等腰三角形中考真题精选汇总 .

（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A．3+√22B．1+√2C．2√2D．2+√2【解析】选D．如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，因为∠C＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形，所以AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=√2AC＝2√2，因为∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，所以∠DAB＝22.5°，所以∠B＝∠DAB，所以AD＝BD＝2，因为AD＝AC，AE⊥CD，所以DE＝CE，所以AE=12CD=√2，所以△ABC的面积为12•BC•AE=12×√2×（2+2√2）＝2+√2．（2022·安徽中考）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA（2022•泰安中考）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解析】选A．如图，因为AB＝BC，∠C＝25°，所以∠C＝∠BAC＝25°，因为l1∥l2，∠1＝60°，所以∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，因为∠BEA＝∠C+∠2，所以∠2＝95°﹣25°＝70°（2022•宜宾中考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则CFAF =45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+√3．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解析】选B．如图1中，因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE，因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△DAE（SAS），所以BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠AEC+∠ADC＝180°，所以∠DAE+∠DCE＝180°，所以∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，所以A，D，C，E四点共圆，所以∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE=√5m，OA=√52m，过点C作CJ⊥DF于点J，因为tan∠CDF=CJDJ =CECD=2，所以CJ=2√55m，因为AO⊥DE，CJ⊥DE，所以AO∥CJ，所以CFAF =CJAO=2√55m√52m=45，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，所以BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，所以△BPN是等边三角形，所以BP＝PN，所以PA+PB+PC＝AP+PN+MN，所以当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，所以∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD=√3t，所以2+t=√3t，所以t=√3+1，所以CE＝BD=√3t＝3+√3，故④错误，故正确的结论是①②③.（2022•福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【解析】选B．因为AB＝AC，BC＝44cm，所以BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，因为∠ABC＝27°，所以tan∠ABC=ADBD≈0.51，所以AD≈0.51×22＝11.22cm．（2022•永州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【解析】选C．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，所以AC＝2BD＝4，因为∠C＝60°，所以∠A＝30°，所以BC=12AC＝2.（2022•鄂州中考）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解析】选B．由题意可得AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA，因为∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，所以∠CAB＝∠CBA＝15°，因为l1∥l2，所以∠1＝∠CBA＝15°．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝90°B ．DE ＝DFC ．AD ＝BC D ．BD ＝CD【解析】选C ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，所以∠ADC ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD，所以△BDE ≌△CDF （AAS ），所以DE ＝DF .（2022•龙东中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若△ABC 的面积是24，PD ＝1.5，则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【解析】选A ．如图，过点E 作EG ⊥AD 于G ，因为AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，所以∠PDF ＝∠EGP ＝90°，EG ∥BC ， 因为点E 是AB 的中点，所以G 是AD 的中点，所以EG =12BD ，因为F 是CD 的中点，所以DF =12CD ，所以EG ＝DF ，因为∠EPG ＝∠DPF ，所以△EGP ≌△FDP （AAS ），所以PG ＝PD ＝1.5，所以AD ＝2DG ＝6，因为△ABC 的面积是24，所以12•BC •AD ＝24，所以BC ＝48÷6＝8， 所以DF =14BC ＝2，所以EG ＝DF ＝2，由勾股定理得：PE =√22+1．52=2.5．A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°【解析】选A ．由题意可得BP 为∠ABC 的角平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ，因为AD ＝BD ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，所以∠ABC ＝2∠A ，因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝2∠A ，所以∠A +∠ABC +∠C ＝∠A +2∠A +2∠A ＝180°，解得∠A ＝36°．（2022•滨州中考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB ＝AC ，立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC ＝120°，则∠C 的大小为 30° ．【解析】因为AB ＝AC 且∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）=12×60°＝30°．答案：30°．（2022•绍兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠BAC ＝80°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连结CD ，则∠BCD 的度数是 10°或100° ．【解析】如图，点D 即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，所以∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣80°）＝50°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，所以∠ACD′＝∠AD′C，因为∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，所以∠AD′C＝40°，所以∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．答案：10°或100°．（2022•娄底中考）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，所以△ACD≌△ABD′，故①正确；因为AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，所以ACAD =ABAD′，所以△ACB∽△ADD′，故②正确；因为△ACB∽△ADD′，所以S△ADD′S△ACB=（ADAC）2，因为当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，所以BD＝CD，所以当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以CD＝BD，因为BC＝6，所以CD＝3.答案：3（2022•德阳中考）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝√3．【解析】如图，设CE交AB于点O．因为∠ACB＝90°，AD＝DB，所以CD＝AD＝DB，所以∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，因为CE⊥AB，所以∠BCE+∠B＝90°，因为∠A+∠B＝90°，所以∠BCE＝∠A，所以∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，，所以CO＝CB•cos30°=√32因为DA＝DE，DA＝DC，所以DC＝DE，，所以CE=√3．因为DO⊥CE，所以CO＝OE=√32答案：√3．（2022•嘉兴中考）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°．【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，答案：∠B＝60°（2022•无锡中考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4−√3．