高三上学期第四次月考(文)数学试题

2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题（5月月考）数学试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） ABCD2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y = B．y =±C．y x = D．2y x =± 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A． B ．4π C． D ．3π5．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．36． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A．75 B．65 C．55 D．457．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A．B．C．D．8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 10．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1 11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

雅礼中学2023届高三月考试卷（四）一、单项选择题：1．答案C 解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．2．答案B 解析由等差中项的性质可得，a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝4a 7＝12，解得a 7＝3，∵a 7＋a 11＝2a 9，∴2a 9－a 11＝a 7＝3.3.答案C 解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b＋a 2b ＋≥12×＝94，4.答案C 解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺)，即为2丈6尺．5.答案B 解析直线x ＋ay －a －1＝0可化为(x －1)＋a (y －1)＝0，则当x －1＝0且y －1＝0，即x ＝1且y ＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M (1,1)，设圆的圆心为C (2,0)，半径r ＝2，当MC ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|MC |2＝24－2＝22，此时弦长AB 对的圆心角为π2，所以劣弧AB 的长为π2×2＝π.6．答案D 解析由题意，得x ＝15×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，y ＝15×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k ＝y －0.25x ＝30－0.25×40＝20，故A 正确；由经验回归方程可知，b ^＝0.25>0，变量x ，y 呈正相关关系，故B 正确；若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25，故C 正确；当x ＝52时，y ^＝0.25×52＋20＝33，故D 不正确．7.答案A 解析设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38.8．答案B 解析∵c cos A ＋a cos C ＝2，由余弦定理可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2，整理可得b ＝2，又AC 边上的高为3，∴12×2×3＝12ac sin B ，即ac ＝23sin B，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＝1－2ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，∴cos B ≥1－33sin B ，即3sin B ＋3cos B ≥3，即≥32，∵B ∈(0，π)，∴B ＋π3∈B ＋π3∈，2π3，∴B ，π3，故∠ABC 的最大值为π3.二、多项选择题：9．答案AD 解析f (x )＝2cos 2x －x 1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin x对于A ，由y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin 2＝2sin x 故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[0，π]，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈－π2，0，所以2x ＋π4∈－3π4，π4，所以x ∈－1，22，所以f (x )∈[－2，1]，所以f (x )在－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．10.答案BCD 解析A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故A 错误；B 项，由已知可得B 1F ⊥A 1C 1，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1，所以B 1F ⊥平面CAA 1C 1.在矩形AEFA 1中，△DEF 的面积S ＝12×EF ×A 1F ＝12×2×1＝1.又B 1F ＝12A 1C 1＝1，所以三棱锥D －MEF 的体积V M －DEF ＝13S ×B 1F ＝13×1×1＝13，所以B 正确；C 项，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，因为BD ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥BD ，所以C 正确；D 项，由题意可得四边形BB 1FE 为矩形，连接BF (图略)，则矩形BB 1FE 外接圆的圆心为BF 的中点O 1，且O 1F ＝O 1B ＝52.过O 1作O 1N ⊥EF ，垂足为N ，连接DN ，O 1D ，则O 1N ＝12，DN ＝1，O 1N ⊥DN ，故O 1D ＝52，所以O 1是四棱锥D －BB 1FE 的外接球的球心，外接球的半径为R ＝52，则外接球的表面积为S ＝4π＝5π，所以D 正确．11．答案AD 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2，＝my ＋p 2，2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.对于A ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2，故A 正确；对于B ，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，故|AF |·|BF |12(my 1＋p )(my 2＋p )＝m 2y 1y 2＋pm (y 1＋y 2)＋p 2＝－m 2p 2＋2p 2m 2＋p 2＝p 2(m 2＋1)＝4p 2，所以m 2＋1＝4，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率k ＝1m ＝±33，故B 不正确；对于C ，由题意可知2＋p 2＝3，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ，故C 不正确；对于D ，由题意可知p ＝2，所以y 1＋y 2＝4m .易得sin ∠PMN ＝d r，其中d 是点P 到y 轴的距离，r 为以AB 为直径的圆的半径，且d ＝x 1＋x 22，r ＝|PM |＝|AB |2＝x 1＋x 2＋22.又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，且y 1＋y 2＝4m ，所以d ＝2m 2＋1，r ＝2m 2＋2，所以sin ∠PMN ＝d r ＝2m 2＋12m 2＋2＝1－12(m 2＋1)，当m ＝0时，sin ∠PMN 取得最小值12，故D 正确．12.答案ABC 解析由题意，原不等式可变形为1e x －1x ≤x a －a ln x ，即1e x －1ln e x ≤x a －ln x a ，设f (x )＝x －ln x ，则当x ≥e 时，1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )恒成立，因为f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x ≥e ，a >0，所以1e x>1，x a >1，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以要使1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )，只需1e x ≤x a ，两边取对数，得1x ≤a ln x ，因为x ≥e ，所以a ≥1x ln x.令h (x )＝x ln x (x ∈[e ，＋∞))，因为h ′(x )＝ln x ＋1>0，所以h (x )在[e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝e ，所以0<1x ln x ≤1e ，则a ≥1e ，故正实数a 的最小值为1e .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13．答案23解析方法一设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，①(3－a )2＋(1－b )2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝23.故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23.14.答案－2解析如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝AD →＋14AB →·34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2.15.答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x－x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.16．答案如图，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，焦距为2c ，由椭圆定义可得m ＋n ＝2a ，由双曲线定义可得m －n ＝2a 1，解得m ＝a ＋a 1，n ＝a －a 1，当|F 1F 2|＝4|MF 2|时，可得n ＝12c ，即a －a 1＝12c ，可得1e 1－1e 2＝12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 1e 2＝2e 222＋e 2，可设2＋e 2＝t (3<t <4)，则2e 222＋e 2＝2(t －2)2t＝＋4t －f (t )＝t ＋4t －4在(3,4)上单调递增，可得f (t )e 1e 2四、解答题：17.解(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·(a 1＋d )＝2(a 1＋3d )，整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又由a 1＋2d ＝5，可得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又由数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，得新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×(1－22n ＋1)1－2＋(3＋2n ＋4)(2n ＋2)2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.18.解（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C c ABC b =∠，∴ac BD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.19.(1)证明因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，所以CF ＝1，BF ＝5.如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (1,1,0)，F (0,2,1)，BF →＝(0,2,1)．设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0,2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2)．所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)解易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面DFE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )·n 2＝0，·n 2＝0，又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1,1,1)1－m )x ＋y －2z ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，于是平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1,2－m )，所以cos 〈n 1，n 2设平面BB 1C 1C 与平面DFE 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小．20.解(1)进行一次试验，获得0分的概率为12×13＋12×23＝12，获得1分的概率为12×23＝13，获得2分的概率为12×13＝16，进行两次试验，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝4)＝16×16＝136，P (X ＝3)＝13×16×2＝19，P (X ＝2)＝12×16×2＋13×13＝518，P (X ＝1)＝13×12×2＝13，P (X ＝0)＝12×12＝14.所以分数X 的分布列为X01234P 141351819136E (X )＝0×14＋1×13＋2×518＋3×19＋4×136＝43.(2)①G (2)＝16＋13×13＝518，②据题意有，G (n )＝16G (n －2)＋13G (n －1)，其中n ≥3，设G (n )－λG (n －1)＝16G (n －2)＋13G (n －1)－λG (n －1)＝16G (n －2)(n －1)G (n －1)－λG (n －2)]＝16，解得λ＝1±76，所以{G (n )－λG (n －1)}是公比为13－λ的等比数列，其中n ∈N *，n ≥2，λ＝1±76.21.解(1)设y 由P (4,0)，可得|AP |2＋y 20＝y 4016－y 20＋16＝116(y 20－8)2＋12≥12，当y 0＝±22时，|AP |取得最小值23.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝my ＋t ，2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0，即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3,0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.22.解(1)f ′(x )＝2x sin x －(x 2－a )cos x sin 2x，f π，所以f (x )f y ＝πx ，所以f ＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2.(2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x－2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈π2，g ′(x )>0，所以g (x )在区间π2，x h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x又g ′(0)＝－2<0，g π>0，所以存在x 0g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减，x ∈x 0g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。

山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考（4月）数学试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．62．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π4．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．36．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-8．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．610．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥11．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

张掖中学2011－2012学年高三第四次月考数学试题（文科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合∈=y A {Z ∈=x x y ,sin R }，则集合A 的子集的个数为( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个 2.在等差数列{}n a 中，若74a =，则此数列的前13项之和为( )(A)104(B)52(C) 39(D)243.3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件4. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )(A)若m ∥α,n ∥α,则m ∥n (B)若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β (C)若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β (D)若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 5.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=6.函数()||2(0)f x x x x x =+<的反函数为（ ）(A) 1(0)y x =-< (B) 1(0)y x =+≥(C) 1(0)y x =+< (D) 1(0)y x =-≥ 7.把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) (A) 8π=x (B) 2π-=x (C) 4π-=x (D) 4π=x8.设→→a ，b 都是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+- (x ∈R )是偶函数，则必有( ) (A) →→a ⊥b (B)a b →→(C) ||||a b →→= (D) ||||a b →→≠9.若1ln ln 1(,1),ln ,(),2x x x e a x b c e -∈===，则( )(A) a b c >> (B) b c a >>(C) b a c >> (D) c b a >>10.已知点(0,1)A 和圆224x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，则点M 的轨迹方程是（ ）(A) 22(3)16x y -+= (B) 22(3)16x y ++= (C) 22(3)16x y ++= (D) 22(3)16x y +-=11．在三棱锥A B C D -中，侧棱A B 、A C 、A D 两两垂直，A B C ∆、A C D ∆、AD B ∆ 的面积分别为2、22( )A ．2πB．C ．6πD ．24π12.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>02，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。

