湖南师大附中2018届高三高考模拟卷(一)(教师版)理科综合含解析

2018届湖南省湖南师大附中炎德英才大联考高三高考模拟卷（一）理综物理试题（解析版）二、选择题1. 下列说法中正确的是（）A. 某种放射性元素X的半衰期为T，现有50个这种原子核，经历一个半衰期T后，一定有25个X原子核发生了衰变B. 中子星的密度高达1016~1013kg/m3，像这样的天体表面的引力，牛顿的引力定律仍然适用C. 加速度的定义式是D. 电子是最早发现的轻子【答案】D【解析】A、半衰期是一个统计规律，对大量的原子核才成立，所以A错；B、在中子星如此高密度的天体表面，牛顿引力定律并不适用，所以B错；C、加速度的定义式是，所以C错，D、电子最早发现的基本粒子。

带负电，电量为1.6×10-19C,是电量的最小单元，故D正确。

故选D.【点睛】本题识记物理学史的相关内容：放射性元素经过一个半衰期有一半数原子核发生衰变，是大量原子核的统计规律等。

2. 2018年1月31号晚上，月亮女神上演152年一次的“月全食血月+超级月亮+蓝月”三景合一的天文奇观。

超级月亮的首要条件是月亮距地球最近，月亮绕地球运动实际是椭圆轨道，距离地球的距离在近地点时为36.3万千米，而位于远地点时，距离为40.6万千米，两者相差达到10.41%，运行周期为27.3天，那么以下说法正确的是（）A. 月球在远地点时绕行的线速度最大B. 每次月球在近地点时，地球上同一位置的人都将看到月食C. 有一种说法，月球的近地点越来离地球越远，如果一旦变成半径大小等于远地点距离40.6万千米的圆轨道时，那么月球绕地球的周期将变大D. 月球是地球的耳星，它在远地点时的机械能大于在近地点的机械能【答案】C【解析】A、月球在远地点线速度最小，故A错误；B、由于地球的自转，那么地球同一位置的人不一定都能看到月食，故B错误：C、近地点变远，远地点不变，长半轴变大，根据开普勒定律可知周期变大，所以C正确；D、而卫星在同一轨道上（不论是圆轨道还是椭围轨道）机械能守恒，故D错误。

湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)理科综合能力测试一、选择题1. 下列对某些生命现象及其生物学意义的叙述，不正确的是()A. 细菌代谢旺盛，与其细胞体积较小有关B. 草履虫体积相对较大，其通过增大细胞核的体积，满足细胞核对细胞质的控制C. 卵细胞体积相对较大，储存了大量营养物质，减少了对外界物质的需求D. 草履虫伸缩泡收集废物，连通胞外，提高了其排出废物的效率【答案】B【解析】A．在一定范围内细胞体积越小，相对表面积越大，细胞的物质运输效率越高，细胞代谢旺盛，A 正确；B．草履虫细胞体积较大，细胞有两个细胞核，是为了保证正常的核质比，满足细胞核对细胞质的控制，B 错误；C．卵黄中贮存了卵裂初期所需的营养物质，减少了对外界物质的要求，C正确；D．草履虫伸缩泡接受收集管注入的水分和含氮废物，并通过表膜将其排出体外，提高了其排出废物的效率，D正确；答案选B。

2. 下列有关实验的叙述，错误的是()A. 在高倍镜下看不到口腔上皮细胞中线粒体的双层膜结构B. 在“观察细胞的有丝分裂”实验中，不能观察到分生区细胞中染色体向两极移动的过程C. 将哺乳动物成熟的红细胞置于蒸馏水中一段时间，再加入双缩脲试剂摇匀可以看到紫色反应D. 进行色素的提取和分离的实验中，滤液颜色较淡，可能是研磨时未加SiO2【答案】C【解析】A．线粒体具有双层膜，但这属于亚显微结构，在光学显微镜下观察不到，只有在电镜下才能看到，A正确；B．在“观察细胞的有丝分裂”实验中，细胞在解离时已死亡，所以不能观察到分生区细胞中染色体向两极移动的动态过程，B正确；C．哺乳动物成熟的红细胞中含有红色的血红蛋白，所以加入双缩脲试剂摇匀后看不到紫色反应，C错误；D．进行色素的提取和分离的实验中，如果研磨时未加SiO2导致研磨不充分，得到的滤液颜色会较淡，D 正确；答案选C。

3. 阿糖胞苷是一种嘧啶类抗癌药物，在细胞中能有效抑制DNA聚合酶的合成。

当阿糖胞苷进入胃癌患者体内后，机体短期内可能发生的明显变化是()A. 甲状腺激素的合成减少，神经系统兴奋性降低B. 淋巴细胞的生成减少，机体的免疫功能下降C. 糖蛋白的合成增加，癌细胞的转移速度变慢D. 抑癌基因表达加速，胃部肿瘤生长变慢【答案】B【解析】A．阿糖胞苷能有效抑制DNA聚合酶的合成，表明其与DNA 的复制有关，而甲状腺激素的合成和神经系统兴奋性与DNA复制无关，A错误；B．阿糖胞苷能有效抑制DNA聚合酶的合成，从而使DNA复制速度减慢，导致骨髓造血干细胞的增殖速度变慢，淋巴细胞的生成减少，机体的免疫功能会下降，B正确；C．阿糖胞苷能有效抑制DNA聚合酶的合成，表明其与DNA 的复制有关，与糖蛋白的合成没有直接关系，C错误；D．抑癌基因表达与DNA复制无关，但阿糖胞苷能使DNA复制速度减慢，使胃部肿瘤生长变慢，D错误；答案选B。

湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)数学(文科)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D 项，y ＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y ＝10lg x 的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m ＝209，n ＝121，则输出m 的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差： S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4， 左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3， 化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C) (A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16， 按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点， 所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3] 【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＝8a |PF 2|， ∴m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m －n m 2＝2a8an， ∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＜|PF 1|＋|PF 2|， ∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca ＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x 2－f (－x )．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ；若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞) 【解析】解：令g (x )＝f (x )－x 2， g ′(x )＝f ′(x )－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ， ∴g (x )在(－∞，0)递减，而g (－x )＝f (－x )－x 2，∴f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋x 2＋g (x )＋x 2＝2x 2， ∴g (－x )＋g (x )＝0，∴g (x )是奇函数，g (x )在R 上递减， 若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4， 则f (m ＋2)－(m ＋2)2≤f (－m )－m 2， ∴g (m ＋2)≤g (－m )，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sinπ4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝__4__． 【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4. (16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4 000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请问该商场日均大约让利多少元？【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b＋20＝100×30%，b ＝10；2分a＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x元．当x∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人；当x∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人；当x∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人；当x∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分(18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1， 平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ， ∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2， ∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN 平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分 证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20，由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20，MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2，由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2， ∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t 2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1， 则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分)解方程组⎩⎨⎧y ＝t4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t 12＋t 2，(10分)将⎝⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝⎛⎭⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln xx ，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln xx －x －1)，∴F ′(x )＝ax 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)，∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②， 由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)，∴ln x 1x 2（x 1－x 2）＝ba(x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)ba (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2. 故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2，取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立，即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0.∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0，t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． 【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14 可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4.∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b ≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立，由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分)(Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b ≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2， 当－2<x <12，解得－2<x <12，当x ≥12时，解得12≤x ≤12，综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。

2018届高考模拟卷(二)理科综合能力测试可能用到的相对原子质量：H～1C～12N～14O～16Na～23Mg～24Si～28 S～32Cl～35.5Ca～40Ti～48Sn～1197．下列对与KNO3相关的古代文献的说明不合理的是( )选项目的古代文献说明A 提纯“……(KNO3)所在山泽，冬月地上有霜，扫取以水淋汁后，乃煎炼而成”——《开宝本草》溶解、蒸发结晶B 鉴别区分硝石(KNO3)和朴硝(Na2SO4)：“强烧之，紫青烟起，云是真硝石也”——《本草经集注》利用焰色反应C 性质“(火药)乃焰消(KNO3)、硫磺、杉木炭所合，以为烽燧铳机诸药者”——《本草纲目》利用KNO3的氧化性D 使用“……凡研硝(KNO3)不以铁碾入石臼，相激火生，祸不可测”——《天工开物》KNO3能自燃8．下列选项中的实验操作、现象与结论完全一致的是( )选项实验操作现象结论A 向滴有酚酞的NaOH溶液中通入Cl2溶液褪色HClO有漂白性B 无水乙醇与浓硫酸共热至170 ℃，将产生的气体通入溴水溴水褪色乙烯和溴水发生加成反应C向浓度、体积都相同的Na2CO3和NaHCO3溶液中各滴加1滴酚酞溶液变红，前者红色深结合H＋能力：CO2－3>HCO－3D用发光小灯泡分别做HCl和CH3COOH溶液导电性实验发光强度：HCl溶液强于CH3COOH溶液CH3COOH是弱电解质9．中科院研究所首次实现了CO2催化加氢制取汽油。

