平面向量分解及坐标表示共46页

∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,

栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
■名师点拨 (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位 置无关． (2)已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则A→B＝(x2－x1， y2－y1)．
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点的坐标与向量的坐标相同．( × ) (2)零向量的坐标是(0，0)．(√ ) (3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(× ) (4) 当 向 量 的 起 点 在 坐 标 原 点 时 ， 向 量 的 坐 标 就 是 向 量 终 点 的 坐 标．( √ )
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． (2)B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7)．
平面向量加、减运 掌握两个向量的和、差及
算的坐标表示 向量数乘的坐标运算法则
理解坐标表示的平面向量 平面向量数乘运算
共线的条件，并会解决向 的坐标表示
量共线问题
核心素养 数学抽象、 直观想象
数学运算
数学运算、 逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
问题导学 预习教材 P27－P33 的内容，思考以下问题： 1．怎样分解一个向量才为正交分解？ 2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？ 3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关 系？ 4．若 a＝(x，y)，则 λa 的坐标是什么？
解：由题图知，CB⊥x 轴，CD⊥y 轴， 因为 AB＝4，AD＝3，所以A→C＝4i＋3j， 所以A→C＝(4，3)． 因为B→D＝B→A＋A→D＝－A→B＋A→D， 所以B→D＝－4i＋3j，所以B→D＝(－4，3)．

4．平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两 a＋b＝___(_x__1_＋____x__2_，___y__1_＋___y2)
个向量相应坐标的__和____
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的__差____
面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是 一__一___对____应___的．
第二章 平面向量
[知识点拨]点的坐标与向量的坐标的联系与区别 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向 量仅由大小和方向决定，与位置无关． 1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身 的坐标． (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即
x i ＋ y j ， 我 们 把 有 序 实 数 对(x_，_ _y_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叫 做 向 量 a 的 坐 标 ， 记 作 a ＝ ( x ，
y ) ， 其 中 x 叫 做 向x量 a 在 _ _ _ _ _ _ 轴 上 的 坐 标 ， y 叫 做 y向 量 a 在 _ _ _ _ _ _ 轴 上 的 坐
A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2A→B＋21A→C＝2(3，－1)＋21(－3,2)
3
9
＝(6，－2)＋(－2，1)＝(2，－1)．
『规律总结』 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数 乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向 量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方相向同 _单_位______的两个_基__底_____向量i，j作为________.

第六章
人教202XA版必修 第二册
平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及 坐标表示
复习回顾
平面向量基本定理:
e 如果，那么对于这一平面内的任一向量 a
有且只有一对实数 1 、2 使 a 1e1 2e2
我们把 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
j
x
有且只有一对实数x、y，可使
o iB
a xi +y j 这里，我们把（x,y）叫做向量的（a 直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上 的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
显然 i _(1_,_0_);
y
j _(_0,_1_);
a
y A(x, y)
3.如图，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30° 角，求点 B 和点 D 的坐标和A→B与A→D的坐标．
3.【解析】由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆
心的单位圆的交点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，
达标检测
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐
标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
【解析】 (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一 样． (2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标 之差等于终点坐标． (3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有 关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐 标．

当日这雪下到一更时分，却早银妆世界，玉碾乾坤。次日武松去县里画卯，直到日中未归。武大被妇人早赶出去做买卖，央及间壁王婆买了些酒肉，去武松房里簇了一盆炭火。心里自想道：“我今 日着实撩斗他一撩斗，不怕他不动情。”那妇人独自冷冷清清立在帘儿下，望见武松正在雪里，踏着那乱琼碎玉归来。
这一幕，我觉得是理解潘金莲最好的场景和入口，也是作者的高明所在。设身处地想想，一个二十出头如花似玉的女子，辗转于男人之手，数次遭遇不幸，最后落在“身不满尺的丁树，三分似人， 七分似鬼”般的武大手里。遇到有“千百斤”气力的打虎英雄而陡生情愫，实乃人之常情。如果再联系到后面武松归来，找潘金莲报杀兄之仇，那潘金莲“还在油靴”这个物件儿击中的。当时我眼睛一热，心一下也热乎起来。这是我多么熟悉的东西啊！记得我们小时候，假期无人照看，每逢寒暑假父母便会把我们送到外婆家去。记忆最深的是寒 假，如果遇到下大雪的日子，乡下人一般都猫在家里不出门。一来是为了取暖，二来也是出门有较多的不便，交通就是其中一例。乡下人没钱买胶鞋，就把做好的布鞋，里外都用桐油油上几遍，晒干后 当成胶鞋穿。我外婆所在地的豫东方言，就把那种靴子叫作油靴。武松穿的不就是那个物件吗？而且也是在大雪天穿的。书中是这样记述那个雪天的情景的：真人堵场秀

