备战高考数学解答题高分宝典专题03概率与统计考点速记文

专题03概率与统计
一、古典概型
(一)事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
注A 发生，则事件B 就不发生；②若事件B 发生，则事件A 就不发生；③事件A ，B 都不发生.两个事件
A 与
B 是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
(二)概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：()01P A 剟.(2)必然事件的概率()1P E =. (3)不可能事件的概率()0P F =(4)几个互斥事件和事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则()P A B = ()()P A P B +.
推广：如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥(彼此互斥)，那么事件12n A
A A +++ 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即()12n P A A A +++= ()()()12n P A P A P A ++.
②若事件B 与事件A 互为对立事件，则()P A =()1P B -.
(三)古典概型 1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的． (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(3)古典概型的概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
．
（四）几何概型 1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式
P (A )＝
构成事件A 的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3．随机数
随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是均等的.利用计算器，Excel ，Scilab 等都可以产生随机数. 二、用样本估计总体 (一)抽样方法 1．简单随机抽样
设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本()n N …，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法． 2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．
(1)先将总体的N 个个体编号．(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段，当
N n 是整数时，取N k n
=．如果遇到
N
n
不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号()l l k …．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +，再加k 得到第3个个体编号()2l k +，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成的，往往选用分层抽样．
注：不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的． （二）统计图表的含义 作频率分布直方图的步骤
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距和组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．
(5)画频率分布直方图． （三）样本的数字特征
1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
2．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
3．平均数：样本数据的算术平均数，即x =
()121
n x x x n
+++ ． 4．方差：()()()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤=
-+-++-⎢
⎥⎣⎦ (n x 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数)．
5.标准差：
s =
三、统计案例
（一）线性回归直线方程 1．两个变量的线性相关
(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为正相关；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)相关系数r ＝
∑∑∑===----n
i n
j j
i n
i i
i
y y x x y y
x x 1
1
2
21)()()
)((，当0r >时，表示两个变量正相关；当0r <时，表示两个变
量负相关．r 的绝对值越接近1，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近0，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，便认为两个变量具有很强的线性相关关系．当1
r =
时，两个变量在回归直线上 2．回归直线方程
(1)通过求21()n
i i i Q y x αβ==--∑的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距
离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．该式取最小值时的α，β的值即分别为a
ˆ，b ˆ． (2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，…，()n n x y ,，其回归方程为
a x
b y ˆˆˆ+=，则11
22
2
11
()()ˆ()ˆˆn
n
i i i i
i i n n
i i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx a
y bx ====⎧
---⋅⎪
⎪==⎪⎨--⎪⎪
=-⎪⎩∑∑∑∑．
注：样本点的中心()
,x y 一定在回归直线上．
（3）相关系数2
2
1
2
1
ˆ()1()
n
i i i n
i i y y
R y y ==-∑=--∑．2R 越大，说明残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；2R 越小，
残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡
献率，2R 越接近于1，表示回归的效果越好．
（二）独立性检验
（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为12(,)x x 和12(,)y y ，其样本频数列联表（称为22⨯列联表）为
构造一个随机变量()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++为样本容量．确定临界值
0k ，如果2K 的观测值0k k …
，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．。