CO2转化过程示意图如下：下列说法不正确的是( )A．a的名称是2－甲基丁烷B．a的一氯代物有3种C．汽油主要是C5～C11的烃类混合物D．图中a和b互为同系物10．前20号元素W、X、Y、Z的原子序数依次递增，W原子的最外层电子数是次外层的3倍，X的简单离子半径在同周期中最小。

W、Z的质子数之和等于X、Y的质子数之和，X、Y、Z原子的最外层电子数之和等于W原子的核外电子数。

下列说法错误的是( ) A．W与X的简单离子具有相同的电子层结构B．1 mol Y的最高价氧化物含有的共价键数目为4N AC．X、Z分别与W形成的化合物都具有相同类型的化学键D．X、Y的单质均可以和Z的最高价氧化物对应的水化物的溶液反应11．已知pC＝－lgc，K sp[Cu(OH)2]＝2.2×10－20和K sp[Mg(OH)2]＝1.8×10－11。

2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。

湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|x 22＋y 23＝1，集合B ＝{x|y 2＝4x}，则A ∩B ＝(A)(A)[]0，3 (B)[]－3，3 (C)[)3，＋∞ (D)[)－3，＋∞ (2)已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D) (A)1－i (B)1＋i (C)43－i (D)43＋i(3)“a ＋b>2c ”的一个充分条件是(C)(A)a>c 或b>c (B)a>c 且b<c (C)a>c 且 b>c (D)a>c 或b<c (4)下列函数中，最小正周期为π的函数是(A) (A)y ＝cos 2x (B)y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 (C)y ＝sin x (D)y ＝tan x 2(5)已知向量a 与b 的夹角为60°，2|a |＝|b |＝2，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为(B) (A) 3 (B)－ 3 (C)33 (D)－33【解析】由题知a ·b ＝1×2×cos 60°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3，c ·d ＝a 2－b 2＝－3，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d |d |＝－33＝－ 3.故选B.(6)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(D)(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析】几何体如图所示，可以补成一个长为1、宽为1、高为2的长方体，该几何体的体积为长方体体积的一半，体积为1.故选D.(7)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2||x －2＋||y 的最小值是(C)(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【解析】可行域如图，可求出A(2，4)，则z ＝2||x －2＋||y ＝2(2－x)＋y ＝－2x ＋y ＋4，化为y ＝2x ＋z －4.由图可知，当直线y ＝2x ＋z －4过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4.故选C.(8)在等比数列{}a n 中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝(D)(A)56 (B)－56 (C)53 (D)－53【解析】1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝⎝⎛⎭⎫1a 7＋1a 10＋⎝⎛⎭⎫1a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝－53.故选D.(9)多次执行如图所示的程序框图，输出的mn的值会稳定在某个常数附近，则这个常数为(A)(A)π4 (B)π6 (C)π8 (D)π16【解析】该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[0，1]上的两个数a ，b ，求落在(2a －1)2＋()2b －12<1部分的概率，由于a ∈[0，1]，b ∈[0，1] ，则⎝⎛⎭⎫a －122＋⎝⎛⎭⎫b －122<14对应的平面区域的面积为π⎝⎛⎭⎫122＝π4，概率为π4.故选A.(10)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)(A)(2，6) (B)(6，8) (C)(8，12) (D)(10，14)【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.(11)三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 互相垂直，PA ＝PB ＝1，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值的最大值是62，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是(B) (A)2π (B)4π (C)8π (D)16π【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵PA ，PB ，PC 互相垂直，∴∠AMP 就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM ⊥BC 时直线AM 与平面PBC 所成角的正切值最大．此时AP PM ＝62，PM ＝63.在直角△PBC 中， PB ·PC ＝BC·PM PC ＝1＋PC 2×63PC ＝ 2.三棱锥P －ABC 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为1＋1＋2＝2，∴三棱锥P －ABC 的外接球的半径为R ＝1，∴三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝4π.故选B.(12)对n ∈N *，设x n 是关于x 的方程nx 3＋2x －n ＝0的实数根，a n ＝[]()n ＋1x n ()n ＝1，2，3，…(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 0182 017＝(A)(A)1 010 (B)1 01012 017 (C)2 018 (D)1 0091 0092 017【解析】设t ＝(n ＋1)x ，则x ＝t n ＋1，∴nx 3＋2x －n ＝n·⎝⎛⎭⎫t n ＋13＋2·t n ＋1－n ，记f(t)＝n·⎝⎛⎭⎫t n ＋13＋2·t n ＋1－n ，n ∈N *，显然f(t)是增函数．且当n ≥2时，f(n ＋1)＝2>0，f(n)＝n ()1＋n －n 2()n ＋13＜0，则方程f(t)＝0存在唯一实根t n ，满足n ＜t n ＜n ＋1，即n<(n ＋1)x n <n ＋1，∴a n ＝[]（n ＋1）x n ＝n(n ≥2)；又当n ＝1时，a 1＝[]2x 1，其中x 1为方程x 3＋2x －1＝0的实数根．记g(x)＝x 3＋2x －1， 显然g(0)＝－1<0，g ⎝⎛⎭⎫12＝18>0，则0<x 1<12，a 1＝[]2x 1＝0. ∴a 1＋a 2＋…＋a 2 0182 017＝0＋()2＋2 018×2 01722 017＝1 010.故选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．(14)现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花分别栽种在其中的2个花盆里，若要求没有3个空花盆相邻，则不同的种法数是__14__(用数字作答)．【解析】没有限制的种花种数为A 25＝20种，其中三个空花盆相邻的情况有A 33＝6种，则没有3个空花盆相邻的种法数是20－6＝14种．(15)若m ＝⎠⎛－11()6x 2＋sin x dx ，且()2x ＋3m＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m x m，则()a 0＋a 2＋…＋a m 2－()a 1＋a 3＋…＋a m －12的值为__1__．【解析】m ＝⎠⎛－11()6x 2＋sin x dx ＝()2x 3－cos x |1－1＝4，从而有()2x ＋34＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1可得： a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝()2＋34， 令x ＝－1可得： a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝()－2＋34，原式：()a 0＋a 2＋a 42－()a 1＋a 32＝()a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4×()a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝1.(16)定义在[t ，＋∞)上的函数f(x)，g(x)单调递增，f(t)＝g(t)＝M ，若对任意k>M ，存在x 1<x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝k 成立，则称g(x)是f(x)在[t ，＋∞)上的“追逐函数”．已知f(x)＝x 2，下列四个函数：①g(x)＝x ；②g(x)＝ln x ＋1；③g(x)＝2x －1；④g(x)＝2－1x . 其中是f(x)在[1，＋∞)上的“追逐函数”的有__①②__．(填序号)【解析】由题意得若函数g(x)为f(x)在[t ，＋∞)上的“追逐函数”，则f(x)，g(x)在[t ，＋∞)上的值域相同且f(t)＝g(t)，对任意x 0∈(t ，＋∞)，f(x 0)>g(x 0)．因为f(x)＝x 2在[1，＋∞)的值域为[1，＋∞)，且f(1)＝1，对于①：g(1)＝1，当x ∈[1，＋∞)时，g(x)∈[1，＋∞)，设h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－x ，则h′(x)＝2x －1>0，x ∈[1，＋∞)，所以对任意x 0∈(1，＋∞)，h(x 0)>h(1)＝0，f(x 0)>g(x 0)， 所以g(x)＝x 是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；对于②，g(1)＝1，当x ∈[1，＋∞)时，g(x)∈[1，＋∞)，设u(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－ln x －1，则u′(x)＝2x －1x >0，x ∈[1，＋∞)，所以对任意的x 0∈(1，＋∞)，u(x 0)>u(1)＝0，f(x 0)>g(x 0)，所以g(x)＝ln x ＋1是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”； 对于③，当x ＝5时，g(5)＝25－1＝31>25＝f(5),所以g(x)＝2x －1不是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；对于④，g(x)＝2－1x 在[1，＋∞)的值域为[1，2)，所以g(x)＝2－1x 不是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”．综上所述，其中是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”的有①②.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD ＝3DC ，AB ＝7， ∠ADB ＝π3，∠C ＝π6.(Ⅰ)求DC 的值；(Ⅱ)求tan ∠ABC 的值．【解析】(Ⅰ)如图所示， ∠DBC ＝∠ADB －∠C ＝π3－π6＝π6，故∠DBC ＝∠C, DB ＝DC ，设DC ＝x ，则DB ＝x, DA ＝3x.在△ADB 中，由余弦定理AB 2＝DA 2＋DB 2－2DA·DB·cos ∠ADB ，即7＝()3x 2＋x 2－2·3x·x·12＝7x 2，解得x ＝1，DC ＝1.(6分)(Ⅱ)在△ADB 中，由AD>AB ，得∠ABD>∠ADB ＝π3，故∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC>π3＋π6＝π2，在△ABC 中，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即4sin ∠ABC ＝712，故sin ∠ABC ＝27，由∠ABC ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos ∠ABC ＝－37，tan ∠ABC ＝－23＝－23 3.(12分)(18)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 中，AB ＝22，AC 与BD 交于O 点，现将△ACD 沿AC 折起得到三棱锥D －ABC ，M ，N 分别是OD ，OB 的中点．(Ⅰ)求证： AC ⊥MN ；(Ⅱ)若三棱锥D －ABC 的最大体积为V 0，当三棱锥D －ABC 的体积为32V 0，且二面角D －AC －B 为锐角时，求二面角D －NC －M 的余弦值．【解析】(Ⅰ)依题意易知OM ⊥AC, ON ⊥AC, OM ∩ON ＝O ， ∴AC ⊥平面OMN ，又∵MN 平面OMN ，∴AC ⊥MN.(4分)(Ⅱ)当体积最大时三棱锥D －ABC 的高为DO ，当体积为32V 0时，高为32DO ， △OBD 中， OB ＝OD ，作DS ⊥OB 于S ，∴DS ＝32OD ，∴∠DOB ＝60°， ∴△OBD 为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC.(6分)以N 为原点， NB 所在直线为y 轴，过N 且平行于OA 的直线为x 轴， ND 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∴N ()0，0，0， C ()－2，－1，0， D ()0，0，3， M ⎝⎛⎭⎫0，－12，32.设n 1＝()x 1，y 1，z 1为平面CMN 的法向量， ∵NC →＝()－2，－1，0， NM →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，32，∴⎩⎨⎧n 1·NC →＝－2x 1－y 1＝0，n 1·NM →＝－12y 1＋32z 1＝0，取n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－2，－233，设n 2＝()x 2，y 2，z 2是平面CND 的法向量， NC →＝()－2，－1，0， ND →＝()0，0，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·NC →＝－2x 2－y 2＝0，n 2·ND →＝3z 2＝0，取n 2＝()1，－2，0，设二面角D －NC －M 大小为θ，则|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2||n 1||n 2＝5193·5＝1519＝28519. 显然所求二面角D －NC －M 为锐角，故cos θ＝28519.(12分) (19)(本小题满分12分)为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，度量其内径尺寸(单位：μm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布N ()μ，σ2.(Ⅰ)假设生产状态正常，记X 表示某一天内抽取的10个零件中其内径尺寸在()μ－3σ，μ＋3σ之外的零件数，求P ()X ≥2及X 的数学期望；(Ⅱ)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：(ⅰ)计算这一天平均值μ与标准差σ；(ⅱ)一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为(单位： μm)：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P ()μ－2σ<X<μ＋2σ＝0.954 4，P ()μ－3σ<X<μ＋3σ＝0.997 4， 0．997 410≈0.974 3, 0.997 44≈0.99, 0.954 43≈0.87， 0．026×0.997 49≈0.025 4, 0.045 62≈0.002, 35.2≈5.933 0. 【解析】(Ⅰ)由题意知： P(X ＝0或 )X ＝1＝C 010()1－0.997 40·0.997 410＋C 110()1－0.997 41·0.997 49＝0.974 3＋0.025 4＝0.999 7，P ()X ≥2＝1－P ()X ＝0－P ()X ＝1＝1－0.999 7＝0.000 3， ∵X ～B ()10，0.002 6，∴EX ＝10×0.002 6＝0.026 0.(6分)(Ⅱ)(ⅰ)μ＝97＋97＋98＋98＋105＋106＋107＋108＋108＋11610＝104 μm ，σ2＝()－72＋()－72＋()－62＋()－62＋12＋22＋32＋42＋42＋12210＝36，则σ＝6 μm.(ⅱ)结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则X 服从正态分布N ()104，62，P ()μ－3σ<X<μ＋3σ＝P ()86<X<122＝0.997 4，零件内径尺寸在()86，122之外的概率只有0.002 6，而85()86，122，根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试．(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，点F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，且F 1、F 2关于直线l 的对称点恰为圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝3的一条直径的两个端点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程和直线l 的方程；(Ⅱ)设动直线m 与椭圆E 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与m 相交于两点P 1，P 2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝3的圆心C(2，2)，半径r ＝ 3.由题意知|F 1F 2|＝2r ，即2c ＝23，又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，则a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)显然直线l 垂直平分线段OC ，设线段OC 中点为Q ，则Q(1，1)，k OC ＝1， 所以直线l 的方程为y －1＝－1(x －1)，即x ＋y －2＝0.(5分) (Ⅱ)存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2＋y 2＝5.(6分)证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r>0)． 当直线m 的斜率存在时，设m 的方程为y ＝kx ＋t. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1 得()4k 2＋1x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0, ∵直线m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴Δ1＝()8kt 2－4()4k 2＋1()4t 2－4＝0，即t 2＝4k 2＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 2＝r2 得()k 2＋1x 2＋2ktx ＋t 2－r 2＝0，则Δ2＝()2kt 2－4()k 2＋1()t 2－r 2>0，(8分)设P 1()x 1，y 1，P 2()x 2，y 2，则x 1＋x 2＝－2kt k 2＋1，x 1x 2＝t 2－r 2k 2＋1，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝()kx 1＋t ()kx 2＋t x 1x 2＝k 2x 1x 2＋kt ()x 1＋x 2＋t2x 1x 2＝k 2·t 2－r 2k 2＋1＋kt·－2ktk 2＋1＋t 2t 2－r 2k 2＋1＝t 2－r 2k2t 2－r 2，将t 2＝4k 2＋1代入上式，得k 1k 2＝()4－r 2k 2＋14k 2＋()1－r 2，(10分)要使得k 1k 2为定值，则4－r 24＝11－r 2，即r 2＝5，代入Δ2验证知符合题意． ∴当圆的方程为x 2＋y 2＝5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值－14.当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x ＝±2. 此时，圆x 2＋y 2＝5与l 的交点P 1，P 2也满足k 1k 2＝－14.综上，当圆的方程为x 2＋y 2＝5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值－14.(12分)(21)(本小题满分12分)已知f(x)＝e x ，g(x)＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (Ⅰ)讨论函数h(x)＝f(x)g(x)的单调性；(Ⅱ)记φ(x)＝⎩⎨⎧f （x ），x<0，g （x ）， x>0，设A(x 1，φ(x 1))，B(x 2，φ(x 2))为函数φ(x)图象上的两点，且x 1<x 2.(ⅰ)若x 1，x 2∈(0，＋∞)，且φ(x)在A ，B 处的切线相互垂直，求x 2－x 1的最小值； (ⅱ)若φ(x)在点A ，B 处的切线重合，求证：－1<a<34.【解析】(Ⅰ)h(x)＝e x (－x 2＋2x ＋a)，则h′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]，(2分) 当a ＋2≤0即a ≤－2时，h ′(x)≤0，h(x)在R 上单调递减；(3分)当a ＋2>0即a>－2时，h ′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]＝－e x (x ＋a ＋2)(x －a ＋2)，此时h(x)在(－∞，－a ＋2)及(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2) 上是单调递增的．(5分)(Ⅱ)(ⅰ)g′(x)＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2， 法1：则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1， 故x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1，(当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号)．即x 2－x 1的最小值为1.(8分)法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1，x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1，(当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）x 1＝12时取等号)．即x 2－x 1的最小值为1.(8分)(ⅱ)证明：因为φ(x)在点A ，B 处的切线重合，则φ(x)在点A ，B 处的切线的斜率相等，而x<0时，φ′(x)＝f′(x)＝e x∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1， 即A(x 1，ex 1)，B(x 2，－x 22＋2x 2＋a)，A 处的切线方程是：y －ex 1＝ex 1(x －x 1)y ＝ex 1x ＋ex 1(1－x 1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a)＝(－2x 2＋2)(x －x 2)， 即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，(10分)据题意则⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝－2x 2＋2，ex 1（1－x 1）＝x 22＋a 4a ＋4＝－ex 1(ex 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0)，设p(x)＝－e x (e x ＋4x －8)，x<0，p ′(x)＝－2e x (e x ＋2x －2)，设q(x)＝e x ＋2x －2，x<0q ′(x)＝e x ＋2>0在(－∞，0)上恒成立， 则q(x)在(－∞，0)上单调递增q(x)<q(0)＝－1<0， 则p′(x)＝－2e x (e x ＋2x －2)>0p(x)在(－∞，0)上单调递增，则p(x)<p(0)＝7，再设r(x)＝e x＋4x －8，x<0， r ′(x)＝e x ＋4>0r(x)在(－∞，0)上单调递增r(x)<r(0)＝－7<0， 则p(x)＝－e x (e x ＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立，即当x ∈(－∞，0)时0<p(x)<7.故0<4a ＋4<7即－1<a<34.(12分)请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.(5分) (Ⅱ)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0, 设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝⎪⎪⎪⎪ρ1＋ρ22， 得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲 设函数f(x)＝a(x －1)．(Ⅰ)当a ＝1时，解不等式|f(x)|＋|f(－x)|≥3x ； (Ⅱ)设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：|f(x 2)＋x|≤54.【解析】(Ⅰ)当a ＝1时，不等式|f(x)|＋|f(－x)|≥3x 即|x －1|＋|x ＋1|≥3x. 当x ≤－1时，得1－x －x －1≥3x x ≤0，∴x ≤－1； 当－1<x<1时，得1－x ＋x ＋1≥3xx ≤23，∴－1<x ≤23；当x ≥1时，得x －1＋x ＋1≥3x x ≤0，与x ≥1矛盾，综上得原不等式的解集为{x|x ≤－1}∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1<x ≤23＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤23.(5分) (Ⅱ)|f(x 2)＋x|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|，∵|a|≤1，|x|≤1，∴|f(x 2)＋x|≤|a|(1－x 2)＋|x|≤1－x 2＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1＝－⎝⎛⎭⎫|x|－122＋54≤54. 当|x|＝12时取“＝”，得证．(10分)。

