(新)高数试卷2(导数及应用)及答案

文数培优2 导数及其应用（二）一、函数的极值与最值例1（2012·陕西高考文科）设函数2(x)f x=，则（ ） (A) x=12 为(x)f 的极大值点 (B) x=12为(x)f 的极小值点(C) x=2为(x)f 的极大值点 (D) x=2为(x)f 的极小值点【解题指南】先根据导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.【解析】选 D. ∵()f x =2x +ln x ，∴221()f x x x '=-+，令()0f x '=，即222120x x x x --+==，解得2x =，当2x <时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以x=2为()f x 的极小值点.变1 已知函数(x)1(R,e )xaf x a e =-+∈为自然对数的底数,求函数(x)f 的极值。

例2 若0,0a b >> ，且函数32(x)4x 22f ax bx =--+ 在1x = 处有极值，求ab 的最大值。

变2 已知函数(x)x(lnx x)f a =- 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .例3 【2012高考真题北京理18】已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值. 【答案】解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．变3 已知函数32(x)2x 3(1)x 6(||1),f a ax a =-++> 求(x)f 在闭区间[0,2||]a 上的最小值。

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编【2023年真题】1. （2023·新高考II 卷 第6题） 已知函数()ln x f x ae x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（ ） A. 2eB. eC. 1e -D. 2e -2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选） 已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） A. (0)0f = B. (1)0f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠既有极大值也有极小值，则( ) A. 0bc >B. 0ab >C. 280b ac +>D. 0ac < 4. （2023·新课标I 卷 第19题） 已知函数(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，3()2ln a+.2f x >5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)已知函数2()(1)f x cosax ln x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第7题）设0.10.1a e =，19b =，ln 0.9c =-，则( ) A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则( )A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8.（2022·新高考I 卷 第15题）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是__________. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）曲线ln ||y x =经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.10.（2022·新高考I 卷 第22题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.(1)求a ；(2)证明：存在y b =直线，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷 第22题）已知函数().ax x f x xe e =-(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性;(2)当0x >时，()1f x <-，求实数a 的取值范围; (3)设*n N ∈ln(1).n ++>+【2021年真题】12.（2021·新高考I 卷 第7题）若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <B. e a b <C. 0e b a <<D. 0e a b <<13.（2021·新高考I 卷 第15题）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________. 14.（2021·新高考II 卷 第16题）已知函数，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.15.（2021·新高考I 卷 第22题）已知函数()(1ln ).f x x x =-(1)讨论()f x 的单调性.(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题）已知函数2()(1).x f x x e ax b =--+(1)讨论()f x 的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21,222e a b a <>…； ②10,2.2a b a <<…【2020年真题】17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若()1f x …，求a 的取值范围.参考答案1. （2023·新高考II 卷 第6题） 解：由题意，1()0xf x ae x'=-…对(1,2)x ∀∈恒成立， 1x a xe ∴…，由于1()xg x xe =在(1,2)单调递减，1()(1)g x g e∴<=，1.a e ∴…故答案选：.C2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选）解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=， 再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+， 而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选） 解：因为2()ln (0)b cf x a x a x x=++≠，所以定义域为(0,)+∞， 得232()ax bx c f x x'--=，由题意知220ax bx c --=有两个不相等的正解12,.x x 则，易得0.bc <故选.BCD4. （2023·新课标I 卷 第19题） 解：(1)()1x f x ae '=-，当0a =时()10f x '=-<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 当0a <时0x ae <，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时，令()0f x '=，=-ln x a ，(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减. (ln ,)x a ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增， 故当0a …时()f x 在(,)-∞+∞单调递减，当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.(2)由(1)知当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.故，令，221()a g a a -'=，令()0g a '=，因为0a >，故2a =，() g a 在区间(0,2单调递减，在区间(,)2+∞单调递增，，即 >?0,()?>?0a g a 时恒成立， 即min 3()2ln 2f x a >+，即当0a >时，3()2ln a+.2f x > 5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：构造函数2()g x sinx x x =-+，则()12g x cosx x '=-+， 令()()h x g x ='， 则()20h x sinx '=-+>，所以()h x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0g x g '>'=，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，即2x x sinx -<；构造函数()G x x sinx =-，则()10G x cosx '=->，所以()G x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0G x G >=，即sinx x <， 综上，当01x <<时，2x x sinx x -<<；(2)解：由210x ->，得函数()f x 的定义域为(1,1).-又()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以只需考虑区间(0,1).22()1xf x asinax x'=-+-， 令()()F x f x ='，则222222()(1)x F x a cosax x +'=-+-， 其中，①若，记a <<时，易知存在0δ>，使得(0,)x δ∈时，，()f x ∴'在(0,)δ上递增，()(0)0f x f ∴'>'=，()f x ∴在(0,)δ上递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.②若，记a <或a >存在0δ'>，使得(,)x δδ∈-''时，，()f x ∴'在(,)δδ-''上递减，注意到(0)0f '=，∴当0x δ-'<<时，当0x δ<<'时，，满足0x =是()f x 的极大值点，符合题意.③若，即a =时，由()f x 为偶函数，只需考虑a =.此时22())1xf x x '=+-，(0,1)x ∈时， 2221()22(1)011x f x x x x x'>-+=->--，()f x ∴在(0,1)上递增， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.综上：a 的取值范围为(,).-∞⋃+∞ 6.（2022·新高考I 卷 第7题）解：0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则1()1011x f x x x-'=-=<--， 故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <； ②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则1(1)(1)1()11x xxx x e g x xe e x x+--'=+-=--， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->， 所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >=，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c > 故.c a b <<7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）解：32()1()31f x x x f x x =-+⇒'=-，令()0f x '=得：3x =±，()03f x x '>⇒<-或3x >；()033f x x '<⇒-<<，所以()f x 在(,3-∞-上单调递增，在(,)33-上单调递减，在(,)3+∞上单调递增，所以()f x 有两个极值点(3x =为极大值点，3x =为极小值点)，故A 正确;又((1103939f -=---+=+>，(1103939f =-+=->， 所以()f x 仅有1个零点(如图所示)，故B 错;又3()1()()2f x x x f x f x -=-++⇒-+=，所以()f x 关于(0,1)对称，故C 正确;对于D 选项，设切点00(,)P x y ，在P 处的切线为320000(1)(31)()y x x x x x --+=--， 即2300(31)21y x x x =--+，若2y x =是其切线，则2030312210x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，方程组无解，所以D 错. 8.（2022·新高考I 卷 第15题）解：(1)x y x a e '=++，设切点为00(,)x y ， 故0000(1)x y x a e x =++， 即0000()(1).x x x a e x a e x +=++ 由题意可得，方程(1)x a x x a +=++在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有两个不相等的实数根.