【解析】因为△ACB，△DEC都是等边三角形，所以AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，{CB=CA∠BCD=∠ACE CD=CE，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠DBC＝∠EAC＝20°，因为∠BAC＝60°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BE交AC于点T．同法可证△BCD ≌△ACE ，所以∠CBD ＝∠CAF ，因为∠BTC ＝∠ATF ，所以∠BCT ＝∠AFT ＝60°，所以点F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF 最小时，AF 的值最小，此时CD ⊥BD ，所以BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4，所以AE ＝BD ＝4，∠BDC ＝∠AEC ＝90°，因为CD ＝CE ，CF ＝CF ，所以Rt △CFD ≌Rt △CFE （HL ），所以∠DCF ＝∠ECF ＝30°，所以EF ＝CE •tan30°=√3，所以AF 的最小值为AE ﹣EF ＝4−√3.答案：80，4−√3（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 42+18√77 ．【解析】因为△ABC 是等边三角形，所以AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE所以△ABD ≌△BCE （SAS ），所以∠BAD ＝∠CBE ，所以∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，所以∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，所以∠C ＝60°，所以△CEF 是等边三角形，所以∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，所以△APB ∽△BFE ，所以AP BP =BF EF =42=2， 设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，因为∠BPD ＝∠APE ＝60°，所以∠PBH ＝30°，所以PH =x 2，BH =√32x ，所以AH ＝AP +PH ＝2x +x 2=52x ，在Rt △ABH 中，AH 2+BH 2＝AB 2，即（52x ）2+（√32x ）2＝62， 解得x =6√77或−6√77（舍去），所以AP =12√77，BP =6√77， 所以△ABP 的周长为AB +AP +BP ＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77， 答案：42+18√77． （2022•泰州中考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E ．若DE ＝CD +BE ，则线段CD 的长为 2或12 ．【解析】如图，过点O 的直线分别与AC 、AB 边相交于点D 、E ，连接BO ，CO ，因为O 为△ABC 的内心，所以CO 平分∠ACB ，BO 平分∠ABC ，所以∠BCO ＝∠ACO ，∠CBO ＝∠ABO ，当CD ＝OD 时，则∠OCD ＝∠COD ，所以∠BCO ＝∠COD ，所以BC ∥DE ，所以∠CBO ＝∠BOE ，所以BE ＝OE ，则DE ＝CD +BE ，设CD ＝OD ＝x ，BE ＝OE ＝y ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=10，所以{AD AC =DE BC AE AB =DE BC ，即{8−x 8=x+y 610−y 10=8−x 8，解得{x =2y =52，所以CD ＝2，过点O 作D ′E ′⊥AB ，作DE ∥BC ，因为点O 为△ABC 的内心，所以OD ＝OE ′，在Rt △ODD ′和Rt △OE ′E 中，{∠OE′E =∠ODD′OE′=OD ∠EOE′=∠D′OD，所以△ODD ′≌△OE ′E （ASA ），所以OE ＝OD ′，所以D ′E ′＝DE ＝CD +BE ＝CD ′+BE ′＝2+52=92，在△AD ′E ′和△ABC 中，{∠A =∠A ∠D′E′A =∠BCA，所以△AD ′E ′∽△ABC ， 所以AD′AB =D′E′BC ，所以AD′10=926，解得：AD ′=152，所以CD ′＝AC ﹣AD ′=12. 答案：2或12． （2022•包头中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为AB 边上一点，且BD ＝BC ，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为 3√2−3 ．【解析】因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，所以AB =√2AC ＝3√2，∠A ＝∠B ＝45°，因为BD ＝BC ＝3，AC ＝BC ，所以BD ＝AC ，AD ＝3√2−3．因为DC ＝DE ，所以∠DCE ＝∠DEC ．因为BD ＝BC ，所以∠DCE ＝∠CDB ，所以∠CED ＝∠CDB ，因为∠CDB ＝∠CDE +∠EDB ，∠CED ＝∠B +∠EDB ，所以∠CDE ＝∠B ＝45°．所以∠ADC +∠EDB ＝180°﹣∠CDE ＝135°．因为∠ADC +∠ACD ＝180°﹣∠A ＝135°，所以∠ACD ＝∠EDB ．在△ADC 和△BED 中，{AC =BD ∠ACD =∠EDB CD =DE，所以△ADC ≌△BED （SAS ）．所以BE ＝AD ＝3√2−3．答案：3√2−3．【解析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．因为AB＝AC=√2，∠BAC＝90°，所以BC=√(√2)2+(√2)2=2，因为AH⊥BC，所以BH＝AH＝1，所以AH＝BH＝CH＝1，所以AM+BN=√12+(1−x)2+√(√2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，√2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（√2+1）x−√2，当y＝0时，x＝2−√2，所以AM+BN的值最小时，CM的值为2−√2.答案：2−√2（2022•自贡中考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．【证明】因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠ABD=∠ACE BD=CE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠D＝∠E.（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【解析】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，因为MQ∥BC，所以∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，所以△AMQ是等边三角形，所以AM＝QM，因为AM＝CN，所以QM＝CN，在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠N QM=CN，所以△QMP≌△CNP（AAS），所以MP＝NP；（2）因为△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，所以AH＝HQ，因为△QMP≌△CNP，所以QP＝CP，所以PH＝HQ+QP=12 AC，因为AB＝a，AB＝AC，所以PH=1 2 a（2022•杭州中考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．（2022•绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC 边上有一点D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用面积证明：DE +DF ＝CG ．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B '处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM ⊥FC 于M ，GN ⊥BC 于N ．若BC ＝8，BE ＝3，求GM +GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA ⊥AB ，ED ⊥CD ，连接BD ，且AB CD =AE DE ，BC =√51，CD ＝3，BD ＝6，求ED +EA 的长．【解析】（1）连接AD ，因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×CG =12×AB ×DE +12×AC ×DF ，因为AB ＝AC ，所以DE +DF ＝CG ；（2）因为将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，所以∠AFE ＝∠EFC ，AE ＝CE ，因为AD ∥BC ，所以∠AFE ＝∠CEF ，所以∠CEF ＝∠CFE ，所以CE ＝CF ，因为BC ＝8，BE ＝3，所以CE ＝AE ＝5，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB ＝4，所以等腰△CEF 中，CE 边上的高为4， 由（1）知，GM +GN ＝4；（3）延长BA 、CD 交于G ，作BH ⊥CD 于H ，因为ABCD =AEDE ，∠BAE ＝∠EDC ＝90°，所以△BAE ∽△CDE ，所以∠ABE ＝∠C ，所以BG ＝CG ，所以ED +EA ＝BH ，设DH ＝x ，由勾股定理得，62﹣x 2＝（√51）2﹣（x +3）2，解得x ＝1，所以DH ＝1， 所以BH =√BD 2−DH 2=√62−12=√35，所以ED +EA =√35．。