◎舅家，外甥记忆中那美丽的小山村
人海沧桑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ岁月如梭，转眼间几十年的人生经历弹指一挥，真可谓梦幻一般，虚无飘渺。儿时的印记还是时时浮现在脑海深处。
舅父舅母是普通农民，一生育有两男一女。姐为长，名珊，依次兄岱，弟岭。舅一家勤劳忠厚善良，父慈母爱儿女孝顺，和和睦睦，其乐融融。
哥俩跟着老舅进了舅母的房间，还好，老舅向舅母说着哥俩的乳名介绍给舅母，舅母似乎这阵清醒，竟然认出了哥俩，而且也跟着去了堂屋。随后老表哥俩也闻讯从外面回来。tt上输了几百万 午饭时舅母的病又犯了，说是赶快关门，日本鬼子来了，接着舅母躲进了里屋。老舅说，只要一犯病就是以前的鬼子强盗的事情，看来舅母以前是被鬼子强盗吓着了。不一会儿，舅母又从里屋出来 说，要跟着我哥俩走，说是这里不安全，鬼子马上要来了，要到母亲家里去躲两天。我们一桌人都敷衍舅母说，没问题，我哥俩走时带着舅母。
但直到我哥俩离开舅家，舅母再也没敢离开里屋，哥俩临走也没敢再见舅母一面，怕是舅母再犯病。现在想来真是后悔，没想到，去年的离开舅家，竟是与舅母的永别。
很多迹象是垂老，但我们无奈。只能善目静观，不敢有一丝的惊动，生命，一旦走进垂暮，我想，我们所能够做到的就是看着，看着生命慢慢告别，这是怎样的痛。

数学 必修4 A
第二章 平面向量
题点知识巩固
数学 必修4 A
第二章 平面向量
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
1．如果用 i，j 分别表示 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，
且 A(2,3)，B(4,2)，则A→B可以表示为( )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
解析：选 C 记 O 为坐标原点，则O→A＝2i＋3j，O→B＝4i＋
故选 D.数学 必修4 A第 Nhomakorabea章 平面向量
4．(2019·重庆八中高一期末)在▱ABCD 中，A＝(1,2)，B＝
(3,5)，A→D＝(－1,2)，则A→C＋B→D＝( )
A．(－2,4)
B．(4,6)
C．(－6，－2)
D．(－1,9)
解析：选 A 在▱ABCD 中，因为 A＝(1,2)，B＝(3,5)，所以
又 A，B，C 三点共线， 所以A→B∥A→C，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 解得 k＝－2 或 k＝11. 所以当 k＝－2 或 11 时，A，B，C 三点共线．
数学 必修4 A
谢谢观看！
知识点三 平面向量共线的坐标表示
6．已知点 A(1,1)，B(4,2)和向量 a＝(2，λ)，若 a∥A→B，则
实数 λ 的值为( )
A．－23
B．32
2 C.3
D．－23
解析：选 C 根据 A，B 两点的坐标，可得A→B＝(3,1)，
∵a∥A→B，∴2×1－3λ＝0，解得 λ＝32，故选 C.
数学 必修4 A
为( )
A.2，72 C．(3,2)
B．2，－12 D．(1,3)

新课
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
向量的合成与分解演示
向量的正交分解
如图，向量 i , j 是两个互相垂直的单位向量，
向量 a 与 i 的夹角是30°，且 a 4 ，以向量 i , j
为基底，向量 a 如何表示？
B
P
a
j
Oi
A
坐标系中向量的正交分解
y
D
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
y
1．以原点O为起点 y
a
A
作OA a，点A的
位置是唯一确定的 j
吗？由谁确定?
Oi
x
x
由 a 唯一确定.
y
axiyj y
a
A
OAxiyj
j
Oi
x
x
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
向量 a 一 一 对 应 坐标（x ，y）
练习1:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a(1,2)
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
(2)b(1,3)
. 解：B(1,2) y 3
2
ba
. A (1, 2 )
o -1
1
x
几何画板演示
练习2:
1.写 出 下 列 向 量 的 坐 标 ：
a i 3 j, b 2i 4 j, c 1 i j.
2
2 . 用 向 量 i、j表 示 下 列 向 量 ： a ( 2 , 1 ),