1杨浦高中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.不等式211x −>的解集是________.2.已知集合102x P x x ⎧⎫+=≤⎨⎬−⎩⎭，(,)Q a =+∞，若P Q ⊂，则实数a 的取值范围是________.3.若平面向量(3,4)a =，2b =，6a b ⋅=−，则向量a b 、的夹角为________.4.在(2)n x +的展开式中（其中n 是正整数），各项的系数和为729，则4x 项的系数 为________.5.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()32x f x e x =+−，当0x <时，()f x =________.6.已知2z i =+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程240x x m −+=的一个根，Im()m z ⋅=________.7.等差数列{}n a 的首项13a =，公差为d ，若34a =，则111n n d a +∞−=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑________.8.已知a βγ、、是不同的平面，l m n 、、是不同的直线，下列命题中：(1)若,,,l m l α⊥βαβ=⊥则m ⊥β；(2)若//,,,m n αβ⊂α⊂β则//m n ；(3)若,,//,l m l m ⊥αβγ=则β⊥α且γ⊥α；(4)若,,,l α⊥βγ⊥βαγ=则l ⊥β，所有真命题的序号是________.9.已知(,6)P m 是第二象限角α终边上的一个点，且24tan 27α=−，将OP 绕原点O 顺时针旋转4π至OP '，则点P '的坐标为________.210.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A 、B ，岛上安装了信号接收塔.舰艇P 沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A 、B 是曲线的焦点.当P 在小岛B 正北方向1P 处时，测得距小岛B 3海里.当舰艇航行至小岛B 西偏南60︒的2P 处时，测得距小岛B 1.5海里.在以线段AB 中点为圆心、1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P 在航行的过程中，会放下巡逻船Q ，巡逻船在以PB 为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是________.11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期是（ ） A ．6πB ．3πC ．32πD ．32π 14.下列函数在区间(0,)+∞上为严格减函数的是（ ） A ．cos y x =B ．2x y =C ．2y x −=D ．21y x =−15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2B．C ．3D．316.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F ，则2PQ QF +的最小值为（ ） A ．6B．2+C．D．4+三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，且365a a =−，816S =−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(),21,12,2n n na n kb k N k n k =−⎧=∈≥⎨=⎩，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 对于函数()y f x =，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x −=−，则称()y f x =为“准奇函数”. （1）已知函数()31x f x x −=+，试问()y f x =是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若()3x g x m =+为定义在[]1,1−上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围.419.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =. （1）证明：AD ⊥平面BOP ；（2）若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角 O BP A −−的余弦值.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =； （2）讨论函数()y f x =的奇偶性；（3）当1a =时，用定义证明函数()y f x =在[0,)+∞上是严格增函数，并解不等式()(2)1f x f x >+.521.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题（i ）问满分6分，（ii ）问满分8分.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用.门、窗装饰图案成为园林建筑中最有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆1C 和圆2C 组成，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，圆2C 以线段12F F 为直径. （1）设计如图所示的洞窗，椭圆1C 的离心率应满足怎样的范围? （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.（i ）从1F 射出的任意一束光线1F A 照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB ，B 为切点，然后用量角器探究猜测1AF B 是定值，请帮他们证明上述猜想;（ii ）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P 是1C 上的一个动点，P 、Q 关于原点对称，过P 和Q 分别做圆的切线，交于R 、S ，求四边形装饰PRQS 面积S 的取值范围.图1 图2 图36参考答案一．填空题 1.(,0)(1,)−∞+∞ 2.1a <− 3.3arccos 5π− 4.60 5.32x e x −−++ 6.5−7.348.（3）、（4）9.( 10.无论P 在何处，以PB 为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 11.2 12.69 11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 【答案】2【详解】由题意知()211124c c c c +−⎛⎫−≤= ⎪⎝⎭，当12c =时取等号， 故()()2124419119119122228a b a b ab bc c ab b ab b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+≥+=+=+=+=++ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭1911010288b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当33b a ==时取等号， 综上，当11,3,2a b c ===时，()211ab bc c +−的最小值为2. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个. 【答案】69【详解】设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项， 由已知m n k a a a =，设12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+，则由等差数列定义得()2121k k a a xd k k d −==−⋅.因为0d ≠，所以21x k k Z =−∈， 即数列{}n a 的每一项均是整数，所以数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数.7由题意，设38k a =，则138k a d +=+是数列{}n a 中的项， 所以38(38)d ⋅+是数列{}n a 中的项.设38(38)m a d =⋅+，则38(38)38383738()m k a a d d m k d −=⋅+−=⨯+=−⋅， 即(38)3837m k d −−⋅=⨯.因为*38,m k Z d N −−∈∈，故d 是3837⨯的约数. 所以1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，.当1d =时，138(1)0a k =−−≥，得1,2,,38,39k =⋯，故138,37,,2,1,0a =⋯，共39种可能；当2d =时，1382(1)0a k =−−≥，得1,2,,18,19,20k =⋯，故138,36,34,,4,2,0a =⋯，共20种可能；当19d =时，13819(1)0a k =−⨯−≥，得1,2,3k =，故138,19,0a =，共3种可能； 当37d =时，13837(1)0a k =−−≥，得1,2k =，故138,1a =，共2种可能； 当38d =时，13838(1)0a k =−⨯−≥，得1,2k =，故138,0a =，共2种可能； 当237d =⨯时，138237(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当1937d =⨯时，1381937(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当3837d =⨯时，1383837(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能. 综上，满足题意的数列{}n a 共有392032211169+++++++=（种）. 经检验，这些数列均符合题意. 二、选择题13．A 14．C 15．C 16．C15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在8三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2 B．C ．3D．【答案】C【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,3A ，()3,3,0B ，()0,0,0D ，()3,0,0A ，()3,1,0E ， ()3,3,0DB ∴=，()13,0,3DA =，()10,0,3AA =，设A 关于平面1A BD 的对称点为(),,A x y z '，则()13,,3A A x y z '=−−−，()3,,AA x y z '=−，设平面1A BD 的法向量(),,n a b c =，则1330330DB n a b DA n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，解得：1b =−，1c =−，()1,1,1n ∴=−−，A ∴与A '到平面1A BD 的距离1133AA n A A n x y d nn'⋅⋅−++====，又AA //n '，3x y z ∴−=−=−，1x ∴=，2y =，2z =，()1,2,2A '∴，3PA PE PA PE A E ''∴+=+≥==（当且仅当,,A P E '三点共线时取等号），即PA PE +的最小值为3.16.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F，则2PQ QF +的最小值为（ ） A．6 B ．2+C ．D ．4+【答案】C9【详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点坐标为(1,0)F ，又由圆2210210x y x +−+=， 可化为22(5)4x y −+=，可得圆心坐标为(5,0)E ，半径2r =， 设定点(,0)M t ，满足12QF QM =成立，且00(,)Q x y即=2200(5)4x y −+=，代入两边平方可得： 20(4)16t x t −=−，解得4,(4,0)t M =，所以定点M 满足12QF QM =恒成立， 可得22(|)PQ QF PQ QM +=+，如图所示， 当且仅当1,,M P Q 在一条直线上时， 此时PQ QM +取得最小值||PM ， 即22(|)2PQ QF PQ QM PM +=+≥，设(,)P x y ，满足24y x =，所以22PQ QF PM +≥=，2PQ QF +≥2x =时，等号成立。

云南省玉溪第一中学2022届高三数学上学期第四次月考试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A＝{x |≤0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x＜4} B．{x|0＜x≤3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜4}2．设z ＝+i，则|z|＝（）A ．B ．C ．D．23．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112 5．如果执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出的S等于（）A ．B ．C ．D ．6．△ABC中，∠BAC＝135°，，AC＝1，D是BC边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A．[﹣3，0] B ．C．[0，2] D．[﹣3，2]7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），且在[﹣1，0]上单调递减，设a＝f （），b＝f （2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b8．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将△ACD沿对角线折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的是（）A．直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB．直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥BDED．平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE9．如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件11．已知函数f（x）＝a sin x ﹣cos x的一条对称轴为x ＝﹣，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A ．B ．C ．D ．12．设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．若直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则+的最小值为．14．向量＝（﹣1，1），＝（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ＝．15．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式：a1+a2+…+a n＝a1+a2+…+a19﹣n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式成立．16．已知在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AD＝4，AC＝6，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.17．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．18．在等差数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1＝1，且b2+S3＝11，S6＝9b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC ＝6，AD＝8，BC＝10，PD＝9，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B﹣PCF的体积；若不存在，请说明理由．20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆相切，求l1的方程；（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2＝0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）证明f（x）≤0恒成立；（3）证明：（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若点A的坐标为（2，0），动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求f（x）＝+的最大值；（2）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：．2022云南省玉溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合A＝{x |≤0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x＜4} B．{x|0＜x≤3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜4}【解答】解：A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜4}．故选：A．2．设z ＝+i，则|z|＝（）A ．B ．C ．D．2【解答】解：z ＝+i ＝+i ＝．故|z|＝＝．故选：B．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；是假命题，例如取x＝2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a＝10，b ＝．∴“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是￢p∧（￢q），故选：D．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64 B．72 C．80 D．112【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1＝3，正方体棱长为4V正方体＝Sh2＝42×4＝64，V四棱锥＝Sh1＝＝16，所以V＝64+16＝80．故选：C．5．如果执行如图所示的框图，输入N＝5，则输出的S等于（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：n＝5时，k＝1，S＝0，第一次运行：S＝0+＝，k＝1＜5，第二次运行：k＝1+1＝2，S ＝＝，k＝2＜5，第三次运行：k＝2+1＝3，＝，k＝3＜5，第四次运行：k＝3+1＝4，S ＝＝，k＝4＜5，第五次运行：k＝4+1＝5，S ＝＝，k＝5，结束运行，输出S ＝．故选：D．6．△ABC中，∠BAC＝135°，，AC＝1，D是BC边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A．[﹣3，0] B ．C．[0，2] D．[﹣3，2]【解答】解：∵D是BC上的一点，（包括端点），∴设＝，（0≤λ≤1），∵∠BAC＝135°，，AC＝1，D是BC边上的一点（包括端点），∴＝＝﹣1，∴＝[]•（）＝（2λ﹣1）﹣+（1﹣λ）＝（2λ﹣1）﹣+（1﹣λ）＝﹣（2λ﹣1）﹣2λ+（1﹣λ）＝﹣5λ+2，∵0≤λ≤1，∴﹣5λ+2∈[﹣3，2]，∴的取值范围是[﹣3，2]．故选：D．7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），且在[﹣1，0]上单调递减，设a＝f （），b＝f （2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），故周期T＝2，∵在[﹣1，0]上单调递减，根据偶函数的对称性可知在[0，1]上单调递增，距对称轴越远，函数值越大，∵a＝f （）＝f （），＝f（2﹣），b＝f（2）＝f（0），c＝f（3）＝f（1），则b＜a＜c．故选：C．8．已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于E点，将△ACD沿对角线折起，使得平面ABC⊥平面ADC（如图），则下列命题中正确的是（）A．直线AB⊥直线CD，且直线AC⊥直线BDB．直线AB⊥平面BCD，且直线AC⊥平面BDEC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥BDED．平面ABD⊥平面BCD，且平面ACD⊥平面BDE【解答】解：由题意知DC⊥BE，AB∩BE＝E，∴直线AB⊥直线CD不成立，故A错误；∵AC⊥AB，∴AB与BC不垂直，∴直线AB⊥平面BCD不成立，故B错误；∵BE⊥DE，BE⊥AC，∴AC⊥平面BDE，∴平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故C正确；∵平面ABD⊥平面BCD不成立，故D错误．故选：C．9．如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设圆柱底面圆的方程为x2+y2＝R2，∵与底面成45°角的平面截圆柱，∴椭圆的半长轴长是R，半短轴长是R，∴c＝R，∴e ＝＝＝．故选：A．10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A．60件B．80件C．100件D．120件【解答】解：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是＝这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）由基本不等式，得当且仅当时，f（x）取得最小值、可得x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B．11．已知函数f（x）＝a sin x ﹣cos x的一条对称轴为x ＝﹣，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：f（x）＝a sin x ﹣cos x＝，由于函数的对称轴为：x ＝﹣，所以，则：，解得：a＝1．所以：f（x）＝2sin（x ﹣），由于：f（x1）•f（x2）＝﹣4，所以函数必须取得最大值和最小值，所以：或所以：|x1+x2|＝4k，当k＝0时，最小值为．故选：C．12．设等差数列{a n}满足a1＝1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a1＝1，a n＞0（n∈N*），∴a n＝1+（n﹣1）d，S n ＝．∴＝1，＝，＝，∵数列{}也为等差数列，∴2＝+，∴＝1+，化为（d﹣2）2＝0，解得d＝2．∴a n＝2n﹣1，S n＝n2．∴＝＝，∵数列单调递减，∴的最大值是＝121．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．若直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），则+的最小值为．【解答】解：∵ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）过点（1，﹣1），∴a+b＝3，则+＝（+）（a+b）＝＝．故答案为：14．向量＝（﹣1，1），＝（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ＝ 3 ．【解答】解：向量＝（﹣1，1），＝（1，0），∴＝2，＝1，＝﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）＝2+（λ﹣2）•﹣λ＝0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1＝0，解得λ＝3．故答案为：3．15．在等差数列{a n}中，若a 10＝0，则有等式：a1+a2+…+a n＝a1+a2+…+a19﹣n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式b1•b2•…•b n＝b1•b2•…•b17﹣n（n＜17）成立．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…+a n＝a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，n∈N+）成立，故相应的在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式b1•b2•…•b n＝b1•b2•…•b17﹣n（n＜17）故答案为b1•b2•…•b n＝b1•b2•…•b17﹣n（n＜17）16．已知在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AD＝4，AC＝6，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝2．【解答】解：∵外心为三角形三边垂直平分线的交点，△ABC的外心恰在线段BD上，∴作线段AC的垂直平分线，交BD于点O，即为△ABC外心，∴OA＝OB＝OC，取AB的中点E，连接OE，则有OE⊥AB，可得∠BEO＝∠OFD＝90°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴△BEO∽△DFO，∵AC＝6，∴AF＝3，∴DF＝AD﹣AF＝1，∵BE＝2，∴＝＝2，设OD＝a，则有OB＝OA＝2a，OF2＝OD2﹣FD2＝a2﹣1，由AO2＝AF2+OF2，得到4a2＝9+a2﹣1，即a2＝，由余弦定理得：cos A＝＝＝＝，∴BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos A＝16+36﹣2×4×6×＝40，则BC＝2．故答案为：2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.17．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．18．在等差数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1＝1，且b2+S3＝11，S6＝9b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n ＝，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则，解得d＝2，q＝2，所以a n＝2n﹣1，b n＝2n﹣1；（2）c n＝（2n﹣1）（）n﹣1．∴数列{c n}的前n项和T n＝1×（）0+3×（）1+5×（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，T n＝1×（）1+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣1）•（）n，∴T n ＝+2×（）1+2×（）2+2×（）3+…+2×（）n﹣1﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2（1﹣（）n﹣1）﹣（2n﹣1）•（）n＝3﹣（2n+3）×（）n∴T n＝6﹣（2n+3）•（）n+119．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，PD＝9，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B﹣PCF的体积；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N．∵CN⊥AB，DA⊥AB，∴CN∥DA，又AB∥CD，∴四边形CDAN为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，在Rt△BNC中，BN ＝＝，∴AB＝12，而E，M分别为PA，PB的中点，∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，∴EM∥CD且EM＝CD，则四边形CDEM为平行四边形，∴DE∥CM．∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面BPC；（2）解：由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（8，12，0），C（0，6，0），假设AB上存在一点F使CF⊥BD，设点F坐标为（8，t，0），则＝（8，t﹣6，0），＝（8，12，0），由，得64+12（t﹣6）＝12t﹣8＝0，得t ＝，即AF ＝，则BF＝12﹣＝，又PD＝9，∴＝136．20．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆相切，求l1的方程；（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2＝0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）①若直线l1的斜率不存在，即直线x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即解之得．所求直线方程是x＝1，3x﹣4y﹣3＝0．（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx﹣y﹣k＝0由得；又直线CM与l1垂直，得．∴AM•AN ＝为定值．21．已知函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）证明f（x）≤0恒成立；（3）证明：【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣x+1，f'（x ）＝，（x＞0），当x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，故f（x）min＝f（1）＝0，所以f（x）≤0恒成立；（2）由（1）知，lnx≤x﹣1，x＝1时取等号，n＞1，则lnn＜n﹣1＝，故＝，所以＜．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为（t为参数），圆C 的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）若直线l与圆C 的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若点A的坐标为（2，0），动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为（t为参数），普通方程为y＝mx，圆C 的参数方程为（a为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2＝1．圆心到直线l的距离d ＝，相交弦长＝2，∴2≥，∴m≤﹣1或m≥1；（Ⅱ）设P（cosα，1+sinα），Q（x，y），则x ＝（cosα+2），y ＝（1+sinα），消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程（x﹣1）2+（y ﹣）2＝．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求f（x ）＝+的最大值；（2）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：．【解答】解：（1）由题意知：定义域为[0，4]，由基本不等式，得＝，当且仅当，即x＝2，取等号；（2）因为ab+bc+ca＝1，a，b，c＞0，2（a+b+c）2＝a2+b2+b2+c2+a2+4ab+4ac+4bc≥6（ab+bc+ac）＝6，当且仅当a＝b＝c，取等号，故．。