等腰三角形要点一、等腰三角形的性质及判定一、选择题1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；2、（2009·威海中考）如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．40【解析】选B.由AB=AC, 40A ∠=,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD ∠=∠ABC-∠DBC =70°-40=30.3.（2009·聊城中考）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º【解析】选C.在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED ＝62º ,∴∠EAC=62º -45 º =17 º ,又CE ＝AF ，∴△ABF ≌△CAE,∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF ＝45 º-17 º=28º.4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A等于（）A、30oB、40oC、45oD、36o【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=x o,则∠ABD=x o, ∠C=∠ABC=∠BDC=2x o,在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o5、（2009·武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110 C．140°D．150°【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°，所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°，所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）A．32B．23C．12D．34ADCPB60°BCOAD【解析】选B 因为∠APD ＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD ，又因为∠BPA ＝60°＋∠PAD ，所以∠PDC=∠BPA ，又因为∠B ＝∠C ，所以△ABP ∽△PCD ， 所以23==PC AB CD BP ,所以CD ＝23. 7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm 答案：选C二、填空题8. (2009·达州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.【解析】由AB ＝AC 得∠B=∠C=21∠DAC=21×80°=40°. 答案：40°.9.（2009·云南中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM . 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）【解析】由∠ACB =90°，DE ∥AC ，得∠EDC=90°，又M 为BE 的中点，得MB=MD=ME,∴△MBD和△MDE 是等腰三角形，∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，∴∠EDA=∠EAD=∠DAC,∴△EAD 是等腰三角形.答案：△MBD 或△MDE 或△EAD10.（2008·菏泽中考）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．【解析】∵正三角形ABC 和正三角形CDE∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE∴ΔACD ≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP ≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º∴PQ ∥AE,∵∠AOB=∠OEA ＋∠OAE=∠OEA ＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE.故恒成立的有①②③⑤答案：①②③⑤11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的三个角应该为 。

中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( )A .40°B .50°C .60°D .65° 2. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°3. 一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为()A ．10 3＋3 2B ．5 3＋6 2C ．10 3＋3 2或5 3＋6 2D ．无法确定4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°5. 如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒6. 如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =90°，BD ，CE 交于点F ，连接AF ．下列结论：①BD =CE ；②BF ⊥CF ；③AF 平分∠CAD ；④∠AFE =45°．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2个C ．3个D ．4个CE F7. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( )A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D .设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则()A. x －y 2＝3B. 2x －y 2＝9C. 3x －y 2＝15D. 4x －y 2＝21二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm . 10. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点．若BC ＝12，AD ＝8，则DE 的长为________．ECB A12. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B ＝________°． ABC DE F13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE 的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为________．15. 如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为__________．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为________．MD CBA三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;ODABCxy(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，AE，延长EA交CD于点G.(1)求证：△ACE≌△CBD；(2)求∠CGE的度数．21. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P 由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．参考答案1. 【答案】D2. 【答案】D【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC =，40A ∠=，可得：70ABC ACB ∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB 可得：70BCD ABC ∠=∠=，所以选D ．3. 【答案】[解析] A 因为75＝5 3，18＝3 2.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．5. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠， ∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ． 6. 【答案】C【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∵∠BAD=90°+∠CAD ，∠CAE=90°+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△AEC 与△ADB 中， AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AEC ≌△ADB(SAS)，∴BD=CE ，故①正确；∴∠ADB=∠AEC ，∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90∘，∴BD ⊥CE ，故②正确；∵作AN ⊥CE ，AM ⊥BD∵△AEC ≌△ADB(SAS)，∴AM=AN，∵AF是∠BFE的角平分线，∠BFE=90°，∴∠AFE=45°，故④正确，故③正确；因为QF≠PF，故③错误。

第23章 等腰三角形一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个MECA【答案】D3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有 （第7题）A BCD EA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30∘，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75 【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4 【答案】Ｃ6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cm ABCDEF GC ．17cmD ．16cm 或17cm 【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513【答案】C二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为【答案】80º5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。

