高二数学-南京市2014-2015学年高二上学期期末学情调研测试 数学(理)

南京市数学高二上学期理数期末质量监测试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）赋值语句M=M+3表示的意义（）A . 将M的值赋给M+3B . 将M的值加3后再赋给 MC . M和M+3的值相等D . 以上说法都不对2. （2分） (2016高三上·福州期中) 下列命题中正确的是（）A . 命题p：“∃x0∈R，”，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0B . “lna＞lnb”是“2a＞2b”的充要条件C . 命题“若x2=2，则或”的逆否命题是“若或，则x2≠2”D . 命题p：∃x0∈R，1﹣x0＜lnx0；命题q：对∀x∈R，总有2x＞0；则p∧q是真命题3. （2分）已知点G是ΔABC的重心，，,则的最小值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·渭南期末) 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该检验方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习情况，则该抽样方法为②，那么①和②的抽样方法分别为（）A . 系统抽样，分层抽样B . 系统抽样，简单随机抽样C . 分层抽样，系统抽样D . 分层抽样，简单随机抽样5. （2分） (2018高二下·扶余期末) 给出下列四个五个命题：①“ ”是“ ”的充要条件②对于命题，使得，则，均有；③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；④函数只有个零点；⑤ 使是幂函数，且在上单调递减.其中是真命题的个数为：（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·延安模拟) 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的，分别为和，则输出的（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·惠州模拟) 两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·浦城期中) 下列各组数中最小的数是（）A . 1111（2）B . 210（6）C . 1000（4）D . 101（8）9. （2分） (2017高二上·大连开学考) 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =2， =3，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（）A . =0.4x+2.1B . =2x﹣1C . =﹣2x+1D . =0.4x+2.910. （2分）(2017·临沂模拟) 斜率为2的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一下·佛山月考) 某大型超市有员工人，其中男性员工人，现管理部门按性别采用分层抽样的方法从超市的所有员工中抽取人进行问卷调查，若抽取到的男性员工比女性员工多人，则 ________.12. （1分）(2018·南阳模拟) 若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为________．13. （1分）(2017·嘉兴模拟) 如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足 =3 ，点P 在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为________．14. （1分） (2016高二上·绥化期中) 若椭圆的离心率为，则k的值为________．15. （1分） (2017高二上·长春期中) 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2016高一下·龙岩期末) 国Ⅳ标准规定：轻型汽车的屡氧化物排放量不得超过80mg/km．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如表（单位：mg/km）A8580856090B70x95y75由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为X，求X=1时的概率．17. （10分） (2017高二上·高邮期中) 已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求m的取值范围．18. （10分） (2017高二上·钦州港月考) 假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y24567若由资料知y对x呈线性相关关系。

沭阳银河学校2014-2015学年度第一学期高二年级第二次学情调研测试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．） 1．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则=∠B ； 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ； 3．在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则A = ； 4．不等式0122<--x x 的解集是 ；5．已知数列{}n a 的前n 项和为13-=n n S ，则通项公式=n a ；6．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60=A 2=a ，332=b ，则边c 的长为 ；7．已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则212b a a -的值为 ； 8．若数列{}n a 满足111,1n n a na a n +==+，则8a = ； 9．已知正数y x ,满足118=+yx ，则y x 2+的最小值是 ； 10．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若11=a ,公差2=d ,242=-k k S S ，则k 的值等于 ； 11．等比数列{}n a 中，12435460,236a a a a a a a <++=，则35a a += ；12．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,05,03x y x y x 则y x z +=2的最大值为 ；13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为等边三角形； ③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立； ④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解． 其中，结论正确的编号为 ；14．已知关于x 的一元二次不等式0112)2(2>+-+-x b x a 的解集为R ，若4≤a ，则ba ba +-2的取值范围是 。

2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷一、填空题1．已知集合{}2,A x x x R =<∈，集合{}13,B x x x R =<<∈，则AB = .2．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .3．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .4．下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 7．已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .8．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9．在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD xAF yAE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 .12．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .13．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .14．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .二、解答题15．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin ,n A ⎛= ⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为32x =6()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线310x y +=截得的线段长.19．已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、、2m a ，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中3m ≥，m N *∈. （1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对任意的n N *∈，都有2n m n a a +=成立． ①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数()2ln f x ax x =-（a 为常数）．（1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.21．如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．23．在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭24．解不等式211x x +--≤. 25．在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点．（1）求异面直线1A E 、CF 所成的角； （2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．（1）求2ξ=时的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案1．{}12,x x x R <<∈或()1,2 【解析】{}2,A x x x R =<∈，{}13,B x x x R =<<∈，{}12,A B x x x R ∴=<<∈.考点：集合的交集运算2．2,220x R x x ∃∈-+>【解析】由全称命题的否定知，命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,220x R x x ∃∈-+>”.考点：命题的否定3【解析】1iz i =+，111i z i i i+∴==-+=-，z ==. 考点：复数的除法运算、复数的模4．31【解析】第一次循环，2113a =⨯+=，330a =>不成立，执行第二次循环；2317a =⨯+=，730a =>不成立，执行第三次循环；第三次循环，27115a =⨯+=，1530a =>不成立，执行第四次循环；第四次循环，215131a =⨯+=，3130a =>成立，跳出循环体，输出的a 值为31.考点：算法与程序框图5．13【解析】利用x 、y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用(),x y 表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个；事件“取出的两个球的编号大于5”所包含的基本事件有：()2,4，()3,4，共2个，所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率2163P ==. 考点：古典概型6．2π【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有122r r ππ=⇒=，故底面面积2211S r ππππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故圆柱的体积122V Sh ππ==⨯=. 考点：圆柱的体积7．4【解析】如下图所示，不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程24x y +=，令0y =，解得4x =，得点A 的坐标为()4,0，作直线:l z x y =+，其中z 可视为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过区域中的点()4,0A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 404z =+=.考点：线性规划8．2y x =或20x y -=【解析】sin y x x =+,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos02y '=+=，故曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=.考点：利用导数求函数图象的切线方程9．2n【解析】设等差数列{}n a 的首项1a 与公差d 的方程组，则有418137715a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故()()2111222n n n d n n S na n n --⨯=+=+=.考点：等差数列的前n 项和10．52【解析】D 为BC 的中点，()11112222BD BC AC AB AC AB ∴==-=-，AD AB BD∴=+1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF yAE ⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=.考点：平面向量的基底表示 11．1±【解析】当0a ≥时，()213a f a =+=，解得1a =；当0a <时，0a ->，由于函数()f x 是偶函数，()()213a f a f a -∴=-=+=，解得1a =-，综上所述，1a =±.考点：函数的奇偶性12．()1,2【解析】法一：如下图所示，设BE x =，则03x <<，由勾股定理易得AE =3CE x =-，112122CF CD ==⨯=，EF ===AF ==AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +-0<，即()()2224610102640x x x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<； FE DCB A法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为x 轴、y轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，()()()0,2,0,2EA x x =-=-，EF =()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅<，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2320x x -+<，解得12x <<，且A 、E 、F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠.考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积13【解析】由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠=，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为()0,a ，设点Q 的坐标为(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，()()(),0,,QA a x y a x y =--=---，PQ =2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，解得233x a a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点Q 的坐标为2,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点Q 的坐标代入椭圆的方程得2222211133a a a b⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得225a b =，即()2225a a c =-，2245c a ∴=，c e a ∴==.考点：共线向量、椭圆的离心率14．()21,24【解析】如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()33log log f a a a ==-，()3log f b b =3log b =，()()f a f b =，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令21108033x x -+=，即210240x x -+=，解得4x =或6x =，而二次函数2110833y x x =-+的图象的对称轴为直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c 和点()(),d f d 均在二次函数2110833y x x =-+的图象上，故有52c d +=，10d c ∴=-，由于()21103338133f =⨯-⨯+=，当13x <<时，()33log log f x x x ==，30log 1x ∴<<，13b <<，()01f b ∴<<，()()f b f c =，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()3,5上单调递减，且()31f =，()40f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c ∴=⨯==-=-+()2525c =--+，34c <<，()22152524c ∴<--+<，即2124abcd <<.考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性15．（1）60A =；（2）ABC S ∆=.【解析】（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式1sin 02A A =，再利用弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出sin B 和cos B ，并利用()sin sin C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，最后利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求出ABC ∆的面积.（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，则1sin 022A A -=， 4分因为090A <<，所以cos 0A ≠，则tan A =60A = 7分（2）解法一：由正弦定理得sin sin a b A B=，又7a =，8b =，60A =， 则84sin sin 607B ==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以1cos 7B =， 9分因为()11sin sin sin cos cos sin 72C A B A B A B =+=+=+=， 12分所以1sin 2ABC S ab C ∆==分 解法二：因为7a =，8b =，60A =，所以由余弦定理可知，214964282c c =+-⨯⨯，即28150c c -+=，解得3c =或5c =， 当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意；当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；所以1sin 2ABC S bc A ∆== 14分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式16．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AP 平面MBD ；（2）先证明AD ⊥平面PBD ，得到AD BD ⊥，再由已知条件证明BD PD ⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAD .试题解析：（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，所以//OM PA ， 4分因为OM ⊂平面MBD ，AP ⊄平面MBD ，所以//AP 平面MBD 6分MODC BA P（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 8分因为AD PB ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ，因为BD ⊂平面PBD ，所以AD BD ⊥， 10分因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 12分又因为BD AD ⊥，AD PD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD 14分考点：直线与平面平行、直线与平面垂直17．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为x 米，并将宽度也用x 进行表示，并将绿化区域的面积S 表示成x 的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x米，绿化区域的总面积为S 平方米， ()240064S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6分2400242446x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭ 360024244x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()6,600x ∈ 8分 因为()6,600x ∈，所以3600120x x +≥， 当且仅当3600x x=，即60x =时取等号 12分 此时S 取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米. 14分考点：矩形的面积、基本不等式18．（1）221124x y +=；（2） 【解析】（1）先根据题中的条件确定a 、c的值，然后利用b =b 的值，从而确定椭圆C 的方程；（2）先确定点M 的坐标，求出圆M 的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题意知3c a =，2a c =，解得a =，则c =2b =，故椭圆C 的标准方程为221124x y += 5分 （2）由题意可知，点M 为线段AB 的中点，且位于y 轴正半轴，又圆M 与x 轴相切，故点M 的坐标为()0,t ，不妨设点B 位于第一象限，因为MA MB t ==，所以(),B t t ， 7分 代入椭圆的方程，可得221124t t +=，因为0t >，解得t =， 10分所以圆M的圆心为((223x y += 12分 因为圆心M到直线10x +=的距离1d== 14分故圆M 被直线10x +=截得的线段长为=分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 19．（1）数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①m 的值为7或21；②详见解析.【解析】（1）根据数列的定义求出当12n m ≤≤时数列{}n a 的通项公式，注意根据n 的取值利用分段数列的形式表示数列{}n a 的通项；（2）①先确定164是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出m 的值；②在（1）的基础上，先将数列{}n a 的前2m 项和求出，然后利用周期性即可求出43m S +，构造()21312mf m m m =-++-，利用定义法求出()f m 的最大值，从而确定2m S 和43m S +的最大值，进而可以确定是否存在m N *∈，使得432m S +≥.试题解析：（1）当1n m ≤≤时，由题意得24n a n =-+， 2分 当12m n m +≤≤时，由题意得12n mn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 4分 故数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 5分（2）①因为12164n -+=无解，所以164必不在等差数列内， 因为611642⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以164必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项， 则数列的一个周期至少有12项， 7分所以第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内， 若1272m ≤≤时，则272711264m a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得21m =， 若21274m m +≤≤，则2732727211264mm a a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得7m =， 故m 的值为7或21 9分②因为221312m mS m m =-++-，12330a a a S ++==， 所以2432123122312m m m S S a a a m m +⎛⎫=+++=-++- ⎪⎝⎭， 12分 记()21312m f m m m =-++-，则()()()111212m f m f m m ++-=-+， 因为3m ≥，所以()()10f m f m +-<，即()()1f m f m +<， 14分故3m =时，2m S 取最大，最大值为78， 从而43m S +的最大值为74，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m 16分 考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性20．（1）函数()f x 的单调递减区间为()0,1；（2）实数a 的取值范围是212,0e e e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭.【解析】（1）将12a =代入函数解析式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数()()()2F x f x a x =--，将问题转化为“对任意[]1,x e ∈时，()0F x ≥恒成立”，进而转化为()min 0F x ≥，围绕()min 0F x ≥这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数a 的取值范围.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()21212ax f x ax x x-'=-=，当12a =时，()21x f x x-'=， 2分由()0f x '<及0x >，解得01x <<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1 4分（2）设()()()()22ln 2F x f x a x ax x a x =--=---，因为对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x ≥-恒成立，所以()0F x ≥恒成立，()()()()()2221121122ax a x ax x F x ax a x x x---+-'=---==， 因为0a <，令()0F x '=，得11x a =-，2112x =<， 7分①当101a<-≤，即1a ≤-时，因为()1,x e ∈时，()0F x '<，所以()F x 在()1,e 上单调递减，因为对任意的[]1,x e ∈，()0F x ≥恒成立，所以[]1,x e ∈时，()()min 0F x F e =≥，即()2120ae a e ---≥，解得212e a e e -≥-，因为2121ee e ->--。

南京市2014—2015学年度第一学期期末学情调研测试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分．）1．命题“x ∃∈R ，2x x ≥”的否定是 ．2．已知复数(43i)i z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ．3．直线l20y --=的倾斜角是 ．4．已知实数x ，y 满足条件10260x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤，则3x y +的最大值是 ．5．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值为 ．6．方程22112x y m m-=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是 ． 7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ，则此双曲线的离心率为 ．8．已知函数1sin 2y x x =-，(0)x π∈，，则它的单调递减区间为 ． 9．已知圆1C ：2220x y x +-=与圆2C ：22()(4)16x a y -+-=外切，则实数a 的值为 ． 10．已知椭圆C ：221259x y +=上一点P 到右准线的距离为5，则点P 到椭圆C 的左焦点的距离为 ． 11．设函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，x ∈R ，(1)3f =，则(2015)f = ． 12．已知△ABC 顶点的坐标为(10)A ，，(30)B ，，(01)C ，，则△ABC 外接圆的方程是 ．13．下列命题正确的是 ．(填写所有正确命题的序号)①a ，b ，c 成等差数列的充分必要条件是2a c b +=；②若“x ∃∈R ，220x x a ++<”是真命题，则实数a 的取值范围是1a <；③0a >，0b >是方程221ax by +=表示椭圆的充分不必要条件；④命题“若1a ≠，则直线10ax y ++=与直线20x ay +-=不平行”的否命题是真命题．14．已知函数32()31f x ax x =-+在区间(02]，上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．）15．（本小题满分8分）已知△ABC 的顶点为(24)A ，，(02)B -，，(24)C -，．（1）求BC 边上的高所在直线的方程；（2）若直线l 经过点C ，且A ，B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．16．（本小题满分10分）已知半径为2的圆C 满足：①圆心在y 轴的正半轴上；②它截x 轴所得的弦长是．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(23)P -，，且与圆C 相切，求直线l 的方程．18．（本小题满分10分）如图，有一块钢板其边缘由一条线段及一段抛物线弧组成，其中抛物线弧的方程为222y x =-+(11)x -≤≤．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，切割时以边缘的一条线段为梯形的下底． （1）若梯形上底长为2x ，试求梯形面积S 关于x 的函数关系式；（2）求梯形面积S 的最大值．19．（本小题满分10分）已知2()ln f x x a x =-(0)a >．（1）当1a =时，求()f x 的单调递减区间；（2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分10分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点1)2，A ，B ．直线1l ：2x =-，直线2l ：2y =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上在x 轴上方的一个动点，直线AP 与直线2l 交于点M ，直线BP 与直线1l 交于点N ，求直线MN 的斜率的取值范围．。

2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是．2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．3．（5分）在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．4．（5分）若复数z=a2﹣4+（a﹣2）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=．5．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．7．（5分）已知曲线y=lnx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为．8．（5分）一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为．9．（5分）已知等比数列{a n}中，有成立．类似地，在等差数列{b n}中，有成立．10．（5分）为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有种．（用数字作答）11．（5分）“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）12．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx﹣tx在[0，π]上单调递减，则实数t的取值范围是．13．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则﹣2（lnb﹣lna）的范围是．14．（5分）函数f（x）=+x3（x∈R），其导函数为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（﹣2015）=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设p：复数z=（1﹣2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数g（x）=x3+mx2+（m+）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．16．（14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．17．（14分）对于一切n∈N*，等式×+×+…+×=a+（a∈R，b∈R）恒成立．（1）求a，b的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．18．（16分）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．（16分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是∀x＜2，x2≤4．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是：∀x＜2，x2≤4．故答案为：∀x＜2，x2≤4．2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．3．（5分）在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．【分析】根据方差的定义，首先求出数据的平均数，由公式求方差．【解答】解：=（84+84+86+84+87）=85S2=[3×（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=所以所剩数据的方差为．4．（5分）若复数z=a2﹣4+（a﹣2）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=4．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z=a2﹣4+（a﹣2）i（a∈R）是纯虚数，∴，解得a=﹣2．∴z=﹣4i．则|z|=4．故答案为：4．5．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为15．【分析】根据分层抽样的定义以及概率的关系即可得到结论．【解答】解：∵个产品被抽到的概率为0.02，∴应从乙车间抽产品数量为750×0.02=15，故答案为：156．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是31．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：执行程序，有S=1，n=0，不满足条件S≥20，有n=1，S=4；不满足条件S≥20，有n=2，S=10；不满足条件S≥20，有n=3，S=19；不满足条件S≥20，有n=4，S=31；满足条件S≥20，输出S的值为31，故答案为：31．7．（5分）已知曲线y=lnx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为y=．【分析】设P（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线方程，由切线经过原点，可得n=1，由切点在曲线上，求得m，即可得到切线方程．【解答】解：设P（m，n），y=lnx的导数为y′=，即有在点P处的切线斜率为k=，则切线方程为y﹣n=（x﹣m），又切线经过原点，即有n=1，由于lnm=n，解得m=e，则有切线方程为y=．故答案为：y=．8．（5分）一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为1﹣．【分析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1，其面积为﹣π，再用几何概型公式即得本题的概率．【解答】解：如图由已知，高为3，两底分别为3和6的直角梯形面积为，离四个顶点距离都大于1的区域是如图阴影部分，即以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在除此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1的部分，其面积为=﹣π，∴蚂蚁恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为P=．故答案为：1﹣．9．（5分）已知等比数列{a n}中，有成立．类似地，在等差数列{b n}中，有成立．【分析】在等差数列中，考查的主要是若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，那么对应的在等比数列中考查的应该是若m+n=p+q，则b m b n=b p b q．【解答】解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．10．（5分）为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有20种．（用数字作答）【分析】本题是一个分类计数问题，根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，根据题意分三类：甲安排在周一，共有A42种排法；甲安排在周二，共有A32种排法；甲安排在周三，共有A22种排法．根据分类加法原理知共有A42+A32+A22=20．故答案为：20．11．（5分）“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【分析】当a=﹣1时，a+4=2﹣a=3，方程+=1是圆；由方程+=1表示椭圆，得，由此能求出“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：∵﹣4＜a＜2，∴，当a=﹣1时，a+4=2﹣a=3，方程+=1是圆，∴“﹣4＜a＜2”推不出“方程+=1表示椭圆”，∵方程+=1表示椭圆，∴，∴解得﹣4＜a＜﹣1或﹣1＜a＜2，∴“方程+=1表示椭圆”⇒“﹣4＜a＜2”，∴“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．12．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx﹣tx在[0，π]上单调递减，则实数t的取值范围是[2，+∞）．【分析】求出函数f（x）的导数f′（x）=cosx+sinx﹣t，函数f（x）在[0，π]上单调递增可转化为f′（x）≤0，即cosx+sinx﹣t≥0在区间[0，π]上恒成立，变成求函数的最值问题即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx﹣tx在[0，π]上单调递减，∴函数f（x）的导数f′（x）≤0，在区间[0，π]上恒成立，求得f′（x）=cosx+sinx﹣t，所以cosx+sinx﹣t≤0在区间[0，π]上恒成立即t≥cosx+sinx对x∈[0，π]总成立，记函数g（x）=cosx+sinx=2sin（x+），易求得g（x）在[0，π]的最大值为2，从而t≥2，故答案为：[2，+∞）．