化简得，20x ax a +-=，240a a =+> ，解得4a <-或0a >，显然此时0不是根，故满足题意. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）解：当0x >时，点111(,ln )(0)x x x >上的切线为1111ln ().y x x x x -=- 若该切线经过原点，则1ln 10x -=，解得x e =， 此的切线方程为.x y e=当0x <时，点222(,ln())(0)x x x -<上的切线为()()2221ln y x x x x --=-若该切线经过原点，则2ln()10x --=，解得x e =-， 此时切线方程为.x y e=-10.（2022·新高考I 卷 第22题） 解：(1)由题知()x f x e a '=-，1()g x a x'=-， ①当0a …时，()0f x '>，，()0g x '<，则两函数均无最小值，不符题意; ②当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；()g x 在1(0,a单调递减，在1(,)a +∞单调递增；故min ()(ln )ln f x f a a a a ==-，min 11()()1ln g x g a a==-，所以1ln 1ln a a a a -=-，即1ln 01a a a --=+， 令1()ln 1a p a a a -=-+，则222121()0(1)(1)a p a a a a a +'=-=>++， 则()p a 在(0,)+∞单调递增，又(1)0p =，所以 1.a =(2)由(1)知，()x f x e x =-，()ln g x x x =-，且()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且min min ()() 1.f x g x ==①1b <时，此时min min ()()1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点，不符合题意；②1b =时，此时min min ()()1f x g x b ===，故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点， 即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1x F x f x e '='=-， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为()0b F b e --=>，(0)10F b =-<，()20b F b e b =->，(令()2b t b e b =-，则()20b t b e '=->，()(1)20)t b t e >=->所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在(0,)+∞上存在且只存在1个零点，设为2.x其次，证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点， 即证明()()G x g x b =-有2个零点，1()()1G x g x x'='=-， 所以()(0,1)G x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为()0b b G e e --=>，(0)10G b =-<，(2)ln 20G b b b =->，(令()ln 2b b b μ=-，则1()10b bμ'=->，()(1)1ln 20)b μμ>=-> 所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为3x ，在(1,)+∞上存在且只存在1个零点，设为4.x再次，证明存在b ，使得23:x x =因为23()()0F x G x ==，所以2233ln x b e x x x =-=-， 若23x x =，则2222ln x e x x x -=-，即2222ln 0x e x x -+=， 所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可， 即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点，因为313312()30e e e eϕ=--<，(1)20e ϕ=->，所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可， 此时取00x b ex =-则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点， 最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ====== 所以100()()(ln )F x G x F x ==，又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =， 同理，因为004()()()xF xG e G x ==，又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增，00x >即01x e >，11x >，所以04xx e =，又因为0002ln 0xe x x -+=，所以01400ln 2x x x ex x +=+=，即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.11.（2022·新高考II 卷 第22题）解：(1)1()(1)()x x x x a f x xe e x e f x xe =⇒=-=-⇒'= 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.(2)令()()11(0)()(0)0ax x g x f x xe e x g x g =+=-+⇒=厔对0x ∀…恒成立 又()(0)0ax ax x g x e axe e g ''=+-⇒=令()()()()(2)ax ax ax x ax ax x h x g x h x ae a e axe e a e axe e ='⇒'=++-=+-，则(0)21h a '=- ①若(0)210h a '=->，即12a >，00()(0)()(0)limlim 00x x g x g g x h x x ++'→→'-''==>- 所以00,x ∃>使得当时，有()0()0()g x g x g x x'>⇒'>⇒单调递增0()(0)0g x g ⇒>=，矛盾 ②若(0)210h a '=-…，即12a …时，1111ln(1)ln(1)2222()0()x x x x ax ax x ax ax xxx g x e axe e ee eeee g x +++'++=+-=---=⇒剟在[0,)+∞上单调递减，()(0)0g x g =…，符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是1.2a …(3)求导易得12ln(1)t t tt->>令112ln ln(1tn =⇒->⇒>+111231ln(ln()ln(ln(1)12n nk kn k nnn k n==+++⇒>⇒>=⋅=+∑()ln1n++⋅⋅⋅>+，证毕.12.（2021·新高考I卷第7题）解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，易知xxe bex a-=-，整理得：000x x xe b x e ae--+=有两解，令()x x xg x e b xe ae=--+，()()xg x a x e'=-，易知()g x最大值为().g a即，解得bae>，又因为当x趋近正无穷时()0g x<，当x趋近负无穷时，()g x趋近0b-<，则0.b>综上，a0b e<<故选.D13.（2021·新高考I卷第15题）解：已知函数，易知函数定义域为(0,)+∞，①：当1(0,]2x∈时，，所以2()2f xx'=--，在1(0,]2x∈单调递减，②当1(,)2x∈+∞时，，所以22(1)()2xf xx x-'=-=，所以()f x在1(,1]2x∈单调递减，在(1,)x∈+∞单调递增，又因为12ln 2<，所以最小值为1. 故答案为1.14.（2021·新高考II 卷 第16题） 解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：15.（2021·新高考I 卷 第22题）(1)解：的定义域为，，由解得1x >， 由解得01x <<， 在上单调递增，在上单调递减；(2)证明：由ln ln b a a b a b -=-可得ln ln 11a b a b b a-=-， 整理得：11lnln 11a b a a b b -=-，即，不妨设1211,x x a b==，且120x x <<，即，即证明122x x e <+<， 由在上单调递增，在上单调递减，且，可得1201x x <<<，()f x ()f x先证明122x x +>， 令，02x <<，，在上单调递增，又1201x x <<< ，，，即，由(1)可知在上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>；下面再证明12x x e +<， 不妨设21,x tx = 则1t >，由可得，化简1ln ln 11t tx t =-- ， 要证12x x e +<，即证，即证，即证，即证， 设，1t >，，令，1t >， ，， 在上单调递减， ，，在上单调递减，()fx，即，12x x e ∴+<，故112.e a b<+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题） 解：(1)由函数的解析式可得：， 当0a …时，若，则单调递减，若，则单调递增； 当102a <<时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当12a =时，在R 上单调递增； 当12a >时，若，则单调递增，若，则单调递减， 若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a <…，故212a e <…，则，又((1)0f e=<，由(1)可知函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于212a e <…，故，(0,)x ∈+∞(0,)x ∈+∞结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点. 若选择条件②： 由于102a <<，故021a <<，则，当0b …时，24,42e a ><，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当0b <时，构造函数，则，当时，单调递减， 当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：1x e x +…，此时：，当x >，取01x =+，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于102a <<，021a <<，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，()f x 有一个零点.17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）(0,)x ∈+∞解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，1(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x'=-='=-=+，所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--， 即(1)2y e x =-+，所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e， 所以三角形的面积1222.211S e e =⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，要使()1f x …，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+…，即ln 1ln -1ln a x e a x +-+…，即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+…， 令()x g x e x =+，，()g x 单调递增，故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-…， 因为()g x 为增函数， 只需证ln 1ln a x x +-…，即ln ln 1a x x +-…， 设()ln 1h x x x =+-，11()1xh x x x-'=-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)0h x h ==，所以ln 0a …，1a …， 即a 的取值范围为[1,).+∞。