【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC 中.AB ＝AC .点E 为AC 的中点.延长BC 到点D .使得CD ＝CE ．延长DE 交AB 于点F .若∠A ＝60°.EF ＝4cm .则DF 的长为（ ）性质1. 三条边相等2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式 是等边三角形的边长.h 是任意边上的高A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．85．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个5．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．26．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8 3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3 4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4 5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．10．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10 2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6 4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2 9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128 10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．。

2025年中考数学总复习专题15
等腰三角形与直角三角形
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
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中考数学历年各地市真题等腰三角形,等边三角形（2010哈尔滨）１。

如图，AB 、AC 为⊙O 的弦，连接CO 、BO 并延长分别交弦AB 、AC 于点E 、F ，∠B ＝∠C ．求证：CE ＝BF ．（2010珠海）２。

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD（1）用尺规作图方法，作∠DAB 的角平分线AF （只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状（只写结果） 解：(1)所以射线AF 即为所求 (2)△ADE 是等腰三角形.（2010珠海）３．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD.(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos ∠PCB=55，求PA 的长.解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC ∴PB ＝PC∵BD ＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD ≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝PA ，AD ＝AB-BD ＝6-4＝2过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝21AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB=55PA AE ∴PA=5（2010红河自治州）11. 如图3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，若∠A=70°，∠B=60°， DE//BC.则∠AED 的度数是 50°.图3ED CBA（2010年镇江市）20．推理证明（本小题满分6分）如图，在△ABC 和△ADE 中，点E 在BC 边上，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠D ，AB=AD. （1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE 绕着点A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角的大小.（1）∵∠BAC=∠DAE ，AB=AD ，∠B=∠D ，∴△ABD ≌△ADE.（3分） （2）∵△ABC ≌△ADE ，∴AC 与AE 是一组对应边， ∴∠CAE 的旋转角，（4分） ∵AE=AC ，∠AEC=75°，∴∠ACE=∠AEC=75°， （5分）∴∠CAE=180°—75°—75°=30°. （6分）（玉溪市2010）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）AB 平行于CD ．如图a ，点P 在AB 、CD 外部时，由AB ∥CD ，有∠B=∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B-∠D ．如图b ，将点P 移到AB 、CD 内部，以上结论是否成立？，若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ， 如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D. 延长BP 交CD 于点E,∵AB ∥CD. ∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分 （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D ∠E+∠F=360°. …………11分（桂林2010）26．（本题满分12分）如图，过A （8，0）、B （0，直线x y 3=交于点C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形P 的坐标；若不存在，请说明理由．图a O图bO图c图d G26．(本题12 分)解（1）C（4，……………………………2分t的取值范围是：0≤t≤4 ………………………………3分（2）∵D点的坐标是（t，+，E的坐标是（t）∴DE=+=……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为：123t-∴当点F在BO边上时：123t-=t，∴t=3 ……………………5分①当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-3…7分S=)23tt+-=)2t=2+………………………………8分②当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形S=1)(123)2t-…………………9分=2-+……………………10分（3）存在，P（247，0）……………………12分说明：∵FO≥FP≥OP≤4备用图1∴以P ，O ，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO ，FP , 若FO =FP 时，t =2（12-3t ），t =247，∴P （247，0）（2010年无锡）7．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ▲ ）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180° 答案 B（2010年无锡）16．如图,△ABC 中,DE 垂直平分AC 交AB 于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE= ▲ °． 答案 502010年无锡）26．（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点,P 是BC延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE=MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°， AB=BC ．∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠MAB =∠MAE ．本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747．转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2）,N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由． 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN = °时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）（第16题）EDCBAM N P D CEBA 图1答案解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°, ∵CN 平分∠DCP ，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM 和△MCN 中：∵,,=CMN,AEM MCN AE MC EAM ∠=∠=∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN（2）仍然成立． 在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC ，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°． ∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠BAM ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN （3）(2)180n n-︒（2010宁波市）10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有 AA ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 18．（2010年金华）(本题6分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是： ▲ ； （2）证明：解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒………………………………2分（2）以DC BD =为例进行证明：∵CF ∥BE ， ∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC ﹦∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ．…………………4分5．（2010年长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 C A ．3、4、5 B ．6、8、10 C2D ．5、12、13 22．（2010年长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分ACBD FE(第18题ACBD FE．··．（2）∵△ABE ≌△ADE ∴∠BEC ＝∠DEC＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分(2010湖北省荆门市)6．给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 (3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 (4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有( )(A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个 答案D11. （2010年郴州市）如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12∠+∠= 度．答案：2703．（2010年济宁市)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案：B北京3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（共26道）一 、单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DEAB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或22．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.53．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B ．22C ．2D ．16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E 使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号）16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．19．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图① ABC 和ADE 是等边三角形 连接DC 点F G H 分别是,DE DC 和BC 的中点 连接,FG FH ．易证：3FH FG =．若ABC 和ADE 都是等腰直角三角形 且90BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：若ABC 和ADE 都是等腰三角形 且120BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：其他条件不变 判断FH 和FG 之间的数量关系 写出你的猜想 并利用图①或图①进行证明．20．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题 是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律 再结合其他数学知识的内在联系 最终可以获得宝贵的数学经验 并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 30BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______ BDC ∠=______︒(2)类比探究：如图2 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 120BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数 并说明理由(3)拓展延伸：如图3 ABC 和AEF △均为等腰直角三角形 90BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 且点B E F 在一条直线上 过点A 作AM BF ⊥ 垂足为点M ．则BF CF AM 之间的数量关系：______(4)实践应用：正方形ABCD 中 2AB = 若平面内存在点P 满足90BPD ∠=︒ 1PD =，则ABP S =△______．21．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式 某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt ABC △中 90,C AC BC ∠=︒= D 是AB 边上一点 且1AD BD n=（n 为正整数） E 是AC 边上的动点 过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1 当1n =时 兴趣小组探究得出结论：2AE BF AB += 请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2 当2n = 且点F 在线段BC 上时 试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系 请写出结论并证明①请通过类比 归纳 猜想 探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论 不必证明） 【拓展运用】(3)如图3 连接EF 设EF 的中点为M ．若22AB = 求点E 从点A 运动到点C 的过程中 点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）．22．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==， 点E 在边BC 上 且2BE =．动点P 从点E 出发 沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动 作90PEQ ∠=︒ EQ 交边AD 或边DC 于点Q 连续PQ ．当点Q 与点C 重合时 点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)当点P 和点B 重合时 线段PQ 的长为__________ (2)当点Q 和点D 重合时 求tan PQE ∠(3)当点P 在边AD 上运动时 PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图①．请说明理由(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F 连接PF QF 当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时 直接写出t 的取值范围．23．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】（1）如图1 ABC 和BDE 都是等边三角形 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上． ①求证：AE CD =①用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型应用】（2）如图2 ABC 是直角三角形 AB AC = CD BD ⊥ 垂足为D 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型迁移】（3）在（2）的条件下 若42AD = 3BD CD = 求cos AFB ∠的值．24．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边ABC 中 AD BC ⊥于点D E 为线段AD 上一动点（不与AD 重合） 连接BE CE 将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF 连接AF ．(1)如图1 求证：CBE CAF ∠=∠(2)如图2 连接BF 交AC 于点G 连接DG EF EF 与DG 所在直线交于点H 求证：EH FH = (3)如图3 连接BF 交AC 于点G 连接DG EG 将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到APG 将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到DQG 连接PQ QF ．若4AB = 直接写出PQ QF +的最小值．25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1 在ABC 中 AB AC = 点,M N 分别为边,AB BC 的中点 连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________ MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2 若90,42BAC BC ∠=︒= 先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角） 得到BEF △ 当点,,A E F 在同一直线上时 AE 与BC 相交于点D 连接CF ．（1）求BCF ∠的度数（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒ 将BMN 绕点B 顺时针旋转α 得到BEF △ 连接AE CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒ 点,,C E F 在同一直线上时 利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图，①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF == 在Rt ABG △中 利用勾股定理即可求解.