2018最新非线性回归押题

非线性回归方程经典题型-分享引言非线性回归方程是统计学中常用的一种建模方法，用于描述因变量与自变量之间的非线性关系。

本文将介绍一些经典的非线性回归方程题型，并分享解题方法和注意事项。

1. 多项式回归方程多项式回归方程是一种常见的非线性回归模型，用于描述因变量与自变量之间的高阶关系。

其一般形式为：$$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \ldots + \beta_nx^n +\varepsilon$$其中，$y$表示因变量，$x$表示自变量，$\beta$表示回归系数，$n$表示多项式的阶数，$\varepsilon$表示误差项。

解题方法：利用最小二乘法估计回归系数，并进行模型拟合和诊断检验。

注意事项：选择合适的多项式阶数是关键，过低的阶数可能无法很好地拟合数据，而过高的阶数可能导致过拟合。

2. 指数回归方程指数回归方程用于描述因变量与自变量之间的指数关系，其一般形式为：$$y = \beta_0 \cdot e^{\beta_1x} + \varepsilon$$其中，$y$表示因变量，$x$表示自变量，$\beta$表示回归系数，$e$表示自然对数的底，$\varepsilon$表示误差项。

解题方法：利用最小二乘法估计回归系数，并进行模型拟合和诊断检验。

注意事项：对数据进行对数转换可能有助于线性化指数关系，选择合适的变换方法可以提高拟合效果。

3. 对数回归方程对数回归方程用于描述因变量与自变量之间的对数关系，其一般形式为：$$\log(y) = \beta_0 + \beta_1x + \varepsilon$$其中，$y$表示因变量，$x$表示自变量，$\beta$表示回归系数，$\log$表示自然对数，$\varepsilon$表示误差项。