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导数及其应用高考题精选1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ）（A ）21y x =+ （B)21y x =- (C ）23y x =-- (D)22y x =--【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A 。

因为22(2)y x '=+，所以，在点()1,1--处的切线斜率1222(12)x k y =-'===-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A.2.（2010·山东高考文科·Ｔ8)已知某生产厂家的年利润y （单位：万元)与年产量x (单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）(A ） 13万件 (B) 11万件 （C ） 9万件 (D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值。

【规范解答】选C ，2'81y x=-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <,故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C 。

高二数学导数及其应用试题答案及解析1.物体的运动方程是（位移单位：m，时间单位：s），当时，求物体的瞬时速度及加速度.【答案】当时，物体的瞬时速度加速度.【解析】故当时,所以当时间时，.答：当时，物体的瞬时速度加速度.【考点】本题主要考查导数的运算，瞬时速度、加速度的概念。

点评：求物体的瞬时速度即求关于时间的导数，求加速度即求速度关于时间的导数.2.函数的导数为A．B．C．D．【答案】B【解析】=.故选B.【考点】本题主要考查导数公式，导数的运算法则。

点评：简单题，牢记公式，掌握法则，细心求导。

3.设 y=loga(a>0,a≠1)，则y’=( )A．B．lna C．—loga e D．logae【答案】D【解析】复合函数求导数。

设y=，，，最后把两个式子相乘得出y’=logae，故选D。

【考点】本题主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

点评：注意理解导数的概念，牢记导数公式，典型题。

4.物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A 的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）（15分）【答案】=="130" (m)【解析】解：设A追上B时,所用的时间为依题意有即="5" (s)所以=="130" (m)【考点】本题主要考查定积分在物理中的应用，变速直线运动的路程。

点评：做变速直线运动的物体，速度函数为，则路程.5.设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值.【答案】（1）（2）当时，显然无最小值。

【解析】分析：首先做草图，求得直线与抛物线的交点.用定积分求面积和(关于的函数).进而用导数研究函数的单调性，并求最值.故函数无最小值。

当时，显然无最小值。

【考点】本题主要考查解析几何知识，定积分求曲边梯形的面积，利用导数研究函数的单调性和最值.点评：综合性较强，较全面地考查直线与抛物线关系及定积分的应用，导数的应用。

高二数学导数试题答案及解析1.用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．12B．10C．8D．6【答案】C【解析】设在四角截去的正方形的边长为，则铁盒容积为，而，即的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在时V有极大值.【考点】导函数的应用、函数思想.2.对于R上的可导的任意函数，若满足，则函数在区间上必有（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】根据题意，由于对于R上的可导的任意函数，若满足1<x<2时，则可知函数f(x)递增，故可知函数在区间上必有成立，故答案为A.【考点】函数的单调性点评：主要是考查了函数单调性的运用，属于基础题。

3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为________。

【答案】【解析】根据题意，由于曲线的一条切线与直线垂直可知切线的斜率为4，那么由导数，则可知该点的坐标为（1,1），那么可知切线方程为。

【考点】导数的几何意义点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。

4.设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为【答案】-1【解析】由于函数是偶函数，所以曲线在点处的切线的斜率与该曲线在点处的切线的斜率互为相反数，故该曲线在点处的切线的斜率为-1【考点】导数的几何意义点评：本题结合偶函数的对称性及导数的几何意义的求解。

5.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为。

【答案】4x-y-3=0【解析】根据题意，由于曲线，那么的一条切线与直线垂直，则说明该点的导数值为，该点的坐标为（1，1），那么该点的切线的方程为4x-y-3=0，故答案为4x-y-3=0。

