下载文档原格式
教学设计三角函数诱导公式课时：1-2课时教学目标：1.了解三角函数的基本概念和性质。
2.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和图像。
3.学会使用三角函数的诱导公式解决问题。
教学重、难点：1.正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和图像。
2.三角函数的诱导公式的推导和应用。
教学准备：1.教师准备：课件、彩色粉笔。
2.学生准备：课本、练习题。
教学过程：Step 1：导入新知1.师生互动，回顾前几次课程学习的内容。
询问学生是否能回忆出三角函数的相关定义和性质，引导学生通过讨论的方式复习巩固知识。
Step 2：引入新知1.教师出示一张包含正弦函数、余弦函数和正切函数图像的课件，引导学生观察图像并思考：-正弦函数的图像有什么特点？如何定义正弦函数？-余弦函数的图像有什么特点？如何定义余弦函数？-正切函数的图像有什么特点？如何定义正切函数？2.教师解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义及其图像特点，强调周期、振幅等概念，并与学生一起讨论函数的相关性质。
Step 3：巩固与拓展1.教师出示三角函数的诱导公式，并简要解释其应用背景。
例子：已知正弦函数的定义域为[-π/2，π/2]，求出正弦函数在[0，π]上的值。
解析：根据三角函数的定义，正弦函数的周期为2π，因此正弦函数的图像在[0，π]上的值与在[-π/2，π/2]上的值是相同的。
所以，我们可以利用三角函数的诱导公式来求解。
根据诱导公式：sin(π - x) = sin x，我们可以得到sin(π - 0) = sin π = 0。
因此，正弦函数在[0，π]上的值为0。
3.老师指导学生完成一些相关练习题，加深对三角函数的诱导公式的理解和应用。
练习题 1：已知sinθ = 3/5，且θ位于第二象限，求cosθ和tanθ的值。
解析：根据三角函数的诱导公式，sinθ = sin(π - θ)，cosθ =-cos(π - θ)，tanθ = -tan(π - θ)。
三角函数的诱导公式教案件一、教学目标：1. 理解三角函数的诱导公式的概念和意义。
2. 掌握三角函数的诱导公式的推导和运用。
3. 能够运用诱导公式进行三角函数的化简和求值。
二、教学内容：1. 诱导公式的概念和意义。
2. 诱导公式的推导和运用。
3. 诱导公式的化简和求值。
三、教学重点：1. 诱导公式的推导和运用。
2. 诱导公式的化简和求值。
四、教学难点：1. 诱导公式的推导和运用。
2. 诱导公式的化简和求值。
五、教学方法：1. 讲授法：讲解诱导公式的概念、推导和运用。
2. 案例分析法：分析诱导公式的化简和求值。
3. 练习法：让学生通过练习题来巩固所学知识。
4. 互动法：引导学生积极参与课堂讨论，提问解答。
六、教学准备：1. 教案、PPT等教学资料。
2. 三角函数表格、图像等辅助教学材料。
3. 练习题及答案。
七、教学过程：1. 导入：回顾三角函数的基本概念和性质，引导学生思考如何从一个角的三角函数值求另一个角的三角函数值。
2. 新课：讲解诱导公式的概念和意义，展示诱导公式的推导过程。
3. 案例分析：分析诱导公式的化简和求值，让学生通过具体例子理解诱导公式的运用。
4. 练习：让学生练习运用诱导公式进行三角函数的化简和求值。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调诱导公式的推导和运用。
八、课堂练习：a. sin(π/2 α)b. cos(πα)c. tan(3π/4 α)a. sin(5π/6)b. cos(7π/4)c. tan(11π/6)九、课后作业：a. sin(3π/4 α)b. cos(5π/6 α)c. tan(9π/4 α)a. sin(π/3 + π)b. cos(2ππ/6)c. tan(3π/2 + π/3)十、教学反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性。
2. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
3. 关注学生的学习反馈，及时解答学生在学习过程中遇到的问题。
1.3三角函数的诱导公式(2)教学目标知识与技能：1、借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式（公式五、公式六）；特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）。
2、能进一步运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数式的求值、化简与和恒等式的证明问题；3、能通过公式的运用，体会未知到已知，复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。
过程与方法：通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、归纳能力，领会数学的化归思想方法，使学生体验和理解从一般到特殊的数学化归推理方式。
情感、态度、价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的创新意识和创新精神。
重点与难点重点：借助于单位圆，推导出诱导公式五、六，诱导公式的应用。