解题方法：利用最小二乘法估计回归系数，并进行模型拟合和诊断检验。

注意事项：对数据进行对数转换可能有助于线性化对数关系，选择合适的变换方法可以提高拟合效果。

非线性回归方程经典题型一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1. 一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6经计算得：x =16∑x i 6i=1=26，y =16∑y i 6i=1=33，∑(6i=1x i −x)(y i −y)=557，∑(6i=1x i −x)2=84，∑(6i=1y i −y)2=3930，线性回归模型的残差平方和∑(6i=1y i−y ^i )2=236.64，e8.0605≈3167，其中x i ，y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1，2，3，4，5，6．(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程y =bx +a(精确到0.1)； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为y ^=0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522．(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好．(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35∘C 时该种药用昆虫的产卵数(结果取整数)． 附：一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计为b ^=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ^=y −b ^x ；相关指数R 2=1−n i=1i ^i 2∑(n y −y)2．2. 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y =bx +a ，②y =ce dx 拟合，得到回归方程分别为y ^(1)=0.24x −8.81，y ^(2)=1.70e 0.022x ，作残差分析，如表：(Ⅱ)根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程．(结果保留到小数点后两位)附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…(x n ,y n )，其回归直线y =bx +a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2，a ^=y .−b ^x .．3. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y =c ⋅x b (b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比yx0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求恰有一件优等品的概率；(2)根据测得数据作出如下处理：令v i =lnx i ，u i =lny i ，得相关统计量的值如下表：∑v i 6i=1u i∑v i 6i=1∑u i 6i=1∑v i 26i=175.3 24.6 18.3 101.4 (ⅰ)根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；(ⅰ)已知优等品的收益z(单位：千元)与x ，y 的关系为z =2y −0.32x ，当优等品的质量与尺寸之比为e8时，求其收益的预报值.(精确到0.1)附：对于样本(v i ,u i )(i =1,2，…，n)，其回归直线u =b ⋅v +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑(n i=1v i −v)∑(n i=1v i −u)2=∑v i n i=1u i −nvu∑v i 2n i=1−nv2，a ^=u −b ^v ，e ≈2.7182．4. 某公司为评估两套促销活动方案(方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价x i (单位：元/件，整数)和销量y i (单位：件)(i =1，2，…，8)如下表所示：售价x 3335 37 39 41 43 45 47 销量y 840800 740 695 640 580 525 460 ①请根据下列数据计算相应的相关指数R 2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；②根据所选回归模型，分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大．y ^=−1200lnx +5000 y ^=−27x +1700 y ^=−13x 2+1200∑(8i=1y i −y ^i )249428.74 11512.43 175.26∑(8i=1y i −y .)2 124650(附：相关指数 R 2=1−∑(n i=1y i −y ^i )2∑(n i=1y i−y)2)5. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6.4 4.4 3 z =lny3.002.482.081.861.481.10下面是z 关于x 的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关数加以说明；(2)求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(b^、a ^小数点后保留两位有效数字)． (3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y ^=b ^x +a^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i2ni=1−nx 2，a ^=y .−b ^x .，r =∑(n i=1x i −x)(y i −y)√∑(n i=1x i −x)2∑(n i=1y i −y)2．参考数据：∑x i 6i=1y i =187.4，∑x i 6i=1z i =47.64，∑x i 26i=1=139，√∑(6i=1x i −x .)2=4.18，√∑(6i=1y i −y .)2=13.96，√∑(6i=1z i −z .)2=1.53，ln1.46≈0.38，ln0.7118≈−0.34．6. 为了调查历城区城乡居民人民生活水平，随机抽取了10个家庭，得到第i(i =1,2，…，10)个家庭月收入x i (单位：千元)与月流动资金y i (单位：千元)的数据资料如下表：∑x i 10i=1∑y i 10i=1∑ωi 10i=1∑x i 10i=1y i∑ωi 10i=1y ii i (Ⅰ)求方程y =d +c √x ；(Ⅱ)已知某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为499元的九阳豆浆机，问计划能否成功？附：对一组数据(x i ,y i )(i =1,2，…，10)，其回归直线y =b ^x +a ^的最小二乘法估计为b =∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−n(x)2，a =y .−bx .．7. 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展.某汽车交易市场对2017年成交的二手车的交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图.在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．(1)若在该交易市场随机选取3辆2017年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在(8,16]的概率；(2)根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中x(单位：年)表示二手车的使用时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格． ①由散点图判断，可采用y =e a+bx 作为该交易市场二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表(表中Y i =lny i ，Y =110∑Yi 10i=1)：试选用表中数据，求出关于的回归方程；②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择． 甲：对每辆二手车统一收取成交价格的5%的佣金；乙：对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的4%的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的10%的佣金．假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值.判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金． 附注：①对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑u i n i=1v i −nuv∑u i 2n i=1−nu2,α^=v −β^u ；②参考数据：e 2.95≈19.1，e 1.75≈5.75，e 0.55≈1.73，e −0.65≈0.52，e −1.85≈0.16．8. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示： 1根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y =a +bx 与c ⋅d x (c,d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下 表2：车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n(n ∈N n )年才能开始盈利，求n 的值． 参考数据：其中其中υi =lgy i ,υ=17∑υi 7i=1参考公式：对于一组数据(u i ,υi )，(u 2,υ2)，…，(u n ,υn )，其回归直线υ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i ni=1υi −nuυ∑u i 2n i=1−nu2，a ̂=υ−β̂u ． 9. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y =c ⋅x b (b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 质量y(g)16.818.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比yx 0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：∑(6i=1lnx i ⋅lny i )∑(6i=1lnx i )∑(6i=1lny i )∑(6i=1lnx i )275.3 24.6 18.3 101.4(i)根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；(ii)已知优等品的收益z(单位：千元)与x ，y 的关系为z =2y −0.32x ，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本(v i ,u i )(i =1,2，…，n)，其回归直线u =b ⋅v +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑(n i=1v i −v)(u i −u)∑(n i=1v i −v)2=∑v i n i=1u i −nvu∑v i 2n i=1−nv2，a ^=u −b ^v ，e ≈2.7182．10. 经统计，2015年，某公路在部分界桩附近发生的交通事故次数如下表：把界桩公里数记为，公里数记为，，数据绘成的散点图如图所示，以x 为解释变量、交通事故数y 为预报变量，建立了两个不同的回归方程y (1)=29.9+50.2×1x 和y (2)=33.9+125.9e −x 表述x ，y 二者之间的关系． (Ⅰ)计算R 2的值，判断这两个回归方程中哪个拟合效果更好？并解释更好的这个拟合所对R 2的意义；(Ⅱ)若保险公司在每次交通事故中理赔60万元的概率为0.01，理赔2万元的概率为0.19，理赔0.2万元的概率为0.8，利用你得到的拟合效果更好的这一个回归方程，试预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费(理赔费精确到0.1万元)．附：对回归直线y =α̂+β̂x ，有R 2=1−∑(n i=1y i −y ^i )2∑(n i=1y i −y)2．一些量的计算值：表中：y ̂i (1)=29.9+50.2×1x i ，y ^i (2)=33.9+125.9e −x i ，140=0.025，e −40≈0．11. x(2)某同学认为，y =px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm.与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y ^=a ^+b ^x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ^=y −b ^x ．12. 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近期前期广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据.对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图(共21个数据点)及一些统计量的值.为了进一步了解广告投入量x 对收益y 的影响，公司三位员工①②③对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：表中u i =lnx i ,v i =√x i ，参考数据：√2=1.41,√10=3.16． 表一x y∑(21i=1x i −x)2∑(21i=1x i −x)(y i−y) ∑(21i=1y i −y)240 62770 250200表二μ̂ ∑(21i=1μi −μ)2∑(21i=1μi−μ)(y i −y)v∑(21i=1(v i −v)2∑(21i=1v i−v)(y i −y)3.600.499.806.35.0030.00(1)根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述x 与y 之间的关系？简要说明理由．(2)根据据(1)的判断结果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益y 关于投入量x 的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型(即更适宜作为收益y 关于投入量x 的回归方程)？说明理由： 附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，……，(x n ,y n )，其中回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率，截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i−x)2,a ̂=y −b ̂x，r =∑(n i=1x i −x)(y i −y)√∑(n i=1x i −x)2∑(n i=1y i −y)2，其中r 越接近于是，说明变量x 与y 的线性相关程度越好．13. 在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增加而上升，已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量x 与单价y 之间的关系，统计数据如表所示：日供应量x(kg) 38 48 58 68 78 88 单价y(元/kg)16.818.820.722.42425.5(Ⅰ)根据上表中的数据得出日供应量x 与单价y 之间的回归方程为y =ax b ，求a ，b 的值；(Ⅱ)该地区有14个饭店，其中10个饭店每日对蔬菜的需求量在60kg 以下(不含60kg)，4个饭店对蔬菜的需求量在60kg 以上(含60kg)，则从这14个饭店中任取4个进行调查，记这4个饭店中对蔬菜需求量在60kg 以下的饭店数量为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式及数据：对一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1nx2，a ^=y −b ^x ∑(6i=1lnx i ⋅lny i )∑(6i=1lnx i )∑(6i=1lny i )∑(6i=1lnx i )273.524.6 18.3 101.414. 某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5：3：2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元.经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x 取13时代表2013年，x 与y(万元)近似满足关系式y =C 1⋅2C 2x ，其中C 1，C 2为常数.(2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变)y k ∑(5i=1k i −k)2∑(5i=1y i −y)2∑(5i=1x i −x)(y i −y)∑(5i=1x i −x)(k i −k) 2.31.23.14.621其中k i =log 2y i ，k =15∑k i 5i=1(Ⅰ)估计该市2018年人均可支配年收入；(Ⅱ)求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？附：①对于一组具有线性相关关系的数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)…，(u n ,v n )，其回归直线方程v ∧=βu ∧+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β∧=∑(n i=1u i −u)(vv i −v)∑(n i=1u i −u)2，α∧=v −β∧u②2−0.7 2−0.3 20.1 21.7 21.8 21.9 0.60.81.13.23.53.7315. 