河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考数学试题考试范围：一轮复习前八章 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．1D ．i2．设集合{}5,3,1,0,1,3U =---，{A x U y =∈=，则UA =（ ）．A ．[]5,3-B ．{}3,1-C ．{}5,3-D ．{}5,3,1,3--3．已知1tan 123πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则11tan 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．13- CD．4．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（ ）A ．45B ．65C ．69D ．105-5．设22(02)()3log (2)x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，则[](2)f f =（ ）试卷第2页，总6页A ．2-B ．1-C ．0D ．86．已知()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩则关于a 的不等式()()21f a f a -<的解集为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞8．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B．3C．5D二、多选题9．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C．6g π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()g x 为奇函数10．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A．若a b⊥，则tan 2θ=B．若b在a上的投影为12-，则向量a与b的夹角为23πC．存在θ，使得||||||a b a b+=+D．a b的最大值为311．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D－中，E，F分别是11AB BC，的中点．有下列结论，其中正确的是（）A．EF与1BB垂直B．EF与平面11BCC B垂直C．EF与1C D所成的角为45°D．//EF平面1111DCBA12．已知抛物线24y x=的准线过双曲线2222:1x yCa b-=(0,a>0b>)的左焦点F，且与双曲线交于,A B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则下列结论正确的有（）A．双曲线C的方程为224413yx-=B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到双曲线C3D．双曲线C的离心率为2三、填空题试卷第4页，总6页13．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率1，则第七个单音的频率为______.14．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +=+，30B =︒，2a =，则ABC ∆的面积为______.15．如图，正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为_______，直线AB 与底面BCD 所成角的余弦值为_______．16．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．五、解答题17．在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ； （2）若5c =，11a b +=，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为22的直线方程； （2）求222||||||PA PB PC ++的最值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*4211n n S n a n N-+=∈．（1）求证：21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列；（2）求和：12231011111a a a a a a +++． 20．如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，CE AB ∥． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1==PA AB ，3AD =，且CD 与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的正切值．试卷第6页，总6页21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率，过x 轴正半轴一点()0m ,且斜率为l 交椭圆于A ，B 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由22．设a R ∈，函数21()ln (1)2f x a x x a x =+++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设21()()(2)2x f x x a x ϕ=--+，若()x ϕ有两个相异零点1x ，2x ，且12x x <，求证：12ln ln 2ln 0x x a +-<.答案第1页，总28页参考答案1．A【解析】【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2．C【解析】【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出.【详解】{A x U y =∈={}2230x U x x =∈--+≥ {}31x U x =∈-≤≤{}3,1,0,1=--，所以{}5,3UA =-．故选：C.【点睛】本题考查集合的补集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．3．B【解析】【分析】利用三角函数诱导公式tantan 进行求解.【详解】1111tan[()]tan()1212πππαα-+=-+，111tan tan 12123ππαα⎛⎫⎛⎫+=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴. 故选：B【点睛】答案第3页，总28页本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.4．B【解析】【分析】由题意可得1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，从而可得1112211112192021()()a a a a a a a a +++=+++++……，进而可得答案【详解】因为1(1)(41)n n a n +=-+，所以1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=，故选：B ．【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题5．B【解析】【分析】先求()2f ，再求[]()(2)4f f f =即可．【详解】解：由已知()2224f ==，则[]()2(2)43log 41f f f ==-=-+． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的求值，是基础题．6．B【解析】【分析】分析函数单调递增，解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，即可得解. 【详解】由题：()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩， 当01x <<时，()ln 0f x x =<，且单调递增； 当1≥x 时，()10f x x =-≥，且单调递增，所以()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩在()0,∞+单调递增， 解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，解得：1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求解不等式，关键在于准确识别函数的单调性，此题易错点在于漏掉考虑函数定义域，导致增根.属于较易题.7．A【解析】【分析】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数， 所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点， 0m <不合题意，当0m >时，20mx >,当()ln 01f x x x =>⇒>，即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切，即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线， 则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m=， 则有()()20000111,ln ln ln 222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.8．B【解析】【分析】 先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a =±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bcFA b b a ==+， 根据题意513AF BF =，则135b BF =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan b a α=，18185tan 25b AB b OA a aα===， 由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan ab a b ααα==--， 即221825b ab a a b=-，化简可得2249a b =， 由双曲线离心率公式可知221313193c b e a a==+==， 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值可判断B 、C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项. 【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 . 对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 、C 选项，sin 163g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误，C 选项正确； 对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-， 所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，同时也考查了三角函数图象变换，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【解析】【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+， a b D 正确. 【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a bD 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．AD【解析】【分析】过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，可得//EF MN ，所以直线EF 可转化为直线MN 来求解平行，垂直及所成角问题.【详解】如图：正方体1111ABCD A B C D －过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，由题意可得//EF MN ，因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1⊥BB MN 即1BB EF ⊥，A 选项正确；由题意可得MN 不垂直BC ，所以MN 不垂直平面11BCC B ，即EF 不垂直平面11BCC B ，B 选项不正确；因为11//AB C D ，连接1C B 和C A ，所以1B AC ∠为EF 与1C D 所成的角，因为11AC B C B A ==所以160B AC ∠=，C 选项不正确；因为//EF MN ，MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD所以//EF 平面ABCD ，又平面1111D C B A ∥平面ABCD ，所以//EF 平面1111D C B A ，D 选项正确；故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，线面平行及线线角的求法，属于较易题.12．ABD【解析】【分析】根据抛物线24y x =准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ，得到c ，再根据与双曲线交于,A B 两点，且AOB 的面积为32，求得双曲线的方程，再逐项验证. 【详解】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ， 所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点， 所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =， 解得213,24a b ==， 所以双曲线C 的方程为224413y x -=，故A 正确； 双曲线C的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确； 点F 到双曲线C的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13【解析】【分析】根据题意可知相当于求解等比数列的第7项，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率1，所以第七个单音的频率为671a =⨯=.故答案为.【点睛】 本题主要考查以音乐文化为背景的等比数列问题，从中提炼出数学本质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14【解析】【分析】已知条件利用余弦定理求得C ，然后由三角形内角和可得A ，再由等腰三角形得b ，再由三角形面积公式求得面积．【详解】∵()22a b c ab +=+，∴222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，120C =︒， ∴30A =︒，∴2b a ==，∴11sin 22sin12022ABC S ab C ∆==⨯⨯︒=【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式．解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础．15．90° 3【解析】【分析】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F ，空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F .空1：因为AC AD BC DB ===，所以CD ⊥AE ，CD ⊥BE ， AE BE ＝E ，,AE BE ⊂平面ABE ，∴CD ⊥平面ABE ，AB平面ABE ，∴CD ⊥AB ，∴异面直线AB 与CD 所成的角为90°； 空2：∵CD ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE ，∴CD ⊥AF ，又AF ⊥BE ，,,CD BE ECD BE =⊂平面BCD ，∴AF ⊥平面BCD ，∴∠ABF 是直线AB 与底面BCD 所成角，正四面体ABCD 中，因为AF ⊥平面BCD ，所以点F 是三角形BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，所以22213()32BF a a a =-= 则333cos 3a BF ABF AB a ∠===．故答案为：90°；33【点睛】本题考查了求异面直线所成的角和线面角的计算，考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.16．10x y -+=【解析】【分析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PD PAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上， 过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PD DPA PAF PA=∠=∠， 所以PD PA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=， 则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±，又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．（1）3C π=；（23【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ；（2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①： 由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=，故ABC 的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题．18．(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为,所以圆心到直线的距,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=. (2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++ ()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.19．（1）证明见解析；（2）1021【解析】【分析】(1)由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥,化简可得()122123n n a a n n n -=≥--即可证得结论; (2)由(1)可求得21n a n =-,利用裂项求和即可得出结果.【详解】解：（1）证明：由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥， 两式相减得()()()123212n n n a n a n --=-≥，即()122123n n a a n n n -=≥--， 在()()*4211n n S n a n N -+=∈中，令1n =，得11a =，故11121231n n a a a n n -====--，即21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列，得证． （2）由（1）知121n a n =-，即21n a n =-， 1223101111111113351921a a a a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯ 1111111201012335192122121⎛⎫=-+-++-=⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.20 【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明线线垂直BA PA ⊥，BA AD ⊥来证明线面垂直，即BA ⊥平面PAD CE BA ,CE ∴⊥平面PAD .（Ⅱ）以A 为原点建立平面直角坐标系，通过法向量之间的夹角余弦，得到二面角的夹角余弦值，再求出其正切值法二：连接PE ，作AH ⊥PE 于H ，找到二面角的平面角为AHB ∠，在直角三角形PAE 中求出线段长度，求出tan AHB ∠，即二面角的正切值.【详解】（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD BA PA ∴⊥BA AD ⊥,,AD PA ⊂平面PAD 且AD PA A ⋂=BA ∴⊥平面PADCE BA ,CE ∴⊥平面PAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CDE ∠为CD 与平面PAD 所成的角，所以45CED ∠=︒又1CD AB ==,90CED ∠=︒1,2DE CE AB AE ∴====连接,PE BE法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系 ()00,0A ，，()0,1,0B () 2,0,0E由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且()0,1,0AB =设平面PBE 的法向量为(),,n x y z = ()()2,1,0,0,1,1BE PB =-=-由,n BE n PB ⊥⊥，得020y z x y -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,2,2n =设所求二面角为θ，则22cos 133AB nAB n θ⋅===⨯⋅sin 3θ∴==sin tan cos θθθ∴== 法二：作AH ⊥PE 于H ，由（I ）知BA PE ⊥，,AH BA ⊂平面AHB ，AH BA A ⋂=PE ∴⊥平面AHB BE ⊂平面AHB ，PE BE ∴⊥AHB ∴∠为所求二面角的平面角在直角三角形PAE 中，1122AH PE AE PA ⋅=⋅AH ∴=tan AB AHB AH ∴∠==21．（1）22162x y +=；（2）存在，m =【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求椭圆的,,a b c ，得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为)()03y x m x =->，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用0OA OB ⋅=，转化为坐标运算，建立等量关系求m 值.【详解】（1）根据题意，抛物线28y x =的焦点是()2,0，则()2,0F ，即2c =，，即3c e a ==，解可得a =26a =，则2222b a c =-=故椭圆的方程为22162x y +=.（2）由题意得直线l的方程为)()0y x m x =->由()221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m -<又0m >，∴0m <<设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.则))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又由以AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=，即()212121212410333m x x y y x x x x m +=-++= 即26m =，又023m <<6m ∴=即存在6m =使得以AB 为直径的圆过原点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.22．（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）由1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，构造1212ln x xa x x -=，结论12ln ln 2ln 0x x a +-<，可转化为()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，构造函数21()ln 2g t t t t =--+，分析单调性研究单调性，即可证.【详解】（1）(1)()()1a x x a f x x a x x++'=+++=，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；当0a <时，令()0f x '>，解得x a >-，则函数()f x 在区间(0,)a -上是减函数，在区间(,)a -+∞上是增函数.综上得：当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，函数()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞.（2）由题意得，()ln x a x x ϕ=-.因为1x ，2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根，所以1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()()1212ln ln 0a x x x x ---=，解得1212lnx xa x x -=. 要证：12ln ln 2ln 0x x a +-<，即证：212x x a <，即证：()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即证：()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 令12(0,1)x t x =∈（因为120x x <<），则只需证21ln 2t t t<-+.设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭；令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上为减函数，∴()(1)0h t h >=，∴()0g t '>，()g t 在(0,1)为增函数，()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(0,1)上恒成立，∴12ln ln 2ln 0x x a +-<.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.。

