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幼儿师范学校教科书数学上《二次函数的图象和性质》

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二次函数的图像和性质课件

二次函数的图像和性质课件

03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数

二次函数的图像和性质(共82张PPT)

二次函数的图像和性质(共82张PPT)

y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像

二次函数图像与性质ppt课件

二次函数图像与性质ppt课件

D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式

二次函数的图象和性质课件

二次函数的图象和性质课件
最大值出现在顶点处。
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。

二次函数的图像和性质ppt课件

二次函数的图像和性质ppt课件

;.
19
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴 y轴,顶点是 ; (0,0)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴 ,顶y轴点是 ;
(0,0)
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8). (1) 求此抛物线的函数解析式
（2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向； （3）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上；
6
5
4
3 2
1
2 3… 4 9…
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
;.
8
二次函数的图像
请画函数y=－x2的图像
解:(1) 列表 (2) 描点
x y=-x2
… -3 -2 -1 0 … -9 -4 -1 0
1
2 3…
-1 -4 -9 …
(3) 连线
y 1
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再 用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.
的图象． y1x2,y2x2 2
x
··· －4 －3 －2 －1
0
1
2
3
4
···
y 1 x 2 ··· -8
-4.5 -2
-0.5
0 -0.5 -2 -4.5 -8
···
2
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2 x2 ··· -8
-4.5
－2 －0.5
;.
6
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y x2
y y 2x2
8
6
4
y 1 x2

《二次函数的图像与性质》数学教学PPT课件(4篇)

《二次函数的图像与性质》数学教学PPT课件(4篇)
2.知道二次函数 y ax2 + c 及 y a(x h)2与 y ax2
的联系；
3.掌握二次函数 y = ax2 + c 及 y a(x h)2 的性
质，并会应用.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开 口方向、对称轴以及顶点坐标.
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
【规律总结】
二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， x＜0时，y随x的增大而减小. 2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的二次 函数，它的图象的 顶点坐标是（0，0）. 2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式. y = -2x2 （2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上. 不在抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
m 1 x， 5
E F
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y
＝ ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_②__③__⑥__(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是__⑤__(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后
（0,0） （0,0）
最小 值0最值是大是
（0,c）
0最小 值是
（0,c）
最c 大 值是
y随x的
增大而减 小
y随x的
增大而增
大 y随x的

二次函数二次函数的图象与性质课件ppt


对称轴
直线$x = - \frac{b}{2a}$。
判别式
$\Delta = b^{2} - 4ac$，决定图象 与$x$轴的交点个数。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与a的关系
当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下。
对称轴两侧的函数单调性
在对称轴的两侧，函数单调性相反。
二次函数二次函数的图象与 性质课件ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 特殊形式的二次函数 • 二次函数的应用 • 结论与总结
01
引言
课程背景
二次函数是数学学科中的重要内容 提高学生数学素养
为后续数学学习和应用打下基础
课程目的
掌握二次函数的图 象和性质
二次函数的图象绘制
绘制方法
通过描点法，将自变量与函数值的对应关系标在坐标系中，连成曲线。
绘制步骤
• 确定自变量取值范围，- 分别代入函数解析式求出函数值，- 描点，- 连线 。
二次函数图象的性态
开口方向
由$a$的正负决定，$a > 0$时，开 口向上；$a < 0$时，开口向下。
顶点坐标
$( - \frac{b}{2a},\frac{4ac b^{2}}{4a})$。
图象特征
二次函数的图象是一条抛物线， 有最高点(顶点)和最低点(顶点)， 图象的形状取决于$a$的值。
性质
二次函数在自变量$x$的特定范 围内具有单调性，且单调性取决 于$a$的值。
二次函数的研究展望
更深入的研究
可以进一步研究二次函数的性质、图象和在实际问题中的应用。

《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)

在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．

二次函数的图像和性质ppt课件


二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
THANK YOU
感谢聆听
二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答

22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)