参加数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x(元/kg) 10 20 30 40 50 60 年销量y(kg)1150 643 424 262 165 86 z =2lny14.112.912.111.110.28.9下列数据计算时可供参考：∑(6i=1x i −x)(y i −y)=−34580∑(6i=1x i −x)(z i −z)=−175.5e 6=403.43∑(6i=1y i −y)2=776840∑(6i=1y i −y)(z i −z)=3465.2e 5=148.41(Ⅰ)根据散点图判断出y 与x 和z 与x 分别是正相关还是负相关，再比较判断y 与x 和z 与x 哪一对具有较强的线性相关性？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及相关数据，选择合理模型建立y 关于x 的回归方程.(方程中的系数均保留两位有效数字)．(Ⅲ)根据由(Ⅱ)得到的回归方程，计算当定价x =30时的残差．附：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ∧=n i=1i −x)⋅(y i −y)∑(n x −x)2a ∧=y −b ∧x16. 为落实“精准扶贫”战略，某县决定利用扶贫资金帮扶具有地方特色的传统手工业发展.扶贫项目组利用数据分析技术，模拟扶贫项目的未来预期，模拟结果显示，项目投资x(万元)和产品利润y(万元)关系如表所示：分析发现用模型y =bx 利润的关系．设t i =x i 2(i =1,2,3,4,5),t =15∑t i 5i=1，对数据初步处理得到下面一些统计量的值：y =b x +a(回归系数四舍五入，小数点后保留两位数字)； (II)该扶贫项目用于支付工人劳动所得资金总额用公式w =y −1.2x 计算(其中x 为项目投资，y 为产品利润，单位：万元)，并以(I)中所求回归方程预报产品利润，当工人劳动所得资金总额不少于120万元时，则认为该项目可以完成“脱贫”任务．假设政府投入该项目的扶贫资金(单位：万元)可以是区间[45,80]内的任意整数值，求可以完成“脱贫”任务的概率．附：对于具有线性相关的一组数据(x i ,y i )(i =1,2，…n)，其回归方程为y ^=b ^x +a^． 其中：b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2x =1n ∑x i,n i=1y =1n ∑y in i=1．答案和解析【答案】1. 解：(Ⅰ)依题意，n =6，b ^=6i=1i −x)(y i −y)∑(6x −x)2=55784≈6.6， a ≈33−6.6×26=−138.6 ∴y 关于x 的线性回归方程为y =6.6x −138.6(Ⅱ) ( i )利用所给数据，∑(6i=1y i −y ^i )2=236.64，∑(6i=1y i −y)2=3930得， 线性回归方程y =6.6x −138.6 的相关指数R 2=1−6i=1i ^i 2∑(6y −y)2=1−236.643930≈1−0.0602=0.9398．∵0.9398<0.9522，因此，回归方程y ^=0.06e 0.2303x 比线性回归方程y ^=6.6x −138.6拟合效果更好； (ii)由( i )得温度x =35∘C 时，y ̂=0.06e 0.2303×35=0.06×e 8.0605 又∵e 8.0605≈3167， ∴y ^≈0.06×3167≈190(个)所以当温度x =35∘C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个．2. 解：(Ⅰ)根据残差分析，把x =80代入y ^(1)=0.24x −8.81得y ^(1)=10.39.10−10.39=−0.39．所以表中空格内的值为−0.39．(Ⅱ)模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62<3.7， 所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．(Ⅲ)残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2，a ^=y .−b ^x ..得回归方程为y =0.24x −8.76．3. 解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间(e 9,e7)内，即yx ∈(0.302 , 0.388)则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品A 1，A 2，A 3，3件为非优等品B 1，B 2，B 3 现从任选2件，共有(A 1,A 2)、(A 1,A 3)、(A 1,B 1)、(A 1,B 2)、 (A 1,B 3)、(A 2,A 3)、(A 2,B 1)、(A 2,B 2)、(A 2,B 3)、 (A 3,B 1)、(A 3,B 2)、(A 3,B 3)、(B 1,B 2)、(B 1,B 3)、(B 2,B 3)15种方法 设任选2件恰有一件优等品为事件C ，则事件C 包含(A 1,B 1)、(A 1,B 2)、 (A 1,B 3)、(A 2,B 1)、(A 2,B 2)、(A 2,B 3)、(A 3,B 1)、 (A 3,B 2)、(A 3,B 3)共9种方法由古典概型有P(C)=915=35，故所求概率为35(2)解：对y =c ⋅x b (b,c >0)两边取自然对数得lny =lnc +blnx 由v i =lnx i ，u i =lny i ，得u =b ⋅v +a ，且a =lnc (ⅰ)根据所给统计量及最小二乘估计公式有b ^=75.3−24.6×18.3÷6101.4−24.62÷6=0.270.54=12a ^=u −b ^v =(18.3−12×24.6)÷6=1，得a ^=lnc ^=1，故c ^=e所求y 关于x 的回归方程为y =e ⋅x 12(ⅰ)由(ⅰ)可知，y ^=e ⋅x 12，则z ^=2e √x −0.32x当y^x=ex 12x=√x=e8，即√x =8, x =64时 得收益的预报值z ^=16e −0.32×64≈23.0(千元)．4. 解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2．(2)①由已知数据可知，回归模型y ^=−1200lnx +5000对应的相关指数R 12=0.6035；回归模型y ^=−27x +1700对应的相关指数R 22=0.9076； 回归模型y ^=−13x 2+1200对应的相关指数R 32=0.9986．因为R 32>R 22>R 12，所以采用回归模型y ^=−13x 2+1200进行拟合最为合适． ②由(1)可知，采用方案1的运作效果较方案2好， 故年利润z =(−13x 2+1200)(x −15)，，当x ∈(0,40)时，z =(−13x 2+1200)(x −15)单调递增； 当x ∈(40,+∞)时，z =(−13x 2+1200)(x −15)单调递减， 故当售价x =40时，利润达到最大．5. 解：(1)由题意，计算x .=16×(2+3+4+5+6+7)=4.5，z .=16×(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2，且∑x i 6i=1z i =47.64，√∑(6i=1x i −x .)2=4.18， √∑(6i=1z i −z .)2=1.53，∴r =∑n i=1i i √∑(n i=1x i −x)2∑(n i=1y i−y)2=47.64−6×4.5×24.18×1.53=−6.366.3954(或−6.366.40) ≈−0.99；∴z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高； (2)利用最小二乘估计公式计算b ̂=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx 2=47.64−6×4.5×2139−6×4.52=−6.3617.5≈−0.36， ∴â=z .−b ̂x .=2+0.36×4.5=3.62， ∴z 与x 的线性回归方程是z ∧=−0.36x +3.62， 又z =lny ，∴y 关于x 的回归方程是y ∧=e −0.36x+3.62； 令x =9，解得y ∧=e −0.36×9+3.62≈1.46，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元； (3)当y ∧≥0.7118时，e −0.36x+3.62≥0.7118=e ln0.7118=e −0.34， ∴−0.36x +3.62≥−0.34， 解得x ≤11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． 6. 解：(Ⅰ)由y 与x 满足函数模型y =d +c √x ，则y =d +cω， ω.=∑ωi 10i=110=8，y .=∑y i 10i=110=2，则c =∑ωi 10i=1y i −10×ωy∑ωi 210i=1−10×ω2=184−10×8×2720−10×82=0.3，则d =y .−cω.=2−0.3×8=0.4，∴y =−0.4+0.3√x ；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：当x =9时，则y =−0.4+0.3×3=0.5，∴当某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金500元，大于499元， ∴当月收入为9千元时，当月流动资金能成功购置价格为499元的九阳豆浆机． 7. 解：(1)由频率分布直方图知，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28，使用时间在(12,16]的频率为0.03×4=0.12．