2020-2021学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4} 2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2] 5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．144698．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝．14．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为．15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：B．2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴z1＝1+i，z2＝i．∴＝．故选：D．3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：因为f（﹣x）＝f（x）即f（x）为偶函数，且x＞0时，函数单调递增，a＝f（log2）＝f（log32），b＝f（log52），c＝f（e0.2），因为e0.2＞1＞log32＞log52，所以c＞a＞b．故选：A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2]解：设M（x，y），由动点M满足＝，得，化简得：x2+（y﹣2）2＝8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则＝2cosθ∈[﹣2，2]，故选：D．5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：＝＝，∴cos A＝，由余弦定理，有：cos A＝，∴＝，即＝＝，整理得：（x+1）2＝（x﹣1）（x+4），解得：x＝5，三边长为4，5，6，则cos A＝＝．故选：A．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．14469解：由题意得：≈20%，则≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2＝1.2lg2000＝1.2（lg2+3）≈1.2（0.3+3）＝3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．8．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．解：因为线l1：kx+y＝0恒过定点O（0，0），直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0恒过定点C（2，2）且l1⊥l2，故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，要求|AB|的最大值，转化为在D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上找一点A，在E：（x+2）2+（y+3）2＝2上找一点B，使AB最大，根据题意可得两圆的圆心距＝5，则|AB|max＝5+2．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则解：A．a＜b＜0，则a2＞b2，正确；B．若ab＝4，则a+b可能小于0，例如，a＝b＝﹣2，因此不正确；C．若a＞b，则ac2≥bc2，c＝0时取等号，因此不正确；D．若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝m（a﹣b）＞0，∴正确．故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为解：取BD中点M，BC中点N，连结EM，FM，AN，DN，∵在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，∴AN⊥BC，DN⊥BC，又AN∩DN＝N，∴BC⊥平面ADN，∵AD⊂平面ADN，∴AD⊥BC，EM∥AD，且EM＝＝，MF∥BC，MF＝＝1，∴EM⊥MF，EF与AD所成角为∠FEM，∴EF与AD所成角的正切值为tan∠FEM＝＝＝，故A错误，B正确；连结BF，AF，则AF⊥CD，BF⊥CD，又AF∩BF＝F，∴CD⊥平面ABF，过点B作BP⊥AF，交AF于P，则BP⊥CD，∵CD∩AF＝F，∴BP⊥平面ACD，∴∠BAF是AB与面ACD所成角，∵AB＝3，AF＝＝2，BF＝，∴cos∠BAF＝＝＝．∴AB与面ACD所成角的余弦值为，故C正确，D错误．故选：BC．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），依次分析选项：对于A，当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝e x（﹣x﹣1），整理得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e x（x+1），A正确；对于B，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），此时有1个零点x＝1，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，f（x）有3个零点，B错误；对于C，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），其导数f′（x）＝e﹣x（2﹣x），在区间（0，2）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则在区间（0，+∞）上有极大值f（2）＝e﹣2，而x→0，f（x）→﹣1，则在区间（0，+∞）上，有﹣1＜f（x）≤e﹣2，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，由﹣e﹣2≤f（x）＜1，综合可得：f（x）的值域为（﹣1，1），若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，C错误；对于D，当x＜0时，f′（x）＝e x（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，所以f（x）＜f（0）＝1，即﹣e﹣2＜f（x）＜1，当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，所以f（x）＞f（0）＝﹣1，所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．故∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，D正确；故选：AD．12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5解：，因为q＞1，所以当a1＜0 时，a n+k＜a n，故错误；B.，令t＝n2+kn﹣4，t在n∈N*单调递增，则t（1）＝1+k﹣4＞0，解得k＞3，故正确；C.，当n为奇数时，2k﹣（﹣1）k+1＞0，存在k≥1 成立，当n为偶数时，2 k+（﹣1）k﹣1＞0，存在k≥2 成立，综上：{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D．若{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，n∈N*成立，则k2+（2﹣t）k＞0，对于k≥3 成立，且k2+（2﹣t）k≤0对于k≤2 成立，即k+（2﹣t）＞0，对于k≥3 成立，且k+（2﹣t）≤0，对于k≤2 成立，所以t﹣2＜3，且t﹣2≥2，解得4≤t＜5，故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝2．解：∵平面向量与的夹角为90°，∴•＝0，又∵，∴2＝＝4+4＝8，∴＝2，故答案为：214．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为（0，3）．解：设所求对称点的坐标为（m，n），则由对称关系可得，解方程组可得，即所求点的坐标为（0，3）故答案为：（0，3）15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为4．解：∵函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1＝0上（mn＞0），∴m+n＝1（mn＞0），∴＝（m+n）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时取等号，∴m＝n＝时，的最小值为4．故答案为：4．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ＝＝＝﹣，∴当t＝时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB＝，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下底面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH＝又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝＝，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2＝，故答案为：1；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．解：（1）∵O（0，0），A（2，4），B（6，2），∴k OA＝2，OA的中点坐标为（1，2），则OA的垂直平分线方程为，即x+2y﹣5＝0；，OB的中点坐标为（3，1），则OB的垂直平分线方程为y﹣1＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣10＝0．联立，解得，故圆心坐标为（3，1），半径r＝．∴△OAB的外接圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；（2）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0．由，解得k＝﹣7或k＝1．∴直线方程为7x+y＝0或x﹣y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y﹣a＝0，由已知可得，解得a＝2或a＝6．∴直线方程为x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．综上可得，直线方程为：7x+y＝0或x﹣y＝0或x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，化简得＝＝，所以函数f（x）的最小正周期π．∵y＝sin x的减区间为，由，得，所以函数f（x）的单调递减区间为．（Ⅱ）因为∵，所以．所以．所以函数f（x）在区间上的取值范围是．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】方案一：选条件①解：（1）由题意，a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4，∵a2，a3，a4﹣4成等差数列，∴2a3＝a2+a4﹣4，即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）log2a n＝（n+1）log22n＝n（n+1），记c n＝，则c n＝＝＝2[﹣]，∴T n＝c1+c2+…+c n＝2（﹣）+2（﹣）+…+2[﹣]＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＝2﹣．方案二：选条件②解：（1）由题意，S1，＝a1，S2+2＝3a1+2，S3＝7a1，∵S1，S2+2，S3成等差数列，∴2（S2+2）＝S1+S3，即2（3a1+2）＝a1+7a1，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）同方案一第（2）题解答过程．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，B1O，由于△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，∴AO⊥BC，B1O⊥BC，且AO∩B1O＝O，∴BC⊥平面B1AO，又AB1在平面B1AO内，∴BC⊥AB1；（2）设AB＝a，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，则BB1＝AB＝BC＝AC＝B1C＝a，又，由余弦定理可得，在△AB1C中，有，所以以OA，OB，OB1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面ABB1的一个法向量为，则，可取，又平面BCB1的一个法向量为，∴二面角C﹣B1B﹣A的余弦值为．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．解：（1）∵离心率为，∴a＝2c，∵△ABF2的周长为8，∴4a＝8，得a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，因此，椭圆C的标准方程为．（2）设△ABF2的内切圆半径为r，∴，又∵|AF2|+|AB|+|BF2|＝8，∴，要使△ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x＝my﹣1，联立消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，易得△＞0，且，，所以＝，设，则，设，，所以在[1，+∞）上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，的最大值为3，此时，所以△ABF2的内切圆面积最大为．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．解：（1）f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，由f′（x）＞0可知，当x＞0时，x∈（0，）∪（2kπ+，2kπ+π）（k∈N），当x＜0时，x∈（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），∴f（x）的递增区间是（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），（0，），（2kπ+，2kπ+π）（k∈N）；（2）证明：由f′（x）＝0，x＞0，得x i＝（n∈N*），∵＝＜•＝（﹣）（n≥2，n∈N*），∴++•••+＜[（﹣）+（﹣）+•••+（﹣）]＝（﹣）＜•＝＜．。