•y
•4
•C
•B •3
•2 •D
•A •1
•-2 -1 •O •1 2 3 •x
•解得 •所以顶点D的坐标为（2，2）.
•解法2：由平行四边形法则可得 •而
•y
•4
•C
•B •3
•2 •D
•A •1
•-2 -1 •O •1 2 3 •x
•所以顶点D的坐标为（2，2）.
•1.写出下列向量的坐标,其中 是与x轴、y轴方向相同的 单位向量.
•2.平面向量是否也有类似的表示呢?
•b
•A•(a,b
)
•a
• 如图，在光滑斜面上有一个 •木块受到重力 的作用，产生两 •个效果，一是木块受平行于斜面 •力 的作用，沿斜面下滑；一是 •木块产生垂直于斜面的压力 • 叫做把重力 分解.
• 由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 •以分解为不共线的两个向量 和 ，使
•4
•如图， 分别是与x轴、y轴方向相同 •的单位向量，若以 为基底，则
•3 •5
• 这样，平面内的任一向量 都可 •由x、y唯一确定，我们把有序数对 •（x,y）叫做向量 的坐标，记作
•① •其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， •①式叫做向量的坐标表示.
•显然，
•y •A
•O
，求 的坐标.
•y •A(x1,y1)
•B(x2,y2)
•O
•x
• 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标.
•小结：平面向量的坐标运算
•2.若A
，B
，则
•例3.已知
，求
的坐标.
•例4.如图，已知□ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别

变式探究
4．(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实 数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
(2)若向量 ＝(－1,3)， ＝(3，t)，且
＝( )
A．(1,3)
B．(－3,2)
C．(2，－6)
D．(3,2)
，则

解析：(1)依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)， 由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝ . (2)∵ ＝(－1,3)， ＝(3，t)，且 ∴－t－9＝0，即t＝－9.∴ ＝(3，－9)，
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝ (3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)． 由题意得
∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．
点评：(1)向量共线的充要条件的两种形式．
AB=a (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量 的坐标．
自主解答：
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3， －15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，而a＝(5，－5)，
(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 得(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，
∴x1＝0，y1＝20，x2＝9，y2＝2.
∴M(0,20)，N(9,2)， ＝(9，－18)． 点评：(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加、减、 数乘运算法则进行，然后根据“相等的向量坐标相同”这一 原则，通过方程(组)进行求解． (2)向量的坐标表示．把点与数联系起来，实际上是向量 的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化， 成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为 我们熟知的数量运算．

例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:

A. B.
C.
D. 5
64
3
12
解析:
a
sinx,
3 4
, b
1, 3
1 2
cosx
,且a
b,
1 sinxcosx 31 0,即1 sin2x 1 0,
2
43
4
4
sin2x 1.又 x为锐角,2x ,x .
24
答案:B
第36页
4.(2019·荷泽模拟)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b2),m∥n(a>0,b>0),则ab的最小值是_________.
第20页
创 新 预 测 1 已 知 O 0 ,0 ､ A 1 ,2 ､ B 4 ,5 及 O P O A tA B . 1 t为 何 值 时 ,P 在 x 轴 上 ? P 在 y 轴 上 ? P 在 第 二 象 限 ? 2 四 边 形 O A B P 能 否 成 为 平 行 四 边 形 ? 若 能 ,求 出 相 应 的 t值 ;若 不 能 ,请 说 明 理 由 .
第5页
●三点共线的判断方法 判断三点是否共线,先求每两点对应的向 量,然后再按两向量共线进行判定,即已知
Ax1, y1,Bx2, y2 ,Cx3, y3,则ABx2 x1, y2 y1, ACx3 x1, y3 y1,若x2 x1y3 y1x3 x1 y2 y1 0,则A､B､C三点共线.
第6页
考点自测
第26页
创新预测2如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB 交点P的坐标.
解析: 方法一 : 设OP tOB t 4, 4 4t, 4t,则AP OP OA 4t, 4t 4,0 4t 4, 4t, AC 2,6 4,0 2,6.由AP, AC共线的充要条件知 4t 4 6 4t 2 0,解得t ①