【详解】解：①矩形ABCD 中①90ABC BAC ∠=∠=︒①F 为CE 的中点 10CE = ①152BG BF CE === 在Rt ABG △中 2222543AG BG AB =--故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质 直角三角形斜边中线的性质 勾股定理 掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+ 由DF DE < 可得a b c +< 进而可判断①的正误 由EAB BCD ≌△△ 可得BE BD = CD AB a == AE BC b ==ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒ BDE △是等腰直角三角形 由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++ 由AB AE BE +> 可得22a b a b +>+ 进而可判断①的正误 由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+，则)2222c a b a b =++ 进而可判断①的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形①DF AC a b ==+①DF DE <①a b c +< ①正确 故符合要求①EAB BCD ≌△△①BE BD = CD AB a == AE BC b == ABE CDB ∠=∠①90CBD CDB ∠+∠=︒①90∠+∠=︒CBD ABE 90EBD ∠=︒①BDE △是等腰直角三角形由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++①AB AE BE +> ①22a b a b ++ ①正确 故符合要求由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+ ①)2222c a b a b ++ ①正确 故符合要求故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 全等三角形的性质 勾股定理 等腰三角形的判定 不等式的性质 三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == 23BC AE == 36BD BC ==∴8DE = ∴1927AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = 3BC = 3OE = 1CE = ①3CD = 3GE DF ==32CF = ①52EF DG == 3OG ①723OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△ ①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B 2C ．2D ．1【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质可得2BE = 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒ 再判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上 连接BD 根据圆周角定理可得90BDE ∠=︒45ADB AEB ∠=∠=︒ 然后根据相似三角形的判定可得ABD EBC 根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：BAE 是以AB 为腰的等腰直角三角形 2BE AB ∴ 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒,45AD BC C ∠=︒∥180135ADE C ∴∠=︒-∠=︒180ADE ABE ∴∠+∠=︒∴点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上如图，连接BD由圆周角定理得：90BDE ∠=︒ 45ADB AEB ∠=∠=︒45ADB C CBD ∴∠=∠=∠=︒45ABD DBE EBC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠ABD EBC ∠=∠∴在ABD △和EBC 中 ADB C ABD EBC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ABD EBC ∴2CE EB AD AB∴== 2212CE AD ∴==故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质等知识点 正确判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上是解题关键．6．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 的性质可由SAS 定理证ABF ADE △≌△ 即可判定AEF △是等腰直角三角形 进而可得12HE HF AH EF === 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12HC EF = 由此即可判断①正确 再根据ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 可判断①正确 进而证明AFK HDE 可得AF AK HD HE = 结合22AF HE == 即可得出结论①正确 由AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定 可 判断①HD CD =不一定成立．【详解】解：①正方形ABCD①AB AD = 90ADC ABC BAD BCD ∠=∠=∠=∠=︒①90ABF ADC ∠=∠=︒①BF DE =①ABF ADE △≌△SAS （）①BAF DAE ∠=∠ AF AE =①90FAE BAF BAE DAE BAE BAD ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒①AEF △是等腰直角三角形 45AEF AFE ∠=∠=︒①AH EF ⊥ ①12HE HF AH EF ===①90DCB ∠=︒ ①12CH HE EF == ①CH AH = 故①正确又①AD CD =,HD HD =,①(SSS)AHD CHD ≅, ①1452ADH CDH ADC ∠=∠=∠=︒ ①ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 即：4545EAD DHE ︒+∠=∠+︒①EAD DHE ∠=∠①FAB DHE EAD ∠=∠=∠ 故①正确又①45AFE ADH ∠=∠=︒①AFK HDE ①AF AK HD HE= 又①22AF AH HE = ①22AK HD HE ⋅= 故①正确①若HD CD =，则1804567.52DHC DCH ︒-︒∠=∠==︒ 又①CH HE =①67.5HCE HEC ∠=∠=︒而点E 是CD 上一动点 AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定而18045135HEC AED AED ∠=︒-∠-︒=︒-∠则故67.5HEC ∠=︒不一定成立 故①错误综上 正确的有①①①共3个故选：C ．【点睛】本题考查三角形综合 涉及了正方形的性质 全等三角形 相似三角形的判定与性质 等腰三角形＂三线合一＂的性质 直角三角形的性质 熟练掌握正方形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定和性质 直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．【答案】2【分析】根据正方形的性质 以及七巧板的特点 求得OE 的长 即可求解．【详解】解：如图所示依题意 222OD AD == 122OE OD ==①图中阴影部分的面积为2222OE ==故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 七巧板 熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．【答案】 3 13【分析】（1）过点E 作EH AD ⊥ 根据正方形和等腰三角形的性质 得到AH 的长 再利用勾股定理 求出EH 的长 即可得到ADE 的面积（2）延长EH 交AG 于点K 利用正方形和平行线的性质 证明()ASA ABF KEF ≌ 得到EK 的长 进而得到KH 的长 再证明AHK ADG △∽△ 得到KH AH GD AD= 进而求出GD 的长 最后利用勾股定理 即可求出AG 的长．【详解】解：（1）过点E 作EH AD ⊥正方形ABCD 的边长为33AD ∴= ADE 是等腰三角形 52EA ED ==EH AD ⊥ 1322AH DH AD ∴=== 在Rt AHE 中 222253222EH AE AH ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132322ADE S AD EH ∴=⋅=⨯⨯=, 故答案为：3（2）延长EH 交AG 于点K正方形ABCD 的边长为390BAD ADC ∴∠=∠=︒ 3AB =AB AD ∴⊥ CD AD ⊥EK AD ⊥AB EK CD ∴∥∥ABF KEF ∴∠=∠F 为BE 的中点BF EF ∴=在ABF △和KEF 中ABF KEF BF EFAFB KFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABF KEF ∴≌3EK AB ∴==由（1）可知 12AH AD =2EH = 1KH ∴=KH CD ∥ AHK ADG ∴△∽△KH AH GD AD∴= 2GD在Rt ADG 中 22223213AG AD GD =++ 13【点睛】本题考查了正方形的性质 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理等知识 作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．【答案】221【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时 分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时①四边形ABCD 矩形①90A ∠=︒，则∥MN AB 由平行线分线段成比例可得：ANBMND MD =又①M 为对角线BD 的中点①BM MD = ①1ANBMND MD ==即：1ND AN ==①2AD AN ND =+=当90NMD ∠=︒时①M 为对角线BD 的中点 90NMD ∠=︒①MN 为BD 的垂直平分线①BN ND =①四边形ABCD 矩形 1AN AB ==①90A ∠=︒，则222BN AB AN =+= ①2BN ND ==①21AD AN ND =+综上 AD 的长为221故答案为：221．