【考点】导数几何意义点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，求解切线方程，属于基础题。

6.已知函数．(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 直线的方程为，切点坐标为【解析】(Ⅰ) 1分在点处的切线的斜率， 2分切线的方程为. 4分(Ⅱ)设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：． 6分又直线过点，，整理，得，，，的斜率， 10分直线的方程为，切点坐标为． 12分【考点】导数的几何意义及直线方程点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，在求切线方程时要从切点入手，找到切点满足的条件即可求得其坐标7.若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】解：令得x=-2或x=1x∈（-∞，-2）时的符号与x∈（-2，1）时的符号相反，x∈（-2，1）时的符号与x∈（1，+∞）时的符号相反∴f（-2）=和为极值，f（1）=∵图象经过四个象限∴f（-2）•f（1）＜0即解得.【考点】函数在某点取得极值的条件点评：本题考查导数求函数的极值，研究函数的单调性及其图象,属中档题.8.已知函数的定义域为，部分对应值如表,－10245的导函数的图象如图所示.下列关于的命题：①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；③当时，函数有个零点；④函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．【答案】①②③【解析】从图中可以看出，驻点有0，2，4，随x增大，导函数值由正变负，则函数取到极大值，导函数值由负变正，则函数取得极小值，故①函数的极大值点为，；正确。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.设f′(x) 是f（x）的导函数，f′(x)的图象如下图,则f（x）的图象只可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由的图象可知：在区间(a,b)内恒成立，故知在区间(a,b)内f（x）是增函数，又由的图象可知：当x从a增大到b的过程中，的值选增大然后减小，由导数的意义可知函数的函数值先缓慢增加，后快速增加，最后又缓慢增加；符合这个情况的只有D；故选D．【考点】函数的导数．2.已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ()【答案】D【解析】注意到原函数是三次函数,所以其导函数必为二次函数,再注意导函数与X轴的交点必为原函数的极值点,且导函数图象在X轴上方对应的范围内原函数必然是增函数, 导函数图象在X轴下方对应的范围内原函数必然是减函数,观察四个选择可知它们的图象只可能是D【考点】函数的导数与函数性质之间的关系.3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为函数在上单调递减，则在上即恒成立，等价于在上恒成立，所以。

故A正确。

【考点】用导数研究函数的性质。

4.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）;（2）或.【解析】(I)求出当时函数的导数即切线斜率，代入点斜式；(II)求导解得函数的两个极值点和因为异号，分，，讨论.（1）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，令，得或.当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或.【考点】1、导数及其应用；2、导数在研究函数中的应用.5.已知函数．（1）当在点处的切线方程是y=x+ln2时,求a的值．（2)当的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．【答案】(1);(2)．【解析】(1)利用导数的几何意义，先求,利用,解出;（2）函数的单调递增区间是，所以导函数的解集为，所以先求函数的导数，的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到．（1）,,代入 5分（2）,的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到,a的取值集合为 10分【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间．6.分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时且的解集为（）A．（－2，0）∪（2，+∞）B．（－2，0）∪（0，2）C．（－∞，－2）∪（2，+∞）D．（－∞，－2）∪（0，2）【答案】A【解析】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g（x）．=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．故选D.【考点】利用导数研究函数的单调性．.7.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为 ()．A．2B．1C．D．【答案】C【解析】(Δt→0)．8.自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.【答案】9.8【解析】＝2g＋gΔt.当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.89.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【答案】（1）；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大.【解析】（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而3分7分（2） 9分由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上递减 11分从而函数取得最大值的可能位置为或是，当时， 13分答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大 14分.【考点】1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.10.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为元（∈[7,11]）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ．（2）当每件产品的售价为8元时，分公司一年的利润最大，的最大值为32【解析】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ． 4分（2）（ｘ）＝3（ｘ－12）（ｘ－8）,ｘ．当ｘ时，（ｘ）＞0，（ｘ）单增；当ｘ时，（ｘ）＜0，（ｘ）单减。

高二数学导数及其应用试题答案及解析1.下列运算中正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】主要考查导数公式及导数的四则运算法则。

按乘积的求导法则及导数公式可知，故选A。

2.过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 ______.【答案】y＝4x－4【解析】主要考查导数公式、导数的几何意义及导数的四则运算法则。

解：设切点坐标为（），因为，切线的斜率，又，所以=1，=1，切线斜率为4，故过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是y＝4x －4。

∈（a，b）则的值为（）3.已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且xA．B．C．D．0【答案】B【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

===2，故选B。

4.若，则等于（）A．－1B．－2C．－D．【答案】A【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

解：（含），∴5.已知曲线y=x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标为（）A．（1，3）B．（-4，33）C．（-2，53）D．不确定【答案】C【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

解：即，所以，故选C。

6.已知函数y=3x-x2在x=2处的增量为x=0.1,则y为（）A．-0.11B．1.1C．3.80D．0.29【答案】A【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

解：y=3（）--（6-4）==3×2.1-－2=－1.1，故选A。

7.在平均变化率的定义中，自变量x在x处的增量x（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零【答案】D【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

解:函数在某点处横坐标的增量可正可负，不确定，但不可为0，故选D。

8. y=－2x2+1在（0，1）处的平均变化率为。

【答案】-2.【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

解：==-2。

9. y=-x3-x在（4，1）处的导数为。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数的图象在处的切线方程为，则的值是 .【答案】-1【解析】函数的图象在处的切线方程为，，，因此.【考点】导数的几何意义.2.已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B【解析】由分析导函数的图像可知:原函数的从左向右一直是增函数，并且增长速度先是越来越快再越来越慢.【考点】导函数的应用.3.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P,M是S,M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.4.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】因为，所以答案选A.【考点】导数的定义与应用5.函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】由函数的图象知：先减再增，最后成为常数函数；故其导函数的函数值应先小于零，等于零，然后再大于零，最后又等于零；符合这种情况的只有Ｄ；故选Ｄ．【考点】函数的导数．6.已知点A(0，1)和点B(－1，－5)在曲线C：为常数)上，若曲线C 在点A、B处的切线互相平行，则 .【答案】7【解析】和在曲线上，又∵，曲线在两点的切线平行，∴，∴可解得，∴.【考点】导数的运用.7.设定义在上的可导函数的导函数的图象如右所示,则的极值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】首先由得到此方程有四个根，同时在极值点的左右两侧满足异号，这样的极值点的个数为三个.故选C.【考点】函数极值点的判断方法.8.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.9.若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.【考点】常见基本函数的导函数.10.已知函数的定义域为R，为的导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为【答案】（－2，3）【解析】由图可知：函数在单调递增，因此当时，；函数在单调递减，因此当时，，综上不等式的解集为（－2，3）.【考点】利用导数研究函数性质11.已知函数，（1）求在点（1,0）处的切线方程；（2）判断及在区间上的单调性；（3）证明：在上恒成立.【答案】(1);(2)详见解析;(3）详见解析.【解析】（1）首先求出切线斜率即f’（x）利用点斜式即可求出答案；（2）首先求出，判断在（1，+∞）是否大于零，判断g（x）在区间上的单调性，在求出的导数判断其在（1，+∞）是否大于零，即可得到在（1，+∞）上的单调性；（3）对不等式两边取对数，化简得，设函数将原问题转化为则在，求出H（x）的最小值大于0 即可.（1） 1分2分3分（2） 4分在上恒成立 6分在上单调递减在上单调递增 7分（3）即 8分设函数则在在上单调递增11分即在上恒成立 12分.【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.不等式的证明. 12.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能【解析】（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．试题解析：解（1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． 4分（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2，从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：(1，)(，)(，2)＋0－0＋7分又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．10分【考点】函数解析式，利用导数求函数最值13.自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．【答案】g，g＋gΔt，g【解析】＝g.＝g＋gΔt.当Δt→0时，g＋gΔt→g.14.质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．【答案】运动开始后4秒时的动能为3 125 J【解析】＝3Δt＋25，当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3 125(J)15.直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．【答案】，a＝.【解析】设切点A(x0，y)，＝3－2x0＋(3x－1)d＋d2→3－2x(d→0)．故曲线上点A处切线斜率为3－2x0，∴3－2x＝1，∴x0＝1或x＝－，代入C的方程得或代入直线l，当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，即切点坐标为，a＝.16.（1）设函数，.求函数的单调递减区间；（2）证明函数在上是增函数.【答案】（1）（2）函数在上是增函数【解析】（1）由原函数求其导数得，令----3分减区间为 6分（2） --12分【考点】函数单调性的判定点评：求函数的单调增区间只需令导数大于零，求减区间只需令导数小于零，求解相应的不等式即可；证明单调性可通过证明导数大于零或小于零。