湖南省师大附中2018届高三高考模拟卷（一）理综生物试题―、选择题1. 对某些生命现象及其生物学意义的叙述，不正确的是A. 细菌代谢旺盛，与其细胞体积较小有关B. 草履虫体积相对较大，其通过增大细胞核的体积，满足细胞核对细胞质的控制C. 卵细胞体积相对较大，储存了大量营养物质，减少了对外界物质的要求D. 草履虫伸缩泡收集废物，连通胞外，提高了其排出废物的效率【答案】B【解析】A．在一定范围内细胞体积越小，相对表面积越大，细胞的物质运输效率越高，细胞代谢旺盛，A正确；B．草履虫细胞体积较大，细胞有两个细胞核，是为了保证正常的核质比，满足细胞核对细胞质的控制，B错误；C．卵黄中贮存了卵裂初期所需的营养物质，减少了对外界物质的要求，C正确；D．草履虫伸缩泡接受收集管注入的水分和含氮废物，并通过表膜将其排出体外，提高了其排出废物的效率，D正确；答案选B。

2. 下列有关实验的叙述，错误的是A. 在高倍镜下看不到口腔上皮细胞中线粒体的双层膜结构B. 在“观察细胞的有丝分裂”实验中，不能观察到分生区细胞中染色体向两极移动的过程C. 将哺乳动物成熟的红细胞置于蒸馏水中一段时间，再加入双缩脲试剂摇匀可以看到紫色反应D. 进行色素的提取和分离的实验中，滤液颜色较淡，可能是研磨时未加SiO2【答案】C【解析】A．线粒体具有双层膜，但这属于亚显微结构，在光学显微镜下观察不到，只有在电镜下才能看到，A正确；B．在“观察细胞的有丝分裂”实验中，细胞在解离时已死亡，所以不能观察到分生区细胞中染色体向两极移动的动态过程，B正确；C．哺乳动物成熟的红细胞中含有红色的血红蛋白，所以加入双缩脲试剂摇匀后看不到紫色反应，C错误；D．进行色素的提取和分离的实验中，如果研磨时未加SiO2导致研磨不充分，得到的滤液颜色会较淡，D正确；答案选C。

[点睛]：本题考查观察细胞中的线粒体、观察细胞有丝分裂的实验、色素的提取和分离实验、检测生物组织中蛋白质的实验等知识点，此类试题要求考生掌握的细节较多，如实验的原理、实验选取的材料是否合理、采用的试剂及试剂的作用、实验现象等，需要考生在平时的学习过程中注意积累，还要求考生能区分显微结构和亚显微结构。

炎德英才大联考湖南师大附中2018届高三高考模拟卷（一）理综化学试题可能用到的相对原子质量：Hl Li7 N14 016 C135.5 Cr52 Agl081.化学与生活，社会发展息息相关、下列有关说法不正确的是A.“霾尘积聚难见路人”。

雾霾所形成的气溶胶有丁达尔效应B.“曾青（硫酸铜）涂铁，铁赤色如铜”过程中发生了置换反应C.为防止中秋月饼等富脂食品因被氧化而变质，常在包装袋中放入生石灰或硅胶D.医用酒精体积分数是75%,用医用酒精菌消毒是使细菌、病毒蛋白质变性后死亡【答案】C【解析】A.雾霾所形成的气溶胶属于胶体，具有丁达尔效应，故A正确；B.铁置换铜属于湿法炼铜，该过程发生了置换反应，故B正确；C、生石灰或硅胶都不具有还原性，所以不能防止食品被氧化变质，只能防止食物吸湿受潮，故C错误；D.医用酒精体积分数是75%,酒精能够使细菌的蛋白质变性凝固，故D正确；故选C。

2.M表示阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A.在标准状况下.11.2L丙烷含有的极性键数目为5乂B.7g锂在空气中完全燃烧时转移的电子数为叫C.lmol葡萄糖（C6II1206）分子含有的疑基数目为6乂D.常温下，0. 2L0. 5m（）l/LNHN）3溶液中含有的氮原子数小于0. 2N,、【答案】B11 2L【解析】A.在标准状况下.11. 2L丙烷的物质的量二--------- =0. 5mol,含有的极性键（C-H）的22.4L/mol物质的量=0. 5molX8=4mol,数日为4叫，故A错误；B. 7g锂为lmol,在空气屮完全燃烧生成+1价的锂离子，转移的电子数为故B正确；C.葡萄糖是多症基醛，分子中含有5个起基1个醛基，lmol葡萄糖（C B H.A）分子含有的疑基数目为5N,、，故C错误；D.常温下，0. 2L0. 5mol/LNH4N03溶液中含有0. lmol NH4N03,含有的氮原子数为0. 2乂，故D错误;故选B。

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)文科综合能力测试时量：150分钟满分：300分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

1至42题是必考题，43至47题为选考题。

第Ⅰ卷本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

黑杨是经济型乔木，生长快，适应性强，根系发达，对水分和养分的需求大，固沙能力强。

上世纪70年代开始，源自欧美的黑杨，被引入洞庭湖地区栽种，种植面积迅速扩张。

2017年，中央环保督察组在督察反馈意见中指出，欧美黑杨大面积种植，损害洞庭湖的自然生态。

目前，湖南省正在强力推进洞庭湖自然保护区内的杨树清理工作。

据此完成1～2题。

1．上世纪70年代，洞庭湖区引种黑杨的主要原因是(B)A．防治水土流失B．促进造纸业发展C．保护湿地D．发展旅游业【解析】黑杨生长快，成材周期短，可以为造纸业提供充足原料。

2．下列关于黑杨对洞庭湖自然生态损害的叙述，不正确的是(C)A．威胁鱼类、水生动物和鸟类的生存环境B．加快湖区泥沙淤积速度，降低洞庭湖行洪能力C．破坏湖岸湖堤D．威胁其他植物的生长【解析】黑杨根系发达，对水分和养分的需求大，绰号湿地“抽水机”。

对水分和养分的需求大，加速了洲滩湿地的旱化，让周边其他植物得不到充分的光照养分，同时威胁鱼类、水生动物和鸟类的生存环境，成为“生态杀手”。

黑杨固沙能力强，对湖岸湖堤有加固作用，但会加快湖区泥沙淤积速度，降低洞庭湖行洪能力。

故C选项不正确。

地冰花也称“霜柱”，冬季夜晚，当气温低于0 ℃，风速较小时，会使温暖的土壤缝隙向上蒸发水汽产生凇结，常常可以看到生长出千姿百态的地冰花，有时连成一片，宛似雪地金针菇。

下图为“地冰花景观图”，图中白色部分为地冰花。

据此完成3～5题。

3．地冰花形成的土壤条件是(C)A．干燥而紧密B．土壤温度低C．潮湿而松散D．土壤水分少【解析】0 ℃以下时，土壤缝隙中，向上蒸发的水汽会凝结成冰花，随着水汽的不断蒸发，地冰花也不断向上生长，就像从地里长出来一样。

湖南师大附中2018届高三高考模拟卷（一）理科综合能力测试时量：150分钟满分：300分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

其中第Ⅱ卷33－38题为选考题，其他题为必考题。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H－1Li－7N－14O－16Cl－35.5Cr－52Ag－108第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列对某些生命现象及其生物学意义的叙述，不正确的是(B)A．细菌代谢旺盛，与其细胞体积较小有关B．草履虫体积相对较大，其通过增大细胞核的体积，满足细胞核对细胞质的控制C．卵细胞体积相对较大，储存了大量营养物质，减少了对外界物质的需求D．草履虫伸缩泡收集废物，连通胞外，提高了其排出废物的效率【解析】细菌代谢旺盛，与其细胞体积较小有密切关系，A正确。