所以在该汽车交易市场2017年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在(8,16]的概 率为0.28+0.12=0.4，…(2分)所以所求的概率为P =C 320.42⋅(1−0.4)=0.288；…(3分)(2)①由y =e a+bx 得lny =a +bx ，则Y 关于x 的线性回归方程为Y =a +bx ，…(4分)由于b ̂=10i=1i −x)(Y i −Y)∑(10x −x)2=∑x i 10i=1Y i −10x⋅Y ∑x i 210i=1−10x2=79.75−10×5.5×1.9385−10×5.52=−0.3， â=Y −β̂⋅x =1.9−(−0.3)×5.5=3.55， 则Y 关于x 的线性回归方程为Y^=3.55−0.3x ，……………………………(6分) 所以y 关于x 的回归方程为y ^=e 3.55−0.3x ；………………………(7分)②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车可预测： 使用时间在(0,4]的频率为0.05×4=0.2，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×2=e 2.95≈19.1； 使用时间在(4,8]的频率为0.09×4=0.36，对应的成交价格预测值为e 3.55−0.3×6=e 1.75≈5.75； 使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×10=e 0.55≈1.73； 使用时间在(12,16]的频率为0.03×4=0.12，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×14=e −0.65≈0.52； 使用时间在(16,20]的频率为0.01×4=0.04，对应的成交价格的预测值为e 3.55−0.3×18=e −1.85≈0.16；……………………(9分) 若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75+0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×5% =0.32166≈0.32万元；若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10% =0.29092≈0.29(万元)；……………………(11分)因为0.32>0.29，所以采用甲方案能获得更多佣金. ……………(12分)8. 解：(1)根据散点图判断，y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；(2)∵y =c ⋅d x ，两边同时取常用对数得：1gy =1g(c ⋅d x )=1gc +1gd ⋅x ；设1gy =v ，∴v =1gc +1gd ⋅x ，∵x =4,v =1.55，∑X i 27i=1=140，∴lgd =∑7i=1x i v i −7xv∑x i 27i=1−7x2=50.12−7×4×1.54140−7×42=728=0.25，把样本中心点(4,1.54)代入v =1gc +1gd ⋅x ，得：lgd =0.54，∴v̂=0.54+0.25x ，∴1gy =0.54+0.25x ， ∴y 关于x 的回归方程式：y ̂=100.54+0.25x =100.54(100.54)x =3.47(100.54)x ；把x =8代入上式：∴ŷ=100.54+0.25×8=102.54=102×100.54=347； 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470； (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；P(Z =2)=0.1；P(Z =1.8)=0.3×12=0.15；P(Z =1.6)=0.6+0.3×13=0.7；P(Z =1.4)=0.3×16=0.05所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元)由题意可知：1.66×1×12⋅n −0.66×12⋅n −80>0，n >203，所以，n 取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利．9. 解：(1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间(e 9,e 7)内.即yx ∈(0.302,0.388)．则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品．现从抽取的6件合格产品再任选3件，则取到优等品的件数ξ=0，1，2，3． P(ξ=0)=C 30C 33C 63=120,P(ξ=1)=C 31C 32C 63=920，P(ξ=2)=C 32C 31C 63=920,P(ξ=3)=C 33C 30C 63=120．E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32． (2)解：对y =c ⋅x b (b,c >0)两边取自然对数得lny =lnc +blnx ．令v i =lnx i ，u i =lny i .得u =b ⋅v +a.且a =1nc ． (i)根据所给统计量及最小二乘估计公式有：b ̂=∑v i ni=1u i −nvu ∑v i 2n i=1−nv2=75.3−24.6×18.3÷6101.4−24.62÷6=0.270.54=12， a ^=u −b ^v =(18.3−12×24.6)÷6=1，得a ^=ln c ^=1,c ^=e ，所求y 关于x 的回归方程为y =e ⋅x 12． (ii)由(i)可知y =e ⋅x 12，则z ^=2e √x −0.32x ． 由优等品质量与尺寸的比ŷx=ex 12x=√x ∈(e 9,e7)⇒√x ∈(7,9)，即x ∈(49,81)． 当t =√x =e0.32≈8.5∈(7,9)时，z ^取最大值．即优等品的尺寸x ≈72.3(mm)，收益z ^的预报值最大．10. 解：(Ⅰ)y (1)=29.9+50.2×1x 拟合时，R 12=1−0.8751821≈0.9995； y (2)=33.9+125.9e −x 拟合时，R 22=1−48.41821≈0.9734 ∵0.9995>0.9734，∴y (1)=29.9+50.2×1x 比y (2)=33.9+125.9e −x 拟合效果更好，R 12=1−0.8751821≈0.9995，表明界桩公里数解释了99.95%的交通事故发生次数的变化；(Ⅱ)界桩1040公里取x =40，由y (1)=29.9+50.2×140≈31.16，每次交通事故的理赔费=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14万元，∴预报这一年在界桩1040公里附近处发生的交通事故的理赔费为31.16×1.14≈35.5万元．11. 解：(1)由题意，x =5.5，y =112.45，b ^=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=566.8582.50≈6.87， a ^=y −b ^x =112.45−6.87×5.5≈74.67； ∴y 关于x 的线性回归方程y =6.87x +74.67；(2)某同学认为，y =px 2+qx +r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07．当x =11时，代入回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07.可得y =142.74； 当x =11时，代入回归方程是y =6.87x +74.67；可得y =150.24； 由11岁男童身高的中位数为145.3cm ．可得回归方程是y =6.87x +74.67计算的误差比较大．故回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07模拟合效果更好． 12. 解：(1)根据散点图判断，员工①提出的模型不适合， 因为散点图中x 与y 之间不是线性关系；(2)令v =√x ，先建立y 关于v 的线性回归方程， 由于d ∧=21i=1i −v)(y i −y)∑(21v −v)2=30.005.00=6，∴c ∧=y −d ∧v =62−6×6.3=24.2； ∴y 关于v 的线性回归方程为y ∧=24.2+6v ， 因此模型②为y 2∧=24.2+6√x ；同理，令u =lnx ，建立y 关于u 的线性回归方程； f ∧=21i=1i −u)(y i −y)∑(21u −u)2=9.800.49=20，e ∧=y −f ∧u =62−20×3.60=−10， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ∧=−10+20u ， 因此模型③为y 3∧=−10+20lnx ； (i)模型②中，相关系数为 r 2=21i=1i −v)(y i −y)√∑(i=1v i −v)∑(i=1y i −y)=√5×200=310√10≈0.3×3.16=0.948； 模型③中，相关系数为 r 3=21i=1i −u)(y i −y)√∑(i=1u i −u)2∑(i=1y i −y)2=√0.49×200=710√2≈0.7×1.41=0.987； 可得1>r 3>r 2，说明变量u 与y 的线性相关程度更好， 即模型③为y 3∧=−10+20lnx 更为准确，模型③为最优模型．13. 解：(I)对y =ax b 两边同取对数得lny =blnx +lna ，令v =lnx ，u =lny ，得u =bv +lna∴b =∑v i 6i=1u i −6vu∑v i 26i=1−6v2=75.3−4.1×18.3101.4−6×4.12=12，∴lna =18.36−12×24.66=1，即a =e ．