13．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则﹣2（lnb﹣lna）的范围是[﹣ln，+∞）．【分析】求出椭圆的右焦点和右准线，求得AF的长，再由椭圆的性质，可得a ﹣c≤|PF|≤a+c，进而得到a≤2c，由a，b，c的关系，可得a，b的关系，令t=，（0＜t），则f（t）=t2﹣2lnt，运用导数判断单调性，即可得到所求范围．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），右准线为x=，由题意|PF|=|AF|=﹣c，由椭圆的性质可得a﹣c≤|PF|≤a+c，即有a﹣c≤﹣c≤a+c，即有c＜a+c且a﹣c≤c，则有a2≤4c2=4（a2﹣b2），即为0＜≤，则﹣2（lnb﹣lna）=（）2﹣2ln，令t=，（0＜t），则f（t）=t2﹣2lnt，由f′（t）=2t﹣在（0，]小于0，则有f（t）在（0，]递减，故f（t）的范围为[﹣ln，+∞）．故答案为：[﹣ln，+∞）．14．（5分）函数f（x）=+x3（x∈R），其导函数为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（﹣2015）=4026．【分析】先化简f（x），再求出f（﹣x），得到f（x）+f（﹣x）=2014+2012=4026，然后求导，得到导函数为偶函数，问题得以解决．【解答】解：f（x）=+x3=+x3=2014﹣﹣x3，∴f（﹣x）=2014﹣﹣（﹣x）3=2012++x3，∴f（x）+f（﹣x）=2014+2012=4026∴f′（x）=﹣3x2，∴f′（﹣x）=﹣3x2，∴f′（x）=f′（﹣x）∴f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（﹣2015）=4026故答案为：4026二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设p：复数z=（1﹣2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数g（x）=x3+mx2+（m+）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【分析】先根据复数的定义，函数导数在极值点处的取值情况求出命题p，q下的m的取值范围，再根据p且q为真，对所得m的取值范围求交集即可．【解答】解：∵复数z=（1﹣2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，即m＜﹣2或．…（5分）∵函数在R上有极大值点和极小值点各一个，∴有两个不同的解，即△＞0．由△＞0，得m＜﹣1或m＞4 …（10分）要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，…（12分）∴．∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．…（14分）16．（14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．【分析】（1）根据频率和为1，求出低于50分的频率，计算对应的频数即可；（2）根据题意，计算成绩在80及以上的分数的频率即可；（3）求出“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数是多少，再利用古典概型计算对应的概率．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为：f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1，…（3分）所以低于60分的人数为60×（0.1+0.15）=15（人）；…（5分）（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），频率和为（0.025+0.005）×10=0.3，所以，抽样学生成绩的优秀率是30%，…（8分）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%；…（9分）（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9，所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：P=1﹣=．…（14分）17．（14分）对于一切n∈N*，等式×+×+…+×=a+（a∈R，b∈R）恒成立．（1）求a，b的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．【分析】（1）将n=1，n=2代入等式，求a，b的值；（2）用数学归纳法证明成立，证明时先证①当n=1时成立；②再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．【解答】解：（1）将n=1，n=2代入等式得：解得：…（6分）（2）由（1）得，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=，右边=，等式成立；…（8分）②假设n=k时等式成立，即则n=k+1时，左边=×+×+…++=1﹣+=1﹣=右边即n=k+1时等式成立．…（12分）由①②知，等式成立．…（14分）18．（16分）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【分析】（1）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（2）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（3）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）19．（16分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．【分析】（1）求出抛物线的焦点，由题意可得a=2，再由离心率公式可得c，进而得到b，即有椭圆方程；（2）（i）设A（m，n），则B（m，﹣n）代入椭圆方程，通过直线方程求得交点M，代入椭圆方程的左边，检验即可得证；（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，设A（x1，y1），M（x2，y2），求得|y1﹣y2|，通过对勾函数的单调性，即可得到面积的最大值．【解答】解：（1）因为抛物线y2=8x的焦点为（2，0），又椭圆以抛物线焦点为顶点，所以a=2，又e==，所以c=1，b2=3，∴椭圆E的方程为=1．（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0）．设A（m，n），则B（m，﹣n）（n≠0），=1．AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）+（m﹣4）y=0，设M（x0，y0），则有，得x0=，由于==1，所以点M恒在椭圆C上；（ⅱ）解：设AM的方程为x=ty+1，代入=1，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设A（x1，y1），M（x2，y2），解方程得，y1=．|y1﹣y2|=，令=λ（λ≥1），令=λ（λ≥1），则|y1﹣y2|=，因为函数y=3λ+在[1，+∞）上为增函数，所以，当λ=1即t=0时，y=3λ+有最小值4，S△AMN==，所以△AMN面积最大值为．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（I）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间；（II）先把问题转化为F'（x0）=≤恒成立；再结合二次函数即可求出结论；（III）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x2）+x2+有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．【解答】解：（I）∵F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣，∴F'（x）=+=，（x＞0）；∵x＞0，a＞0，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上递增；（II）∵F'（x）=，（0＜x≤3），则k=F'（x0）=≤恒成立；即a≤（﹣2x0）在（0，3]上恒成立，当x0=1时，（﹣2x0）取到最小值﹣，∴a≤﹣．即a的最大值为﹣．（III）y=g（）+m﹣1=﹣x2+m﹣的图象与函数y=f（1+x2）=ln（1+x2）的图象恰有四个不同的交点，即，﹣x2+m﹣=ln（1+x2）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x2）+x2+有四个不同的根；令G（x）=ln（1+x2）+x2+；则G'（x）=+x=；∴x＞0时，G′（x）＞0，G（x）递增，x＜0时，G′（x）＜0，G（x）递减，∴G（x）min=G（0）=＞0，∴不存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()i 12i 34z +=-，则z=（）A.B.C.3D.52.设a 为实数，已知直线()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=，若12l l ∥，则a =（）A.6B.3- C.6或3- D.6-或33.已知焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的焦距为6，则实数m 等于（）A.34B.214C.12D.12-4.已知cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. B.3-C.D.35.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +-=相交于,A B 两点，且ABC V 的面积为8，则a =（）A. B.1- C.1D.6.已知M 为直线:2310l x y ++=上的动点，点P 满足()2,4MP =-，则点P 的轨迹方程为（）A.3290x y -+=B.2249(2)(4)13x y -++=C.2390x y ++= D.2249(2)(4)13x y ++-=7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，118,2AB A B ==，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23，若图1和图2中纯净水的体积分别为12,V V ，则12V V =（）A.23B.65C.287208D.3872088.关于椭圆有如下结论：“过椭圆()222210+=>>x y a b a b 上一点()00,P x y 作该椭圆的切线，切线方程为00221x x y y a b +=.”设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与C 的一个交点为M ，过M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率1k 与直线AM 的斜率2k 满足1220k k +=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.22二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.0.025a =B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//αβ，//m α，n β⊥，则m n ⊥B.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C .若m α⊥，//n β，//m n ，则αβ⊥ D.若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n⊥11.已知圆C ：22(2)4x y -+=，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆221080x y x y m +--+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =B.圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=C.直线()()2132530m x m y m +++--=与圆C 恒有两个公共点D.点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.13.已知P 为椭圆22:194x y C +=上的点，()1,0A ，则线段PA 长度的最小值为__________.14.已知()()()0,2,1,0,,0A B C t ，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤恒成立，则正整数t 的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =.（1）求角A ；（2）若a ABC =△的面积为332，求ABC V 的周长.16.如图，圆柱1OO 中，PA 是一条母线，AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若24PA AB ==，求二面角A PB C --的余弦值.17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有,A B 两道题目，比赛按先A 题后B 题的答题顺序各答1次，答对A 题得2分，答对B 题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A 题的概率为p ，答对B 题的概率为q ，其中01,01p q <<<<，学生乙答对A 题的概率为34，答对B 题的概率为23，且甲乙各自在答,A B 两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为13，得3分的概率为16.（1）求,p q 的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18.已知圆M 过点()3,3A ，圆心M 在直线250x y +-=上，且直线250x y -+=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）过点()0,2D -的直线l 交圆M 于,A B 两点.若A 为线段DB 的中点，求直线l 的方程.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为121,2A A ､分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，126A F =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧），记直线12,A P A P ，21,A Q A Q 的斜率分别为1234,,,k k k k .（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，问直线PQ 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()i 12i 34z +=-，则z=（）A.B.C.3D.5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得12i z =--，结合复数的几何意义计算即可求解.【详解】由题意知，34i (34i)(12i)36i 4i 812i 12i (12i)(12i)5z ------====--++-，所以z ==故选：B2.设a 为实数，已知直线()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=，若12l l ∥，则a =（）A.6B.3-C.6或3-D.6-或3【答案】A 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为12l l ∥，所以()318a a -=，解得：6a =或3a =-.当6a =时，12:6320,:6340l x y l x y +-=++=，平行；当3a =-时，12:3320,:6640l x y l x y -+-=-+=，可判断此时重合，舍去.故选：A3.已知焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的焦距为6，则实数m 等于（）A.34B.214C.12D.12-【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，3,3m a b c >===，又222a b c =+，所以3912m =+=，即实数m 的值为12.故选：C4.已知cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.B.3-C.D.3【答案】B 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得tan 2α=，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】由cos πsin(4αα=-πcos )sin cos )sin cos 422αααααα=-=-=-，即tan 2α=，所以πtan 13tan(341tan 1ααα++===---.故选：B5.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +-=相交于,A B 两点，且ABC V 的面积为8，则a =（）A. B.1- C.1D.【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的面积公式可得π2ACB ∠=，由圆心(0,2)C 到直线20x ay ++=的距离d ，再利用点线距公式建立方程，解之即可.【详解】由三角形的面积公式可得214sin 82ABC S ACB =⨯∠= ，得sin 1ACB ∠=，由0πACB <∠<，得π2ACB ∠=，所以ABC V 为等腰直角三角形，所以圆心(0,2)C 到直线20x ay ++=的距离为π4sin4d ==，由点到直线的距离公式得d =1a =.故选：C6.已知M 为直线:2310l x y ++=上的动点，点P 满足()2,4MP =-，则点P 的轨迹方程为（）A.3290x y -+=B.2249(2)(4)13x y -++=C .2390x y ++= D.2249(2)(4)13x y ++-=【答案】C 【解析】【分析】由点P 坐标，得到M 坐标，代入直线方程即可.【详解】设点(),P x y ，因为()2,4MP =-，所以()2,4M x y -+，代入直线方程可得：()()223410x y -+++=，化简可得：2390x y ++=.所以P 的轨迹方程为2390x y ++=.故选：C7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，118,2AB A B ==，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23，若图1和图2中纯净水的体积分别为12,V V ，则12V V =（）A.23B.65C.287208D.387208【答案】D 【解析】【分析】根据棱台的体积公式，求出12,V V ，即可解出.【详解】设四棱台的高度为h ，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则((1211291291046425,43663323h h h h V V =++⋅==++⋅=，所以12387208V V =.故选：D.8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆()222210+=>>x y a b a b 上一点()00,P x y 作该椭圆的切线，切线方程为00221x x y y a b +=.”设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与C 的一个交点为M ，过M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率1k 与直线AM 的斜率2k 满足1220k k +=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出点,M A 的坐标，再求出切线l 与直线AM 的斜率，列式求解即可.