155．设三条不同的直线a b c 、、，两个不同的平面αβ、，,b αα⊂⊄c 。

则下列命题不成立的是（ B ）A ．若//,αβα⊥c ，则β⊥c B ．“若b β⊥，则αβ⊥”的逆命题C ．若a 是c 在α的射影，b a⊥则b ⊥c D ．“若//b c ，则//c α”的逆否命题6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ C ）.18A .24B .30C .36D7．若20102010012010(12)(),x a a x a x x R -=++⋅⋅⋅+∈,则20101222010222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ C ） A. 2B.0C.1-D. 2-0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距8．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则( B )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC =∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值是（ B ）A ．20B ．18C ．16D ．910.已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A ．(0,)4πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ2009-2010-2天津一中高三年级第四次月考数学试卷（理）第Ⅱ卷班级 姓名 成绩 二．填空题：（每题4分，共4×6=24分）11.若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 5 ．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000） （元）月收入段应抽出 25 人．13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是4 ．14.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是433cm ．15．在极坐标系中，直线()6R πθρ=∈截圆2cos()6πρθ=-所得的弦长是 2 ． 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11,D C DC 的距离之和为,则1PC PC 有最大值12． 三．解答题：（共76分）17．设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，(sin sin ,0),(0,sin ),m B C n A =+=且22||||sin sin .m n B C -=（1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的取值范围。

2014-2015学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）一．选择题：1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）A．﹣ B． C． 2 D． 12．若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A． B． C． 1 D． 23．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？4．下列说法中正确的是（）A．“x＞5”是“x＞3”必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≤0”C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题5．三个实数成等差数列，其首项是9．若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{a n}，那么a3的所有可能取值中最小的是（）A． 1 B． 4 C． 36 D． 496．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A． 5x2﹣=1 B． 5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F为DE中点，则•的值为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 58．已知a∈R，若关于x的方程x2+x﹣|a+|+a2=0没有实根，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）二．填空题：9．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有名学生．10．的展开式中，常数项为．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是cm212．在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin（θ+）=4的距离为．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．14．函数g（x）=log2（x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为．三、15．（2008•安徽）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．16．（2013•红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．（1）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；（2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；（3）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．18．（2014•河北区三模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．19．（2015春•天津校级月考）已知数列{a n}的各项均为正值，a1=1，对任意n∈N*，a n+12﹣1=4a n （a n+1），b n=log2（a n+1）都成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n；（3）当k＞7且k∈N*时，证明对任意n∈N*，都有成立．20．（2013•绵阳模拟）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax，（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2恰好有两个不同的极值点x1，x2．证明：＜ln2a．2014-2015学年天津一中高三（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．已知复数为纯虚数，其中i虚数单位，则实数x的值为（）A．﹣ B． C． 2 D． 1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的除法法则化简复数z为，再由纯虚数的定义可得2x﹣1=0，且x+2≠0，由此求得实数x的值．解答：解：∵==是纯虚数，∴2x﹣1=0，且x+2≠0，∴x=，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法法则的应用，属于基础题．2．若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A． B． C． 1 D． 2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y的最大值．解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即A（0，1）．将A（0，﹣1）的坐标代入z=2x﹣y，得z=0﹣（﹣1）=1，即目标函数z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A． i＜6？ B． i＜8？ C． i＜5？ D． i＜7？考点：程序框图．专题：函数的性质及应用．分析：设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．解答：解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．点评：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于基础题．4．下列说法中正确的是（）A．“x＞5”是“x＞3”必要不充分条件B．命题“对∀x∈R，恒有x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1≤0”C．∃m∈R，使函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：必须对选项一一加以判断：对A应用充分必要条件定义解决；对B应用命题的否定确定；对C应用奇函数的定义解决；对D应用真值表判断．