(II)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 44C 144=11001，P(X =1)=C 43C 101C 144=401001，P(X =0)=C 42C 102C 144=2701001，P(X =1)=C 41C 103C 144=4801001，P(X =1)=C 104C 144=2101001．∴X 的分布列为∴E(X)=1×401001+2×2701001+3×4801001+4×2101001=207．14. 解：(Ⅰ)因为x =15(13+14+15+16+17)=15所以：∑(5i=1x i −x)2=(−2)2+(−1)2+12+22=10；关系式y =C 1⋅2C 2，其中k i =log 2y i 得：k =log 2C 1⋅2C 2x ， ∴k =log 2C 1+C 2x ，所以C 2=5i=1i −x)(k i −k)∑(5x −x)2=110∴log 2C 1=k −C 2x =1.2−110×15=−0.3所以C 1=2−0.3=0.8 所以y =0.8×2x10当x =18时，2018年人均可支配年收入y =0.8×21.8=2.8(万)(Ⅱ)由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人 2018年人均可支配收入比2017年增长0.8×21.8−0.8×21.70.8×21.7=20.1−1=0.1=10%所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1−10%)=2520人， 很困难的学生有4200×(1−20%)+2800×10%=3640人 一般困难的学生有7000×(1−30%)+4200×20%=5740人所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万．15. 解：(Ⅰ)根据散点图(1)知y 与x 是负相关， 根据散点图(2)知z 与x 是负相关；散点图(2)中各点都集中在一条直线附近， 即z 与x 具有较强的线性相关性；(Ⅱ)由x =16×(10+20+30+40+50+60)=35， z =16×(14.1+12.9+12.1+11.1+10.2+8.9)=11.55， ∴b ∧=6i=1i −x)(z i −z)∑(6x −x)2=−175.51750≈−0.10，由a ∧=z −b ∧x =11.55−(−0.10)×35=15.05≈15，∴z 关于x 的回归方程是z ∧=15−0.10x ， 则y 关于x 的回归方程为y ∧=e z 2=e 12(15−0.10x)， 即y ∧=e 12(15−0.10x)；(Ⅲ)x =30时，y ∧=e 12×(15−0.10×30)=e 6=403.43，当定价x =30时的残差为|403.34−424|≈11． 16. 解：(I)由题意，t =2700，y =192，∑(5i=1t i −t)2=10140000，∑(5i=1t i −t)(y i −y)=586000； ∴b ∧=5i=1i −t)(y i −y)∑(5i=1t −t)2=58600010140000≈0.06；∴a ∧=y −b ∧t =192−0.06×2700=30， 又t =x 2，∴回归方程为y ∧=0.06x 2+30；(II)由w =y −1.2x ，y =0.06x 2+30，∴w =0.06x 2−1.2x +30， 令w ≥120，得0.06x 2−1.2x +30≥120， 解得x ≤−30或x ≥50， ∴取x ≥50；又政府投入该项目的扶贫资金是区间[45,80]内的任意整数值，满足题意的x ≥50； ∴所求的概率为P =80−50+180−45+1=3136．【解析】1. 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关指数的应用问题，是难题． (Ⅰ)求出n 的值，计算相关系数，求出回归方程即可；(Ⅱ)(i)根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣；(ii)代入求值计算即可． 2. (Ⅰ)根据残差分析，把x =80代入y^(1)=0.24x −8.81得y ^(1)=10.39.10−10.39=−0.39，即可求表中空格内的值；(Ⅱ)求出残差的绝对值和，即可得出结论；(Ⅲ)确定残差大于1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程． 本题考查回归方程、残差分析，考查学生的计算能力，属于中档题．3. (1)由题意首先确定ξ的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可；(2)(i)结合题中所给的数据计算回归方程即可；(ii)结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果．本题考查离散型随机变量的分布列，回归方程的计算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．4. (1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2． (2)①求出相关指数，比较可得结论；②由(1)可知，采用方案1的运作效果较方案2好，故年利润z =(−13x 2+1200)(x −15)，利用导数的方法，可得结论．本题考查相关指数，考查等高条形图，考查导数知识的运用，属于中档题．5. (1)由题意计算x .、z .，求出相关系数r ，判断z 与x 的线性相关程度；(2)利用最小二乘估计公式计算b ^、a ^，写出z 与x 的线性回归方程， 求出y 关于x 的回归方程，计算x =9时y ∧的值即可；(3)利用线性回归方程求出y ∧≥0.7118时x 的取值范围，即可得出预测结果．本题考查了线性回归方程与线性相关系数的求法与应用问题，计算量大，计算时要细心． 6. (Ⅰ)求得样本中心点(ω.,y .)，根据最小二乘法即可求得c 和d ，即可求得y =d +c √x ；(Ⅱ)当x =9时，代入即可求得y ，与0.499比较大小，即可判断答案．本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查计算能力，属于中档题．7. (1)由频率分布直方图求得对应的频率，用频率估计概率即可计算所求的概率；(2)①由y =e a+bx 得lny =a +bx ，求出Y 关于x 的线性回归方程，再写出y 关于x 的回归方程；②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车预测；再分别计算采用甲、乙两种方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金值．本题考查了频率分布直方图与线性回归方程的应用问题，是难题．8. (1)通过散点图，判断y =c ⋅d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；(2)通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次；(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；求出概率，计算期望，然后推出结果．本题考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，属于基础题．9. (1)由题意首先确定ξ的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可；(2)(i)结合题中所给的数据计算回归方程即可；(ii)结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果．本题考查离散型随机变量的分布列，回归方程的计算及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．10. (Ⅰ)计算R 2的值，即可得出结论；(Ⅱ)求出界桩1040公里取x =40，由y (1)=29.9+50.2×140≈31.16，每次交通事故的理赔费=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14万元，即可得出结论． 本题考查回归方程，考查拟合效果，考查学生的计算能力，属于中档题．11. (1)由题意求出x ，y ，∑x i 210i=1，∑x i 10i=1y i ，代入公式求值，从而得到回归直线方程；(2)将x =11代入回归方程是y =−0.30x 2+10.17x +68.07和(1)问中的方程，得到的结果与145.3cm 比较，即可判断本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．12. (1)根据散点图判断员工①提出的模型不适合，散点图中的点不是线性关系；(2)令v =√x ，建立y 关于v 的线性回归方程，得模型②的线性回归方程； 令u =lnx ，建立y 关于u 的线性回归方程，得模型③的线性回归方程；计算模型②中相关系数r 2，模型③相关系数r 3，比较即可得出结论．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的应用问题，是中档题． 13. (I)对y =ax b 两边同取对数得lny =blnx +lna ，令v =lnx ，u =lny ，得u =bv +lna ，利用计算公式即可得出．(II)由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.利用超几何分布列计算公式即可得出．。