【详解】依题意，(,0),(,0)A a F c -，由x c =-代入椭圆方程得2b y a=±，不妨设2(,)b M c a -，则切线222:1b ycx a l a b-+=，即y ex a =+，切线l 的斜率1k e =，直线AM 的斜率22221()b ac a k e c a a a c -==-=---+，则2(1)0e e +-=，所以23e =.故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.0.025a =B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分【答案】ABD 【解析】【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【详解】对于A ：由()0.002520.0100.020.04101a ⨯++++⨯=，解得0.025a =，正确；对于B ：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；对于C ：因为0.025a =，由()0.002520.0100.025100.4⨯++⨯=，()0.002520.0100.0250.04100.8⨯+++⨯=，所以70百分位数是3801087.54+⨯=，故错误；对于D ：高一年学生成绩的平均数约为450.04550.11650.18750.35850.22950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分；高二年学生成绩的平均数约为450.025550.025650.1750.25850.4950.280.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，因为7480.75<，故正确；故选：ABD10.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//αβ，//m α，n β⊥，则m n ⊥B.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC.若m α⊥，//n β，//m n ，则αβ⊥D.若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n⊥【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.【详解】对于A ，由//m α，得存在过直线m 的平面与平面α相交，令交线为c ，则//m c ，而n β⊥，//αβ，则n α⊥，n c ⊥，因此m n ⊥，A 正确；对于B ，由//αβ，m α⊂，n β⊂，得,m n 是平行直线或异面直线，B 错误；对于C ，由//n β，得存在过直线n 的平面与平面β相交，令交线为l ，则//n l ，由//m n ，得//m l ，又m α⊥，则l α⊥，因此αβ⊥，C 正确；对于D ，αβ⊥，m α⊂，n β⊂，当,m n 都平行于,αβ的交线时，//m n ，D 错误.故选：AC11.已知圆C ：22(2)4x y -+=，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆221080x y x y m +--+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =B.圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=C.直线()()2132530m x m y m +++--=与圆C 恒有两个公共点D.点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为6【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B ；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M 恒有两个公共点，即可判断C ；易知直线AB 恒过定点(0,0)，由CM AB ⊥得出点M 的轨迹，结合点与圆的位置关系计算即可判断D.【详解】A ：由题意得：221080x y x y m +--+=的圆心为(5,4)，=该圆与圆22:(2)4C x y -+=有3条公切线，则两圆外切，所以2=，解得32m =，故A 错误；B ：两圆的圆心分别为(0,1),(2,0)-，半径分别为1和2，则211312-=<=+，所以两圆相交，2220x y y =++与22(2)4x y -+=相减得：20x y +=，故圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=，故B 正确；C ：(21)(32)530m x m y m +++--=变形为()235(23)0x y m x y +-++-=，令2350230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即直线(21)(32)530m x m y m +++--=恒过点()1,1，由于()221214-<+，点()1,1在圆M 内，所以(21)(32)530m x m y m +++--=与圆M 恒有两个公共点，故C 正确；D ：如图，圆(2,0)C ，半径为2，则圆C 与y 轴相切，切点为原点O ，即为A ，易知直线AB 恒过点(0,0)A ，又M 为AB 的中点，则CM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，圆心为(1,0)，半径为1，又(5,3)N ，所以MN 16=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键点在于直线AB 恒过定点(0,0)，由CM AB ⊥得出点M 的轨迹为圆.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.【详解】从五张卡片中任取两张共有25C 10=，两张卡片上的数字之和是3的倍数有，()()()()1,2,1,5,2,4,4,5共4种，所以概率42105p ==.故答案为：2513.已知P 为椭圆22:194x y C +=上的点，()1,0A ，则线段PA 长度的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】记线段PA 的长度为d ，表达d 的函数，利用0(P x ,0)y ；033x -≤≤，结合二次函数的性质即可求d 的最小值．【详解】设(1,0)A ，记线段PA 的长度为d ，P 是椭圆E 上任意一点，设0(P x ,0)y ,033x -≤≤,所以：d =．由于033x -≤≤，故095x =时，d 有最小值，且d 的最小值5，故答案为：514.已知()()()0,2,1,0,,0A B C t ，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤恒成立，则正整数t 的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】求出直线AC 的方程，设22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.由AD ≤，列不等式，利用判别式法求出t 的范围，即可求解.【详解】由题意知直线AC 的方程为22y x t =-+.因为点D 是直线AC 上的动点，所以可设22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为AD ≤≤，化简得：2282615024x x t t ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎭+≥⎝对任意x 恒成立,所以22244150862t t ⎛⎫⎛⎫-⨯∆⨯≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++，化简得224708t t +-=≤∆,解得121027t +≥或121027t -≤，结合t 为正整数得：t 的最小值为4.故答案为：4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =.（1）求角A ；（2）若a ABC =△的面积为2，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3A =（2）5+.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得bc 的值，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】因为sin2sin b A a B =，所以2sin cos sin b A A a B =.根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B A A A B =，因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 2A =.又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】在ABC V 中，由已知11sin ,62222ABC S bc A bc bc ==⋅=∴= ，因为,π3A a ==由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即721()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭，即27()3b c bc =+-，又0,0b c >>,所以5b c +=.所以ABC V 的周长周长为5+.16.如图，圆柱1OO 中，PA 是一条母线，AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若24PA AB ==，求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得,PA BC ⊥又AC BC ⊥，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，确定CEO ∠是二面角A PB C --的平面角，利用定义法求解即可.【小问1详解】因为PA 是一条母线，所以PA ⊥平面ABC ，而⊂BC 平面,ABC 则,PA BC ⊥因为AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点，所以90ACB ∠= ，即AC BC ⊥，又,PA AC ⊂平面PAC 且PA AC A = ，所以⊥BC 平面PAC ，而⊂BC 平面PBC ，则平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】设24PA AB ==，则PB =，因为C 是 AB 的中点，O 为底面圆心，所以CO ⊥平面PAB ，作OE PB ⊥，交PB 于点E 连接CE ，由,OE PB CE PB ⊥⊥可知，CEO ∠是二面角A PB C --的平面角.则PB OE PA BO ⋅=⋅，即5OE ==，在直角COE中，5CE ==.所以25cos 3355CEO ∠==.故二面角A PB C --的余弦值为23.17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有,A B 两道题目，比赛按先A 题后B 题的答题顺序各答1次，答对A 题得2分，答对B 题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A 题的概率为p ，答对B 题的概率为q ，其中01,01p q <<<<，学生乙答对A 题的概率为34，答对B 题的概率为23，且甲乙各自在答,A B 两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为13，得3分的概率为16.（1）求,p q 的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【答案】（1）21,32p q ==（2）1136.【解析】【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i 分的事件为()0,2,3,5i C i =，乙得分为i 分的事件为()0,2,3,5i D i =，从而得到不低于8分的事件为355355E C D C D C D =++，再结合概率加法、乘法公式即可求解.【小问1详解】由题意得()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21,32p q ==.【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为0,2,3,5.记甲得分为i 分的事件为()0,2,3,5i C i =，乙得分为i 分的事件为()0,2,3,5i D i =，,i i C D 相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则355355E C D C D C D =++，且355355,,C D C D C D 彼此互斥.易得()31,6P C =.()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯= ⎪⎝⎭，所以()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为1136.18.已知圆M 过点()3,3A ，圆心M 在直线250x y +-=上，且直线250x y -+=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）过点()0,2D -的直线l 交圆M 于,A B 两点.若A 为线段DB 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）22(2)(1)5x y -+-=（2）0x =或512240x y --=.【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设(),A x y ，从而得到()2,22B x y +，由,A B 在圆上，代入方程求解即可解决问题.【小问1详解】设圆M 的方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆M 过点()3,3A ，所以222(3)(3)a b r -+-=①，又因为圆心M 在直线250x y +-=上，所以250a b +-=②，直线250x y -+=与圆M相切，得到r =由①②③解得：2,1,a b r ===M 的方程为22(2)(1) 5.x y -+-=【小问2详解】设(),A x y ，因为A 为线段BD 的中点，所以()2,22B x y +，因为,A B 在圆M 上，所以()()()()222221522215x y x y ⎧-+-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当()0,0A 时，由()0,2D -可知直线l 的方程为0x =；当2416,1313A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，由()0,2D -可得斜率162513241213k -+==-，故直线l 的方程为5212y x =-，即512240x y --=.综上，直线l 的方程为0x =或512240x y --=.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为121,2A A ､分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，126A F =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧），记直线12,A P A P ，21,A Q A Q 的斜率分别为1234,,,k k k k .（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，问直线PQ 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.【答案】（1）2211612x y +=（2）（i ）34-；（ii ）直线l 恒过点()1,0D -.【解析】【分析】（1）由离心率及12A F ，列出,,a b c 的等式求解即可.（2）（i ）设直线方程x ty m =+，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii ）由（i ）得到229.20PA QA k k =-结合韦达定理及斜率公式代入化简即可.【小问1详解】由于椭圆G22+22=1>>0的离心率为12，故12c a =，又126A F a c =+=，所以2224,2,12a c b a c ===-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.【小问2详解】（i ）设l 与x 轴交点为D ，由于直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧）故直线l 的的斜率不为0，直线l 的方程为x ty m =+，联立2211612x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2223463480t y mty m +++-=，则22Δ12160,t m =-+>设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++，又()()124,0,4,0,A A -故122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---，（ii ）由（i ）得123434QA QA k k k k ==-.因为()142353k k k k +=+，则()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+.又直线l 交与x 轴不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即229.20PA QA k k =-所以()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--，于是()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为P Q ､在x 轴的两侧，所以21223480,4434m y y m t -=<-<<+，又1m =-时，直线:1l x ty =-与椭圆C 有两个不同交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -.。

