傅里叶级数及频谱

三角形式的傅里叶级数 周期信号可表示为
x(t ) = x(t + mT )(m = 0,±1,±2,L)
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下， 数线性组合的无穷级数。 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数” 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
∫
T0 2 T − 0 2
x (t )d t
2 an = T0
bn 2 = T0
∫
∫
T0 2 T − 0 2
x ( t ) c o s n ω 0 td t
x (t ) s in nω 0td t
T0 2 T − 0 2
T0 T0 ~ 以上各式中的积分限一般取： 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T0 或 − 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成： 三角形式的傅里叶级数也可表示成：
( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
（4）偶谐函数 ）
T1 f (t ± ) = f (t ) 2 f (t )
L
T1 T1 − − 2 4 T1 4 T1 2
L
0t
这就是傅立叶级数的指数形式
0
1 ∞ x (t ) = ∑ An e jϕ n e jn ω 0 t = 2 n = −∞
n = −∞
∑ X (nω
∞
)e
jn ω 0 t
1 X (nω 0 ) = An e jϕn 2
2 an = T0 ∫ 可求得如下
T0 2 T − 0 2
2 x ( t ) co s nω 0 td t bn = T0
∫
T 2 0
cos n ω 0 tdt = 0
2 bn = T0 2 = T
0
∫
T0 2 T − 0 2
f (t ) sin n ω 0 tdt
2 ∫− T2 ( − 1) sin n ω 0tdt + T 0
∫
T 2 0
sin n ω 0 tdt
T 2 1 2 1 = sin n ω 0 t T + ( − cos n ω 0t ) 2 T nω 0 T nω0 − 0 2 0 , n = 2 , 4 ,6 L 2 = (1 − cos n π ) = 4 nπ n π , n = 1,3,5 L 4 1 1 1 f (t ) = [sin ω 0 t + sin 3ω 0 t + sin 5ω 0 t + L + sin n ω 0 t ] π 3 5 n
n = 1,3,5 L
信号的三角函数描述，运算不方便，我们一般用指数的形式表示
∞ A0 x (t ) = + ∑ An cos( nω 0 t + ϕ n ) 2 n =1
A0 x (t ) = + 2 A0 1 = + 2 2
∑
∞
n =1
A n j ( nω 0 t + ϕ n ) [e + e − j ( nω 0 t + ϕ n ) ] 2 1 + 2
其中
2 n
A0 ∞ x(t) = + ∑ An cos(nω0t + ϕn ) 2 n=1
（2）
A = a +b
2 n
2 n
bn ϕn = arctan(− ) an
A0 = a0
例1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅
里叶级数。 里叶级数。
f (t )
解：一个周期内 f (t ) 的表达式为：
T1
L t
E −τ <t < τ x(t ) = 2 2 0 其他
可求傅立叶系数
1 X (nω 0 ) = T0
∫
T0 2 T − 0 2
1 − jnω0t x(t )e dt = T0
∫
T0 2 T − 0 2
Ee − jnω0t dt
1 E = e − jnω0t T0 − jnω 0
f (t ) = f (−t )
2 bn = T1
∫
T1 2 T − 1 2
f ( t ) sin n ω 1 td t = 0
T1 2 0
1 2 a0 = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt T1 T1 T1 T1 2 2 4 2 a n = ∫ T1 f (t ) cos nω 1tdt = ∫ f (t ) cos nω1tdt T1 − 2 T1 0
（3）奇谐函数 ） 例如
T1 − f (t ± ) = f (t ) 2
f (t )
T1
− T1 2 T1 2
T1 f (t + ) 2
T1 2 T1 2
−
t
− T1
t
T1 − f (t + ) = f (t ) 2
T1
− T1 2 T1 2
t
a0 = 0
0 a n = 4 T21 T ∫0 f ( t ) cos n ω 1tdt 1 0 b n = 4 T21 T ∫0 f ( t ) sin n ω 1tdt 1 ( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