专题2 非线性回归方程例1． 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程5081697=+ˆ..yx ； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线=bx y ae 的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程=ˆbx yae ．(a 精确到个位，b 精确到001.)． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据1(v ，1)w ，2(v ，2)w ，⋯，(n v ，)n w ，其回归直线αβ=+ˆˆˆwv 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121βαβ==--==--∑∑()()ˆˆ,()nii i nii ww v v w v vv ． ②刻画回归效果的相关指数221211==-=--∑∑()()nii i n ii yy Ryy ．③参考数据：546235≈.e ，14342≈..e ．表中101110===∑,i i ii u lny u u．【解析】解：（1）对=bx y ae 取对数，得=+lny bx lna ， 设=u lny ，=c lna ，先建立u 关于x 的线性回归方程．1011021900010883==--==≈-∑∑()().ˆ.()ii i ii xx u u bxx ， 6050108555456546=-≈-⨯=≈ˆˆ.....cu bx ，546235=≈≈ˆ.ˆc a e e ． ∴模型②的回归方程为011235=.ˆx ye ； （2）由表格中的数据，有3040714607>，即101022113040714607==>--∑∑()()iii i yy yy ，即10102211304071460711==-<---∑∑()()iii i yy yy ，∴2212<R R ，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13=x ，预测旅游人数为0111314323523523542987⨯==≈⨯=..ˆ.y e e （万人）．例2． 近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位．如表截取了20122016-年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．已知高铁密度y 与年份代码x 之间满足关系式=(b y ax a ，b 为大于0的常数）．若对=b y ax 两边取自然对数，得到=+lny blnx lna ，可以发现lny 与lnx 线性相关．（1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程ˆ(lna ，ˆb 保留到小数点后一位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米/万平方千米．参考公式：设具有线性相关系的两个变量x ，y 的一组数据为(i x ，1=)(i y i ，2，⋯⋯)n ，则回归方程ˆˆˆybx a =+的系数：121==--=-∑∑()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ，=-ˆay bx ． 参考数据：515092=-≈∑.ii i lnxlny lnx lny ，5221516=-≈∑()().ii lnx lnx ，515=≈∑ii lnx，5114=≈∑ii lny，274≈.，3034≈.ln ．【解析】解：（1）对00=>>(,)b y ax a b 两边取自然对数，得=+lny blnx lna ； 令=i i v lnx ，=i i u lny ，1=i ，2，3，⋯，n ； 得u 与v 具有线性相关关系，计算51522150920575165==-===-∑∑.ˆ..i i i ii v uvubvv ，140575122255=-=-⨯=ˆ..lna u bv ， ∴06≈ˆ.b，22≈≈.lna ， ∴0622=+ˆ..u v ，故y 关于x 的回归方程为0622+=..ˆlnx y e ， 即2206=..ˆye x ； （2）在（1）的回归方程中，0622+=..lnx y e ，高铁密度超过30千米/万平方千米； 即062230+>..lnx e ，06223034+>≈...lnx ln ，2>lnx ．274>≈.x e ，即8=x 时，高铁密度超过30千米/万平方千米；所以预测2019年，高铁密度超过30千米/万平方千米．例3． 某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x 和年销售量i y (1,2,3,4,5)i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑根据散点图判断，by a x =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（ⅰ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）参考公式：对于一组数据：11(,)u v ，22(,)u v ，，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小乘估计分别为^121()()()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，^v u αβ∧∧=-【解析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5,3.5,5.5 由直方图可得：一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15， 所以()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==， ()5.50.4P ξ==,所以：随机变量ξ的分布列为：所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯= 故每件产品的平均销售利润为4元.（2）（ⅰ）由·b y a x =得，()ln ln ?ln ln by a x a b x ==+，令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，由表中数据可得，()()()1210.410.251.6ˆ4ni i i n i i u u v v b u u ==--===-∑∑， 则24.8716.300.25 4.15955ˆc v bu∧∧=-=-⨯= 所以， 4.1590.25v u ∧=+，即14.1594ln 4.1590.25ln ln ?y x e x ∧⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因为 4.15964e=，所以1464?y x ∧=故所求的回归方程为1464?y x =（ⅰ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=-=-设14t x =，()4256f t t t =-，则()()33'2564464f t t t=-=-当()0,4t ∈时，()'0f t >，()f t 在()0,4单调递增， 当()4,t ∈+∞时，()'0f t <，()f t 在()4,+∞单调递减. 所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.例4． 近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图（1）若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；（2）令ln z x =，由散点图判断ˆˆˆybx a =+与ˆˆy bz a =+哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（ˆb结果保留一位小数） （3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？（年销售额365L =⋅入住率⋅收费标准x ）参考数据：1221ˆ,ni i i n ii x y nx y b x nx ==-⋅=-∑∑621,200,0.45,32500,ˆˆ0ii a y bx x y x ==-===∑ 615.1,12.7,i i i z y z =≈≈∑6231158.1,148.4ii ze =≈≈∑【解析】（1）ξ的所有可能取值为0,1,2.则()0P ξ== 2426C C 62,155== ()1124268115C C P C ξ⋅===，()2P ξ== 2226C C 115= ξ∴的分布列（2）由散点图可知ˆˆˆybz a =+更适合于此模型. 其中6162216 1.070.52.0ˆ46i i i i i z y zy bz z ==--==≈--∑∑，ˆ3ˆˆay bz =-= 所求的回归方程为0.5ˆ3ylnx =-+ （3）()3650.53L lnx x =-+=3651095.2xlnx x -+ 365365365322L lnx =--+⨯'令505148.4L lnx x e =⇒=⇒=≈' ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额L 最大，最大值约为27083元.例5． 已知某种细菌的适宜生长温度为10C 25C ︒~︒，为了研究该种细菌的繁殖数量y （单位：个）随温度x （单位：C ︒）变化的规律，收集数据如下：对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：其中ln i i k y =，7117i i k k ==∑.（1）请绘出y 关于x 的散点图，并根据散点图判断y bx a =+与21e c xy c =哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y 关于x 的回归方程类型（结果精确到0.1）；（2）当温度为25C ︒时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据()(),1,2,3,...,i i u v i n =，其回归线ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()121ˆ()()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-.参考数据： 5.5e 245≈.【解析】（1）绘出的散点图如图所示，根据散点图判断21c xy c e =更适合作为该种细菌的繁殖数量y 关于x 的回归方程类型；（2）∵21c xy c e=，∴21lny c x lnc =+，∴()()()71272120.50.2112i ii i i x x k k c x x ==--==≈-∑∑，1220.53.8180.5112lnck c x =-=-⨯≈， ∴0.51c e =，20.20.51c xx y c e e +==，当温度为25C ︒时，该种细菌的繁殖数量的预报值为 5.5245e ≈.例6． 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量（单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度1D 和声音能量i I （i =1，2…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑。