草履虫有两个细胞核，大核管营养小核管生殖，草履虫通过增加细胞核的数目满足细胞核对细胞质的控制，B错。

卵细胞储存了大量的营养物质，不需要与外界进行旺盛的物质交流。

C正确。

草履虫伸缩泡收集废物，连通胞外。

提高了其排除废物的效率。

相当于增大了表面积与体积的比值，D正确。

2．下列有关实验的叙述，错误的是(C)A．在高倍镜下看不到口腔上皮细胞中线粒体的双层膜结构B．在“观察细胞的有丝分裂”实验中，不能观察到分生区细胞中染色体向两极移动的过程C．将哺乳动物成熟的红细胞置于蒸馏水中一段时间，再加入双缩脲试剂摇匀可以看到紫色反应D．进行色素的提取和分离的实验中，滤液颜色较淡，可能是研磨时未加SiO23．阿糖胞苷是一种嘧啶类抗癌药物，在细胞中能有效抑制DNA聚合酶的合成。

当阿糖胞苷进入胃癌患者体内后，机体短期内可能发生的明显变化是(B)A．甲状腺激素的合成减少，神经系统兴奋性降低B．淋巴细胞的生成减少，机体的免疫功能下降C．糖蛋白的合成增加，癌细胞的转移速度变慢D．抑癌基因表达加速，胃部肿瘤生长变慢【解析】阿糖胞苷是一种嘧啶类抗癌药物，在细胞中能有效抑制DNA聚合酶的合成，因此，抑制细胞分裂，导致胃癌患者淋巴细胞的生成减少，机体的免疫功能降低。

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)数学(文科)命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D项，y＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m 的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差：S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4， 左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3，化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C)(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16， 按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1，又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点， 所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3]【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＝8a |PF 2|， ∴m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m －n m 2＝2a8an，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＜|PF 1|＋|PF 2|， ∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca ＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x 2－f (－x )．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ；若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞)【解析】解：令g (x )＝f (x )－x 2， g ′(x )＝f ′(x )－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ， ∴g (x )在(－∞，0)递减， 而g (－x )＝f (－x )－x 2，∴f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋x 2＋g (x )＋x 2＝2x 2， ∴g (－x )＋g (x )＝0，∴g (x )是奇函数，g (x )在R 上递减， 若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4， 则f (m ＋2)－(m ＋2)2≤f (－m )－m 2， ∴g (m ＋2)≤g (－m )，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sin π4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝__4__．【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ， ∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4.(16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请问该商场日均大约让利多少元？【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b ＋20＝100×30%，b ＝10；2分a ＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x 元．当x ∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人； 当x ∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分 该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分 (18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1，平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ， ∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2， ∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分 证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20，由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20， MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2， 由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2，∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分 (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t 2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t 4(x ＋2)， 设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1， 则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t 2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分) 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎨⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t 12＋t 2， (10分) 将⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分)(21)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝a ln x x，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0 (Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2. 【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln x x－x －1)， ∴F ′(x )＝a x 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，；当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分)(Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)， ∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②，由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)， ∴ln x 1x 2（x 1－x 2）＝b a(x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)b a (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2. 故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2， 取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立， 即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0. ∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数) (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值．【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得： 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4. ∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分) (Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2，当－2<x <12，解得－2<x <12， 当x ≥12时，解得12≤x ≤12， 综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。

炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高考模拟卷(一)数学(文科)命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D项，y＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m ＝209，n ＝121，m 除以n 的余数是88， 此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数是33， 此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数是22， 此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数是11， 此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数是0， 此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差：S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4，左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3， 化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C)(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16，按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点， 所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3] 【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＝8a |PF 2|， ∴m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m －n m 2＝2a8an， ∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＜|PF 1|＋|PF 2|， ∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca ＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x 2－f (－x )．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ；若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞) 【解析】解：令g (x )＝f (x )－x 2， g ′(x )＝f ′(x )－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ， ∴g (x )在(－∞，0)递减， 而g (－x )＝f (－x )－x 2，∴f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋x 2＋g (x )＋x 2＝2x 2， ∴g (－x )＋g (x )＝0，∴g (x )是奇函数，g (x )在R 上递减， 若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则f (m ＋2)－(m ＋2)2≤f (－m )－m 2， ∴g (m ＋2)≤g (－m )，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sin π4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC ＝6，则b ＝__4__． 【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4. (16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请问该商场日均大约让利多少元？【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b ＋20＝100×30%，b ＝10；2分a ＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x 元．当x ∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人； 当x ∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分 (18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值． 【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长．【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1，平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ，∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2，∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN 平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ， 由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ， 又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ， 又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20， 由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20，MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2，由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2， ∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t 2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1，则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分)解方程组⎩⎨⎧y ＝t4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t12＋t 2，(10分)将⎝⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝⎛⎭⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln xx，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln xx －x －1)，∴F ′(x )＝ax 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分) (Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)，∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②， 由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)，∴ln x 1x 2（x 1－x 2）＝ba(x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)ba (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2. 故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2，取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立，即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0.∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0，t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数) (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值．【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得： 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4. ∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分) (Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2，当－2<x <12，解得－2<x <12， 当x ≥12时，解得12≤x ≤12， 综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。