高三数学数学导数及其应用多选题试题及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e=，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得152x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．2．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．下列不等式正确的有（ ） A2ln 3< B．ln π<C．15< D．3ln 2e <【答案】CD 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.4．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 12f x x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.5．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．2ln a a b b e e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.6．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ） A ．函数在x e =12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点D ．(2))3)f f f π<<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x e = x()0,ee(),e +∞ ()'f x+-()f x极大值所以当x e =时，函数有极大值()2fe e=，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x -'=，当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x 1 12x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。

高二数学导数及其应用试题答案及解析1.已知直线是的切线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则∴切点为，曲线过∴，。

【考点】切线方程、对数运算。

点评：根据导数的几何意义，先把切点利用k表示，再利用切点是切线和曲线的公共点代入已知方程求值。

2.已知函数，则的值为 .【答案】【解析】令，则=，∴=【考点】求导法则的灵活应用点评：本题是一个技巧题，在无法求的条件下，借助积的求导运算法则和0这个特殊值，消去，避免了求的运算。

3.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末【答案】D【解析】求导函数s′=t3-5t2+4t=t（t-1）（t-4）令s′=0，可得t（t-1）（t-4）=0∴t=0或t=1或t=4，故选D。

【考点】本题主要考查函数模型、导数的应用。

点评：本题以函数为载体，考查函数模型的构建及导数的应用，属于中档题。

4.（2006年广东卷）设函数分别在、处取得极小值、极大值.平面上点A、B的坐标分别为、,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点求：(Ⅰ)点A、B的坐标；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程【答案】(Ⅰ) 点A、B的坐标为.(Ⅱ)【解析】分析：根据极值点得，根据附近导数判断极小值、极大值点；根据向量的数量及对称点坐标关系可求得Q点轨迹.解: (Ⅰ)令解得当时,, 当时, ,当时,所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,所以, 点A、B的坐标为.(Ⅱ) 设，，，所以，又PQ的中点在上，所以消去得【考点】本题主要考查向量数量积、导数的应用。

点评：本题主要考查了向量和导数的结合，（2）中求轨迹方程，使用了“相关点法”.5.（2006年安徽卷）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（Ⅰ）证明；（Ⅱ）证明其中和均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值.【答案】（Ⅰ）见解析。