第69讲 线性和非线性回归模型的建立【知识要点】一、建立线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）； ③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y bx a =+）； ④按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑤得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 二、建立非线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 三、检查数据模型拟合效果的好坏，一般有三种方法.方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适.方法二：通过残差平方和分析，如果残差的平方和越小，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适. 方法三：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是：22121()1()nii nii y y R y y ∧==-=--∑∑其中i y y ∧-=真实值-预报值=残差，2R 值越大，说明残差的平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.【方法讲评】【例1】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： 1122211()(),()n ni iiii i nni ii i x y nx y x x y y bay bx x nxx x ====---===---∑∑∑∑ ）所以43()1105P A =-=． 故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是53（3）当x =10时，5ˆ103222y =⨯-=，|22－23|＜2； 同样，当x =8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．【点评】求回归直线的方程时，最好先计算好公式的基本量2211nni i i i i x y nx y nx x y x ==∑∑、、、、、，再代入公式求解.这样一是节省试卷的空间，另外是可以把握住得分点，千万不要一次性计算，如果一个地方出了错，整个题目就一分都没有了.【反馈检测1】经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（附：回归方程y b x a ∧∧∧=+中， 1221,ni ii n i i x y nx yba y bx x nx ---==--∑∑（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为20.05 1.7517.2w x x =-+万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大.【例2】在一次抽样调查测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y与x的回归方程.【解析】作出变量y与x之间的散点图如图所示：由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系.设,k y x =令1,t x=则y kt =，由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：作出y 与t 的散点图如图所示：【点评】（1）由y 与x 的散点图得到y 与x 不具备线性关系，近似地满足反比例函数ky x=，所以不能直接用最小二乘法求它们的回归方程. 怎么求呢？可以通过换元1,t x=得到y kt =，y 与t 近似满足线性关系，可以利用最小二乘法求线性回归方程.（2）相比建立线性回归方程模型，建立非线性回归方程模型多了两个步骤，即第四步通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，第六步去新元，得到非线性回归方程。