湖南师大附中2018届高考模拟卷(一)数 学(理科)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|x 22＋y 23＝1，集合B ＝{x|y 2＝4x}，则A ∩B ＝(A)(A)[]0，3 (B)[]－3，3 (C)[)3，＋∞ (D)[)－3，＋∞ (2)已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D) (A)1－i (B)1＋i (C)43－i (D)43＋i(3)“a ＋b>2c ”的一个充分条件是(C)(A)a>c 或b>c (B)a>c 且b<c (C)a>c 且 b>c (D)a>c 或b<c (4)下列函数中，最小正周期为π的函数是(A) (A)y ＝cos 2x (B)y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 (C)y ＝sin x (D)y ＝tan x 2(5)已知向量a 与b 的夹角为60°，2|a |＝|b |＝2，若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为(B)(A) 3 (B)－ 3 (C)33 (D)－33【解析】由题知a ·b ＝1×2×cos 60°＝1，|d |＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝3，c ·d ＝a 2－b 2＝－3，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d |d |＝－33＝－ 3.故选B.(6)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(D)(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析】几何体如图所示，可以补成一个长为1、宽为1、高为2的长方体，该几何体的体积为长方体体积的一半，体积为1.故选D.(7)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2||x －2＋||y 的最小值是(C)(A)6 (B)5 (C)4 (D)3【解析】可行域如图，可求出A(2，4)，则z ＝2||x －2＋||y ＝2(2－x)＋y ＝－2x ＋y ＋4，化为y ＝2x ＋z －4.由图可知，当直线y ＝2x ＋z －4过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4.故选C.(8)在等比数列{}a n 中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝(D)(A)56 (B)－56 (C)53 (D)－53【解析】1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝⎝⎛⎭⎫1a 7＋1a 10＋⎝⎛⎭⎫1a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝－53.故选D.(9)多次执行如图所示的程序框图，输出的mn 的值会稳定在某个常数附近，则这个常数为(A)(A)π4 (B)π6 (C)π8 (D)π16【解析】该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[0，1]上的两个数a ，b ，求落在(2a －1)2＋()2b －12<1部分的概率，由于a ∈[0，1]，b ∈[0，1] ，则⎝⎛⎭⎫a －122＋⎝⎛⎭⎫b －122<14对应的平面区域的面积为π⎝⎛⎭⎫122＝π4，概率为π4.故选A.(10)如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)(A)(2，6) (B)(6，8) (C)(8，12) (D)(10，14)【解析】抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，∴三角形FAB 的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(x A ＋2)＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，则x B ∈(2，6)，所以6＋x B ∈(8，12)，故选C.(11)三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 互相垂直，PA ＝PB ＝1，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切值的最大值是62，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是(B)(A)2π (B)4π (C)8π (D)16π【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵PA ，PB ，PC 互相垂直，∴∠AMP 就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM ⊥BC 时直线AM 与平面PBC 所成角的正切值最大．此时AP PM ＝62，PM ＝63.在直角△PBC 中， PB ·PC ＝BC·PM PC ＝1＋PC 2×63PC ＝ 2.三棱锥P －ABC 扩充为长方体，则长方体的体对角线长为1＋1＋2＝2，∴三棱锥P －ABC 的外接球的半径为R ＝1，∴三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝4π.故选B.(12)对n ∈N *，设x n 是关于x 的方程nx 3＋2x －n ＝0的实数根，a n ＝[]()n ＋1x n()n ＝1，2，3，…(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 0182 017＝(A)(A)1 010 (B)1 01012 017 (C)2 018 (D)1 0091 0092 017【解析】设t ＝(n ＋1)x ，则x ＝t n ＋1，∴nx 3＋2x －n ＝n·⎝⎛⎭⎫t n ＋13＋2·t n ＋1－n ， 记f(t)＝n·⎝⎛⎭⎫t n ＋13＋2·t n ＋1－n ，n ∈N *，显然f(t)是增函数． 且当n ≥2时，f(n ＋1)＝2>0，f(n)＝n ()1＋n －n 2()n ＋13＜0，则方程f(t)＝0存在唯一实根t n ，满足n ＜t n ＜n ＋1，即n<(n ＋1)x n <n ＋1， ∴a n ＝[]（n ＋1）x n ＝n(n ≥2)；又当n ＝1时，a 1＝[]2x 1，其中x 1为方程x 3＋2x －1＝0的实数根．记g(x)＝x 3＋2x －1， 显然g(0)＝－1<0，g ⎝⎛⎭⎫12＝18>0，则0<x 1<12，a 1＝[]2x 1＝0. ∴a 1＋a 2＋…＋a 2 0182 017＝0＋()2＋2 018×2 01722 017＝1 010.故选A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．(13)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．(14)现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花分别栽种在其中的2个花盆里，若要求没有3个空花盆相邻，则不同的种法数是__14__(用数字作答)．【解析】没有限制的种花种数为A 25＝20种，其中三个空花盆相邻的情况有A 33＝6种，则没有3个空花盆相邻的种法数是20－6＝14种．(15)若m ＝⎠⎛－11()6x 2＋sin x dx ，且()2x ＋3m＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m x m ，则()a 0＋a 2＋…＋a m 2－()a 1＋a 3＋…＋a m －12的值为__1__．【解析】m ＝⎠⎛－11()6x 2＋sin x dx ＝()2x 3－cos x |1－1＝4，从而有()2x ＋34＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1可得： a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝()2＋34， 令x ＝－1可得： a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝()－2＋34，原式：()a 0＋a 2＋a 42－()a 1＋a 32＝()a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4×()a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝1. (16)定义在[t ，＋∞)上的函数f(x)，g(x)单调递增，f(t)＝g(t)＝M ，若对任意k>M ，存在x 1<x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝k 成立，则称g(x)是f(x)在[t ，＋∞)上的“追逐函数”．已知f(x)＝x 2，下列四个函数：①g(x)＝x ；②g(x)＝ln x ＋1；③g(x)＝2x －1；④g(x)＝2－1x . 其中是f(x)在[1，＋∞)上的“追逐函数”的有__①②__．(填序号)【解析】由题意得若函数g(x)为f(x)在[t ，＋∞)上的“追逐函数”，则f(x)，g(x)在[t ，＋∞)上的值域相同且f(t)＝g(t)，对任意x 0∈(t ，＋∞)，f(x 0)>g(x 0)．因为f(x)＝x 2在[1，＋∞)的值域为[1，＋∞)，且f(1)＝1，对于①：g(1)＝1，当x ∈[1，＋∞)时，g(x)∈[1，＋∞)，设h(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－x ， 则h′(x)＝2x －1>0，x ∈[1，＋∞)，所以对任意x 0∈(1，＋∞)，h(x 0)>h(1)＝0，f(x 0)>g(x 0)， 所以g(x)＝x 是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；对于②，g(1)＝1，当x ∈[1，＋∞)时，g(x)∈[1，＋∞)，设u(x)＝f(x)－g(x)＝x 2－ln x －1，则u′(x)＝2x －1x >0，x ∈[1，＋∞)，所以对任意的x 0∈(1，＋∞)，u(x 0)>u(1)＝0，f(x 0)>g(x 0)，所以g(x)＝ln x ＋1是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”； 对于③，当x ＝5时，g(5)＝25－1＝31>25＝f(5),所以g(x)＝2x －1不是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”；对于④，g(x)＝2－1x 在[1，＋∞)的值域为[1，2)，所以g(x)＝2－1x 不是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”．综上所述，其中是f(x)＝x 2在[1，＋∞)上的“追逐函数”的有①②. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分12分)如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD ＝3DC ，AB ＝7， ∠ADB ＝π3，∠C＝π6.(Ⅰ)求DC 的值； (Ⅱ)求tan ∠ABC 的值．【解析】(Ⅰ)如图所示， ∠DBC ＝∠ADB －∠C ＝π3－π6＝π6，故∠DBC ＝∠C, DB ＝DC ，设DC ＝x ，则DB ＝x, DA ＝3x.在△ADB 中，由余弦定理AB 2＝DA 2＋DB 2－2DA·DB·cos ∠ADB ，即7＝()3x 2＋x 2－2·3x·x·12＝7x 2，解得x ＝1，DC ＝1.(6分)(Ⅱ)在△ADB 中，由AD>AB ，得∠ABD>∠ADB ＝π3，故∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC>π3＋π6＝π2，在△ABC 中，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即4sin ∠ABC ＝712，故sin ∠ABC ＝27，由∠ABC ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos ∠ABC ＝－37，tan ∠ABC ＝－23＝－23 3.(12分)(18)(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 中，AB ＝22，AC 与BD 交于O 点，现将△ACD 沿AC 折起得到三棱锥D －ABC ，M ，N 分别是OD ，OB 的中点．(Ⅰ)求证： AC ⊥MN ；(Ⅱ)若三棱锥D －ABC 的最大体积为V 0，当三棱锥D －ABC 的体积为32V 0，且二面角D －AC －B 为锐角时，求二面角D －NC －M 的余弦值．【解析】(Ⅰ)依题意易知OM ⊥AC, ON ⊥AC, OM ∩ON ＝O ， ∴AC ⊥平面OMN ，又∵MN 平面OMN ，∴AC ⊥MN.(4分) (Ⅱ)当体积最大时三棱锥D －ABC 的高为DO ，当体积为32V 0时，高为32DO ， △OBD 中， OB ＝OD ，作DS ⊥OB 于S ，∴DS ＝32OD ，∴∠DOB ＝60°， ∴△OBD 为等边三角形，∴S 与N 重合，即DN ⊥平面ABC.