设周期信号为x(t), 其重复周期是T0,角频率 ω
0
= 2π f0 =
2π T0
a0 ∞ x(t ) = + ∑(an cos nω0t + bn sin nω0t ) 2 n=1
（）
直流分量： 直流分量： 余弦分量的幅度： 余弦分量的幅度： 正弦分量的幅度： 正弦分量的幅度：
a0
2 = T0
2 a0 = T0 2 = T an = 2 = T
0
1
T 2 − T 2
∫
T0 2 T − 0 2
f (t ) dt
T
0
t
2 ∫− T2 ( − 1) dt + T 2 T0
0
∫
T 2 0
1dt = 0
−1
∫
T0 2 T − 0 2
f (t ) cos n ω 0 tdt
2 ∫− T2 ( − 1) cos n ω 0tdt + T
出现
1 sin nω 0τ Eτ 2 2 = − τ T0 1 nω 0τ 2 2
τ
sin( x) 形式的函数, 在信号理论中称为取样函数记为S a ( x) x
于是
X (nω 0 )可写为 nω 0τ Eτ X ( nω 0 ) = Sa ( )(n = 0,±1,±2,L) T0 2
波形的对称性与谐波特性的关系 已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且 它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现， 留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有 两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。 （1）偶函数 ）
∫ ∫
T0 2 T − 0 2 T0 2 T − 0 2
x(t )[cos nω0t − j sin nω0t ]dt x(t )e− jnω0t dt (n = 0, ±1, ±2,L)
周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
E
f (t )
L
− T1 − T1 − τ 2 2
τ
2
T1 2
t
在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。
（5）周期锯齿脉冲信号 ） f(t) E/2 T1/2 -E/2
-T1/2
t
f (t ) =
∑ (−1) π
n =1
E
∞
n +1
1 sin nω 1t n
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的 规律收敛。
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
T1 2 T − 1 2
（2）奇函数 ）
f (t ) = − f (−t )
1 21 a0 = ∫ T1 f (t ) dt = 0 T1 − 2 T 2 21 an = ∫ T1 f (t ) cos nω1tdt = 0 T1 − 2
∑
∞
An是n的偶函数， n 是n的奇函数，上式可写为 的偶函数， 的偶函数 ϕ 的奇函数， 的奇函数
n =1
A n e jnω 0 t e jϕ n
∑
∞
n =1
A n e − jnω 0 t e − jϕ n
ϕ0 = 0 A = A e jϕ e jn ω 0 0
0
A0 1 ∞ 1 −∞ x (t ) = + ∑ An e jnω 0t e jϕ n + ∑ An e jnω 0t e jϕ n 2 2 n =1 2 n =−1`
∫
T0 2 T − 0 2
x (t ) sin nω 0 tdt
1 1 1 jωn X (nω0 ) = An e = [ An cos ϕn + jAn sin ϕn ] = (an − jbn ) 2 2 2 T0 T0 1 2 1 2 = ∫ T0 x(t )cos nω0tdt − j ∫ T0 x(t )sin nω0tdt T0 − 2 T0 − 2 1 = T0 1 = T0
周期信号的频谱分析——傅里叶级数 傅里叶级数 周期信号的频谱分析
由于三角函数是正交函数集，任意信号都可以分解成三角函 由于三角函数是正交函数集， 数的形式，即任意信号都可以视为一系列正弦信号的组合， 数的形式，即任意信号都可以视为一系列正弦信号的组合， 这些正弦信号的频率相位等特性体现原信号的特性。 这些正弦信号的频率相位等特性体现原信号的特性。这样出 现用频率域的特性来描述时间域信号的方法即频域分析法 现用频率域的特性来描述时间域信号的方法即频域分析法 我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨 论周期信号的频域分析，然后讨论非周期信号的频域分析。 论周期信号的频域分析，然后讨论非周期信号的频域分析。 傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的， 傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面 的问题统称为傅里叶分析。 的问题统称为傅里叶分析。