六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1iz +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅= C.()2211111113A A A D A B A B ++=D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.26.过点()3,4P -作圆22:25C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5B.2C.4D.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.488.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（A.332πB.33πC.572π D.57π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB⊥10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD + C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为22D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为6131312.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.15.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n nn n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o .（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，若存在，求BFBC的值；若不存在，请说明理由.22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,xf x e a xg x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足13i1i z +=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】求出12i z =-+即得解.【详解】解：因为131i iz+=-，所以()()()()13i 1i 13i 24i 12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，所以12z i =--在复平面内对应的点为()1,2--，在第三象限.故选：C.2.已知空间中的两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，则“αβ⊥”是“//m α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】两个不同的平面α，β，直线m ⊥平面β，当αβ⊥时，m α⊂或m α ，不充分；当m α 时，αβ⊥，必要.故选：B.3.一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A.B. C.8D.【答案】D 【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以O B ''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=故选：D4.如图，已知1111ABCD A B C D -是正方体，以下结论错误．．的是（）A.向量AC与向量1C D 的夹角为60°B.110AC A B ⋅=C.()2211111113A A A D A B A B ++= D.若1113A P A C =，则点P 是11AB D 的中心【答案】A 【解析】【分析】由1160A C D ∠=︒得向量AC 与1C D夹角，判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，得各点坐标，用空间向量法判断BCD ．【详解】正方体中，11//AC AC （由1AA与1CC 平行且相等得平行四边形11ACC A ），11A C D 是正三角形，1160A C D ∠=︒，但AC 与1C D夹角等于11A C 与1C D 的夹角为120︒，A 错；以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，1(1,0,1)A ，1(0,1,1)C ，1(0,0,1)D ，1(1,1,1)AC =- ，1(0,1,1)A B =- ，110AC A B ⋅=，B 正确；111111(1,1,1)A A A D A B AC ++==-- ，221111111()33A A A D A B A B ++== ，C 正确；1111113(,,333A P A C =--= ，P 点坐标为212(,,)333(1,0,0)(1,1,1)(0,0,1)3++=，所以P 是11AB D 的重心，即中心，D 正确．故选：A ．5.(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,则k =（） A.33B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为半圆y =位于直线(0)y kx k =>下方的区间长度为2，由此可得2,4a b ==，求出直线与半圆的交点坐标即可求得k 的值.【详解】解：如图所示：因为y =表示以坐标原点为圆心，4为半径位于x 轴上方(含和x 轴交点)的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=,即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以2k ==.故选：C.6.过点()3,4P -作圆22:C x y +=的切线l ，直线:40m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.5 B.2C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据平行关系可假设():434al y x -=+，由直线与圆相切可知圆心到直线距离d 等于半径，由此可构造方程求得a ，利用平行直线间距离公式可求得结果.【详解】由40ax y -=得：4ay x =；//l m ，∴直线l 斜率4a k =，则():434al y x -=+，即:43160l ax y a -++=，l 与圆C 相切，∴圆心()0,0C 到直线l的距离5d ==，解得：3a =，则:34250l x y -+=，:340m x y -=，l ∴与m 之间的距离5d ==.故选：A.7.如图，已知平面αβ⊥，l αβ= ，,A B 是直线l 上的两点，C D 、是平面β内的两点，且.,3,6,6DA l CB l AD AB CB ⊥⊥===,P 是平面α上的一动点，且直线PD PC 、与平面α所成角相等，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（）A.18B.36C.24D.48【答案】B 【解析】【分析】首先根据线面角的定义得12PA DA PB BC ==，再在平面α内，建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，得出点P 的轨迹，从而确定点P 到平面ABCD距离的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】DA l ⊥ ，αβ⊥，l αβ= ，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥，DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角，DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒，DAP CPB ∴~ ，3162PA DA PB BC ===，在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，，∴=，整理可得：()22516x y ++=，P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆,所以点P 到直线AB 距离的最大值是半径4，因为αβ⊥，l αβ= ，点P 到AB 距离就是点P 到平面ABCD 的距离即点P 到平面ABCD 距离的最大值是4，所以四棱锥P ABCD -体积的最大值()1114366436332ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.故选：B8.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.332πB.33πC.572π D.57π【答案】D 【解析】【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA =11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，2222OA AB a ===h =，11112724ABCD A B C D a h V -==283=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r A O ==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R===，即=解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，572R ==，此时，外接球的表面积为225744572R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下四个命题表述正确的是（）A.若直线l 的斜率为l 的倾斜角为π3-B.三棱锥-P ABC 中，E F 、分别为PB PC 、的中点，23PG PA =，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即:1:5P EFG EFG ABC V V --=C.若直线l 过点(2,1)P -且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为30x y --=D.在四面体O ABC -中，若,OA BC OB AC ⊥⊥，则OC AB ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可判断A ；由题意可得14PEF PBC S S =△△，点G 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 的距离的23，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B ；分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C ；将,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r 分别用,,OA OB OC表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.【详解】解：对于A ，若直线l 的斜率为l 的倾斜角为2π3，故A 错误；对于B ，因为E F 、分别为PB PC 、的中点，所以14PEF PBC S S =△△，设点A 到平面PBC 的距离为h ，点G 到平面PBC 的距离为h '，因为23PG PA = ，所以23'=h h ，则13P ABC A PBC PBC V V S h --==，11213436P GEF G PEF PBC P ABC V V S h V ---==⋅⋅= ，则56EFG ABC P ABC P EFG P ABC V V V V ----==-，所以:1:5P EFG EFG ABC V V --=，故B 正确；对于C ，当直线l 过原点时，直线方程为12y x =-，当直线l 不过原点时，设直线方程为1x y a a+=-，则有211a a-+=-，解得3a =，所以直线方程为133x y-=，即30x y --=，综上，所求直线方程为12y x =-或30x y --=；对于D ，在四面体O ABC -中，,,AB OB OA AC OC OA BC OC OB =-=-=-，因为,OA BC OB AC ⊥⊥，所以()()0,0OA BC OA OC OB OB AC OB OC OA ⋅=⋅-=⋅=⋅-=，即,OA OC OA OB OB OC OA OB ⋅=⋅⋅=⋅ ，所以OA OC OB OC ⋅=⋅ ，即()0OA OB OC -⋅= ，所以0BA OC ⋅=，所以AB OC ⊥，故D 正确.故选：BD .10.在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB BC E F ⊥,、分别是线段PB PC 、上的动点.则下列说法正确的是（）A.当AE PB ⊥时，AE PC⊥B.当AF PC ⊥时，AEF △一定为直角三角形C.当//EF BC 时，平面AEF ⊥平面PABD.当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据PA ⊥底面ABC 得到PA BC ⊥，结合AB BC ⊥得到BC ⊥平面PAB ,则BC AE ⊥，AE PB ⊥ ，最后利用线面垂直的判定得到⊥AE 平面BCP ，则AE PC ⊥；对B ，取点E 位于点B 处即可判断，对C ，由BC ⊥平面PAB ，//EF BC 得到EF ⊥平面PAB ，则平面AEF ⊥平面PAB ，对D ，利用反证法，假设平面AEF ⊥平面PAB ，根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，从而得到与基本事实相矛盾的结论，所以当PC ⊥平面AEF 时，平面AEF 与平面PAB 不可能垂直.【详解】对A 选项，PA ⊥ 底面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,AB BC ⊥ ，PA AB A = ，且,PA AB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ,AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，AE PB ⊥ ，BC PB B = ，且,BC PB ⊂平面BCP ，AE ∴⊥平面BCP ，PC ⊂ 平面BCP ，AE PC ∴⊥，故A 正确，对B 选项，当AF PC ⊥时,无法得出AEF △一定为直角三角形，例如E 点取点,B ABF 不是直角三角形，若90AFB ∠= ，则BF AF ⊥，又AF PC ⊥ ，BF PC F ⋂=，,BF PC ⊂平面BCP ，则AF ⊥平面BCP ，BC ⊂ 平面BCP ，则AF BC ⊥，而PA BC ⊥，AF PA A = ，,AF PA ⊂平面ACP ，则BC ⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，则BC AC ⊥，显然不成立，故此时90AFB ∠≠ ，若90BAF ∠= ，则AF AB ⊥，AP AB ⊥ ，AF AP A ⋂=，,AF AP ⊂平面ACP,AB ∴⊥平面ACP ，AC ⊂ 平面ACP ，AB AC ∴⊥，显然不成立，故此时90BAF ∠≠ ，若90ABF ∠= ，则BF BA ⊥，而CB BA ⊥，,BF CB ⊂平面BCP ，BF CB B = ，所以BA ⊥平面BCP ，BP ⊂ 平面BCP ，BA BP ∴⊥，显然不成立，故90ABF ∠≠ ，故B 错误，对C 选项，由A 选项证得BC ⊥平面PAB ，//EF BC Q ，EF ∴⊥平面PAB ，EF ⊂ 平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAB ，故C 正确，对D 选项，在平面PAB 内，过点P 作AE 的垂线，垂足为G ，假设平面AEF ⊥平面PAB ， 平面AEF ⋂平面PAB AE =，PG AE ⊥，且PG ⊂平面PAB ，PG ∴⊥平面AEF ，而若此时PC ⊥平面AEF ，这与过平面外一点作平面的垂线有且只有一条矛盾，故当PC ⊥平面AEF 时,平面AEF 与平面PAB 不可能垂直，故D 正确，故选：ACD.11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥11A PCD -的体积为定值B.当34μ=时，1B P PD +C.当1λμ+=时，直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长度为2D.当11,23λμ==时，点1B 到平面11PC D 的距离为61313【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：由题意确定点P 的位置，利用转换顶点法求体积；对B ：由题意确定点P 的位置，借助于展开图分析求解；对C ：由题意确定点P 的位置，分析可得直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，即可求得结果；对D ：由题意确定点P 的位置，利用等积法求点到面的距离.【详解】对A ：取,AB CD 的中点,M N ，连接MN ，则MN AD ，∵11A D AD ，∴MN 11A D ，MN ⊄平面11ACD ，11A D ⊂平面11ACD ，∴MN 平面11ACD ，若12λ=，则点P 在线段MN 上，∴点P 到平面11ACD 的距离相等，过N 作1NF CD ⊥，垂足为F ，∵11A D ⊥平面11CDD C ，1,CD NF ⊂平面11CDD C ，∴11111,CD A D NF A D ⊥⊥1111CD A D D ⋂=，111,CD A D ⊂平面11ACD ，∴NF ⊥平面11ACD ，故三棱锥11P ACD -的高为2NF =，∴1111122122323A PCD P A CD V V --==⨯⨯⨯⨯（定值），A 正确；对B ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得3AM BNDM NC==，连接11,,MN A M B N ，则MN AB ，又∵AB 11A B ，∴MN 11A B ，则11,,,A B M N 四点共面，135,22BN B N ===若34μ=，则P MN ∈，故1B P ⊂平面11A B NM ，如图，将平面11A B NM 和平面CDMN 对接成一个平面时，则113B C B N NC =+=，∴11B P PD B D +≥=B 正确；对C ：若1λμ+=，则P BD ∈，1A P ⊂平面1A BD ，设1111,A D D E M A B B E N ==I I ，则平面1A BD ⋂平面11B D E MN =，即直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹为MN ，∵1112A M A N MD BN ==，∴12233MN BD ==，故直线1A P 与平面11B D E 的交点轨迹长为223，C 错误；对D ：分别在,AD BC 上取点,M N ，使得12AM BN DM NC ==，连接11,,MN MD NC ，则MN CD ，MN =CD ，∵11C D CD ，11C D =CD ，∴MN 11C D ，11MN C D =，则11MNC D 为平行四边形，又∵11C D ⊥平面11AA D D ，1MD ⊂平面11AA D D ∴111C D MD ⊥，则11MNC D 为矩形，若11,23λμ==，则点P 为MN 的中点，12133D M ==，设点1B 到平面11PC D 的距离为d ，由111111B PC D P B C D V V --=，即1111222232332d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得13d=，故点1B 到平面11PC D 的距离为61313，D 正确；故选：ABD.12.若实数,x y 满足x -=）A.x 的最小值是0B.x 的最大值是5C.若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为[){}1,45D.若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为(4,5)【答案】AB 【解析】【分析】根据特殊值可判断A 项；设t =t ⎡∈⎣，原方程即为2t x -+=，将t 当成变量，设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，原方程有解等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，即可利用数形结合解出．【详解】对于A 项：由已知可得，0x =≥，且当0x =时，解得0y =，符合题意，故A 项正确；当0x >时，令t =0t ≥，又0x y -≥，则t ≤，即t ⎡∈⎣，则原方程可化为2t x -+=．设()2f t t x =-+，()g t =t ⎡∈⎣，整理得()20t f t x +-=，t ⎡∈⎣，则()f t 的图象是斜率为2-的直线的一部分；整理可得()222t g t x +=，t ⎡∈⎣，()g t 的四分之一圆.如图，作出函数()y f t =与()y g t =的图象，则问题等价于()f t 的图象和()g t 的图象有公共点，观察图形可知，当直线与圆相切时，直线()2f t t x =-+的截距最大，此时x 有最大值，由=得5x =，故B 项正确；当直线过点(时，x =，解得1x =或0x =（舍去）；当直线过点)时，x =4x =或0x =（舍去）．因此，要使直线与圆有公共点，则有[]1,5x ∈，综上，[]{}1,50x ∈ ，故x 的最大值为5，最小值为0．对于C 、D 项：综上并结合图象可知，当0x =或5x =或[)1,4x ∈时，y 有一解；当[)4,5x ∈时，y 有两解．故C 、D 项错误.故选：AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线120kx y k -+-=与圆229x y +=分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】分析直线过定点，再由勾股定理即可求解.【详解】由圆229x y +=可得圆心()0,0O ，半径为3，直线120kx y k -+-=，即()210k x y --+=，直线过定点P (2,1)，又因为22219+<，所以点在圆的内部，当圆心到直线MN 距离最大时，弦长MN 最小，此时OP MN ⊥，此时4MN ==，故答案为：4.14.如图，在四面体A BCD -中，2==AC BD ，AC 与BD 所成的角为60︒，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为_______.【答案】1或1【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，求出MEN ∠的值，利用余弦定理可求得线段MN 的长.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且112EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则60MEN ∠= 或120 .在MEN 中，1EM EN ==.若60MEN ∠= ，则MEN 为等边三角形，此时，1MN =；若120MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =综上所述，1MN =故答案为：115.已知ABC 的一条内角平分线所在的直线方程为y x =，两个顶点坐标分别为(1,1),(3,2)B C -，则边AC 所在的直线方程为__________.（结果用一般式表示）【答案】3250x y --=【解析】【分析】根据题意可知，y x =是角A 的平分线，所以点B 关于角平分线的对称点B '在直线AC 上，即可求得边AC 所在的直线方程.【详解】由题意可知，直线y x =为三角形内角A 的平分线，所以，点B 关于角平分线y x =的对称点B '在直线AC 上，设(,)B a b '，即1111122b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=⎪⎩，解得1,1a b ==-，所以(1,1)B '-此时直线BC '所在直线方程即为边AC 所在的直线方程，即212(3)31y x +-=--，整理得3250x y --=.故答案为：3250x y --=16.已知数列{}n a 满足：()()()1*21131n n n n a a n n ++-+-=+∈N ，若121a a ==，则数列{}n a 的前20项和20S =___________.【答案】115-【解析】【分析】分别讨论*21,n m n m m =-=∈N 、，由累加法得2122m m a a ++、的通项，即可求20S .【详解】当*21,n m m =-∈N 时，()()()2212121212111321162m m m m m m a a a a m m -+-+--+-=-=-+=-，∴()()212121212331126121216121312m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++---=-+-++-+=+-+++-++=-+=++ ∴()()2221319312912910a a a +++=⨯++++++++ ；当*2,n m m =∈N 时，()()2122222221161m m m m m m a a a a m +++-+-=-+=+，即()22261m m a a m +-=-+，∴()()222222224222612116113412m m m m m a a a a a a a a m m m m m m m m ++-=-+-++-+=-+-+++-+-+=-+=--+ ∴()()22224203129412910a a a +++=-⨯+++-⨯++++ .故()22220131924203129(129)10S a a a a a a =+++++++=⨯++++++++ ()()2229(19)31294129103201152+-⨯+++-⨯++++=-⨯+=- 故答案为：115-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=o.（1）求证：AG BD ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】【分析】（1）根据圆柱侧面积公式可求得母线长AD ，利用余弦定理可求得AP ，根据等腰三角形三线合一性质可证得AG DP ⊥；由AP BP ⊥，BP AD ⊥可证得BP ⊥平面ADP ，由线面垂直性质可得BP AG ⊥；利用线面垂直的判定和性质可证得结论；（2）取OB 中点E ，根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得PE ⊥平面ABD ，由线面角定义可知所求角为PDE ∠，根据长度关系可得结果.【小问1详解】由圆柱侧面积可知：2π4πOA AD AD ⋅⋅=⋅=，解得：AD =2OA OP ==，120AOP ∠=o，AP ∴=，AD AP ∴=，又G 为DP 中点，AG DP ∴⊥；AB 是圆O 的直径，AP BP ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，BP ⊂平面ABP ，BP AD ∴⊥，又,AD AP ⊂平面ADP ，AD AP A = ，BP ∴⊥平面ADP ，AG ⊂ 平面ADP ，BP AG ∴⊥，又,BP DP ⊂平面BDP ，BP DP P = ，AG ∴⊥平面BDP ，BD ⊂Q 平面BDP ，AG BD ∴⊥.【小问2详解】取OB 中点E ，连接PE ，18060BOP AOP ∠=-∠= ，OB OP =，OBP ∴△为等边三角形，PE AB ∴⊥；AD ⊥ 平面ABP ，PE ⊂平面ABP ，PE AD ⊥∴；AB AD A =Q I ，,AB AD ⊂平面ABD ，PE ∴⊥平面ABD ，PDE ∴∠即为直线PD 与平面ABD 所成角，DP =，PE ==，2sin4PE PDE DP ∴∠==，即直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值为4.18.如图，P 为ABC 内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP 中的对边分别记为,,(2)sin cos m n m n ββ+=，π,0,3αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求APB ∠；（2）若1,2AB BP AC AP AP PC ===⊥，，求线段AP 和BC 的长.【答案】（1）2π3（2）1AP =，BC =【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理将(2)sin cos m n ββ+=化简为sin sin 3παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合所给角的范围，即可求解.（2）利用余弦定理求出AP ，再结合AP PC ⊥150BPC ∠=︒，，利用余弦定理即可求出BC .【小问1详解】已知()2sin cos m n ββ+=，由正弦定理可得22sin sin sin cos αββββ+=，由sin 0β≠，31sin cos sin sin sin 223παββαβ⎛⎫∴=-⇒= ⎪⎝⎭，πππ,0,0,333αββ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3παβ=-，233APB ππαβ+=⇒∠=.【小问2详解】在APB △中，由余弦定理得知：2222cos AB AP BP AP BP APB=+-⋅⋅∠即231+1AP AP AP =+⇒=又AP PC ⊥ ，且2AC AP PC =⇒=，又150BPC ∠=︒ ，在BPC △中，2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⋅⋅∠，2312BC BC =+⇒=19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点,(1,0)(1,2)A B -.（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||MN =l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得22||12||PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =或34110x y +-=（2）存在，两个【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；(2)假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，利用题干条件得到点P 也满足22(1)4x y +-=，根据两圆的位置关系即可得出结果.【小问1详解】圆22:40C x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0),2r =，若l 的斜率不存在时，1l x =：，此时||MN =.当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令:2(1)l y k x -=-，因为||MN =1d ==314k =⇒=-，34110x y ∴+-=所以直线l 的方程为1x =或34110x y +-=.【小问2详解】假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222||||(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，|22|22-<<+ ，22(2)4x y ∴-+=与22(1)4x y +-=相交，则点P 有两个.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn n S a =-．（1）求证：2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设3(2)n nn b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．【答案】（1）证明见解析；()112n n a n -=+⋅（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得到1122n n n a a --=+，可构造等差数列并求通项.(2)求出的通项，利用裂项相消求和证明不等式.【小问1详解】因为22n n n S a =-①，所以2n ≥时，11122n n n S a ---=-②，-①②得112222n n n n n a a a --=--+，即1122n n n a a --=+，2n ≥，所以111222n n n n a a ---=，2n ≥，在①式中，令1n =，得12a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项12为公差的等差数列．所以111(1)222n n a n n +=+-⋅=，所以()112n n a n -=+⋅．【小问2详解】）由121311(2)(1)2(1)2(2)2n n n n n b n n n n ---+==-++⋅+⋅+⋅，所以1230011211111(1()(3232424252n b b b b ++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2111111(1)2(2)2(2)2n n n n n n ---⎡⎤+-=-⎢⎥+⋅+⋅+⋅⎣⎦．因为110(2)2n n ->+⋅，所以1231n b b b b ++++< ，得证．21.在①2AE =，②AC BD ⊥，③EAB EBA ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.如图，在五面体ABCDE 中，已知，,//AC BC ED AC ⊥，且22,AC BC ED DC DB =====.（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43，若存在，求BF BC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，理由见解析．【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证线面平行//DE 平面ABC ，，再由线面平行的性质定理得线线平行//DE l ，从而再得证线面平行；（2）选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，由勾股定理证明AG EG ⊥，然后证明AC ⊥平面BCD ，从而得面面垂直，由面面垂直的性质定理得线面垂直，从而得线线垂直DO ⊥平面ABC ，又有OH BC ⊥，然后以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；选②，先证明平面ABC ⊥平面BCD ，然后取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，证明DO ⊥平面ABC ，然后同选①，选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，结合勾股定理证明BD DE ⊥，然后证明证明DO ⊥平面ABC ，再然后同选①；（3）设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343，然后由空间向量法求二面角的余弦，求解t ，有解说明存在，无解说明不存在．【小问1详解】//DE AC ，AC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC ，又DE ⊂ 平面BDE 且平面BDE ⋂平面=ABC l ，//DE l∴又DE ⊂ 平面ACDE ，l ⊄平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .【小问2详解】若选①，取AC 中点G ，BC 中点,O AB 中点H ，连接,,EG DO OH ，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，EG CD ∴∥，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.则以O 为坐标原点，,,OD OH OB 为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A -，()0,1,0B，(E ，()2,2,0AB ∴=-，(1,BE =- ，DO ⊥ 平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量()0,0,1m = ；设平面ABE 的法向量()1111,,n x y z = ，则11111112200AB n x y BE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，解得：11y =，10z =，()1=1,1,0∴ n ，10m n ∴⋅= ，即1m n ⊥ ，∴平面ABE ⊥与平面ABC .若选②，AC BD ^ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD ==DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴=,O H 分别为,BC AB 中点，12OH AC ∴∥，又12ED AC ∥，OH ED ∴∥，∴四边形DEHO为平行四边形，EH DO ∴==AC BC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=，12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，又DO BC ⊥，DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；综上所述：,,DO OH BC 两两互相垂直.以下同选①；【小问3详解】设在线段BC 上存在点()()0,,011F t t -≤≤，使得平面AEF 与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t =-，(AE =- ，设平面AEF 的法向量()2222,,n x y z = ，则2222222200AE n x y EF n x ty ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令24y =，则())2221,1x t z t =+=-，())()221,1n t t ∴=+- ，∵面ABF 的法向量为(0,0,1)n = ，222cos ,43n n n n n n ⋅∴<>===⋅ ，化简得2417290t t -+=，21744291750∆=-⨯⨯=-<，方程无实数解，所以线段BC 上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于54343．22.已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=（1）求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；（2）若()y f x =和()y g x =有公共点，（i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）求证：22e a b +>．【答案】（1）(1)1=-+y a x （2）（i）)b ∞∈+；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出(0)f '可求切线方程；（2）（i ）当0a =时，曲线()y f x =和()y g x =有公共点即为()2e ,0t s t bt t =-≥在[)0,+∞)b ∈+∞.（ii ）曲线()y f x =和()y g x =有公共点即00sin e 0x a x +=，利用点到直线的距离x ≥22e >e sin x x x +，从而可得不等式成立.【小问1详解】()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，而(0)1f =，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+即()11y a x =-+.【小问2详解】（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =，故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即02t ≥，设()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故12b ≥=.（ii ）因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，所以e sin x a x -=有解0x ，其中00x ≥，若00x =，则100a b -⨯=⨯，该式不成立，故00x >.故00sin e 0x a x +=，考虑直线00sin e 0x a x +=，表示原点与直线00sin e 0x a x +=上的动点(),a b 之间的距离，x ≥0222200e sin x a b x x +≥+，下证：对任意0x >，总有sin x x <，证明：当2x π≥时，有sin 12x x π≤<≤，故sin x x <成立.当02x π<<时，即证sin x x <，设()sin p x x x =-，则()cos 10p x x '=-≤（不恒为零），故()sin p x x x =-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p <=即sin x <成立.综上，sin x x <成立.下证：当0x >时，e 1x x >+恒成立，()e 1,0x q x x x =-->，则()e 10x q x '=->，故()q x 在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q >=即e 1x x >+恒成立.下证：22e >e sin xx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sin x x x ->+，即证：2211sin x x x -+≥+，即证：2sin x x ≥，而2sin sin x x x >≥，故2sin x x ≥成立.e x >，即22e a b +>成立.【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.。