难点：掌握六组诱导公式并能灵活运用教学过程：（一）复习回顾上节课我们学习了三角函数的诱导公式一到公式四，大家还记得是哪几个公式吗？ 回顾三角函数的诱导公式一到公式四，这几个公式分别体现了角α与角πα+、α-、πα-之间的关系，用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：1、化负角的三角函数为正角的三角函数；2、化为[) 360,0内角的三角函数；3、化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
（二）小试牛刀1求值：1、=619cos π 23- 2、=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+35tan 2623cos 449sin 2πππ2 2化简：()()()()()ααπαπαπαπα---+---+-+cos cos sin 2)(cos 2sin sin 122=αtan （三）新知探究问题一：角的终边除了有终边相同、关于x 轴、y 轴、原点对称这些特殊关系外，角的终边还有其他的对称关系？ 若απβ-=2，则βα,的终边具有什么关系？若角βα,的终边关于直线x y =对称，它们分别与单位圆交于点21,P P ,则21,P P 的坐标分别是什么？它们有什么关系？根据三角函数的定义，点()βαcos ,cos 1p ，()ββsin ,cos 2P ，又点21,P P 关于直线x y =对称，则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+0sin sin 22cos cos 222sin sin 2cos cos αβαββαβα 由此可得⎩⎨⎧==αβαβcos sin sin cos ，从而得到公式五⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααπααπcos 2sin sin 2cos 所以，由公式五知ααααπαπαπtan 1sin cos 2cos 2sin 2tan ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 问题二:能否用已有公式得出απ+2的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式? 由公式二和五可知：()αααπαπcos cos )(2sin 2sin =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()αααπαπsin sin )(2cos 2cos -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 所以，诱导公式六：ααπααπsin 2cos cos 2sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 由此，απαπαπα±±-∈+2,,),(2Z k k 都可表示成()Z k k ∈±∙απ2诱导公式总结：口诀：奇变偶不变，符号看象限。
三角函数的诱导公式学案【学习目标】（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
【课前预习】1、 若角α的终边和单位圆交于点P ，则点P 的坐标可表示为2、 若角α和角β的终边相同，则β=3、 求0390的三角函数值 【课堂导学】问题1：若角α和角β的终边相同，则它们的同名三角函数值有何关系？ 公式一：问题2：（1）设6πα=，如果β的终边与α的终边关于x 轴对称，你能用α表示β吗？这时sin β与sin α，cos β与cos α有什么关系？（2）请你自己举出类似的例子，看看有没有同样的结论？（3）一般地，设α为任意角，β的终边与α的终边关于x 轴对称，用α表示β，并求sin β与sin α，cos β与cos α的关系。
公式二： 问题3：（1）设6πα=，将α的终边逆时针旋转2π得β，你能用α表示β吗？这时sin β与cos α，cos β与sin α有什么关系？（2）一般地，设α为任意角，将α的终边逆时针旋转2π得β，用α表示β，并求sin β与cos α，cos β与sin α的关系。
公式六：归纳总结：从联系的观点看，上述问题可以归结为两类变换：（1）关于x 轴对称的轴对称变换1T ：θθ→-，单位圆上的点(,)x y 经1T 变为 ， 也就是cos()α-= ，sin()α-= 。
（2）将α的终边逆时针旋转2π的旋转变换2T ：2πθθ→+，单位圆上的点(,)x y 经2T 变为 ，也就是cos()2πα+= ，sin()2πα+= 。
问题4：经过两次2T 变换，就有α→ ，探求这个角的三角函数值 公式四：问题5：经过一次1T 变换，再经过一次2T 变换，就有α→ → ，探求这个角的三角函数值。
公式五：问题6：利用已有的公式，你能推导出33,,22παπαπα--+的三角函数值与α的三角函数值的关系吗？公式三：问题7：怎样求这些角的正切值？归纳总结：公式一、二、三、四、五都叫做三角函数的诱导公式。
课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（一）1．教学目标知识与技能（1）掌握三角函数诱导公式二～四的推导方法，体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式二～四的应用，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；（3）培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步理解掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维能力及运算能力。