解答：解：对A，因为x＞5可推出x＞3，所以“x＞5”是“x＞3”充分不必要条件，故A 错；对B，由全称命题或存在性命题的否定得：B正确；对C，若函数f（x）=x2+mx（x∈R）是奇函数，则由定义知不存在m，故C错；对D，因为p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p，q中至少有一个为真，所以p∧q可真可假，故D错．故选：B点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件、命题的否定、复合命题的真值表等，注意分析和逻辑推理，是一道基础题．5．三个实数成等差数列，其首项是9．若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{a n}，那么a3的所有可能取值中最小的是（）A． 1 B． 4 C． 36 D． 49考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的3项，结合其第二项加2、第三项加20，得到的三个数依次构成等比数列列式求得d的值，则a3的最小取值可求．解答：解：设三数分别为9，9+d，9+2d，∵其第二项加2、第三项加20，得到的三个数依次构成等比数列，∴（9+d+2）2=9（9+2d+20），整理，得（d+11）2=9（2d+29），d2+4d﹣140=0，（d+14）（d﹣10）=0．解得：d=﹣14或d=10．当d=﹣14时，a3=9+2d+20=9﹣28+20=1；d=10时，a3=9+20+20=49．∴a3的取值最小是1．故选：A．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比中项的概念，训练了分类讨论的数学思想方法，属中档题．6．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A． 5x2﹣=1 B． 5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F（﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）．∵双曲线的一个焦点与抛物y2=﹣4x的焦点重合，∴双曲线的左焦点为F（﹣1，0），设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…①∵双曲线的离心率等，∴=，即…②由①②联解，得a2=，b2=，∴该双曲线的方程为5x2﹣=1．故选B．点评：本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键．7．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F为DE中点，则•的值为（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：可以想着用向量表示，并且可以分别表示成：，，而根据条件可以求出，进行数量积的运算便可得出的值．解答：解：由条件：，=；∴==2﹣4+6=4．故选：C．点评：考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，数量积的运算及其计算公式．8．已知a∈R，若关于x的方程x2+x﹣|a+|+a2=0没有实根，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞） B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据韦达定理得到不等式，解出即可．解答：解：若关于x的方程x2+x﹣|a+|+a2=0没有实根，则△=1﹣4（a2﹣|a+|）＜0，解得：a＜﹣1或a＞，故选：A．点评：本题考查了函数的零点和方程根的关系，是一道基础题．二．填空题：9．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有3700 名学生．考点：分层抽样方法．分析：由题意知从高三年级抽取的人数，进而由分层抽样中各层的个体数占总体的比例相等，由比例的性质来得到答案．解答：解：由题意知从高三年级抽取的人数为185﹣75﹣60=50人．所以该校高中部的总人数为×1000=3700（人）．故答案为3700．点评：本题考查分层抽样方法，注意分层抽样中根据各层的个体数占总体的比例来确定各层应抽取的样本容量．10．的展开式中，常数项为14 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式中的常数项即可．解答：解：设求的项为T r+1=C7r（2x3）7﹣r=C7r27﹣r•{x}^{21﹣\frac{7r}{2}}令21﹣r=0，可得r=6∴T7=14．故答案为：14点评：本题主要考查了二项式的系数的性质，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题．11．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是138 cm2考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图得到几何体的结构，进行求解即可．解答：解：由三视图可知该几何体是个组合体，右侧是一个棱长分别为3，4，6的长方体，左侧是个平放的三棱柱，三棱柱的高为3，底面直角三角形的两个直角边为3和4，则长方体的表面积为2×（3×4+3×6+4×6）﹣3×3=108﹣9=99，三棱柱的表面积为3×5+3×4+2×=39，则几何体的表面积为99+39=138，（cm2）故答案为：138．点评：本题主要考查空间组合体的表面积的计算，根据条件左侧空间几何体的直观图是解决本题的关键．12．在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线ρsin（θ+）=4的距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：分别把圆的极坐标方程和直线的极坐标的方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可．解答：解：圆ρ=4cosθ化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，化为（x﹣2）2+y2=4，得到圆心C（2，0）．直线l：ρsin（θ+）=4展开为，即为x+y﹣8=0．∴圆心C（2，0）到直线的距离d==3．故答案为：3．点评：本题考查了极坐标的方程化成直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：压轴题；选作题；直线与圆．分析：利用弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质即可得出．解答：解：直线MN切⊙O于点C，∴∠MCB=∠BAC，∵BE∥MN交AC于点E，∴∠MCB=∠EBC．∴△ABC∽△BCE．∴，∴==．∴．点评：熟练掌握弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．函数g（x）=log2（x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为﹣＜m≤﹣．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可判断函数y=在（0，+∞）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，从而可得|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；从而解得．解答：解：当x＞0时，0＜＜2，且函数y=在（0，+∞）上单调递增，y=log2x在（0，2）上单调递增，且y＜1；故若关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则|g（x）|=0或0＜|g（x）|＜1，0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；若|g（x）|=0，则2m+3=0，故m=﹣；故|g（x）|=0或|g（x）|=，不成立；故0＜|g（x）|＜1或|g（x）|≥1；故，解得，﹣＜m≤﹣；故答案为：﹣＜m≤﹣．点评：本题考查了复合函数的应用及方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．三、15．（2008•安徽）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．16．（2013•红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．（1）求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；（2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；（3）从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）利用古典概型的概率公式可求；（2）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（3）确定ξ的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望．