福州三中2011—2012学年高三第四次月考数 学 试 题（文）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的班级、姓名、座号填写在试卷和答卷的密封线外。

2．请考生认真审题，将试题的答案正确书写在答卷上的指定位置，并认真检查以防止漏答、错答。

3．考试结束，监考人需将答卷收回并装订密封。

4．考试中不得使用计算器。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．若复数z 满足(1)1z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{|},{|24}x A x x a B x =<=>，且R A B ⊆∂，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．2a <D ．2a ≤3．函数22cos ()sin ()44y x x ππ=+-+是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数4．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊂⊥C ．,,//a b αβαβ⊥⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥5．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是（ ） A ．异面直线AD 与CB 1所成角为45︒ B ．异面直线AC 1与BD 所成角为60︒ C ．1AC ⊥平面CB 1D 1D ．BD//平面CB 1D 16．若双曲线2219xym-=30y ±=则双曲线的一个焦点F 到渐近线的距离为（ ）A ．2B ．CD ．7．若()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()1f x x =-，则(1)0f x -<的解集是 （ ）A ．（-1，0）B ．(,0)(1,2)-∞C ．(1,2)D ．（0，2）8．函数sin 3,(0,)(,)|tan |2x y x x πππ=∈ 的图象是（ ）9．如右图给出的是计算11113529++++的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是 （ ） A ．2,15n n i =+= B ．2,15n n i =+>C ．1,15n n i =+=D ．1,15n n i =+>10．已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一个定点，P 是平面ABC 内的一个动点，若1()2O P O A A B B C λ-=+（其中0λ≥），则点P 的轨迹一定经过A B C ∆的 （ ） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心11．设()cos sin f x x x =-，把()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，恰好得到函数'()y f x =的图象，则ϕ的值可以为（ ）A ．2πB ．34πC ．πD ．32π12．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14725899,93a a a a a a ++=++=，若对任意*n N ∈，都有n k S S ≤成立，则正整数k=（ ）A ．22B ．21C ．20D ．19 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上） 13．已知实数x ，y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 。