南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准(理科) 2014.01说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)1.∃x ∈N ,x 2＝x2.y 2＝20x3.44.－15.66.27.528.14 9.(1,e) 10.充分不必要. 11.2 12.8 13.1 14.2二、解答题(本大题共6小题,共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限,所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1,即m 的取值范围为(－3,1). ……………… 3分 (2)由q 为真命题,即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10,所以12＋(m －2)2≤10,解得－1≤m ≤5. ……………… 5分 由命题“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题得⎩⎨⎧p 为真命题，q 为假命题，或 ⎩⎨⎧p 为假命题，q 为真命题． 所以⎩⎨⎧－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或⎩⎨⎧m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5.所以m 的取值范围为(－3,－1)∪[1,5]. ……………… 8分 16.解 (1)曲线与y 轴的交点是(0,－3).令y ＝0,得x 2－2x －3＝0,解得x ＝－1或x ＝3.即曲线与x 轴的交点是(－1,0),(3,0). ……………… 2分设所求圆C 的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得D ＝－2,E ＝2,F ＝－3.所以圆C 的方程是x 2＋y 2－2x ＋2y -3＝0. ……………… 5分 (2)圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(5)2,所以圆心C (1,－1),半径r ＝ 5. ……………… 7分 圆心C 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|1＋(－1)＋a |2＝|a |2. 由于d 2＋(12AB )2＝r 2,所以(|a |2)2＋12＝(5)2,解得a ＝±2 2 . ……………… 10分 17.解 如图,以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立坐标系. (1)由题意得A (2,0,0),D 1(0,0,a ),C 1(0,2,a ),F (0,1,0).故→AC 1＝(－2,2,a ),→D 1F ＝(0,1,－a ). …… 2分因为AC 1⊥D 1F ,所以→AC 1·→D 1F ＝0,即(－2,2,a )·(0,1,－a )＝0.从而2－a 2＝0,又a ＞0,故a ＝ 2. ……………… 5分 (2)平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1,0,0). 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),因为E (1,0,0),a ＝2,故→EF ＝(－1,1,0),→D 1F ＝(0,1,－2). 由n ⊥→EF ,n ⊥→D 1F ,得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0,解得x ＝y ＝2z .故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2,2,1). ……………… 8分因为cos<m ,n >＝m ·n |m |·|n |＝(1，0，0)·(2，2，1)1×3＝23,且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角,所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为23. ……………… 10分18.解 (1)由题意知,今年的年销售量为1＋4(x －2)2 (万件).因为每销售一件,商户甲可获利(x －1)元,所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2](x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17,(1≤x ≤2). ……………… 4分(2)由(1)知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17,1≤x ≤2, 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11).令y ′＝0,解得x ＝32,或x ＝116.列表如下：x (1,32) 32 (32,116) 116 (116,2) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )递增极大值递减极小值递增……………… 7分又f (32)＝1,f (2)＝1,所以f (x )在区间[1,2]上的最大值为1(万元).而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元),所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.……………… 10分19.解(1)当a ＝0时,f (x )＝－2x ＋4ln x ,从而f ′(x )＝－2＋4x ,其中x ＞0. ……………… 2分所以f ′(1)＝2.又切点为(1,－2),所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1),即2x －y －4＝0. ……………… 4分 (2)因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ,ABC D CB A 1D 1E F(第17题图)z yx所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x,其中x ＞0.①当a ＝0时,f ′(x )＝－2(x －2)x,x ＞0. 由f ′(x )＞0得,0＜x ＜2,所以函数f (x )的单调增区间是(0,2)；单调减区间是(2,＋∞)； ……………… 6分②当0＜a ＜12时,因为1a ＞2,由f ′(x )＞0,得x ＜2或x ＞1a.所以函数f (x )的单调增区间是(0,2)和(1a ,＋∞)；单调减区间为(2,1a)；……………… 8分③当a ＝12时,f ′(x )＝(x －2)2x ≥0,且仅在x ＝2时,f ′(x )＝0,所以函数f (x )的单调增区间是(0,＋∞)；④当a ＞12时,因0＜1a ＜2,由f ′(x )＞0,得0＜x ＜1a或x ＞2,所以函数f (x )的单调增区间是(0,1a )和(2,＋∞)；单调减区间为(1a ,2).综上,当a ＝0时,f (x )的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,＋∞)； 当0＜a ＜12时,f (x )的单调增区间是(0,2)和(1a ,＋∞),减区间为(2,1a )；当a ＝12时,f (x )的单调增区间是(0,＋∞)；当a ＞12时,f (x )的单调增区间是(0,1a )和(2,＋∞),减区间为(1a,2).……………… 10分20.解(1)设顶点A 的坐标为(x ,y ),则k AB ＝y x ＋2,k AC ＝yx －2, ………… 2分 因为k AB ⋅k AC ＝－14,所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14, 即x 24＋y 2＝1.(或x 2＋4y 2＝4).所以曲线E 的方程为 x 24＋y 2＝1(x ≠±2) . ……………… 4分(2)曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0,－1).因为l 1的斜率存在,所以设l 1的方程为y ＝kx －1, 代入x 24＋y 2＝1,得M (8k 1＋4k 2,4k 2－11＋4k 2),从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k 21＋4k 2. ……………… 6分 用－1k 代k 得DN ＝81＋k 24＋k 2.所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2⨯81＋k24＋k 2＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2). ……………… 8分则S∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2), 因为k ≠0且k ≠±12,k ≠±2,令1＋k 2＝t ,则t ＞1,且t ≠54,t ≠5,从而S ∣k ∣＝32t (4t －3)(t ＋3)＝32t 4t 2＋9t －9＝329＋4t －9t,因为4t －9t ＞－5,,且4t －9t ≠－115,4t －9t ≠915.所以9＋4t －9t ＞4且9＋4t －9t ≠345,9＋4t －9t ≠1365,从而 S ∣k ∣＜8且S ∣k ∣≠8017,S ∣k ∣≠2017, 即 S ∣k ∣∈(0,2017)∪(2017,8017)∪(8017,8). ……………… 10分。

南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学卷（文科）注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上1．命题“∀x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F (5，0)的抛物线的标准方程是 ▲ ．3．设复数z 满足z ·i ＝3＋4i (i 是虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ ．4．椭圆x 28＋y 24＝1的右准线方程是 ▲ ． 5．记函数f (x )＝x ＋1x的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ▲ ． 6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为 ▲ ． 7．记命题p 为“若α＝β，则cos α＝cos β”，则在命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，若PF ＝2，则点P 到抛物线顶点O 的距离是 ▲ ．10．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋a cos x 在区间(0，π2)上为增函数”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．12．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝ ▲ cm 时，圆柱的表面积最小．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ▲ ． 14．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f '(x ) 的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）已知a 为实数，复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋i (i 为虚数单位)．（1）若a ＝1，指出z 1＋—z 2在复平面内对应的点所在的象限；（第14题图）（2）若z 1· z 2为纯虚数，求a 的值．16．（本题满分10分）已知a ∈R ，设p ：函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是区间(1，＋∞)上的增函数，q ：方程x 2－ay 2＝1表示双曲线．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．17．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线x ＋y ＋a ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝2，求实数a 的值．18．（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量．．．．．．(单位：万件)与(2－x )2成正比，比例系数为4． （1）写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．19．（本题满分10分）已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0．（1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）讨论函数f (x )的单调性．20．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长是2． （1）求a ，b 的值；（2）设椭圆C 的下顶点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，当S ∣k ∣＞169时，求k 的取值范围．南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准（文科） 2014.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1． x ∈N ，x 2＝x 2．y 2＝20x 3．5 4．x ＝4 5．－16．6 7．2 8．52 9． 5． 10．(1，e) 11．充分不必要 12．2 13．8 14．1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解 （1）因为a ＝1，所以z 1＋—z 2＝(2－i)＋(1－i)＝3－2i ． ………………… 2分所以z 1＋—z 2在复平面内对应的点为(3，－2)，从而z 1＋—z 2在复平面内对应的点在第四象限． ………………… 4分（2）z 1· z 2＝(2－i) (a ＋i)＝(2a ＋1)＋(2－a ) i ． ………………… 6分因为a ∈R ，z 1· z 2为纯虚数，所以2a ＋1＝0，且2－a ≠0，解得a ＝－12． ………………… 8分 16．解 （1）因为p 为真命题，即函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是(1，＋∞)上的增函数，（第20题图）所以－a －12≤1． ………………… 3分解得a ≥－1．即实数a 的取值范围是[－1，＋∞)． ………………… 5分（2）因为“p 且q ”为真命题，所以p 为真命题，且q 也为真命题． …………… 7分 由q 为真命题，得a ＞0．所以a ≥－1且a ＞0，即a ＞0．所以实数a 的取值范围是(0，＋∞)． ………………… 10分17．解 （1）曲线与y 轴的交点是(0，－3)．令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，即曲线与x 轴的交点是(－1，0)，(3，0)． ……………… 2分 设所求圆C 的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝2，F ＝－3． 所以圆C 的方程是x 2＋y 2－2x ＋2y -3＝0． ……………… 5分（2）圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(5)2，所以圆心C (1，－1)，半径r ＝5． ……………… 7分 圆心C 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|1＋(－1)＋a | 2＝|a | 2．由于d 2＋(12AB )2＝r 2，所以(|a | 2)2＋12＝(5)2，解得a ＝±2 2 ． ……………… 10分18．解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x －2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2](x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17，(1≤x ≤2)． ……………… 4分（2）由（1）知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2，从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)．令y ′＝0，解得x ＝32，或x ＝116．列表如下：……………… 7分又f (32)＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．……………… 10分19．解（1）当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋4ln x ，从而f ′(x )＝－2＋4x，其中x ＞0． ……………… 2分 所以f ′(1)＝2．又切点为(1，－2)，所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即2x －y －4＝0． ……………… 4分（2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x，其中x ＞0． ①当a ＝0时，f ′(x )＝－2(x －2)x，x ＞0． 由f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；……………… 6分②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1a． 所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1a)； ……………… 8分③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)2x≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0， 所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1a或x ＞2， 所以函数f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)；单调减区间为(1a，2)． 综上，当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1a)； 当a ＝12时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)； 当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1a，2)． ……………… 10分20．解（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2， 解得a ＝2，b ＝1． ……………… 4分（2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1， 所以椭圆C 与y 轴负半轴交点为D (0，－1)．因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1．代入x 24＋y 2＝1，得M (8k 1＋4k 2，4k 2－11＋4k 2)， 从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k21＋4k 2． ……………… 6分用－1k 代k 得DN ＝81＋k24＋k 2． 所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2⨯81＋k24＋k 2＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2)． ……………… 8分 则S ∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2)，因为S ∣k ∣＞169，即32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2)＞169，整理得4k 4－k 2－14＜0，解得－74＜k 2＜2所以0＜k 2＜2，即－2＜k ＜0或0＜k ＜ 2 ．从而k 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．。

江苏省沭阳银河学校2014-2015学年高二上学期第二次学情调研测试 数学 Word 版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．） 1．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则=∠B ； 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ； 3．在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则A = ； 4．不等式0122<--x x 的解集是 ；5．已知数列{}n a 的前n 项和为13-=n n S ，则通项公式=n a ； 6．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 60=A 2=a ，332=b ，则边c 的长为 ；7．已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则212b a a -的值为 ； 8．若数列{}n a 满足111,1n n a na a n +==+，则8a = ； 9．已知正数y x ,满足118=+yx ，则y x 2+的最小值是 ； 10．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若11=a ,公差2=d ,242=-k k S S ，则k 的值等于 ；11．等比数列{}n a 中，12435460,236a a a a a a a <++=，则35a a += ；12．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,05,03x y x y x 则y x z +=2的最大值为 ；13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为等边三角形；③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立； ④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解． 其中，结论正确的编号为 ；14．已知关于x 的一元二次不等式0112)2(2>+-+-x b x a 的解集为R ，若4≤a ，则ba ba +-2的取值范围是 。

江苏省南京市玄武区2014-2015学年高二上学期期中调研数学试卷
2014.11
一、填空题：本大题共
14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.直线013y x
的倾斜角为. 2.抛物线y x
2的焦点坐标为. 3.圆02222y x y x 的面积为.