（Ⅱ）见解析。

高二数学导数的综合运用试题答案及解析1.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．【答案】（1）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]；（2）．【解析】解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）求导，利用零点存在定理判定在总存在零点.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1）根据题意知，，当时，的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]．（2）∵，∴，∴.∴，∴.∵在区间上总不是单调函数，且，∴由题意知：对于任意的，恒成立，∴∴.【考点】1.函数的单调性；2.函数的单调性的逆用.2.已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；（Ⅱ）讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)当时，在单调递增当时，在单调递增，在上单调递减．当时，在单调递减；【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得;(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）当时，，∴．∵的定义域为，∴由得．∴在区间上的最值只可能在取到，而，∴．（Ⅱ）．①当，即时，在单调递减；②当时，在单调递增；③当时，由得或（舍去）∴在单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减．当时，在单调递减；【考点】(1)利用导数求函数的最值；（2）利用导数求函数的单调区间.3.设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)的极值．【答案】（1）a＝3. b＝－12.（2）函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.【解析】（1）先求出的导函数f′(x)=，由函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称及二次函数的性质求出，再由f′(1)＝0求出；（2）将（1）中的值代入导函数中，利用导函数研究函数的单调性，根据单调性及极值的有关知识求出的极值.试题解析：（1）由题知f′(x)= ，由函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称得，，解得a＝3，由f′(1)＝0即解得b＝－12. 所以a＝3. b＝－12. 6分（2）由（1）知a＝3， b＝－12，所以f′(x)= =，当＜-2或＞1时，＞0，当-2＜＜1时，＜0，所以单调增区间为（-，-2），（1，+），单调减区间为（-2,1），所以函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. 12分考点:常见函数的导数，导数的运算法则，二次函数的对称性，函数的极值4.已知函数（，为常数），当时，函数有极值，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是．【解析】∵=，由当时函数有极值知，，解得，所以=，所以当或时，＞0，当时，＜0，则在（-，0）和（1，+）上是增函数，在（0,1）上是减函数，所以当=0时，取极大值=，当=1时，取极小值=，要使有三个零点，则，解得0＜＜，所以的取值范围为（0，）.【考点】常见函数的导数，导数的综合运用，函数零点，数形结合思想5.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.【答案】（1），极小值为无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用导数的几何意义求，再进一步求极值；（2）构造函数，即证；（3）结合（2）的结论，对进行分类讨论.规律总结：这是一道典型的导函数问题，综合性较强，要求我们要有牢固的基础知识（包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等）.试题解析：解法一：（1）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.（2）令,则.由（1）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.（3）①若,则.又由（2）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（1）同解法一（2）同解法一（3）对任意给定的正数c，取由（2）知，当x>0时，，所以当时，因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.【考点】1.导数的几何意义；2.导数在研究函数中的应用.6.设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为( )【答案】D【解析】本题考查函数图象与导函数的关系：函数图象上升，则的图象在轴上方，反之亦然；函数图象下降，则的图象在轴下方.经验证D符合条件.【考点】函数图象与导函数图象的关系.7.已知函数的图象为曲线E．(1)若a = 3，b = -9，求函数f(x)的极值；(2)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）欲求函数极值应先求函数导数，并求出的根，再判断在根左右导数是否异号，若成立则此根为极值点，代入函数解析式可求极值.（2）对于存在性问题，一般假设存在然后依条件求出，若有则有，若无则假设不成立.试题解析：(1)当时，.令，可得.+0-0+当时，，当时， 5分，设切点为，则曲线在点P的切线的斜率由题意知有解∴即． 10分【考点】（1）函数导数与极值；（2）函数导数与切线.8.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，又因为，从而有：；构造函数则，从而有在上是增函数，所以有即：，故选Ｄ．【考点】函数的导数．9.已知函数：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1(1)y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b的取值范围．【答案】(1) f(x)＝x3＋2x2－4x＋5; (2) b≥0【解析】(1)先由函数导数的几何意义用含a,b,c的代数式表达出函数在点P处的切线方程，再与已知的切线相比较可得关于a,b,c的两个方程；另又因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0再得到一个关于a,b,c的方程，三个字母三个方程，通过解方程组就可求得字母a,b,c的值，从而求得f(x)的表达式； (2) 由函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，知其导函数f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有，从而有3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，分离参数转化为函数的最值问题，可求得b的取值范围.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)而过y＝f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y＝3x＋1即又∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③由①②③相联立解得a＝2，b＝－4，c＝5,所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5(2)y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0∴f′(x)＝3x2－bx＋b依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立注意到，所以3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立等价于：，令知当时，当时，所以在[-2，1）上有最大值为，故知，且当x=1时f′(x)≥0也成立,所以【考点】1.导数的几何意义;2.函数的极值与最值.10.对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①任意三次函数都关于点对称：②存在三次函数,若有实数解，则点为函数的对称中心；③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；④若函数，则:其中所有正确结论的序号是( )．A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④【答案】A【解析】①的二阶导数为，令得，根据题意得对称中心为，故①正确；②存在，例如三次函数，得，而就是的对称中心；③任何三次函数经过一次求导以后得到的是一个二次函数，二次函数再求一次导以后得到的是一个一次函数，而一次函数只有一个解，所以只有一个拐点，也就是说只有一个对称中心，所以说任何三次函数都只有一个对称中心；④,,得，所以的对称中心是即，所以有，所以，④正确。

高二数学导数及其应用试题答案及解析1.已知直线是的切线，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则∴切点为，曲线过∴，。

【考点】切线方程、对数运算。

点评：根据导数的几何意义，先把切点利用k表示，再利用切点是切线和曲线的公共点代入已知方程求值。

2.已知函数，则的值为 .【答案】【解析】令，则=，∴=【考点】求导法则的灵活应用点评：本题是一个技巧题，在无法求的条件下，借助积的求导运算法则和0这个特殊值，消去，避免了求的运算。

3.（2006年江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（）A．f（0）＋f（2）<2f（1）B．f（0）＋f（2）£2f（1）C．f（0）＋f（2）³2f（1）D．f（0）＋f（2）>2f（1）【答案】C【解析】依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C.【考点】本题主要考查导数在研究函数单调性方面的应用。

点评：在给定区间，导数大于0，函数是增函数；导数小于0 ，函数是减函数。

4.（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.=1.(Ⅱ) a=2,b=－9,c=12【答案】(Ⅰ) x【解析】分析：根据导函数图像观察出函数的极大值，根据图像求出导函数根据导函数和原函数的关系求解.解：(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上(x)＜0.在(2,+∝)上(x)＞0.故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减.=1.因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x(Ⅱ) (x)=3ax2+2bx+c,由(1)="0," (2)=0, f(1)=5,得解得a=2,b=－9,c=12【考点】本题主要考查导数在求函数的极值、研究函数单调性方面的应用。