安徽省六安第二中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{1,1,2}A =-，{}02B x x =<≤，则A B =（ ） A ．{1,1,2}- B ．{1}C ．{2}D ．{}1,22．设复数z 满足11i 1i 2z =++，则z =（ ） A ．2BC ．12D ．523．若直线210x y -+=的倾斜角为θ，则sin 2cos 21θθ+的值为（ ）A ．2B ．43C ．32D ．44．若231,,,4a a 成等差数列；2341,,,,4b b b 成等比数列，则233a ab -等于（ ） A ．12B ．12-C ．12±D ．145．2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A 、B 、C 、P 满足P A ＝BC ＝5，PB AC =PC AB == ） A ．12πB ．8πC ．24πD ．28π6．化简()cos401︒︒的结果是（ ） A ．1BC ．2D ．127．高三模拟考试常常划定的总分各批次分数线，通过一定的数学模型，确定不同学科在一本、二本等各批次“学科上线有双分”的分数线．考生总成绩达到总分各批次分数线的称为总分上线；考生某一单科成绩达到及学科上线有双分的称为单科上线．学科对总分的贡献或匹配程度评价有很大的意义，利用“学科对总分上线贡献率”100%⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭双上线人数总分上线人数和“学科有效分上线命中率”100%⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭双上线人数单上线人数这两项评价指标，来反映各学科的单科成绩对考生总分上线的贡献与匹配程度，这对有效安排备考复习计划具有十分重要的意义．安徽省某高中2023届高三参加10月份九师联盟联考，划定总分一本线为485分，数学一本线为104分，根据该校理科一本总体命中率、贡献率分析，下列说法正确的是（）理科一本总体命中率、贡献率分析A．语文学科有效分上线命中率为59.26%B．数学学科对总分上线贡献率为86.99% C．物理学科对总分上线贡献率最高D．生物学科有效分上线命中率最高8．定义在R上的奇函数()f x满足()0,x∈+∞时，都有不等式()()0f x xf x'->成立，若()32log2log3a f=，b=⎝⎭，21lnec f⎛=⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（）A．a b c<<B．a c b<<C．b a c>>D．a b c>>二、多选题9．下列说法正确的是（）A．若函数()f x的定义域为[]0,2，则函数()2f x的定义域为[]0,4B．()11f xx=-图象关于点()1,0成中心对称C．2112xy-+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12D．幂函数()()23433mf x m m x-=-+在()0,∞+上为减函数，则m的值为110．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x Aωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 2112g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减11．瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ） A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是11-D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣12．棱长为1的正方体1111A B C D ABCD －中，M 为底面ABCD 的中心，Q 是棱11A D 上一点，且111DQ D A λ=，[]0,1λ∈，N 为线段AQ 的中点，下列命题中正确的是（ ）A ．三棱锥A DMN -的体积与λ的取值无关B ．当12λ=时，点Q 到直线AC C ．当14λ=时，0AM QM ⋅=D ．当13λ=时，过,,A Q M三、填空题13．命题“2000,0x x x ∃∈+≤R ”的否定是____________． 14．设O 为ABC 的外接圆圆心，若2,33CA OA AB AB OA =+==，则BA 在BC 上投影向量的模为_________15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若4b =，则ABC 的面积最大值为______．16．若1x =是函数()()43122022n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足121,3a a ==，设31n n b log a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231404640464046n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t ≥对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为__________．四、解答题17．已知圆M 过点(A ，()10B ,，()3,0C -． (1)求圆M的方程；(2)设直线l 经过点()0,2，且与圆M 相交于A ，B 两点，且AB = 18．已知数列{}n a 满足：132(2,),4n n a a n n N a *-=≥∈=,数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-． (1)求数列{},{}n n a b 的通项公式;(2)设n n n c b a =⋅,求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．已知向量ππ23sin ,cos 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，向量ππsin ,2sin 44b x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()f x a b =⋅．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且角A 满足()1f A =．若3a =，BC 边上的中线长为3，求ABC 的面积S ．20．如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，O 为BD 的中点，AO CD ⊥．(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积． 21．观察实际情景，提出并分析问题 （1）实际情境百年大计，教育为本．六安二中肇始于1923年创办的“海峰女子学校”，在近百年的追梦历程中，经历着沧桑、续写着辉煌．她是全省首批省级示范高中，也是一所规模宏大、条件先进、质量上乘、特色鲜明的现代化高级中学.2023年时值百年校庆，近百年来，海峰先贤的家国担当意识构成了六安二中厚重人文历史的基石，也是一直以来六安二中人坚守的信念． （2）提出问题六安二中校庆组委会宣传办公室需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务，社团成员提出如何制备氦气，才能使成本最低？ （3）分析问题校庆需要40L 氦气用于制作气球装饰校园，社团已有的设备每天最多可制备氦气8L ，按计划社团必须在30天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天L x 的速度制备氦气． （4）收集数据已知每制备1L 氦气所需的原料成本为1百元．若氦气日产量不足4L ，日均额外成本为21416W x =+（百元）；若氦气日产量大于等于4L ，日均额外成本为29173W x x=+-（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成． （5）建立模型根据分析问题和收集数据，写出总成本W （百元）关于日产量()L x 的关系式． （6）问题解决化学实验社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．（7）问题拓展数学与我们日常生活密切相关，日常生活中的许多问题来源于数学思想的应用． 在上述模型的建立的过程中，我们在掌握一定的数学基础的前提下选择了不同的函数模型，利用求出对应的函数形式，否定了其它的函数模型，运用数学原理求解出行之有效的最优化方案．22．已知函数11()ln (0)f x a x x a a x ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，函数()g x 是定义在()0,∞+的可导函数，其导数为()g x '，满足()()0g x g x '<<-．(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 取值范围；(2)对任意正数()1212,x x x x <，试比较2112x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与2221x x g x ⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案：1．D【分析】利用交集运算即可.【详解】因为{1,1,2}A =-，{}02B x x =<≤，所以{}1,2A B = 故选：D 2．C【分析】根据复数的运算，化简复数可得12z =，即可得到结果. 【详解】因为11i 1i 2z =++()()1i 1i 1i 1i 2-=++-1i 11=i 222-+=， 所以12z =. 故选：C. 3．A【分析】首先得到直线的斜率，从而得到tan 2θ=， 再利用正弦余弦的二倍角公式将弦化切，最后代入计算可得. 【详解】因为直线210x y -+=的斜率2k =， 设倾斜角为θ，所以tan 2k θ==， 由2sin 2sin cos cos 21cos 1122θθθθθ+-=+2sin cos 2co t s an θθθθ===，故选：A. 4．B【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出321a a -=，32b =，求出233a ab -. 【详解】由题意得：324113a a --==， 设2341,,,,4b b b 的公比为q ，则230b q =>，23144b =⨯=，解得：32b =， 2331122a ab --==-. 故选：B 5．D【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R ，进而求出结果． 【详解】因为P A ＝BC ，PB AC =，PC AB =，所以可以把A ，B ，C ，P 四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：则该足球的表面积为四面体A -BCP 外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积， 设长方体棱长为a ，b ，c ，则有22220a b AB +==，22211a c AC +==，22225b c BC +==，设长方体外接球半径为R ，则有22222011252282R a b c ++=++==（），解得27R =， 所以外接球的表面积为：24π28πS R ==. 故选：D ． 6．A【分析】先利用“切化弦”思想，进行通分运算，根据辅助角公式结合二倍角公式化简即可得结果.【详解】()3sin10cos 4013tan10cos 401cos10⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭()cos 40cos103sin10cos10+=()cos 402sin 1030cos10⨯+=2cos 40sin 40sin 80=sin 801sin 80==. 故选：A. 7．B【分析】根据“学科有效分上线命中率”和“学科对总分上线贡献率”的公式计算、比较可得答案.【详解】根据题意可得：语文学科有效分上线命中率为451100%90.38%499⨯≈，故A 不正确；生物学科有效分上线命中率为603100%95.87%629⨯≈， 化学学科有效分上线命中率为574100%96.15%597⨯≈95.87%>，故D 不正确； 数学学科对总分上线贡献率为662100%86.99%761⨯≈，故B 正确； 物理学科对总分上线贡献率661100%86.86%761⨯≈86.99%<，故C 不正确. 故选：B 8．A【分析】根据()()0f x xf x '->构造函数()()f x g x x=，可得函数为减函数，又由()f x 为奇函数可知()g x 为偶函数，据此可比较,,a b c 大小.【详解】当,()0x ∈+∞时不等式()()0f x xf x '->成立，()()()20f x f x x f x x x ''⎛⎫-∴=< ⎪⎝⎭， ()()f x g x x∴=在(0,)+∞上是减函数． 则23222(log 3)log 2(log 3)(log 3)log 3f a f g ===，f b g =，21()112ln ()1e 22f c fg -⎛===- ⎝⎭-， 又函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，()()f x g x x∴=是定义在R 上的偶函数，则11()()22g g -=，21log 312>，()g x 在(0,)+∞上是减函数，21(log 3)()2g g g ∴<<，则a b c <<， 故选：A ． 9．BD【分析】根据函数的定义域、对称性、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，函数()f x 的定义域为[]0,2，所以对于函数()2f x ，有022,01x x ≤≤≤≤，即()2f x 的定义域是[]0,1，A 选项错误. B 选项，()()112211f x f x x x-===----，所以()11f x x =-图象关于点()1,0成中心对称，B 选项正确.C 选项，211x -+≤，所以211111222x -+⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为12，C 选项错误.D 选项，()()23433m f x m m x -=-+是幂函数，所以22331,320m m m m -+=-+=，解得1m =或2m =，当1m =时，()11x xf x -==，在()0,∞+上递减， 当2m =时，()2f x x =，在()0,∞+上递增，所以D 选项正确. 故选：BD 10．AD【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可. 【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-， 所以2A =，2πππ,π2362T T =-=⇒=， 又2π2T ωω=⇒=，又ππ()22cos(2)266f ϕ=⇒⨯+=， 所以ππ2π(Z)2π(Z)33k k k k ϕϕ+=∈⇒=-∈ 又π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得πππ()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 错误．由ππππ2+π(Z)(Z)6262k x k k x k =+∈⇒=+∈，所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误． 由π2π2+2ππ(Z)6k x k k ≤≤+∈即π5πππ(Z)1212k x k k -+≤≤+∈，所以选项D 正确 .故选：AD ． 11．ACD【分析】根据等腰三角形三线合一的性质确定“欧拉线”为BC 的垂直平分线即可判断A ，利用圆的性质求出圆心到直线的距离即可判断B ，由题意转化为求出圆心到原点的距离即可判断C ，根据两圆的位置关系，列出圆心距与半径和、差的不等关系即可判断D.【详解】对于A 选项，因为4AB AC ==，则ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，32114BC k +==---，线段BC 的中点为31,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，ABC 的“欧拉线”方程为1322y x -=-，即1y x =-，A 对；对于B 选项，圆心()3,0M ，则r ==M 到直线30x y -+=的距离为d ==>所以，圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为d r +=B 错； 对于C 选项，记点(),P x y ，因为()220302-+>，则原点O 在圆M 外，所以，222P x y O +=的最小值为()(22311OM r -==-C 对；对于D 选项，圆()()2218x a y a --+-=的圆心为()1,F a a +，半径为R =R r FM r R -≤≤+11a -≤≤+D 对．故选：ACD 12．ABD【分析】根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对选项A ：由A DMN N ADM V V --=，因为N 到平面ABCD 的距离为定值12，且ADM △的面积为定值14，所以三棱锥A DMN -的体积跟λ的取值无关，所以A 正确；对选项B ：当12λ=时，Q 是11A D 的中点，32AQ AC QC ===，592cos QAC +-∠=，所以QAC ∠为锐角，所以sin QAC ∠==, 所以点Q 到直线AC的距离是sin AQ QAC ⨯∠=，所以B 正确.对选项C ：当14λ=时，134A Q =，可得212AM =，2221192511616AQ AA AQ =+=+=， 取11,AD A D 的中点分别为,N E ，连接,EN EM ，则222EM MN EN =+， 在直角三角形MEQ 中，222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222221291616AM QM AQ +=+=>⎝⎭，所以0AM QM ⋅=不成立，所以C 不正确．对选项D ：当13λ=时，取11113D H D C =，连接HC ，则11//HQ A C ，又11//AC A C ，所以//HQ AC ，所以,,,,A M C H Q 共面，即过,,A Q M 三点的正方体的截面为ACHQ ，由3AQ CH ===，则ACHQ是等腰梯形，且1113QH AC ==，所以平面截正方体所得截面的周长为2l =D 正确；故选：ABD13．R x ∀∈，20x x +>【分析】根据命题的否定的定义，直接写出答案.【详解】命题“2000,0x x x ∃∈+≤R ”的否定是“R x ∀∈，20x x +>”故答案为：R x ∀∈，20x x +> 14．32##1.5【分析】根据向量的线性运算及三角形外接圆的性质，利用勾股定理及锐角三角函数，结合向量的投影向量及向量的模公式即可求解. 【详解】由2,CA OA AB =+得()12AO AB AC =+, 所以O 为BC 的中点，又因为O 为ABC 的外接圆圆心， 所以1OA OB OC ===,2BC =, 所以AB AC ⊥, 在Rt ABC △中，2222231AC BC AB ,cos AB B BC =所以BA 在BC 上的投影为3cos 2BA B ==, 所以BA 在BC 上投影向量为3324BC BC BC ⋅=, 所以BA 在BC 上投影向量的模为333324442BC BC ==⨯=.故答案为：32.15．【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得B ，利用余弦定理和基本不等式求得ac 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由题意得，2cos cos cos b B a C c A =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin B B A C C A A C B =+=+=， 又()0,πB ∈，所以sin 0B >，则1cos 2B =，π3B =，因为4b =，所以22222162cos b a c ac B a c ac ac ==+-=+-≥， 当且仅当4a c ==时等号成立，所以11sin 1622ABCSac B =≤⨯=故答案为：16．2023【分析】由题可算得12(1)430n n n f a a a '++=--=，求得13nn a +=，31log n n b a n +==，根据()11404640461140461n n n b b n n n +⎛⎫==- +⎝+⎪⎭，计算得n S 的最小值为2023即可解决. 【详解】由题知，()()43122022n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N ，所以3212()43n n n f x a x a x a '++=--，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=，即有2113()n n n n a a a a +++-=-，1{}n n a a +∴-是以21a a -=2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n n a a -+-=⋅，则累加得()2111132133323113nn n n a a -+--=+++=⨯=--，所以13nn a +=，31log n n b a n +∴==，则()11404640461140461n n n b b n n n +⎛⎫==- +⎝+⎪⎭， 所以1223114046404640461111114046()12231n n b b b b b b n n +++⋯+=-+-+⋯+-+1140461404612023111n ⎛⎫⎛⎫=-≥-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以n S 的最小值为2023，若不等式n S t ≥对n +∀∈N 恒成立，则只需()min n t S ≤即可， 所以2023t ≤，所以实数t 的最大值为2023． 故答案为：2023 17．(1)22(1)4x y ++= (2)0x =或324y x =+【分析】（1）利用向量0CA AB ⋅=，得CA AB ⊥，进而可求出圆心和半径，得到圆C 的方程； （2）由已知，求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，列出相应方程，即可求出直线l 的斜率，进而得到直线l 的方程.【详解】（1）(4,0)BC =-，4BC =，(3,CA =，(1,AB =， 且0CA AB ⋅=，得CA AB ⊥，故BC 为直径，BC 的中点即为圆的圆心，半径为2r =，故圆心为()1,0M -，所以， 圆M 的方程为22(1)4x y ++=（2）设圆心到直线的距离为d ，则AB ===，解得1d =，对于直线l ，当直线l 的斜率不存在时，l 为0x =，满足AB =当直线l 的斜率存在时，设l 为2y kx =+，故1d =，解得34k =， 故此时l 为324y x =+； 综上，直线的方程为0x =或324y x =+ 18．(1)12,43n n n a b n -==-(2)(47)27nn n T =-⋅+【分析】(1)根据数列{}n a 的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据{}n b 的前n 项和,利用()12n n n b S S n -=-≥,求出数列{}n b 的通项公式即可,注意检验;(2)根据数列{}n c 通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n 项和即可. 【详解】（1）解:由题知12(2,),n n a a n n N *-=≥∈314,1a a =∴=,{}n a ∴是以2为公比的等比数列,12n n a -=,{}n b 的前n 项和22n S n n =-,2n ∴≥时,1n n n b S S -=-()()222211n n n n -=--+-43n =-当1n =时,111S b ==, 故43n b n =-,综上:12,43n n n a b n -==-;（2）由(1)知12,43n n n a b n -==-,()1432n n n n b a c n -∴=-⋅=⋅,1231n n n T c c c c c -∴=+++++()()01221125292472432n n n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅,①()()12312125292472432n n n T n n -∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅,①①-①可得:()1231142424242432n n n T n -=--⋅-⋅-⋅--⋅+-⋅()()114212143212n n n -⋅-=--+-⋅-(47)27n n =-⋅+故(47)27nn n T =-⋅+.19．(1)πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【分析】（1）根据数量积的坐标运算可得()2sin 26πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，可得到函数()f x 的单调递增区间； （2）由已知可解出π3A =，根据中线的向量表示以及3a =，即可得到27||||2AB AC ⋅=，进而求出ABC 的面积S ．【详解】（1）因为()f x a b =⋅22sin cos 444πππx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin 2s22co ππx x ⎤⎥⎪⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎦2cos 2x x =+2sin 26πx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z 可得，ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）由()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ132π666A <+<，所以π5π266A +=，所以π3A =.又3a =，则||||3BC AC AB =-=，则()22229AC ABAC AB AC AB -=+-⋅=.又BC 上的中线长为3，则||6AC AB +=，即有()222236AC AB AC AB AC AB +=++⋅=.所以，274AB AC ⋅=，即127cos 24AB AC A AB AC ⋅=⋅=， 所以27||||2AB AC ⋅=，所以，1sin 2ABCSAB AC A =⋅12722=⨯=. 20．(1)证明见解析【分析】（1）先证明OA ⊥平面BCD ，再由平面与平面垂直的判定定理证明平面ABD ⊥平面BCD ；（2）建立空间直角坐标系，计算平面EBC 和平面BCD 的法向量，根据二面角E BC D --的大小为45︒，求出OA 的长，计算三棱锥A BCD -的体积. 【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥， 又OA CD ⊥，CD BD D =，所以OA ⊥平面BCD ， 因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD .（2）以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，过O 且垂直OD 的直线为x 轴，建立如图空间直角坐标系，OCD 为边长为1的等边三角形，则1,0)2C ，(0,1,0)D ，(0,1,0)B -，设(0,0,)A m ，0m >， 因为2DE EA =，所以12(0,,)33E m ，所以42(0,,)33EB m =--，33(,0)22BC =，设(),,n x y z =为平面EBC 的一个法向量，则00EB n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即42033302y mz x y ⎧--=⎪⎪+=，令(3,,2)n m m =--， 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA m ==解得1m =，所以1OA =，22BCD OCDSS===113A BCD V -=⨯=所以三棱锥A BCD -21．（5）21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（6）当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元．【分析】（5）若每天生产L x 氦气，则需生产40x 天，由4030x≤解出43x ≥，气日产量不足4L 与产量大于等于4L ，即可得到分段函数；（6）当443x <≤时，164x x +利用基本不等式即可求出当2x =时，W 取得最小值680，换元，令1t x =，即()2409318W t t =-+，11,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即可求出答案.【详解】(5)建立模型：若每天生产L x 氦气，则需生产40x 天，4030x∴≤，则43x ≥； 若氦气日产量不足4L ，则1L 氦气的平均成本为116141W x x x+=++百元； 若氦气日产量大于等于4L ，则1L 氦气的平均成本为2293118W x x x+=-+百元； ∴21644041,43934018,48x x x W x xx ⎧⎛⎫++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩．(6) 问题解决：当443x <≤时，16416x x +≥=（当且仅当2x =取等号）∴当2x =时，W 取得最小值()40161680⨯+=；当48x ≤≤时，11184x ≤≤，令1t x =，则11,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2409318W t t ∴=-+，则当16t =，即6x =时，W 取得最小值11401871042⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭；综上所述：当社团每天制备2L 氦气时，总成本最少，最低成本为680百元． 22．(1){}1(2)22121221x x x g x g x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()f x 在()0,∞+上单调性得到不等式，转化为11a x a x+≤+恒成立，结合基本不等式求出12x x+≥，得到12a a +≤，求出实数a 的取值范围；（2）构造()e ()x G x g x =，求导后得到()G x 在()0,∞+上是减函数，令21122221xx g x I x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭，换元后得到2()()111t g t tg t I g g t t t ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由101t t <<<得到1()G t G t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，变形得到112ln 2e e t t t t t I t -+->=，()0,1t ∈，结合第一问得到12ln 0t t t -+>，12ln 0e e 1t t t +->=，从而证明出结论.【详解】（1）①()f x 在()0,∞+上单调递减，①0x ∀>，211()10a a f x x x +'=--≤， 即11a x a x +≤+恒成立，又12x x +≥=， 当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，①12a a +≤，①2(1)0a a-≤，又0a >，①()210a -≤， ①1a =，①a 的取值范围是{}1；（2）令()e ()x G x g x =，得[]()e ()e ()e ()()x x xG x g x g x g x g x '''=+=+，①()()g x g x '<-， ①()()0g x g x '+<， 又e 0x >，①()0G x '<，①()G x 在()0,∞+上是减函数．①2112x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与2221x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭均大于0，记21122221x x g x I x x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，答案第15页，共15页 令()120,1x t x =∈，则2()()111t g t tg t I g g t t t ==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由101t t <<<，得1()G t G t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11e ()e t t g t g t ⎛⎫> ⎪⎝⎭， ①11()e e 1e tt t t g t g t ->=⎛⎫ ⎪⎝⎭， ①112ln 2e e t t t t t I t -+->=，()0,1t ∈，由（1）知当1a =时，1()2ln f x x x x =+-在(]0,1上单调递减， ①01t <<时，()(1)2ln1110f t f >=-+=，即12ln 0t t t-+>， ①12ln 0e e 1t t t +->=，从而有1I >， 即22121221x x x g x g x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e x g x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e ， 若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f x g x x=.。