4.已知点(2,-1)在直线l 上的射影为（1,1），则直线l 的方程为
. 5.”0”是“21若“m x x
的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是.
6.若椭圆19252
2y x 上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为.
7.y x y x
y x y x
y x 则,01,03
2,033满足不等式组,若实数的最大值为. 8.)0(1若双曲线22a a y x
的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则a 的值为
. 9.02486与圆若圆2222y x y x m y x
相交，则实数m 的取值范围为
. 10.1124若双曲线22
y x 上一点P 到其左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的
距离为.
11.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶
2m 时，水面宽4m.若水面下降2m ，则水面宽度为m.
12.22的方程若关于x x b x x 恰有一个解，则实数b 的取值范围为.
13.已知A 、B 、C 三点在曲线x y
上，其横坐标依次为1，m ，4(1<m<4），当ABC 的面积最大时，则实数m 的值为
. 14.)0(1已知椭圆2222b a b y a x
的焦距是2c,若以a ，2b ，c 为三边长必能。

南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－π4)＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 A ．2 3B ．32C ． 3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，F A →＋FB →＋FD →＝0，则下列说法正确的有 A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．F A ＋FB ＋FD ＝6 C ．若F A ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有 A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223 C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概 率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA ＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB →·AC →＝b 2－12ab ． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM →＝2MB →，AN →＝3NM →，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3． （1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→·BF 2→＝－2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．ACD 10．AC 11．BCD 12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0) 14．14 15．49 16．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x 2＋t ················································ 2分 ＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ． ············································ 4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)． ················································································· 6分 （2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)， 当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22． ···························································· 8分 因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22． ·················································································· 10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |． ························································ 2分 又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1 ． ······································ 4分因为m ≠0，解得a ＝34． ·················································································· 5分 （2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2， ···························································· 6分 所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ······························································· 8分 又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )， 所以m2m －6＝－a ， ························································································· 10分 所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145 ，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625． ························· 12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ············ 1分 （1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}， ························································ 2分所以P (A 1)＝3100． ····················································································· 4分 因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12． ················································································ 6分 （2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150． ·································· 8分 因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12． ······················································································ 9分 因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100． ···················································· 10分 因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立． ········································································ 12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）方法1因为AB →·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ． ··················································· 2分 由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12． ····················································································· 4分 因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3． ··································································· 5分 方法2因为AB →·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ． ·················································· 2分 由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ， 即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ， 化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12． ································· 4分 因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3． ··································································· 5分 （2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2． ····················································· 6分 因为CM →＝2MB →，AN →＝3NM →，所以CN →＝CA →＋AN →＝CA →＋34AM →＝CA →＋34(CM →－CA →)＝14CA →＋34CM →＝14CA →＋12CB →， ···························································· 8分从而|CN →|2＝(14CA →＋12CB →)2＝116b 2＋14a 2＋14CA →·CB →＝116b 2＋14a 2＋14 ··········································································· 10分 ≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|CN →|的最小值为32． ················································································ 12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ． ··························································································· 2分 又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ． ························································································· 4分 （2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ． 在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点， 又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ················································································ 6分 因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1． 由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1． 又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ··················································· 8分 又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1， 所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ································ 10分 在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ····································· 12分 方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ·········································· 6分 在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2． 又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22． 在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分 又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO ⊂平面A 1ABB 1， 所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ··········································· 10分 在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22． 因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ················································· 12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1． ····························································· 2分 因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ········································································ 4分 （2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4， y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k1＋4k 2， ·························································· 6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1， 设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1． ·························································· 8分 因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2 ＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2 ＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2 ····························································· 10分 ＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2， 所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称． ············································· 12分。

南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷（文科） 2016.01 注意事项:1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上 1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是 ▲ ．2．在平面直角坐标系xOy 中,若抛物线y 2＝2px 经过点(4,2） ，则实数p ＝ ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是 ▲ ．5．已知p :0＜m ＜1,q ：椭圆错误!＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的 ▲ 条件（用“充分不必要",“必要不充分"，“充要”或“既不充分也不必要"填空)．6．函数f (x ）＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0） 处的切线方程是 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足错误!则z ＝x －2y 的最大值是 ▲ ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ,B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是 ▲ ．9．函数f （x )＝错误!（e 为自然对数的底数)的最大值是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O （0，0）,A (3，0)，动点P 满足2方程是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A （3，0） 的距离等于它到准线的距离，则P A ＝ ▲ ．12．如图,在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝错误!x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0）围成的△OAB 的面积为S （t ),则S (t ）在t ＝2时的瞬时变化率是 ▲ ． (第8题)13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋m＝0和圆M：x2＋y2＝9．若圆M上存在点P,使得P到直线l的距离为2，则实数m的取值范围是▲．14．已知函数y＝x3－3x在区间[a，a＋1］(a≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a的所有值是▲．二、解答题:本大题共6小题,共计58分．请在答．题卡．．．．．作答，解答时应写出文字说明、．．指定区域内证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1（－错误!，0），F2(错误!,0)．（1）求椭圆C的标准方程;（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．(本题满分10分）已知集合A＝｛x｜1＜x＜3}，集合B＝｛x｜x2－ax＜0｝．（1）若a＝2，求A∩B；（2)若“x∈A”是“x∈B"的充分条件，求实数a的取值范围．17．(本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A （1,0），B （3，0），C （0,1)．（1)求圆M的方程；（2）若直线l:mx－2y－(2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且错误!·错误!＝0，求实数m的值．18．（本题满分10分）A、B两地相距300 km，汽车从A地以v km/h的速度匀速行驶到B地（速度不超过60 km/h)．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数为错误!．设全程的运输成本为y元．（1)求y关于v的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？19．（本题满分10分)已知函数f(x）＝ln x．（1)若直线y＝2x＋p (p∈R）是函数y＝f（x)图象的一条切线，求实数p的值．（2)若函数g (x ）＝x －m x－2f (x ） (m ∈R )有两个极值点，求实数m 的取值范围．20．(本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(m ＞0)的离心率为错误!．(1）求m 的值；（2)设点A 为椭圆C 的上顶点，问是否存在椭圆C 的一条弦AB ,使直线AB 与圆（x －1）2＋y 2＝r 2 （r ＞0)相切，且切点P 恰好为线段AB 的中点?若存在，求满足条件的所有直线AB 的方程和对应的r 的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准（文科） 2016。