(6分)以N 为原点， NB 所在直线为y 轴，过N 且平行于OA 的直线为x 轴， ND 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∴N ()0，0，0， C ()－2，－1，0， D ()0，0，3， M ⎝⎛⎭⎫0，－12，32.设n 1＝()x 1，y 1，z 1为平面CMN 的法向量， ∵NC →＝()－2，－1，0， NM →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，32，∴⎩⎨⎧n 1·NC →＝－2x 1－y 1＝0，n 1·NM →＝－12y 1＋32z 1＝0，取n 1＝⎝⎛⎭⎫1，－2，－233，设n 2＝()x 2，y 2，z 2是平面CND 的法向量， NC →＝()－2，－1，0， ND →＝()0，0，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·NC →＝－2x 2－y 2＝0，n 2·ND →＝3z 2＝0，取n 2＝()1，－2，0，设二面角D －NC －M 大小为θ，则|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2||n 1||n 2＝5193·5＝1519＝28519. 显然所求二面角D －NC －M 为锐角，故cos θ＝28519.(12分) (19)(本小题满分12分)为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，度量其内径尺寸(单位：μm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布N ()μ，σ2.(Ⅰ)假设生产状态正常，记X 表示某一天内抽取的10个零件中其内径尺寸在()μ－3σ，μ＋3σ之外的零件数，求P ()X ≥2及X 的数学期望；(Ⅱ)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：(ⅰ)计算这一天平均值μ与标准差σ；(ⅱ)一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为(单位： μm)：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P ()μ－2σ<X<μ＋2σ＝0.954 4，P ()μ－3σ<X<μ＋3σ＝0.997 4， 0．997 410≈0.974 3, 0.997 44≈0.99, 0.954 43≈0.87，0．026×0.997 49≈0.025 4, 0.045 62≈0.002, 35.2≈5.933 0. 【解析】(Ⅰ)由题意知： P(X ＝0或 )X ＝1＝C 010()1－0.997 40·0.997 410＋C 110()1－0.997 41·0.997 49＝0.974 3＋0.025 4＝0.999 7，P ()X ≥2＝1－P ()X ＝0－P ()X ＝1＝1－0.999 7＝0.000 3， ∵X ～B ()10，0.002 6，∴EX ＝10×0.002 6＝0.026 0.(6分)(Ⅱ)(ⅰ)μ＝97＋97＋98＋98＋105＋106＋107＋108＋108＋11610＝104 μm ，σ2＝()－72＋()－72＋()－62＋()－62＋12＋22＋32＋42＋42＋12210＝36，则σ＝6 μm.(ⅱ)结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则X 服从正态分布N ()104，62， P ()μ－3σ<X<μ＋3σ＝P ()86<X<122＝0.997 4，零件内径尺寸在()86，122之外的概率只有0.002 6，而85()86，122，根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试．(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，点F 1、F 2为椭圆E 的左、右焦点，且F1、F 2关于直线l 的对称点恰为圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝3的一条直径的两个端点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程和直线l 的方程；(Ⅱ)设动直线m 与椭圆E 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与m 相交于两点P 1，P 2(两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝3的圆心C(2，2)，半径r ＝ 3.由题意知|F 1F 2|＝2r ，即2c ＝23，又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，则a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)显然直线l 垂直平分线段OC ，设线段OC 中点为Q ，则Q(1，1)，k OC ＝1， 所以直线l 的方程为y －1＝－1(x －1)，即x ＋y －2＝0.(5分)(Ⅱ)存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2＋y 2＝5.(6分)证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r>0)． 当直线m 的斜率存在时，设m 的方程为y ＝kx ＋t. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1 得()4k 2＋1x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0, ∵直线m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴Δ1＝()8kt 2－4()4k 2＋1()4t 2－4＝0，即t 2＝4k 2＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 2＝r2 得()k 2＋1x 2＋2ktx ＋t 2－r 2＝0，则Δ2＝()2kt 2－4()k 2＋1()t 2－r 2>0，(8分)设P 1()x 1，y 1，P 2()x 2，y 2，则x 1＋x 2＝－2kt k 2＋1，x 1x 2＝t 2－r 2k 2＋1，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝()kx 1＋t ()kx 2＋t x 1x 2＝k 2x 1x 2＋kt ()x 1＋x 2＋t2x 1x 2＝k 2·t 2－r 2k 2＋1＋kt·－2ktk 2＋1＋t 2t 2－r 2k 2＋1＝t 2－r 2k 2t 2－r 2， 将t 2＝4k 2＋1代入上式，得k 1k 2＝()4－r 2k 2＋14k 2＋()1－r 2，(10分)要使得k 1k 2为定值，则4－r 24＝11－r 2，即r 2＝5，代入Δ2验证知符合题意． ∴当圆的方程为x 2＋y 2＝5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值－14.当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x ＝±2. 此时，圆x 2＋y 2＝5与l 的交点P 1，P 2也满足k 1k 2＝－14.综上，当圆的方程为x 2＋y 2＝5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值－14.(12分)(21)(本小题满分12分)已知f(x)＝e x ，g(x)＝－x 2＋2x ＋a ，a ∈R . (Ⅰ)讨论函数h(x)＝f(x)g(x)的单调性；(Ⅱ)记φ(x)＝⎩⎨⎧f （x ），x<0，g （x ）， x>0，设A(x 1，φ(x 1))，B(x 2，φ(x 2))为函数φ(x)图象上的两点，且x 1<x 2.(ⅰ)若x 1，x 2∈(0，＋∞)，且φ(x)在A ，B 处的切线相互垂直，求x 2－x 1的最小值；(ⅱ)若φ(x)在点A ，B 处的切线重合，求证：－1<a<34. 【解析】(Ⅰ)h(x)＝e x (－x 2＋2x ＋a)，则h′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]，(2分)当a ＋2≤0即a ≤－2时，h ′(x)≤0，h(x)在R 上单调递减；(3分)当a ＋2>0即a>－2时，h ′(x)＝－e x [x 2－(a ＋2)]＝－e x (x ＋a ＋2)(x －a ＋2)，此时h(x)在(－∞，－a ＋2)及(a ＋2，＋∞)上都是单调递减的，在(－a ＋2，a ＋2) 上是单调递增的．(5分)(Ⅱ)(ⅰ)g′(x)＝－2x ＋2，据题意有(－2x 1＋2)(－2x 2＋2)＝－1，又0<x 1<x 2，法1：则－2x 1＋2>0且－2x 2＋2<0(－2x 1＋2)(2x 2－2)＝1，故x 2－x 1＝12[(－2x 1＋2)＋(2x 2－2)]≥（－2x 1＋2）·（2x 2－2）＝1， (当且仅当(－2x 1＋2)＝(2x 2－2)＝1即x 1＝12，x 2＝32时取等号)．即x 2－x 1的最小值为1.(8分)法2：x 2＝1＋14（1－x 1），0<1－x 1<1， x 2－x 1＝1－x 1＋14（1－x 1）≥2（1－x 1）·14（1－x 1）＝1， (当且仅当1－x 1＝14（1－x 1）x 1＝12时取等号)．即x 2－x 1的最小值为1.(8分) (ⅱ)证明：因为φ(x)在点A ，B 处的切线重合，则φ(x)在点A ，B 处的切线的斜率相等， 而x<0时，φ′(x)＝f′(x)＝e x ∈(0，1)，则必有x 1<0<x 2<1，即A(x 1，ex 1)，B(x 2，－x 22＋2x 2＋a)，A 处的切线方程是：y －ex 1＝ex 1(x －x 1)y ＝ex 1x ＋ex 1(1－x 1)，B 处的切线方程是：y －(－x 22＋2x 2＋a)＝(－2x 2＋2)(x －x 2)，即y ＝(－2x 2＋2)x ＋x 22＋a ，(10分)据题意则⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝－2x 2＋2，ex 1（1－x 1）＝x 22＋a 4a ＋4＝－ex 1(ex 1＋4x 1－8)，x 1∈(－∞，0)，设p(x)＝－e x (e x ＋4x －8)，x<0，p ′(x)＝－2e x (e x ＋2x －2)，设q(x)＝e x ＋2x －2，x<0q ′(x)＝e x ＋2>0在(－∞，0)上恒成立，则q(x)在(－∞，0)上单调递增q(x)<q(0)＝－1<0，则p′(x)＝－2e x (e x ＋2x －2)>0p(x)在(－∞，0)上单调递增，则p(x)<p(0)＝7，再设r(x)＝e x ＋4x －8，x<0，r ′(x)＝e x ＋4>0r(x)在(－∞，0)上单调递增r(x)<r(0)＝－7<0， 则p(x)＝－e x (e x ＋4x －8)>0在(－∞，0)恒成立，即当x ∈(－∞，0)时0<p(x)<7.故0<4a ＋4<7即－1<a<34.(12分) 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.(5分) (Ⅱ)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0,设A(ρ1, α)，B(ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4， 由|OM|＝⎪⎪⎪⎪ρ1＋ρ22， 得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2， 当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.(10分) (23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲设函数f(x)＝a(x －1)．(Ⅰ)当a ＝1时，解不等式|f(x)|＋|f(－x)|≥3x ；(Ⅱ)设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：|f(x 2)＋x|≤54. 【解析】(Ⅰ)当a ＝1时，不等式|f(x) |＋|f(－x)|≥3x 即|x －1|＋|x ＋1|≥3x.当x ≤－1时，得1－x －x －1≥3x x ≤0，∴x ≤－1；当－1<x<1时，得1－x ＋x ＋1≥3x x ≤23，∴－1<x ≤23； 当x ≥1时，得x －1＋x ＋1≥3x x ≤0，与x ≥1矛盾，综上得原不等式的解集为{x|x ≤－1}∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1<x ≤23＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤23.(5分) (Ⅱ)|f(x 2)＋x|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a(x 2－1)|＋|x|，∵|a|≤1，|x|≤1，∴|f(x 2)＋x|≤|a|(1－x 2)＋|x|≤1－x 2＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1＝－⎝⎛⎭⎫|x|－122＋54≤54. 当|x|＝12时取“＝”，得证．(10分)。