1 1 0 1 2南昌二中 2020 届高三第四次考试文科数学试卷一、单选题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）1．已知集合 A = {0 ，2}， B = {-2 ，- 1，0 ， ，2}，则 A B =A ． {0 ，2}2． 1 + 2i=1 - 2iB ． { ，2}C ． { }D ． {-2 ，- 1，0 ， ，2}4 3A ． - - i5 54 3B ． - + i5 53 4C ． - - i5 53 4D ． - + i5 53．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 354．若 sin α = 1 3，则 cos2α =A ． 8 9B ．7 9 C ． - 7 9 D ． - 895．已知平面向量 a , b 的夹角为135 ，且 a = 1， 2a + b = 2 ，则 b =A ． 2B ． 2C ． 3 - 1D ． 36．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为A ． 3 2 fB ． 3 22 fC ． 12 25 fD ． 12 27 f7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x ∈ [-2，]，则输出的 y 值的取值范围是A.y≤-或y≥0B.-2≤y≤C.y≤-2或0≤y≤D.y≤-2或y≥⎪x+1,x≤0⎪log()b c3B．3C．162π224C．[2D．[,1)522223338.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a12+b12=A．322B．521C．123D．199⎧19.已知f(x)=⎨2，若存在三个不同实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c)，则⎩2019x,x>0abc的取值范围是A．(0,1]B．[-2,0)C．(-2,0]D．(0,1)10.设a，，分别是ABC的内角A,B,C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC)，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则AB⋅DA+DB等于A．2B．4C．-4D．-211.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//B C，AB=DC=AD=2，BC=P A=4，P A⊥面ABCD，则球O的体积为A．642π162πD．16π12.已知椭圆E:x2y2+a b2=1(a>b>0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点．若AF+BF=4，点M到直线的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是4 5，A．(0,33 ]B．(0,]二、填空题（每小题5分，共20分）14.已知α , β 为第二象限的角，cos(α - ) = - ,sin(β + ) =π s13.过点 (-2,4 )且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.4543 π 513，则 in （α + β）的值为_____.15.设函数 f (x )是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x ，恒 f (x )- f (-x ) = 0 ，当 x ∈ [-1,0]时， f (x ) = x 2．若 g (x ) = f (x )- log x 在 x ∈ (0, +∞) 上有且仅有三个零a点，则 a 的取值范围为_____.16. 已知实数 x ， y 满足 x 2 + y 2 ≤ 1，则 2 x + y - 4 + 6 - x - 3 y 的最大值是．三、解答题（共 5 小题，共 60 分）17.（12 分）2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。

2024届广东省高三12月联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}02,B x x x =≤≤∈Z ，则A B ⋂=（）．A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．函数()()01f x x =-的定义域是（）．A ．[]3,3-B ．[)(]3,11,3-⋃C ．()3,3-D ．()()3,11,3-⋃3．已知:0p m n >>，1:1n n q m m +>+，则p 是q 的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且πcos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）．A ．34-B ．14-C ．14D ．345．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若234n n S n T n +=+，则39468a ab b b +=++（）．A ．13111B ．2637C ．26111D ．13376．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B 在同一平面内的两个观测点C 与D ，现测得37CDB ∠=︒，68BCD ∠=︒，37.6CD =米，在点C 处测得塔顶A 的仰角为64︒，则该铁塔的高度约为（）．1.4≈2.4≈，tan 64 2.0︒=，cos370.8≈=）A ．42米B ．47米C ．38米D ．52米7．设ln1.04a =， 1.04b =，0.04c e=，其中e 为自然对数的底数，则（）．A ．c b a >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b>>8．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()32f x -为偶函数，()21f x -为奇函数，则下列说法一定正确的是（）．A ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称B ．函数()f x 的周期为2C ．函数()f x 关于点()2,0中心对称D ．()20230f =二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中为真命题的是（）．A ．x ∃∈R ，2sin 2x =B ．x ∃∈R ，ln 1x =-C ．x ∀∈R ，20x >D ．x ∀∈R ，30x >10．函数()()πsin 044x f x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度后与函数()y g x =图象重合，则关于()y g x =，下列说法正确的是（）．A ．函数图象关于直线π3x =对称B ．函数图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减D ．最小正周期为π11．已知a ，b 均为正实数，且()410a b a +-=，则下列不等式正确的是（）．A ．16ab ≥B ．26a b +≥+C ．0a b -<D ．2211612a b +≥12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AB AD AA λμγ=++ ，λ，μ，γ∈R （P ，B ，D ，1A 四点不重合），则下列说法正确的是（）．A ．当1λμγ++=时，PA 的最小值是1B ．当1λ=，μγ=时，PB ∥平面11AB D C ．当1λμ==，12γ=时，平面PBD ⊥平面1A BD D ．当1λμ=，0γ=时，直线PA ，与平面1111A B C D 所成角的正切值最大，最大值为22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1i 22iz +=-，则z z +=__________．14．已知平面向量a ，b ，c 是两两夹角均为2π3的单位向量，则23a b c ++= __________．15．“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，边长分别为20cm 和10cm ，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，那么这个“升”的“平升”可以装__________mL 的粮食．（结果保留整数）16．已知函数()3f x e =，()()1g x a x =-，a ∈R ，若()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()12n n nS n S +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，若数列{}n c 满足()()111n n n n b c b b +=--，求{}n c 的前n 项和．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，3PB PC ==，22PD BC AB ===．（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离．19．（12分）如图，在ABC △中，π4B ∠=，2AC AB =，D 为边BC 上一点，π6CAD ∠=．（1）求CD AD 的值；（2）当4AD =时，求线段AC 的长．20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121n n a a +=+．（1）求n a ；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，且PA ⊥底面ABCD ，点F 是棱PD 的中点，平面ABF 与棱PC 交于点E ．（1）求PC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）在线段PB 上是否存在一点G ，使得直线EG 与直线AF 所成角为45︒？若存在，试说明点G 位置；若不存在，请说明理由．22．设函数()()ln ln 1f x a x x m =-++，0a >，m ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意01a <<，函数()f x 均有2个零点，求实数m 的取值范围；（3）设n *∈N 且2n ≥，证明：2223112312n n n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．。