数字电路第二章

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将逻辑等式两边的某一变量均用同 一个逻辑函数替代，等式仍然成立。
《数字电路逻辑设计》
三、对偶规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“· ”换成 “+”，“+”换成“· ”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶式 Y 。
对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 变换时注意：(1) 变量上的非号不改变。 (2) 不能改变原来的运算顺序。
卡诺图主要用于化简逻辑式。 逻辑图是分析和安装实际电路的依据。
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真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换。
逻辑式 真值表 (1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各 种取值组合。 (2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值，并填入 表格。 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。 实用中通常先由真值表画卡诺图，然后 应用卡诺图化简法写出最简表达式。
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二、逻辑函数的常见表达形式
逻辑式有 多种形式，采 用何种形式视 需要而定。各 种形式间可以 相互变换。
例如 Y AB BC ( A B )( B C )
A B BC A B B C
与-或表达式 或-与表达式 与非-与非表达式 或非-或非表达式 与-或-非表达式 或非-或非式 与-或-非式 用还原律
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2.1 逻辑代数
基本逻辑运算有 与 运算 ( 逻辑乘 ) 、 或 运算 ( 逻 辑加) 和 非 运算 ( 逻辑非)3 种。常用复合逻辑 运算有与非 运算、 或非 运算、 与或非 运算、 异 或运算和同或运算。
与运算 或运算 非运算
Y=A· B 或 Y=AB 入有 0 出 0 入全 1 出 1
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2.1.6 逻辑代数中的常用公式
A + AB = A 推广公式： AB +AB =AB +AB AB+AC+BCD … =AB+AC
AB+AB=AB · AB = (A+B)(A+B) = AA+A B+AA+BB = A B+AB 思考：(1) 若已知 A + B = A + C，则 B = C 吗？ (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？
三变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个
A B C 最小项 简记符号 输入组合对应 的十进制数 m0 0 0 0 0 ABC m1 1 0 0 1 ABC m2 2 0 1 0 ABC m3 3 0 1 1 ABC m4 4 1 0 0 ABC
将输入 变量取值为 1 的代以原变 量，取值为 0 的代以反变 量，则得相 应最小项。
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2.1.7 逻辑函数的两种标准形式
一、最小项的定义
1. 最小项的定义
在逻辑函数中，如果一个与项（乘积项）包含该逻辑函数的 全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该 与项称为最小项。对于 n 个变量的逻辑函数共有 2n 个最小项。
三 变 量 最 小 项 表
2.1.3 逻辑代数中的基本定律
常量间的运算 0+ 0 = 0 0· 0= 0+ 1 = 1 0 1+0=1 0· 1= 1+1=1 0 1· 0= 逻辑变量与常量的运算 0 1· = 0– 11律 重迭律 互补律 1 0+A=A 1 + A= 1 A+A=A A+A = 1 A=A A· A =0 1 ·A = A A · 0 ·A = 0 1=0
Y=A＋B
入有 1 出 1 入全 0 出 0
入0 出 1 入1 出 0
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与非运算
或非运算
与或非运算
入0 出 1;入全1 出 0 入 1 出 0;入全0 出 1 异或运算 同或运算
入相异出1 入相同出0
入相同出 1 入相异出 0
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2.1.5 逻辑代数中的三个基本规则
一、 代入规则
二、反演规则
对任一个逻辑函数式 Y，将“· ”换成 “+”，“+”换成“· ”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量 换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数Y 。 变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单 个变量有效，而对长非号保持不变。
[例] 化简逻辑式 Y AC AD BD BC 。 解： 应用 AC BC AC BC AB 应用 A AB A B AC BC AB D AC BC D
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[例]
化简逻辑式 Y A B ABC AC 。
用摩根定律
解： Y A B ABC AC
A B AC A B C
应用 A AB A B
Y A B C ABC
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2.2.2 用卡诺图化简逻辑函数
卡诺图是按照使相邻最小项在几何位置上也相 邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。 因此卡诺图具有下面的特点：2 个相邻最小项 有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量， 化简结果为相同变量的与。
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二、最大项的定义
1. 最大项的定义 在逻辑函数中，如果一个或项包含了该逻辑函数的全部变量， 且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该或项为最大 项。对于 n 个变量的逻辑函数共有 2n 个最大项。
三变量最大项表
ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 最大项编号 A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C 最大项 编号 1 1 0 1 1 1 1 1 A+B+C M0 A+B+C M1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 A+B+C M2 A+B+C M3 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 A+B+C M4 1 1 1 1 1 0 1 1 A+B+C M5 A+B+C M6 1 1 1 1 1 1 0 1 A+B+C M7 1 1 1 1 1 1 1 0 长春理工大学电信学院 最 大 项 值
摩根定律(又称反演律) 推广公式：
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2.1.4 逻辑函数常用的表示方法 有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。
不同表示方法各有特点，适宜不同的应用。
真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据 逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。
逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路 逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑 式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然 后才能画出逻辑图。
n
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CD AB
CD
CD
CD
CD
8 个相邻项合并消去 3 个变量 A
AB ABC D ABC D ABCD ABC D AB ABC D ABC D ABCD ABC D
ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD
AB ABC D ABC D ABCD ABC D
AB BC
或 -与式
与非-与非式 转 与-或式 换 Y AB BC 方 AB BC 用还原律 法 举 A B BC 用摩根定律 例
Y ( A B)(B C )
( A B)(B C )
A B B C 用摩根定律
AB BC 用摩根定律 长春理工大学电信学院
最小项编号 ABC ABC ABC 最小项 编号
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 A B C m0 0 0 ABC m1 0 0 ABC m2 0 0 ABC m3 0 0 ABC m4 0 0 ABC m5 1 0 ABC m6 长春理工大学电信学院 0 1 ABC m7
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2.2.1 逻辑函数的公式化简法
并项法 运用 AB AB A，
将两项合并为一项，并消去一个变量。
吸收法 运用A+AB =A 和 AB AC BC AB AC ，
消去多余的与项。
消去法 运用 A AB A B，消去多余因子。
A=0 配项法 通过乘 A+A=1 或加入零项 A· 进行配项，然后再化简。
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真值表
逻辑式
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逻辑式
(1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。 (2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。 (3)根据与或式填卡诺图。 将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。
卡诺图
逻辑式 逻辑图 逻辑图
逻辑式
根据电路逐级写出相应逻辑函数式。
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将各圈分别化简 将各圈化简结果逻辑加