１高等数学（A2）试卷（二）答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. B,2. D,3. B,4. C,5. D,6. B,7. D,8. B.二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分）1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得03332='--'x x z xy yz z z (1分)解得 xyz yzz x -='2(3分) 方程两边对x 求导,得 xyz xzz y -='2(5分) 所以, )(2xdy ydx xyz zdz +-= (7分) 2． 求⎰⎰-=Ddxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成.解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ⎰⎰-=1022x dy y x dx I (2分)令t x y cos =, 则有⎰⎰=102022sin πtdt dx x I (6分)12π=(7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间.解: xx x f --=11ln )(5 (2分)由∑∞=-≤<--=+11)11()1()1ln(i nn t nt t , 可得 (4分) ∑∞=<≤--=-155)11()1ln(i nx n x x (5分) ∑∞=<≤--=-1)11()1ln(i nx nx x (6分) 所以, ∑∑∞=∞=<≤--=151)11()(i ni n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1cos 1222-=-+'x xy x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=⎰=--x e x dxx xμ得 (2分)x y x dxdcos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1sin 2-+=x cx y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为11sin 2--=x x y (7分) 三、计算题(本题8分)用高斯公式计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧.解: 由高斯公式可得２⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++=++=zdxdydzydxdydz xdxdydz dxdydzz y x I 222)222( (2分)又因,⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==bcabc a xdx dz dy xdxdydz 0222 (4分) 同理有, ⎰⎰⎰Ω=c ab ydxdydz 22,⎰⎰⎰Ω=22abc ydxdydz (6分) 所以, )(c b a abc I ++= (7分)四、计算题(本题8分)确定b 并求出曲线32121,,:t z t y t x =-==Γ的切线, 使之与平面4:=++∏z by x 垂直.解: 设Γ上点)121,,(302000t t t M -处的切线与平面∏垂直 Γ在0M 处的切向量为, )41,2,1(200t t -=τ (2分)与平面∏的法向量, )1,,1(b n =平行, 即14121120tb t =-=, 解之得 (4分) )1,4,1(),32,4,2(,4,200=±-±=±=τM b t (6分)得切线方程, )4(1324412-=-=-+=-b z y x)4(1324412=+=+=+b z y x (8分)五、证明题(本题8分)证明曲线积分⎰+-=Cdy x dx x xy I 22cos )sin 2(在xoy 面上与路径无关,并计算积分值, 其中C 为椭圆12222=+by a x 的右半平面)0(≥x 部分, 从),0(b A -到),0(b B .证明: 因为22sin 2)sin 2(x x x xy yy P -=-∂∂=∂∂22sin 2)(cos x x x xx Q -=∂∂=∂∂ 所以曲线积分I 在xoy 面上与路径无关 (4分)又因)cos (cos sin 2222x y d dy x dx x xy =+- (6分)所以b x y x y d I b b C2|cos )cos (),0(),0(22===-⎰(8分)六、计算题(本题8分)若)(22y x f z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yzx z , 求z , 其中)(r f 有连续的二阶导数.解: 记22y x r +=, 则有3222222)()(,)(r x r r f r x r f x z r x r f x z -'+''=∂∂'=∂∂ 3222222)()(,)(ry r r f r y r f x z r y r f y z -'+''=∂∂'=∂∂ 代入方程得 0)(1)(='+''r f rr f (4分) 解之得 rcr f =')( (6分) 0ln )(c r c r f z +== (8分)３七、应用题(本题8分)要建造一个上部为半球型下部为圆柱型的不锈钢储水罐, 要求容积为A , 问球体和圆柱半径r 与圆柱高h 为何时, 可以使用料最省?解: 当所求储水罐的表面积最小时, 可以使用料最省, 用),(h r S 表示储水罐的表面积, 则有)0,0(23),(2>>+=h r rh r h r S ππ (2分) 由要求容积为A , 得h r ,的约束关系A h r r =+2332ππ, 解之得)32(132r A r h ππ-=(4分)代入),(h r S 得 rAr r h r S r 238))(,()(2+==πϕ令 02316)(2=-='r A r r πϕ, 解得驻点310)83(πAr = (6分) 又因0)(0>''r ϕ, 故)(r ϕ在0r 处取得极小值. 由于只有唯一极小值点,所以即为所求最小值点, 此时有002r h = (8分) 故r ,h 分别取00,h r 时, 可以使用料最省.。

高三数学导数及其应用多选题复习题含答案一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x ae -=，设sin (),(,)xxg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，334433()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即34e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 4xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x x g x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,,...44x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()34422g x e ππ-≤≤，当3412e a π-<-，即34a e π>时，()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae π-=，即4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．3．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 1f x x ⎛=--+ ⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+， 令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）7．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x a x a=只有一个正根． 设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x a x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值， 又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a b ab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.。

高等数学测试题（二）导数、微分部分答案及解析一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数0()102x f x x ≠=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ B ）A 不连续B 连续但不可导C 二阶可导D 仅一阶可导 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ C ） A 1 B12 C 12eD 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ B ） A 1 B2e C 2eD e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()limx f a x f a x x→+--等于（ C ）A 0B ()f a 'C 2()f a 'D (2)f a '5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '= 02、 设函数()xf x xe =，则(0)f ''= 23、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=4、 曲线228y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴，点_____处的切线与x 轴正向的交角为4π。

x=1 23=x5、 d = x e dx - xe --三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a ')()(')(')()()(')(')()()('a x )()()()(a a f a a a a a f x a x x x f x x a x x f ϕϕϕϕϕϕϕ=-+=-+==-=连续在又2、（7分）设函数()a a xa x a f x x a a=++，求()f x '设aa m = a x n = xat =aa a a aaxa xa x f t a a n a a mx x f a a x x f x a a x a at n m tn m xaa ln *ln ln )(')'(ln )'(ln )(')(111+++=++=++=---x a a x a aa a a aaxa xa x f xaa *ln ln )('211+++=--3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程∵sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ ∴122+-=x y 6π=t 时 x=21 21=y14203242y'21x x4-y'=+-=-+-===y x y x 法线方程所以切线方程时当4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx对x 求导0*cos 211=+-dxdyy dx dy y dxdy dxdy y cos 21111)1cos 21(-=-=- 在对x 求导3222)cos 211(sin 21)cos 211(sin 21y yy dx dy y dxy d --=--=6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 ∵()f x 在12x =处可导 ∴41221lim =→x xb a b ax x +=+→21lim 21 4121=+b a 。