南京市2024—2025学年度第一学期期中学情调研测试高二数学 2024.11注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．下列四组数据中，方差最小的是A ．5，5，5，5，5，5，5，5B ．4，4，4，5，5，5，6，6C ．3，3，4，4，5，6，6，7D ．2，2，2，2，2，5，8，8 2．已知z ·i ＝1＋3i ，则z ＝A ． －3＋iB ．－3－iC ．3＋iD ．3－i 3. 直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为A ．22B ． 2C ． 3D ． 5 5．若方程x 27－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 A ．(－∞，1) B ．(1，4) C ．(4，7) D ．(7，＋∞)6．底面直径与高相等的圆柱的体积为2π，则该圆柱的外接球的表面积为A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π7．已知点O (0，0)，A (3，0)，若圆x 2＋y 2＋tx －3＝0上任意一点P 都满足|PA|＝2|PO|， 则实数t ＝A ．－3B ．－2C ．2D ．38．抛物线C ：x 2＝4y 的准线为l ，M 为C 上的动点，则点M 到l 与到直线2x －y －5＝0的距离之和的最小值为A ． 355B ． 455C ． 5D ． 655二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件A ，“第二枚硬币反面朝上”为事件B ，则A ．P (A )＝12B ．P (AB )＝13C ．A 和B 是互斥事件D ．A 和B 是相互独立事件10．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．若→BE ＝14→BC ，→CF ＝－32→CD ，则 A ．AC ∥BFB ．AE ⊥BDC ．以CE 为直径的圆与直线BF 相切D ．直线AE 与BF 的交点在矩形ABCD 的外接圆上11．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线y ＝mx 与C 交于A ，B 两点，点P 为C 上异于A ，B 的动点，则A ．当 m ＝12时，|AB |＝15 B ．|→PA ＋→PB |≥2 3 C ．存在点P ，使得∠APB ＝π2D ．S △ABP ≤2 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．若直线l 1：x ＋2my ＋1＝0与l 2：(m －1)x ＋y －3＝0垂直，则实数m ＝▲________．13．已知cos(x ＋π4)＝35，x ∈(0，π2)，则sin x ＝▲________． 14．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点F 2发出的光线m 交双曲线右支于点P ，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线经过左焦点F 1．已知图（2）中，双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，直线l 平分∠F 1PF 2，过点F 2作l 的垂线，垂足为H ，且|OH|＝2．则当反射光线n 经过点M (8，5)时，|F 2P |＋|PM |＝▲________．xy O F 1 F 2 P m n （1）x y O F 1 F 2 M P m n H （2） l （第14题图）四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C＋c cos A＝2b cos A．（1）求A；（2）若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．16．已知点A(4，2)在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，直线l经过点A，且在y轴上的截距为－2．（1）求p的值和直线l的方程；（2）记l与C的另一个交点为B，求经过O，A，B三点的圆的方程．17．在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点．（1）证明：PB∥平面AMN；（2）若PC⊥平面ABC，PC＝2，AC＝3，四面体PABC的体积为2，且cos∠ACB＝55，求MN与平面PAC所成角的正弦值．PABC NM（第17题图）18．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆D ：(x －2)2＋y 2＝r 2(0＜r ＜5)，过点P (0，1)作圆D 的切线，切线的长为2．(1)求圆D 的方程；(2)直线l 经过点P ，且与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝6，①求l 的方程和→CA ·→CB 的值；②若动圆E 与圆C 外切，且与圆D 内切，求动圆圆心E 到点P 距离的最小值．19．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，|AB |＝3，离心率为22． （1）求E 的方程；（2）直线l 平行于直线AB ，且与E 交于M ，N 两点，①P ，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于 13|MN |2，求l 的方程； ②当直线AM ，BN 斜率存在时，分别将其记为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值．。

2024-2025学年第一学期10月六校联合调研试题高二数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数满足，则（ ）C.3D.52.设为实数，已知直线，若，则（ ）A.6B.C.6或D.或33.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）A.B. C.12 D.4.已知（ ）A.B.D.35.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（）A.B.C.16.已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）A.B.C. D.7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）z ()12i 34i z +=-z =a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=1l ∥2l a =3-3-6-x 2213x ym +=m 3421412-cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭3-20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,A B ABC V a =1-M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=118,2AB A B ==122312,V V 12V V =A.B. C. D.8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（ ）A.C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A.若，则2365287208387208()222210x y a b a b+=>>()00,P x y 00221x x y y a b +=()2222:10x y C a b a b+=>>F A F x C M M l l 1k AM 2k 1220k k +=13230.025a =,m n ,αβα∥,m β∥,n αβ⊥m n⊥B.若，则C.若，则D.若，则11.已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆与圆C 恰有3条公切线，则B.圆与圆C 的公共弦所在直线为C.直线与圆C 恒有两个公共点D.点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为__________.13.已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.14.已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，求的周长.16.（本小题满分15分）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.α∥,,m n βαβ⊂⊂m ∥n,m n α⊥∥,m β∥n αβ⊥,,m n αβαβ⊥⊂⊂m n⊥22(2)4x y -+=221080x y x y m +--+=16m =2220x y y ++=20x y +=()()2132530m x m y m +++--=P y P ,A B ,A B M ()5,3N MN 1,2,3,4,5P 22:194x y C +=()1,0A PA ()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD …t ABC V ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =A a ABC =V ABC V 1OO PA AB C »AB（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.（1）求的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18.（本小题满分17分）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.19.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.（i ）求的值；（ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.PAC ⊥PBC 24PA AB ==A PB C --,A B A B A B A p B q 01,01p q <<<<A 34B 23,A B 1316,p q M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=M M ()0,2D -l M ,A B A DB l ()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C 1F 2F C 126A F =C x l C P Q ､P Q ､x 12,A P A P 21,A Q AQ 1234,,,k k k k 12k k ()142353k k k k +=+PQ2024-2025学年第一学期10月六校联合调研参考答案及评分标准高二数学一､单项选择题1.B2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.C二.多项选择题9.ABD 10.AC11.BCD三､填空题12.14.4四､解答题15.解：（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以.（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即7，即，又所以.所以的周长周长为.16.解：（1）证明：因为是一条母线，所以平面，25sin2sin b A a B =2sin cos sin bA A aB =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =ABC V 11sin 622ABC S bc A bc bc===∴=V π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-21()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC V 5+PA PA ⊥ABC而平面则因为是底面一条直径，C 是的中点，所以，即，又平面且，所以平面，而平面，则平面平面.（2）设，则，因为C 是的中点，为底面圆心，所以平面，作，交于点连接，由可知，是二面角的平面角.则，即，在直角中，.所以.故二面角的余弦值为.17.解：（1）由题意得，解得.（2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，BC ⊂,ABC ,PA BC ⊥AB »AB 90ACB ∠=AC BC ⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=BC ⊥PAC BC ⊂PBC PAC ⊥PBC 24PA AB ==PB =»AB O CO ⊥PAB OE PB ⊥PB E CE ,OE PB CE PB ⊥⊥CEO ∠A PB C --PB OE PA BO ⋅=⋅OE ==COE V CE ==2cos 3CEO ∠==A PB C --23()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21,32p q ==0,2,3,5()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =,i i C D则，且彼此互斥.易得.，所以所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.18.解：（1）法1：（待定系数法）设圆M 的方程为，因为圆过点，所以，又因为圆心在直线上，所以②，直线与圆M 相切，得到由①②③解得：的方程为法2：（几何性质）因为直线与直线垂直，又因为圆心在直线上，联立方程，解得设两直线的交点为，由圆的几何性质，点在圆上，且为直线与圆的切点，又因为圆过点，且所以圆心在直线上，又圆心也在直线上，联立方程，解得，故圆心，所以半径，因此圆M 的方程为（2）设，因为A 为线段BD 的中点，所以，355355E C D C D C D =++355355,,C D C D C D ()31,6P C =()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯= ⎪⎝⎭()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=1136222()()x a y b r -+-=M ()3,3A 222(3)(3)a b r -+-=①M 250x y +-=250a b +-=250x y -+=r 2,1,a b r ===M 22(2)(1) 5.x y -+-=250x y +-=250x y -+=M 250x y +-=250250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩13x y =⎧⎨=⎩()1,3B ()1,3B M ()3,3A M 2x =M 250x y +-=2250x x y =⎧⎨+-=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1M r AM ==22(2)(1)5x y -+-=(),A x y ()2,22B x y +因为在圆上，所以，解得或当时，直线的方程为；当时，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.19.解：（1）由于椭圆的离心率为，故，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆C 于两点（在轴的两侧），故直线的的斜率不为0，直线的方程为，联立，则，则设，则，又故，,A B M 2222(2)(1)5(22)(21)5x y x y ⎧-+-=⎨-++=⎩00x y =⎧⎨=⎩24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()0,0A l 0x =2416,1313A ⎛⎫-⎪⎝⎭l 5212y x =-512240x y --=l 0x =512240x y --=()2222:10x y C a b a b+=>>1212c a =126A F a c =+=2224,2,12a c b a c ===-=C 2211612x y +=l x D l P Q ､P Q ､x l l x my t =+2211612x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463480t y mty m +++-=()22Δ4812160,t m =-+>()()1122,,,P x y Q x y 21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++()()124,0,4,0,A A -122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---（ii ）由（i ）得.因为，则.又直线交与轴不垂直可得，所以，即所以，于是整理得，解得或，因为在轴的两侧，所以，又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点.123434QA QA k k k k ==-()142353k k k k +=+()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+l x 230k k +≠23920k k =-229.20PA QA k k =-()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++2340m m --=1m =-4m =P Q ､x 21223480,4434m y y m t -=<-<<+1m =-l C 1m =-l ()1,0D -。

江苏省南京市2013-2014学年高二数学上学期期末调研试题 理（含解析）苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分. 1.命题“∀x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ．4.记函数f (x )＝x ＋1x的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ． 【答案】－1 【解析】试题分析：根据商的导数运算法则得22(1)1()x x f x x x -+'==-，所以(1)1f '=-解此类问题要注意顺序，不能将题目做成求(1)f 的导数 考点：商的导数运算法则5.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y的最大值为 ．8.如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3， ∠BAA 1＝60︒，E 为棱C 1D 1的中点，则→AB ⋅→AE ＝ ．CAB D A 1 B 1C 1D 1E（第8题图）11.已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝ cm 时，圆柱的表面积最小． 【答案】2 【解析】试题分析：圆柱的体积为221616V r h r h ππ==⇒=，圆柱的表面积22232162222()S rh r r r πππππ=+=+=+，由2162(2)0S r π'=-+=得2r =， x(0,2)2 (2,)+∞ S '- 0+S ]极小值，也是最小值[当底面半径r ＝2时，圆柱的表面积最小．考点：利用导数求最值，12.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ．13.定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f '(x ) 的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 象限．【答案】一 【解析】试题分析：设导函数y ＝f '(x )的零点为00,(0)x x <，所以当0x x <时，()f x 单调增；当0x x >时，()f x 单调减，又(0)0f =，则由图像知()f x 一定不经过第一象限.考点：导函数与原函数的关系14.已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2(a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ．（第13题图）Oxy二、解答题：本大题共6小题，共58分. 15.（本题满分8分）已知m ∈R ，设p ：复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q ：复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10．（1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2）若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）(－3，1) （2）(－3，－1)∪[1，5] 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点为(,)a b ，所以有⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．从而可解得m 的取值范围为(－3，1)，（2）因为命题“p 且q ”一假就假，所以p ，q 中至少有一个为假；因为命题“p 或q ”一真就真，所以p ，q 中至少有一个为真；综合得p ，q 中一真一假.若q 为真，则q 为假；或若q 为假，则q 为真.先求命题为真时参数范围，再根据集合的补集求命题为假时参数范围.试题解析：解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限， 所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分16.