2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
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… 0
… 12.5 18 … 10.5 16
… -2 -1.5
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
y
y
5 4
1 ( x 3) 2 2
三个单位
3 2 1
1 2 y x 2
-4
-3
-2
-1
o
-1
1
2
3
4
5
x
二个单位
-2 -3 -4
1 y ( x 3) 2 2 2
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
课堂作业
P29 2（1）、2（2）题
在数学的天地里，重要的不是我们 知道什么，而是我们怎么知道什么!
——毕达哥拉斯
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
1 2 5 1 2 由此可知，二次函数 y x 的图象与二次函数 y x 3 x 2 2 2
的图象，形状是一样的，是一条抛物线，只是位置不同。
5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
y
y 1 2 x 2
o
-1 -2 -3
1
2
3
4
5
1 2 5 y x 3x 2 2
函数的值域是：[ 4a c b
4a
2
4a c b 2 4a
，
，
）
当a<0时，函数y的最大值是
4ac b 2 函数的值域是 （ ， ] 4a
b 当a>0时，x ( , ] 2b
4a c b 2 4a
，
函数y是减函数，
x [
b ， ） 2b
函数y是增函数；
数学<上册>
从图中看出，把函数 就得到
1 2 的图象向左平移3个单位， x 2 1 ；再把函数 1 y ( x 3) 2 y ( x的图象向下 3) 2 2 2 y y 1 ( x 3) 2 的图象， 2 2
平移2个单位，就得到
这也就是
1 2 5 的图象。 y x 3x 2 2
所以函数：y 顶点是：
ax bx c
2
的图象是一条抛物线， 。
b 4ac b 2 2a , 4a
b ，对称轴是： x 2a
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
从二次函数的图象可以得到二次函数的下列性质： 函数的定义域为： ,); ( 当a>0时，函数的最小值是
-4
-5
y=-x2
数学<上册> 探究1:抛物线 y=-x2 y=-(x+1)2
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
y=-(x-1)2
的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
顶点
(0,0) (-1,0) (1,0)
1 x=-1 x=0
-4 -3 -2 -1
y
x=1
1 2
开口方向:向下
3 4 5
o
-1
x
-2
数学<上册>
拓
展
(1)怎样平移抛物线y=3x2可以得到 抛物线y=3(x-2)2-3? 3 y=3x2-3 右 2 y=3(x-2)2-3 y=3x2 下
或者：
y=3x2
右
2y=3(x-2)2下
3y=3(x-2)2-3
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
谈谈收获：
通过本节课的学习，你有哪些收获？
-3 -4 -5
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
探究2:抛物线 y=-x2 沿x轴怎样移动得到的？抛物线 y=-(x-1)2 呢？
y
1 -4 -3 -2 -1
数学<上册> 是由抛物线 y=-(x+1)2
o
-1 -2
1
2
3
4
5
x
-3
-4 -5
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
探究2:抛物线 y=-x2 沿x轴怎样移动得到的？抛物线 y=-(x-1)2 呢？
x (,3]时，函数是减函数，
时，函数是增函数。
x (3， ]
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
问题1
在同一直角坐标系内画出函数 y=-(x+1)2
y
1
数学<上册>
y=-x2
-4
y=-(x-1)2
1 2 3 4 5
的图象.
x
-3
-2
-1
o
-1 -2 -3
y=-(x-1)2
y=-(x+1)2
y
1 -4 -3 -2 -1
数学<上册> 是由抛物线 y=-(x+1)2
o
-1 -2 -3 -4
1
2
3
4
5
x
-5
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
y=-x2 抛物线
数学<上册>
向左平移1个单位得抛物线 y=-(x+1)2 向右平移1个单位得抛物线 y=-(x-1)2
y
1 -4 -3 -2 -1
o
-1 -2 -3 -4 -5
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
y=ax2+bx+c 分析：函数
由于
y ax bx c
2
b c a( x x ) a a
2
a[ x 2 2
b b 2 b c x （ ) ( )2 ] 2a 2a 2a a
b 2 b2 c a[(x ) ] 2a 4a 2 a b 2 4ac b 2 a( x ) 2a 4a
解(1)∵a=-3<0 ∴开口向下
对称轴: 顶点:
直线x= 1 (1，0)
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
练习三
1.说出下列抛物线的开口方向， 对称轴及 顶点坐标： (2)y=4(x-3)2
解(2)∵a=4>0 对称轴: 顶点:
∴开口向上 直线 x=3 (3,0)
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
1 9 1 2 2 则y x 3 x x 1 3 x 9 2 2 1 5 2 得2 同理 ： 当a2 ，b 3, c 时， ：y ( x 3) 2 2 2 2 1 2 x 3 2


人教版：幼儿师范学校教科书 ——
画一画：在同一直角坐标系内画出函数
人教版：幼儿师范学校教科书 ——
数学<上册>
巩固练习
（1）将抛物线y=-3x2向左平移3个单位 y=-3(x+3)2 得到抛物线
（2）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位， y=2x2 的图象，再向 右 就得到函数 平移 3 个单位得到函数y= 2（x－3）2 的图象.
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1 2 y x 2 1 1 2 y ( x 3) y ( x 3) 2 2 2 2
数学<上册>
的图象.
X
y 1 2 x 2
… -3 -2 -1
0
0 4.5 2.5
1
0.5 8 6
2
2
3
4.5
…
…
4.5
2 0.5
0.5 2 0
…
1 y ( x 3) 2 2
y 1 ( x 3) 2 2 2
当a<0时，
x ( ,
b b x [ ， ） ] 2b 2b 函数y是增函数，
函数y是增函数。
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练习三 知识应用
例1.说出下列抛物线的开口方向、
对称轴及 顶点坐标： （1）y=-3(x-1)2 (2)y=4(x-3)2 (3)y=2(x+3)2
二次函数
2+bx+c y=ax
的图象和性质
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函数
y=ax2+bx+c 叫做二次函数
1 12 2 1 当a ，b 0, c 0时， y则y x x 0 x 0 2 2 2 1 9 1 当a ，b 3, c 时， 得：y ( x 3) 2 2 2 2
x
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5 4 3
分析：
抛物线物顶点是：
(-3,-2)
-4 -3 -2 -1
2 1
o
-1 -2 -3 -4 -5
1
2
3
4
5
x
Y=-2
1 5 抛物线物对称轴是： y x 3x 2 2
2
X=-3
X=-3
当X=-3时，函数有最小值，最小值是-2； 当函数 当
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练习三
1.说出下列抛物线的开口方向、 对称轴及 顶点坐标： (3)y=2(x+3)2
y=2〔x-(-3)〕2
∴开口向上 直线 x=-3 (-3,0)
解(3)∵a=2>0 对称轴: 顶点:
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巩固练习
1.说出下列抛物线的开口方向、对称 轴及 顶点坐标： (1)y=-(x-3)2
(2)y=2(x-4)2 (3)y=3(x+4)2