高三摸底考试(附中版)理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三摸底考试数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{}x |0<x<2，B ＝{}x |1－x 2>0，则A ∩()∁R B ＝(B) (A){x |0≤x ≤1} (B){x |1≤x ＜2} (C){x |－1＜x ≤0} (D){x |0≤x ＜1}(2)在复平面内，复数z 所对应的点为()1，1，则⎪⎪⎪⎪z1－2i ＝(D)(A)1 (B)25 5 (C)25 (D)105(3)记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 5＝20，a 8＝19，则S 10＝(C) (A)23 (B)105 (C)115 (D)230(4)如图，在边长为1的正方形OABC 中随机取一点 ，则此点恰好取自阴影部分的概率为(A)(A)16 (B)14 (C)13 (D)12(5)对于下列四个命题P 1：∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0；P 2：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x＜⎝⎛⎭⎫13x 0； P 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞log 12x ；P 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x＜log 13x. 其中的真命题是(B ) (A )P 1，P 3 (B )P 1，P 4 (C )P 2，P 3 (D )P 2，P 4(6)函数f(x)＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位得到函数y ＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为(C )(A )1 (B )32(C )2 (D )10(7)某几何体的三视图如下图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为(D )(A )(19＋π) cm 2 (B )(22＋4π) cm 2(C )(13＋62＋4π) cm 2 (D )(10＋62＋4π) cm 2(8)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出v 的值为(D )(A )210－1 (B )210(C )310－210 (D )310(9)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线相交于M ，N 两点，若PF →＝3MF →，则|MN|＝(A )(A )323 (B )212(C )11 (D )10(10)设等比数列{}a n 的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 9a 10－1>0，a 9－1a 10－1<0，则使T n >1成立的最大自然数n 的值为(C ) (A )9 (B )10 (C )18 (D )19(11)已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 为自然对数的底数，若不等式f(3a 2)＋f(－2a－1)≤f(0)恒成立，则实数a 的取值范围为(B )(A )⎣⎡⎦⎤－12，1 (B )⎣⎡⎦⎤－13，1 (C )⎣⎡⎦⎤－1，13 (D )⎣⎡⎦⎤13，1 【解析】易知函数f(x)为奇函数，又因为f′(x)＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2≥0，所以函数f(x)为增函数，原不等式转化为：f(3a 2)≤f(2a ＋1)⇒3a 2－2a －1≤0，解得：－13≤a ≤1，所以答案选B .(12)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧DB︵上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的取值范围为(C )(A )[]－1，5(B )⎣⎡⎦⎤12，2(C )⎣⎡⎦⎤12，5(D )⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】以A 为原点，AB →为x 轴正方向，AD →为y 轴正方向，建立直角坐标系．设AB ＝1，P(cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则AC →＝(1，1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，AP →＝(cos θ，sin θ)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μcos θ，1＝－λ＋μsin θ，解得μ＝32cos θ＋sin θ.又λ＝μsin θ－1，所以λ＋μ＝μ(sin θ＋1)－1＝3（1＋sin θ）2cos θ＋sin θ－1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.设y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ，则y′＝2＋2sin θ－cos θ（2cos θ＋sin θ）2>0.所以y ＝1＋sin θ2cos θ＋sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增．所以：λ＋μ∈⎣⎡⎦⎤12，5，选C . 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若(ax ＋x)5的展开式中x 4项的系数为80，则实数a ＝__2__．(14)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y －3≤0，x －y －3≤0，x ≥0，则2x －y 的取值范围为__[－1，6]__．(15)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝120°，则双曲线的离心率为．【解析】由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝120°，可得∠F 1PF 2＝120°，在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得 4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a·2a·cos 120°，即有4c 2＝20a 2＋8a 2，即c 2＝7a 2， 可得c ＝7a ，即e ＝7.(16)已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，且AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，若G 为△ABC 的重心，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为__634π9__．【解析】由题意可知，AG ＝2，AD ＝1，cos ∠BAC ＝25＋25－642×5×5＝－725，∴sin ∠BAC＝2425， ∴△ABC 外接圆的直径为2r ＝82425＝253，设球O 的半径为R ，∴R ＝62536＋14＝63436.∴球O 的表面积为634π9，故答案为634π9.三、解答题：本题共6个小题，满分70分．(17)(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos B ＝2a ＋bc. (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积为S ＝38c ，求ab 的最小值．【解析】(Ⅰ)由2cos B ＝2a ＋b c 得，2·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a ＋bc，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，故C ＝2π3.(Ⅱ)由△ABC 的面积为S ＝38c ＝12ab sin C ＝34ab ，得c ＝2ab ，将其代入a 2＋b 2－c 2＝－ab 得，a 2＋b 2－4a 2b 2＝－ab ，则4a 2b 2－ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≥34，当且仅当a ＝b ＝32，c ＝32时，ab 取最小值34.(18)(本小题满分12分)如图，几何体P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，侧面PAD 为等边三角形，且CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝13AB ＝1，PB ＝10.(Ⅰ)求证：面PAD ⊥面ABCD ；(Ⅱ)求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值． 【解析】(Ⅰ)由于PA ＝1，AB ＝3，PB ＝10， 则PB 2＝PA 2＋AB 2，则BA ⊥PA ，又∠DAB ＝90°，则BA ⊥DA ，故BA ⊥面PAD ， 又BA ⊂面ABCD ，则面PAD ⊥面ABCD.(Ⅱ)取O 为AD 中点，建立如图所示空间直角坐标系O －xyz.取E 为PA 中点，易知ED →＝⎝⎛⎭⎫－34，0，－34为面PAB 的法向量；再令n ＝(x ，y ，1)为面PBC 的法向量，由于CB →＝(1，2，0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－3，32，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－12x －3y ＋32＝0，解得x ＝－32，y ＝34， 则n ＝⎝⎛⎭⎫－32，34，1，而显然二面角A －PB －C 为锐二面角(直接由CH 与DE 平行且相等知点H 在△P AB 的内部)，故所求余弦值为||cos 〈n ，ED →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·ED →||n ·||ED →＝3131. (19)(本小题满分12分)近几年来我国电子商务行业发展迅猛，2016年元旦期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(Ⅰ)完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(Ⅱ)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X .(i)求对商品和服务全好评的次数X 的分布列(概率用组合数算式表示)； (ii)求X 的数学期望和方差．(K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )【解析】(得K 2＝200（80×10－40×70）150×50×120×80≈11.111＞10.828，可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关．(Ⅱ)(i)每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5，X ～B (5，0.4)．P (X ＝0)＝0.65；P (X ＝1)＝C 15·0.4·0.64；P (X ＝2)＝C 25·0.42·0.63；P (X ＝3)＝C 35·0.43·0.62； P (X ＝4)＝C 45·0.44·0.6；P (X ＝5)＝0.45，(ii)由于X ～B ⎝⎭⎫5，25，则EX ＝5×0.4＝2，DX ＝5×0.4×0.6＝1.2. (20)(本小题满分12分)已知等差数列{}a n 满足：a 2＝4，a 5－2a 3＋2＝0. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}b n 满足：b n ＝(－1)n a n ＋n (n ∈N *)，求{}b n 的前n 项和S n . 【解析】(Ⅰ)令等差数列{}a n 的公差为d ，由a 2＝4，a 5－2a 3＋2＝0，得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋4d ）－2（a 1＋2d ）＋2＝0，解得a 1＝2，d ＝2， 故{}a n 的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)． (Ⅱ)由于b n ＝(－1)n a n ＋n (n ∈N *)， ①若n 为偶数，结合a n －a n －1＝2，得S n ＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a n －1＋a n )＋(1＋2＋…＋n )＝2·n 2＋n （n ＋1）2＝n 2＋3n 2；②若n 为奇数，则S n ＝S n －1＋b n ＝（n －1）2＋3（n －1）2－2n ＋n ＝n 2－n －22.(21)(本小题满分12分)已知A (－2，0)，B (2，0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△APB 面积的最大值为2 3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率；(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当点P 在椭圆上运动时，求证：以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切．【解析】(Ⅰ)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，F (c ，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12·2a ·b ＝23，a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，离心率为12.(Ⅱ)证明：由题意可设直线AP 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)． 则点D 坐标为(2, 4k )，BD 中点E 的坐标为(2, 2k )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则－2x 0＝16k 2－123＋4k 2.所以x 0＝6－8k 23＋4k 2，y 0＝k (x 0＋2)＝12k3＋4k 2. 因为点F 坐标为(1，0)，当k ＝±12时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1， ±32，直线PF ⊥x 轴，点D 的坐标为(2，±2)． 此时以BD 为直径的圆(x －2)2＋(y ∓1)2＝1与直线PF 相切．当k ≠±12时，则直线PF 的斜率k PF ＝y 0x 0－1＝4k1－4k 2.所以直线PF 的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)．点E 到直线PF 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8k 1－4k2－2k －4k 1－4k 216k 2（1－4k 2）2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋8k 31－4k 21＋4k 2|1－4k 2|＝2|k |.又因为|BD |＝4|k |，所以d ＝12|BD |.故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 在椭圆上运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切． (22)(本小题满分12分)设函数f (x )＝a ln x ＋(a －1)x .(Ⅰ)若f (x )存在最大值M ，且M >0，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)令a ＝12，g (x )＝xf (x )＋b ＋24x 2－x ＋12，求证：对任意的0<b <1，g (x )总存在最小值m ，且m <0.【解析】(Ⅰ)由于f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋a －1＝（a －1）x ＋a x，当a ∈(－∞，0]∪[1，＋∞)时，f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，此时f (x )无最大值；当a ∈(0，1)时，由f ′(x )＝0得x ＝a1－a，知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 1－a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 1－a ，＋∞上单调递减，故x ＝a1－a 为f (x )的极大值点．所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a －a >0，解得：ee ＋1<a <1.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫ee ＋1，1时，f (x )有最大值M >0.(Ⅱ)当a ＝12时，g (x )＝xf (x )＋b ＋24x 2－x ＋12＝12x ln x ＋b 4x 2－x ＋12.g ′(x )＝12(ln x ＋bx －1)，由于0<b <1，则g ′(1)＝b －12<0，g ′(e)＝b e2>0，并且g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，故存在唯一的x 0∈(1，e)，使得g ′(x 0)＝0， 从而，当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，x 0)上单调递减； 当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，即g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增． 故函数g (x )存在最小值m ＝g (x 0)，结合g ′(x 0)＝0即ln x 0＝1－bx 0，得m ＝g (x 0)＝12x 0(1－bx 0)＋b 4x 20－x 0＋12＝－b 4x 20－12x 0＋12<12(1－x 0)<0. 综上得，对任意的0<b <1，g (x )总存在最小值m ，且m <0.。