解答：解：（1）由题意，从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率=；（2）从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率==；（3）ξ的取值为0，1，2，3，则P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3PEξ=0×+1×+2×+3×=点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）由离心率e=及a2=b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x﹣3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P 的坐标，代入椭圆方程得36k2=t2（1+4k2）①，由弦长公式及可得，故②，联立①②可求得t的范围；解答：解：（Ⅰ）∵，∴a2=4b2，则椭圆方程为，即x2+4y2=4b2．设N（x，y），则=，当y=﹣1时，|NQ|有最大值为，解得b2=1，∴a2=4，椭圆方程是；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x﹣3），由，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0．由△=242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，得，．∴，则，．由点P在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）①，又由，即，将x1+x2，x1x2代入得，化简得（8k2﹣1）（16k2+13）＞0，则，∴②，由①，得，联立②，解得3＜t2＜4，∴或．点评：本题考查直线方程、椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算，考查学生的运算能力、解决问题的能力，综合性较强．18．（2014•河北区三模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；（Ⅲ）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为60°转化为两向量所成的角为60°，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．解答：（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED．（Ⅱ）解：因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．如图建立空间直角坐标系，因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．所以，，设为平面FGH的一个法向量，则，即，再令y1=1，得．，设为平面PBC的一个法向量，则，即，令z2=1，得．所以=．所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为．（Ⅲ）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°．依题意可设，其中0≤λ≤1．由，则．又因为，所以．又直线FM与直线PA成60°角，，所以，即，解得：．所以，．所以，在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°，此时PM的长为．点评：本题考查了线面平行的判定，考查了线线角和面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．19．（2015春•天津校级月考）已知数列{a n}的各项均为正值，a1=1，对任意n∈N*，a n+12﹣1=4a n （a n+1），b n=log2（a n+1）都成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）令c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n；（3）当k＞7且k∈N*时，证明对任意n∈N*，都有成立．考点：数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，得（a n+1+2a n+1）（a n+1﹣2a n﹣1）=0，应有a n+1=2a n+1，整理为a n+1+1=2（a n+1），通过等比数列{a n+1}的通项求出数列{a n}的通项公式，再利用对数的计算法则求{b n}的通项公式；（2）由（1）c n=a n•b n=n•（2n﹣1），要求数列{c n}的前n项和T n，先分组再利用错位相消法和公式法求和．（3）法1：设，从而，利用不等式，即当且仅当x=y时等号成立推证．法2：=，合理分组进行分式放缩推证．解答：解：（1）由，得（a n+1+2a n+1）（a n+1﹣2a n﹣1）=0∵数列{a n}的各项均为正值，a n+1+2a n+1＞0，∴a n+1=2a n+1，整理为a n+1+1=2（a n+1）又a1+1=2≠0∴数列{a n+1}为等比数列，∴∴数列{a n}的通项公式，数列{b n}的通项公式．（2）由（1）c n=a n•b n=n•（2n﹣1）所以T n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n﹣（1+2+3+…+n）令T n′=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①则2T n′=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1②①﹣②得﹣T n′=1•21+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2﹣．（3）法1：设∴当x＞0，y＞0时，，∴∴当且仅当x=y时等号成立．∴上述（1）式中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk﹣1全为正，∴∴法2∵===点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意构造法的合理运用．20．（2013•绵阳模拟）已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax，（a∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2恰好有两个不同的极值点x1，x2．证明：＜ln2a．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜e x﹣x在R上恒成立，利用导数求h（x）=e x﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为证明当t＜0时恒成立，构造函数，利用导数即可证得结论．解答：解：（1）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f'（x）=e x﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（2）∵函数f（x）在R上是增函数，∴f'（x）＞0在R上恒成立，即e x﹣x﹣a＞0在R上恒成立，∴a＜e x﹣x在R上恒成立，令h（x）=e x﹣x，则h'（x）=e x﹣1=0，得x=0，列表如下：x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）h'（x）﹣ 0 +h（x）减函数极小值增函数∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1，故实数a的取值范围a≤1；（3）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴，∴g'（x）=e x﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），当a≤0时，g'（x）＞0，即g（x）是R上的增函数，与已知矛盾，∴a＞0，且g'（x1）=0，g'（x2）=0，∴，且．两式相减，可得，∴要证明，即证明，∴两边同除以，即证，即证（x1﹣x2）＞，即证（x1﹣x2）﹣＞0，令x1﹣x2=t，则t＜0，即证不等式在t＜0时恒成立，令，∴==，由（2）可知，，即，∴φ′（t）＜0，∴φ（t）在t＜0时是减函数，∴φ（t）在t=0时取得极小值φ（0）=0，∴φ（t）＞0，∴在t＜0时恒成立，∴．点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性．同时考查了不等式的证明，证明过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题．属于难题．。

天津一中 2022—2022 学年度高三年级四月考数学〔文科〕学科试卷本试卷分为第I 卷〔选择题〕、第II 卷〔非选择题〕两局部，共150 分，考试用时
120 分钟。

第I 卷1 页，第II 卷2 至5 页。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!