1.1.3 导数的几何意义明目标、知重点1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 导数的几何意义思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n的变化趋势是什么？答当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．小结曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，f(x0))．思考4 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．例1 已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．解(1)设切点为(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0x20＋2x0·Δx＋(Δx)2－x20Δx＝2x0，∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②联立①，②得，x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，此时切线方程为y－25＝10(x－5)，即y＝10x－25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.小结(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练1 已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．解y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.跟踪训练2 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．解∵y＝x3＋3ax.∴y′＝limΔx→0(x＋Δx)3＋3a(x＋Δx)－x3－3axΔx＝limΔx→03x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋3aΔxΔx＝limΔx→03x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x20＋3a＝3，x30＋3ax0＝y0＝3x0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1－322，x0＝－342.∴a＝1－322.探究点二导数与函数的单调性思考1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？答能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．思考2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？答在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．思考3 如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？答会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．并讨论在(t0，t1)和(t1，t2)两个区间上函数的单调性．解用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．(4)从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．在(t0，t1)和(t1，t2)上各个切点处的斜率均为负，故函数在这两个区间上均为减函数，在(t1，t2)上函数下降的更快．反思与感悟 1.导数与函数图象升降的关系：(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．(2)导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．2．导数与函数单调性的关系：(1) 若函数y＝f(x)在区间a，b]恒有f′(x) >0，则y＝f(x)在区间a，b]上是增函数；若恒有f′(x) <0，则y＝f(x)在区间a，b]上是减函数．(2)若函数y＝f(x)在区间a，b]是增函数，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间a，b]是减函数，则f′(x)≤0.跟踪训练3 (1)根据例2图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．解函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象可能是( )答案 A解析依题意，y＝f′(x)在a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8 D．2答案 C解析f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→02(2＋Δx)2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1答案 A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．呈重点、现规律]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础过关1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 答案 B解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝(12)2＝14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴可令2a ＝2，∴a ＝1.5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件li m x →0f (1)－f (1－x )2x＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案 －4 解析 由li m x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4.6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝li m Δx →0 12(1＋Δx )＋2－12－2Δx ＝li m Δx →0 12Δx Δx ＝12. ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.二、能力提升7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－2答案 B 解析 ∵lim x →0 f (1)－f (1－x )x＝－1，∴lim x →0f (1－x )－f (1)－x＝－1，∴f ′(1)＝－1.8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时， Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9 ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－a 23＝－12.解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.三、探究与拓展13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.①∵y′＝limΔx→0Δy Δx＝limΔx→0a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)＋c－(ax2＋bx＋c)Δx＝limΔx→0(2ax＋b)Δx＋a(Δx)2Δx＝limΔx→0(2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

高数测试题二 (导数及应用).)arctan 2(lim )3();cot 1(lim )2(;sin 4cos lim)1(.12203x x x x x x xxxx x π+∞→→→--求求求极限：._____)(2)()(lim)(''.22=--++=→ha f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()11()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x x x f也是极小值是极小值，也是极大值是极大值，是极大值是极小值，是极小值是极大值，，下列命题中正确的是设)2()0()D ()2()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4ππππf f f f f f f f x x x x f +=.)()2();0()1(0,arctan 0,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '⎩⎨⎧≥<-=拐点；函数图形的凹凸区间及；函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.623-=x x y(D)3(C)1(B)2(A)._____33ln 2.7=-===-+=y y y y xx y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++=何者更大，为什么？和，问设22212121e e 20.9x x x x x x <<<.)(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设.0)(')1,0(:).0(d )(3)1,0(]1,0[)(.11132==⎰ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数)(')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点内可导，且上连续，在在设还是极小值点？，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=.03.143出根的值有两个互异实根，并指，使方程求=+-q x x q .8,0)(.152面积为最大相交所围成的三角形的切线与直线上求一点，使过该点的第一象限部分在抛物线===x y x y答案.8124112124cos lim 12124cos sin 2lim12sin cos 1lim 4cos lim sin 4cos lim)1.(1000020003030=+=+=+=+-=-=-→→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x 解xx x x x x x x x x x x x 2222202220220sin cos sin lim)sin cos 1(lim )cot 1(lim )2(-=-=-→→→解 .6131213sin cos cos lim 21cos sin limcos sin lim )cos )(sin cos (sin lim200030040=⋅=+-=-⋅+=-+=→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x.eee elim )arctan 2(lim .e 1)3(2)(11arctan 1lim )arctan 2ln(lim)arctan 2ln()(ln 22ππππ--⋅+⋅+∞→+∞→+∞====+∞→+∞→x x x xx x x x xx x f x x x 故形式求解型，可转化成属于解).('').(''2)('')(''lim 2)(')('lim)(2)()(lim)(')(''.2000020a f a f h a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f x f x f h h h 故应填有存在，利用洛必达法则存在，则因为解=-++=--+=--++→→→ )A (),0()(),0(0)(01111ln )(),,0(011)11ln(lim ),0()(0)1(1)1(1111)(11)11ln()(11)11ln(11)(.322故应选上单增。

高数测试题二 (导数及应用).)arctan 2(lim )3();cot 1(lim )2(;sin 4cos lim)1(.12203x x x x x x xxxx x π+∞→→→--求求求极限：._____)(2)()(lim)(''.22=--++=→ha f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()11()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x xx f也是极小值是极小值，也是极大值是极大值，是极大值是极小值，是极小值是极大值，，下列命题中正确的是设)2()0()D ()2()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4ππππf f f f f f f f x x x x f +=.)()2();0()1(0,arctan 0,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '⎩⎨⎧≥<-=拐点；函数图形的凹凸区间及；函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.623-=x x y(D)3(C)1(B)2(A)._____33ln 2.7=-===-+=y y y y xx y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++= 何者更大，为什么？和，问设22212121e e 20.9x x x x x x <<< .)(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设.0)(')1,0(:).0(d )(3)1,0(]1,0[)(.11132==⎰ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数)(')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点内可导，且上连续，在在设还是极小值点？，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=.03.143出根的值有两个互异实根，并指，使方程求=+-q x x q.8,0)(.152面积为最大相交所围成的三角形的切线与直线上求一点，使过该点的第一象限部分在抛物线===x y x y答案.8124112124cos lim 12124cos sin 2lim12sin cos 1lim 4cos lim sin 4cos lim)1.(100020003030=+=+=+=+-=-=-→→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x 解xx x x x x x x x x x x x 2222202220220sin cos sin lim )sin cos 1(lim )cot 1(lim )2(-=-=-→→→解.6131213sin cos cos lim 21cos sin limcos sin lim )cos )(sin cos (sin lim200030040=⋅=+-=-⋅+=-+=→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x.eee elim )arctan 2(lim .e 1)3(2)(11arctan 1lim 1)arctan 2ln(lim)arctan 2ln()(ln 22ππππ--⋅+⋅+∞→+∞→+∞====+∞→+∞→x x x xx x x x xx x f x x x 故形式求解型，可转化成属于解).('').(''2)('')(''lim 2)(')('lim)(2)()(lim)(')(''.2000020a f a f h a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f x f x f h h h 故应填有存在，利用洛必达法则存在，则因为解=-++=--+=--++→→→ )A (),0()(),0(0)(01111ln )(),,0(011)11ln(lim ),0()(0)1(1)1(1111)(11)11ln()(11)11ln(11)(.322故应选上单增。