【点睛】本题考查矩形的性质 平行线分线段成比例 垂直平分线的判定及性质等 画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①①①【分析】由题意易得,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒，则可证()SAS AEB FED ≌ 然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：①,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形①,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒①,DBA DBE ABE EBC ABC ABE ∠=∠-∠∠=∠-∠ ,AEB AED DEB FED AEF AED ∠=∠+∠∠=∠+∠ ①,DBA EBC AEB FED ∠=∠∠=∠ 故①正确①()SAS AEB FED ≌①,AB DF AC ABE FDE ==∠=∠ BAE DFE ∠=∠ 故①正确①90,90ABE BHE EFD EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒ 90BAE EAC ∠+∠=︒ BE AE >①BHE EGF ∠≠∠ EGF EAC ∠=∠ 故①错误①DF AC ∥①DF AC =①四边形ADFC 是平行四边形①AD CF = 故①正确故答案为①①①．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．【答案】33【分析】过点A 作AH BC ⊥于H 根据等边三角形的性质可得60BAC ∠=︒ 再由AH BC ⊥ 可得=30BAD DAH ∠+∠︒ 再根据=30BAD EAC ∠+∠︒ 可得DAH EAC ∠=∠ 从而可得1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ 利用锐角三角函数求得sin 6033AH AB =⋅︒= 再由1==333DH AH 求得3DH = 即可求得结果．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于H①ABC 是等边三角形①6AB AC BC === 60BAC ∠=︒①AH BC ⊥ ①1302BAH BAC ∠=∠=︒ ①=30BAD DAH ∠+∠︒①30DAE ∠=︒①=30BAD EAC ∠+∠︒①DAH EAC ∠=∠ ①1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ ①132BH AB == ① 3=sin 60=6=3AH AB ⋅︒①1==333DH AH ①3DH = ①==33BD BH DH - 故答案为：33【点睛】本题考查等边三角形的性质 锐角三角函数 熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC ∠=∠是解题的关键．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①①①【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP PN = 可以判断① 利用相似和勾股定理可以得出10BD =152MN = 利用MBND 12S MN BD =⨯四边形判断① 根据相似可以得到2MPE DAB S ME S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 判断① 利用将军饮马问题求出最小值判断①．【详解】解：①EM EN = MN BD ⊥①MP PN =在点P移动过程中不一定MP PN =相矛盾延长ME 交BC 于点P ,则ABPM 为矩形 ①22226810BD AB AD +=+①ME AD ⊥ MN BD ⊥①90MED MDE MEP EMN ∠+∠=∠+∠=︒，①MDE EMN ∠=∠①MPN DAB ∽ ①MP PN MN AD AB BD == 即68610PN MN == 解得：91522PN MN ==， ①1111157510222222BMN DMN MBND S SS MN BP MN DP MN BD =+=⨯+⨯=⨯=⨯⨯=四边形 故①正确①ME AB ①DME DAB ∽①23ME MD AB AD == ①4ME =①MDE EMN ∠=∠ 90MPE A ∠=∠=︒ ①MPE DAB ∽①2425MPE DAB S ME SBD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ①44196682525225MPE DAB S S ==⨯⨯⨯=152BM MN ND BM ND ++=++ 即当MB ND +最小时，BM MN ND ++的最小值 作B D 关于AD BC 、的对称点11B D 、, 把图1中的1CD 向上平移到图2位置 使得9CD 2=连接11B D 即11B D 为MB ND +的最小值，则172AC BD == 112BB =, 这时222211117251222B D BD BB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭即BM MN ND ++的最小值是20故①正确故答案为：①①①【点睛】本题考查矩形的性质 相似三角形的判定和性质 轴对称 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时 30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)【答案】①①①【分析】①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形 根据等角对等边 以及三角形的内角和定理即可得出()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 进而判断① 证明BAD EAC ≌ 根据全等三角形的性质判断① 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H 证明ACN DAG ≌ ABN EAH ≌ (AAS)EHM DGM ≌ 即可得M 是ED 的中点 故①正确 证明()Rt Rt HL MEH MDG ≌ 可得MG MH = 在Rt ABN △中 222AN AB BN =- 在Rt ANC △中 222AN AC CN =- 得出 2912a = 在Rt MGD 中 勾股定理即可求解． 【详解】解：①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形①60BAC ∠=︒①360909060120EAD ∠=︒-︒-︒-︒=︒①等腰直角ABE ACD①,BA BE BA AD ==①AE AD = ①()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 故①正确 ①①等腰直角ABE ACD①,AB AE AD AC == 90BAE DAC ∠=∠=︒①BAD EAC ∠=∠①BAD EAC ≌①EC BD = 故①正确①如图所示 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H①90BAE ∠=︒ MN BC ⊥①90ABN BAN ∠+∠=︒又90EAM BAN ∠+∠=︒①EAM ABN ∠=∠又①EA AB =①EAH ABN ≌()AAS同理得 ACN DAG ≌①GD AN = AG CN = ,EH AN AH BN == ①EMH DMG ∠=∠ 90EHM DGM ∠=∠=︒ ①(AAS)EHM DGM ≌①EM DM = 即M 是ED 的中点 故①正确 ①MG MH =设BN a =，则6CN BC BN a =-=-在Rt ABN △中 222AN AB BN =-在Rt ANC △中 222AN AC CN =-①2222AB BN AC CN -=-①()2222346a a -=-- 解得：2912a = ①294361212AG CN ==-= ①222229455312AN AB BN ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ①2976262126GH AG AH AN BN a =-=-=-=-⨯=①1772612MG =⨯= 在Rt MGD 中 222274551412122MD GD MG ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①214ED MD ==故①错误故答案为：①①①．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 等边三角形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形 可得N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN = 可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点 当,M B 重合时 符合题意 可得()8,6M - 当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB == 证明MNK NAJ ≌ 设(),26N x x -- 可得MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=-- 而8KJ AB ==，则2128x x ---= 再解方程可得答案．【详解】解：如图，①AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形①N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN =①N 是圆H 与直线26y x =--的交点当,M B 重合时①()8,6B -，则()4,3H -①4MH AH NH === 符合题意①()8,6M -当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB ==①90NAJ ANJ ∠+∠=︒①AN MN = 90ANM ∠=︒①90MNK ANJ ∠+∠=︒①MNK NAJ ∠=∠①MNK NAJ ≌ 设(),26N x x --①MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=--而8KJ AB ==①2128x x ---= 解得：203x =-，则22263x --= ①22202333CM CK MK =-=-= ①28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 综上：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是坐标与图形 一次函数的性质 等腰直角三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 圆周角定理的应用 本题属于填空题里面的压轴题 难度较大 清晰的分类讨论是解本题的关键．