第一卷〔本卷共8 道题，每题 5 分，共40 分〕
一、选择题：〔本大题共8 小题，每题5 分，共40 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕
1．集合A={x2x2-5x-3≤0}，B={x∈Zx≤2}，那么A B中的元素个数为〔〕
A．2 B．3 C．4 D．5 2．假设某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的时机均等，那么甲或乙被录用的概率为〔〕
2 2 A．B．
3 5
3 9 C．D．
5 10
3．执行下列图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=〔〕A．3 B．4 C．5 D．6 4．设x>0，y∈R，那么“x>y〞是“x>|y|〞的〔〕。

2019-2天津一中高三年级第四次月考数学试卷（理）第I 卷1.若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ D ） （A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭2．计算242(1)12ii i+---等于 （ D ） A ．0 B ．2C ．－4iD ．4i3.若命题2:,210P x R x ∀∈->，则该命题的否定是（ C ） A ．2,210x R x ∀∈-< B ．2,210x R x ∀∈-≤ C ．2,210x R x ∃∈-≤ D ．2,210x R x ∃∈->4．设等差数列}{n a 的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若（A ） A ．18 B ．17C ．16D ．155．设三条不同的直线a b c 、、，两个不同的平面αβ、，,b αα⊂⊄c 。

则下列命题不成立的是（ B ）A ．若//,αβα⊥c ，则β⊥c B ．“若b β⊥，则αβ⊥”的逆命题C ．若a 是c 在α的射影，b a⊥则b ⊥c D ．“若//b c ，则//c α”的逆否命题6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ C ）.18A .24B .30C .36D7．若20102010012010(12)(),x a a x a x x R -=++⋅⋅⋅+∈,则20101222010222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ C ） A. 2B.0C.1-D. 2-8．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距).3(),21(),0(f c f b f a ===则( B )A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC =∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值是（ B ）A ．20B ．18C ．16D ．910.已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是（ D ） A ．(0,)4πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ2019-2天津一中高三年级第四次月考数学试卷（理）第Ⅱ卷班级 姓名 成绩 二．填空题：（每题4分，共4×6=24分）11.若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23x y +的最小值是 5 ．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000） （元）月收入段应抽出 25 人．13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 4 ．14.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是433cm ．15．在极坐标系中，直线()6R πθρ=∈截圆2cos()6πρθ=-所得的弦长是 2 ． 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11BCC B 所在平面内的动点P 到直线11,D C DC 的距离之和为,则1PC PC 有最大值12． 三．解答题：（共76分）17．设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，(sin sin ,0),(0,sin ),m B C n A =+=且22||||sin sin .m n B C -=（1）求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的取值范围。

天津市天津一中2014-2015学年高三零月考考试数学（文）试题一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设i 为虚数单位，则51ii-+等于（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D2+3i2.设变量x,y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.23 3.函数sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R ∈是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为2π的偶函数4.阅读右面的程序框图，则输出的S=（ ） A.14 B.30 C.20 D.555.已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()()0.6412log 7,log 3,0.2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c 6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A.5B.C.D. 547.函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数()2log g x x =的图像的交点个数是（ ）A.1B.2C.3D.48.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)()[)21.5,0,10.5,x 1,2x x x x f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. [)()2,00,1-B. [)[)2,01,-+∞C. []2,1-D. (](],20,1-∞-二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9.如左下图所示，是某校高三年级文科60名同学参加谋科考试所得成绩（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，根据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为 .10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= .12.已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y=x 对称，直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A,B 两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为: .13.如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E. 已知恒谦圆O 的半径为3，PA=2，则CD= .14.函数()10,1xy aa a -=>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则11m n+的最小值为 .二、解答题：（本大题共6小题，共80分。