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．17.（本题满分10分）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝a，E，F分别为AD，CD的中点.（1）若AC1⊥D1F，求a的值；（2）若a＝2，求二面角E－FD1－D的余弦值.试题解析：ABC D C 1BA 1D 1E F （第17题z y x ABCD C 1B 1A 1D 1E F（第17题图）18.（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年．．．．销量．．(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能【解析】（2）由（1）知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)． 令y ′＝0，解得x ＝32，或x ＝116．列表如下：x (1，32)32 (32，116) 116 (116，2) f ′(x )＋－＋f (x ) 递增 极大值 递减 极小值 递增……………… 7分又f (32)＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益． ……………… 10分考点：函数解析式，利用导数求函数最值19.（本题满分10分）已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性．【答案】（1）2x －y －4＝0，（2）当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1a )；当a ＝12时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1a，2)（2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x，其中x ＞0．①当a ＝0时，f ′(x )＝－2(x －2)x，x ＞0．由f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；……………… 6分②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1a．所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1a)；……………… 8分③当a ＝12时，f ′ (x )＝(x －2)2x ≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1a或x ＞2，20.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (－2，0)，C (2，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为－14，设顶点A 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与曲线E 的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，试求S ∣k ∣的取值范围． 【答案】（1）x 24＋y 2＝1（x ≠±2)（2）(0，2017)∪(2017，8017)∪(8017，8)试题解析：解（1）设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋2，k AC ＝y x －2，………… 2分 因为k AB ⋅k AC ＝－14，所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14， 即x 24＋y 2＝1．（或x 2＋4y 2＝4）.所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1（x ≠±2) ． ……………… 4分。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2014—2015学年度第一学期江苏省扬州市高二数学期末调研测试试题2015．1（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 参考公式： 样本数据1x ,2x ,,n x 的方差：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为样本平均数．棱柱的体积V Sh =，其中S 为底面积，h 为高；棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“若0x ≥，则20x ≥”的否命题是 ▲ . 2．右图给出的是一个算法的伪代码，若输入值为2，则y = ▲ .3．取一根长度为30cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于10cm 的概率为 ▲ .4．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了 该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该 组数据的方差为 ▲ .5．如右图，该程序运行后输出的结果为 ▲ .第（2）题图第（4）题图0 124 7 8 813Read If 1Then21ElseEnd If Print xx y x y x y ≤←-←开始1,1a b ←←2b b ←1a a ←+6．若正四棱锥的底面边长为23cm ，体积为34cm ，则它的侧面积为 ▲ 2cm .7．已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的 右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .8．从集合{1,1,2}-中随机选取一个数记为m ，从集合{1,2}-中随机选取一个数记为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 ▲ . 9．函数1cos ,[0,2]2y x x x π=+∈的单调减区间为 ▲ . 10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ▲ .（填写所有正确命题的序号）①m α⊥，n β⊂，m n αβ⊥⇒⊥；②l α⊂，m α⊂，l m A =，//l β，////m βαβ⇒； ③//l α，//m β，////l m αβ⇒； ④αβ⊥，m αβ=，n m n β⊥⇒⊥．11．设2()1xe f x ax =+，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调函数，则a 的取值范围为▲ .12．已知双曲线221169x y -=的左、右焦点为1F ，2F ，其上一点P 满足125PF PF =，则点P 到右准线的距离为 ▲ .13．已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3f =，且()f x 的导数()21f x x '<+，则不等式2(2)421f x x x <++的解集为 ▲ .14．已知椭圆22221x y a b += ()0a b >>的右焦点为1(1,0)F ，离心率为e ．设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若03k <≤，则e 的取值范围为 ▲ .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是AB 的中点．求证：（1）//OE 平面11BCC B ；（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．16．（本题满分14分）已知命题p ：实数x 满足2280x x --≤；命题q ：实数x 满足|2|(0)x m m -≤>． （1）当3m =时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 17．（本题满分15分）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28),[28,38),[38,48),[48,58),[58,68)，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（1）分别求出a ，x 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 18．（本题满分15分）如图，在半径为103cm 的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48)270.9第4组 [48,58) x 0.36 第5组 [58,68)3 0.2 EOC 1A 1B 1CBAD C频率组距年龄（岁）6858483828180.0100.0150.0200.0250.030第（15）题图B 在直径上，点C 、D 在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V 3()cm ． （1）按下列要求建立函数关系式：①设AD x cm =，将V 表示为x 的函数；②设AOD θ∠=（rad ），将V 表示为θ的函数；（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积． 19．（本题满分16分）已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为1(1,0)F -，右准线方程为：4x =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点N 到定点(,0)(02)M m m <<的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标；（3）分别过椭圆C 的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A 、B 是所围成的矩形在x 轴上方的两个顶点．若P 、Q 是椭圆C 上两个动点，直线OP 、OQ 与椭圆的另一交点分别为1P 、1Q ，且直线OP 、OQ 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求四边形11PQPQ 的面积是否为定值，并说明理由．20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（3）记函数21()()2g x f x x bx =+-，设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值．QQ 1PP 1B AOyx第（18）题图第（19）题图扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题高 二 数 学 参 考 答 案 2015．11．若0x <，则20x < 2．8 3．134．5 5．4 6．83 7． 3y x =± 8．129．5(,)66ππ（区间写开闭都对） 10．② 11．01a <≤12．85 13．1(,)2+∞ 14．[31,1)- 15．证明：（1） 连结1BC ．∵侧面11AA C C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ∴O 为1AC 的中点 ∵E 是AB 的中点 ∴1//OE BC ； ………………3分∵OE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ∴//OE 平面11BCC B………………7分（2）∵侧面11AA C C 是菱形 ∴11AC A C ⊥ ∵11AC A B ⊥， 111A CA B A =，1AC ⊂平面1A BC ，1A B ⊂平面1A BC ∴1AC ⊥平面1A BC ………………12分 ∵BC ⊂平面1A BC ∴1AC BC ⊥． ………………14分 16．解：（1）若p 真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ………………3分∵p 且q 为真 ∴2415x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]- ………………7分（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件 ………………10分∵若q 真：22m x m -≤≤+ ∴2242m m-≤-⎧⎨≤+⎩且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得”，写检验也可） ∴4m ≥． ………………14分17．解：（1）第1组人数105.05=÷，所以1001.010=÷=n ， ………………2分 第2组频率为：0.2，人数为：1000.220⨯=，所以18200.9a =÷=， ……4分 第4组人数2525.0100=⨯，所以250.369x =⨯=， ………………6分 （2）第2,3,4组回答正确的人的比为1:3:29:27:18=，所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，1人 ………………9分（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A ，抽取的6人中，第2组的设为1a ，2a ，第3组的设为1b ，2b ，3b ，第4组的设为c ， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：EOC 1A 1B 1CBA),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a ，),(21b b ，),(31b b ，),(1c b ，),(32b b ，),(2c b ，),(3c b . ………………11分 其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是： ),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a ． ………………13分()P A ∴=53159=． ………14分答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35． ………………15分18．解：（1）①222(103)2AB x r π=-=，2300x r π-=，2233001()()(300)x V f x x x x πππ-==⋅=-+，（0103x <<） ………………4分②103sin ,203cos 2AD AB r θθπ===，103cos r θπ=，V =22103cos 30003()()103sin sin cos g θθπθθθππ=⋅=，（02πθ<<）………8分 （2）选用()f x ：233'()(100)(10)(10)f x x x x ππ=--=-+-，0103x <<，令'()0f x = ，则10x = ………………10分 列表得：x (0,10)10 (10,103)'()f x+-()f x单调增极大值单调减………………13分 （不列表，利用导函数的符号，判断出单调性同样得分）max 2000()(10)f x f π∴==选用()g θ：令sin ,0,012t t πθθ=<<<<，230003()(1)h t t t π=-2300039000333'()(31)()()33h t t t t ππ∴=-+=-+-， 令 '()0h t =，则33t = ………………10分 列表得：t3(0,)3 333(,1)3'()h t +-()h t单调增极大值单调减………………13分max 32000()()3h t h π∴==，即max 2000()g θπ= ………………15分 （对()g θ直接求导求解也得分，30003cos (13sin )(13sin )'()g θθθθπ-+=）答：圆柱形罐子的最大体积为2000π．19．解：（1）设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得：214c a c=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩， ………………2分∴23b =，∴椭圆的标准方程：22143x y +=； ………………4分 （2）设(,)N x y ，则22222221()()3(1)2344x MN x m y x m x mx m =-+=-+-=-++ 对称轴：4x m =，22x -≤≤ ………………6分 ①当042m <≤，即102m <≤，4x m =时，22min 331MN m =-+=， 解得：22134m =>，不符合题意，舍； ………………8分②当42m >，即122m <<，2x =时，22min 441MN m m =-+=， 解得：1m =或3m =；122m << 1m ∴=；综上：1m =，(2,0)N ； ………………10分（3）由题意得：四条垂线的方程为2x =±，3y =±，则(2,3)A ，(2,3)B - ∴34OA OB k k ⋅=-设11()P x y ，，22()Q x y ，，则121234y y x x =-①，221212()()PQ x x y y =-+-.∵点P 、Q 在椭圆C 上 ∴22113(1)4x y =-，22223(1)4x y =- 平方①得：2222221212129169(4)(4)x x y y x x ==--，即22124x x +=.……………12分①若12x x =，则P 、1P 、Q 、2Q 分别是直线OA 、OB 与椭圆的交点，∴四个点的坐标为：6(2,)2，6(2,)2-，6(2,)2-，6(2,)2--∴四边形11PQPQ 的面积为43； ②若12x x ≠，则直线PQ 的方程可设为：211121()y y y y x x x x --=--，化简得：21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=，所以O 到直线PQ 的距离为1221222121||()()x y x y d x x y y -=-+-， ………………………14分所以OPQ △的面积2222122112121221111||2222S PQ d x y x y x y x x y y x y =⋅=-=-+ 222222222111*********(1)3(1)3()343242422x x x x x x x x =-++-=+=⨯=.根据椭圆的对称性，故四边形11PQPQ 的面积为4S ，即为定值43.综上：四边形11PQPQ 的面积为定值43. …………………16分 20．解：（1）1'()f x a x=- ………………………2分∵函数在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行 ∴1122k a =-=-， 解得：1a =； ………………………4分（2）由（1）得()ln f x x x =-，∴2()2f x m x x +=-，即23ln 0x x x m -++=设2()3ln (0)h x x x x m x =-++>，则21231(21)(1)'()23x x x x h x x x x x-+--=-+==令'()0h x =，得1,2121==x x ， 列表得： x21 )1,21( 1 （1，2）2 '()h x 0 － 0 +()h x极大值极小值2ln 2m -+∴当1=x 时，()h x 的极小值为(1)2h m =-，又15()ln 2,(2)2ln 224h m h m =--=-+ ………………………7分 ∵方程2()2f x m x x +=-在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，∴1()0,2(1)0,(2)0,h h h ⎧≥⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎩即5ln 20,420,2ln 20,m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩解得：5ln 224m +≤<；（也可分离变量解） ………………………10分 （3）解法（一）∵21()ln (1)2g x x x b x =+-+，∴21(1)1'()(1)x b x g x x b x x -++=+-+=∴12121,1x x b x x +=+=， ∴22112121221()()ln()(1)()2x g x g x x x b x x x -=+--+-111212112122212221()()111ln (1)()ln ln ()222x x x x x x x x x b x x x x x x x x x +-=-+-=-=-- 120x x << 设12x t x =，则01t <<，令11()ln ()2G t t t t=--，01t << 则222111(1)'()(1)022t G t t t t-=-+=-<，∴()G t 在(0,1)上单调递减； ………12分 ∵32b ≥，∴225(1)4b +≥ ∵222211221212122121(1)()22x x x x x x b x x t x x x x t+++=+==++=++ ∴12524t t ++≥ ∴241740t t -+≥ ∴104t <≤ ………………………14分 ∴当14t =时，min 115()()2ln 248G t G ==- ∴152ln 28k ≤- max 152ln 28k ∴=- ． ………………………16分 解法（二） ∵21()ln (1)2g x x x b x =+-+，∴21(1)1'()(1)x b x g x x b x x -++=+-+= ∴12121,1x x b x x +=+=， ∴ 211x x = ∵32b ≥ ∴ 111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得：1102x <≤ ………………………12分 ∴22112121221()()ln()(1)()2x g x g x x x b x x x -=+--+-21121112ln ()2x x x =-- 设22111()2ln ()(0)22F x x x x x =--<≤，则223321(1)'()0x F x x x x x --=--=< ∴()F x 在1(0,]2上单调递减； ………………………14分 ∴当112x =时，min 115()()2ln 228F x F ==- ∴152ln 28k ≤-max 152ln 28k ∴=- ． ………………………16分。