15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号） 71/17【分析】如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q 设,==BE x AE y 可得3,2CD x DE y == 证明26BC AB ==6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 )222632QE CQ x x ===+= 2AQ 由勾股定理可得：()()()222222263223222y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q设,==BE x AE y ①13BE CD = 2ED AE = ①3,2CD x DE y == ①90,32BAC AB AC ∠=︒== ①26BC == 6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 ①)222632222QE CQ x x ===+= ①2AQ = 由勾股定理可得：()()()2222222632232y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理得：2260x x --= 解得：17x = 经检验17x = ①17BE x == 故答案为：17【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质 勾股定理的应用 一元二次方程的解法 作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．971973【分析】过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 根据等腰三角形性质得出132===BH HC BC 根据勾股定理求出224AH AC CH =-= 证明CBD CED ∠=∠ 得出DB DE = 根据等腰三角形性质得出6CE BC == 证明CD AH ∥ 得出CD CE AH HE = 求出83CD = 根据勾股定理求出2222829763DE CE CD ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 根据CD AH ∥ 得出DE CE AD CH = 即297633AD = 求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 如图所示：则90AHC AHB ∠=∠=︒①5,6AB AC BC ===①132===BH HC BC ①224AH AC CH -=①ADB CBD CED ∠=∠+∠ 2ADB CBD ∠=∠①CBD CED ∠=∠①DB DE =①90BCD ∠=︒①DC BE ⊥①6CE BC ==①9EH CE CH =+=①DC BE ⊥ AH BC ⊥①CD AH ∥①~ECD EHA ①CD CE AH HE = 即649CD = 解得：83CD = ①2222829763DE CE CD ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭①CD AH ∥ ①DE CE AD CH= 即297633AD = 解得：97AD =． 97． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 平行线分线段成比例 相似三角形的判定与性质 平行线的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．【答案】 8 822+【分析】根据题意 可固定四边形GFCE 平移或旋转其它图形 组合成四边形 求出周长 判断最小值 最大值．【详解】如图1 4BC = 24222AC 122CI BD CE AC4DI BC①四边形BCID 周长=4422=8+22如图2 2AF AI IC FC①四边形AFCI 周长为248⨯=故答案为：最小值为8 最大值822+【点睛】本题考查图形变换及勾股定理 通过平移 旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．【答案】(1)见解析(2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE = 2MDE α∠=①C α∠=①D DEC M E C α∠-∠∠==①C DEC ∠=∠①DE DC =①DM DC = 即D 是MC 的中点（2）90AEF ∠=︒证明：如图2 延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH①DF DC =。

等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.16 B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2022浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论： ①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ． 其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ,D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为 A ． 2 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】A5. （2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD 对折，得折痕PQ ，再沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2（第1 题图）FED C 1C BAA 1第2题图A BD′ P CD M NE C′Q F第6题CA PBDC.3D.4 答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D7、 (2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ， 使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）． 答案：①②④4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____ . 1.57．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标分别为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。

中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23 B．19.5或23C．9或23 D．9或19.5或232．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）A．6 B．10 C．8 D．124．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或25为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55°C．70°或55°D．60°8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．80°、80°、20°B．80°、50°、50°C．80°、80°、20°或80°、50°、50°D．以上答案都不对9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．50°，50°，50°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°二．填空题（共5小题）11．等腰三角形的三边长分别为m-2，2m+1，8，则等腰三角形的周长为________ ．12．等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm,则它的周长是________ ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM=________ ．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上一点，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ________ °．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点且S △PBC = 152，则D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，PD的长为________ ．三．解答题（共5小题）16．如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．（1）已知4a 2 -a-4=0，求代数式（2a-3）（2a+3）+（a-1） 2 +（1+a）（2-a）的值；（2）已知a,b满足a 2 +b 2 -10a-4b+29=0，且a,b为等腰三角形△ABC的边长．求△ABC的周长．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP= ________cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是________ ．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．19．如图，矩形ABCD，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），连接PB，作PE⊥PB交射线DC于点E．已知AD=6，AB=8．设AP的长为x.（1）如图1，PM⊥AB于点M，交CD于点N．求证：△BMP∽△PNE．是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理（2）试探究：PEPB由．（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出所有x的值．20．如图，CD是△ABC的高，CD=8，AD=4，BD=3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF=DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE= ________ ；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为________ ；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．。