12021届天津市第一中学高三下学期第四次月考数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若复数z 满足()211z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2．（2015天津，理4）设x ∈R ，则“|x −2|<1 ”是“x 2+x −2>0 ”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 3．设动点P (x,y )满足{2x +y ≤40x +2y ≤50x ≥0y ≥0，则z =5x +2y 的最大值是A ． 50B ． 60C ． 90D ． 100 4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知双曲线222=14x y b -（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ． 223=144x y - B ． 224=143x y - C ． 22=144x y - D ．22=1412x y - 6．已知实数0a >， 0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是 A ． 32 B ． 22 C ． 3 D ． 27．已知函数f (x )={x 2+2x −1,x ≥0x 2−2x −1,x <0，则对任意x 1,x 2∈R ，若|x 2|>|x 1|>0，下列不等式成立的是A ． f (x 1)+f (x 2)>0B ． f (x 1)+f (x 2)<0C ． f (x 1)−f (x 2)>0D ． f (x 1)−f (x 2)<08．已知向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 满足AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，E ，F 分别是线段BC ，CD 的中点，若DE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =−54，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角为A ． π6B ． π3C ． 2π3D ． 5π6二、填空题9．若集合A{x||x |=x}，B ={x|x 2+x ≥0}，则A ∩B =__________． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号211．若函数f (x )=x 3−6bx +3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是__________． 12．已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y=x 对称，直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A,B 两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为: .13上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是__________．14．已知函数f (x )={16x +2,x >a x 2+3x +2,x ≤a，函数g (x )=f (x )−ax 恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．三、解答题15．家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类,其中A 类服务员12名,B 类服务员名（1）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训,抽取到B 类服务员的人数是16, 求的值（2）某客户来公司聘请2名家政服务员,但是由于公司人员安排已经接近饱和,只有3名A 类家政服务员和2名B 类家政服务员可供选择①请列出该客户的所有可能选择的情况②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A 类又有B 类的概率来源:学|科|网] 16．在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若√5b =4c,B =2C . （1）求cosB ；（2）若c =5，点D 为BC 边上一点，且BD =6，求ΔADC 的面积.17．如图在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA =PD =√22AD ，设E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：EF//平面PAD ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PDC ； （3）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*22n n S a n N =-∈， 数列{}n b 满足11b =，且点()()*1,n n P b b n N +∈在直线2y x =+上． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ；（Ⅲ）设()22*sin cos n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 19（1）当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）当0a =时，证明： ()24xf x e x <--（其中e 为自然对数的底数）．20(0)a b >>的长轴长是短轴长的2⑴求椭圆C 的方程；⑵若在椭圆上有相异的两点,A B （,,A O B 三点不共线），O 为坐标原点，且直线AB ，直线OA ，直线OB 的斜率满足2•(0)AB OA OB AB k k k k =>.（ⅰ）求证：（ⅱ）设AOB ∆的面积为S ，当S 取得最大值时，求直线AB 的方程．12018届天津市第一中学高三下学期第四次月考数学（文）试题数学 答 案参考答案1．B【解析】()211z i i -=+ ()()()221i i 1i1i 1i 11i 2i 2i 2221i z +++-+∴=====-+---， z ∴在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限， 故选：B ． 2．A 【解析】试题分析：不等式|x −2|<1的解集A =(1,3)，不等式x 2+x −2>0的解集是B =(−∞,−2)∪(1,+∞)，因为A 是B 的真子集，所以“|x −2|<1”是“x 2+x −2>0”的充分而不必要条件，故选A.考点：1、充分条件，必要条件；2、绝对值不等式，二次不等式. 3．D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，（阴影部分ABCO ），由z =5x +2y ，得y =−52x +z2，平移直线y =−52x +z2，由图象可知当直线y =−52x +z2经过点C (20,0)时，直线y =−52x +z2截距最大，此时z 最大，代入目标函数z =5x +2y ，得z =5×20=100，即目标函数z =5x +2y 的最大值为100，故选D.4．A 【解析】由题意得，S =0,n =2，第一次运行：n =2+1=3,M =3+13=43,S =log 243∉Z ；第二次运行：n =3+1=4,M =4+14=54,S =log 253∉Z ；第三次运行：n =4+1=5，M =5+15=65,S =log 263=1∈Z ，满足条件，输出S =1，故选A.5．D【解析】试题分析：根据对称性，不妨设(),A x y 在第一象限，则，∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1（AB ＜0）． ②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0） 6．B【解析】∵0a >， 0b >，∴.故选B点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。