过程与方法（1） 借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与α- ，πα- ，πα+ 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；（2） 体会未知到已知、复杂到简单的转化过程。
情感态度与价值观通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
2．教学重点：用联系的观点，发现、证明及运用诱导公式，体会数形结合思想、化归思想在解决数学问题中的指导作用。
教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与α的终边关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法。
3．教学方法与教学手段：引导合作探究式教学并结合多媒体教学4．教学过程：（一）复习引入：1．利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值；2．画出一组特殊角的图象（体会特殊到一般的思想）（二）新课讲解：问题1：360?k αα+⋅角与的正弦,余弦,正切值有什么关系公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+k ααcos )360cos(=︒⋅+kααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
三角函数的诱导公式教学设计与教学反思教学设计：教学目标：1.理解和掌握三角函数的诱导公式(一)的概念和应用。
2.学会运用三角函数的诱导公式(一)解决相关的数学问题。
教学步骤：引入：1.引导学生回顾三角函数的基本概念和性质，并复习正弦函数和余弦函数的定义。
2.引入诱导公式的概念，说明其作用和重要性。
讲解和演示：1. 介绍三角函数的诱导公式(一)：$\sin(\pi - x) = \sin x$ 和$\cos(\pi - x) = -\cos x$。
2.解释诱导公式的意义：通过改变角度的正负和大小，可以得到新的三角函数值。
3.提供具体的例子，以展示诱导公式的应用。
练习：1.让学生通过计算练习题来巩固和运用诱导公式。
2.引导学生将练习题中出现的不同角度和三角函数代入诱导公式中进行推导和计算。
拓展：1.提供拓展练习题，要求学生利用诱导公式求解更复杂的三角函数问题，如求解三角方程等。
2.鼓励学生思考和讨论，分享他们的解题方法，以促进彼此之间的学习和启发。
总结：1.总结诱导公式的基本概念和使用方法。
2.强调诱导公式在解决三角函数问题中的重要作用。
3.鼓励学生复习和总结本节课的内容，并提醒他们在接下来的学习中要灵活运用诱导公式。
教学反思：这节课的教学设计主要围绕三角函数的诱导公式(一)展开，通过理论讲解、例题演示和练习题训练等环节，旨在帮助学生理解和掌握诱导公式的概念和应用。
通过引入和讲解，可以帮助学生了解三角函数的诱导公式是如何作用和产生的，为后续的练习和拓展打下基础。
在设计课堂内容时，我注重了理论与实践的结合。
通过让学生参与课堂练习和讨论，我希望能够增强他们对诱导公式的理解和应用能力。
在练习环节，我尽量提供丰富多样的题目，既包括基础的计算题，也包括一些较为复杂的问题，以便学生能够充分运用诱导公式解决不同类型的数学问题。
在教学过程中，我发现了一些问题。
首先，有些学生对于一些概念和性质理解不深，导致对诱导公式的理解和应用困难。
三角函数的诱导公式教案件一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角函数诱导公式的概念和意义；（2）掌握三角函数诱导公式的推导过程；（3）能够运用诱导公式进行三角函数值的计算。
2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，引导学生发现诱导公式的规律；（2）运用归纳法和演绎法，引导学生推导出诱导公式；（3）通过例题讲解和练习，提高学生运用诱导公式解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度；（3）培养学生合作交流、解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数诱导公式的概念和意义；（2）三角函数诱导公式的推导过程；（3）运用诱导公式进行三角函数值的计算。
2. 教学难点：（1）诱导公式的推导过程；（2）运用诱导公式解决复杂三角函数问题。
三、教学过程1. 导入：（1）复习已学的三角函数基本概念和性质；（2）提问：如何将一个角的三角函数值转化为另一个角的三角函数值？2. 探究与发现：（1）引导学生观察和分析单位圆上的三角函数值的变化规律；（2）引导学生发现诱导公式的规律；（3）引导学生运用归纳法推导出诱导公式。
3. 讲解与示范：（1）讲解诱导公式的推导过程；（2）示范运用诱导公式进行三角函数值的计算；（3）讲解诱导公式的应用范围和注意事项。
4. 练习与交流：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）组织学生进行小组交流，讨论解题思路和方法；（3）讲解练习题的解答过程和思路。
四、教学评价1. 课堂评价：（1）观察学生在课堂上的参与程度和表现；（2）评价学生对诱导公式的理解和运用能力。
2. 练习题评价：（1）评价学生对诱导公式的运用和计算能力；（2）评价学生的解题思路和方法。
五、教学资源1. 教学课件：（1）展示诱导公式的推导过程；（2）呈现练习题和解答过程。
2. 练习题：（1）提供不同难度的练习题；（2）设计具有代表性的例题。
1.3 三角函数的诱导公式（名师:杨峻峰）一、教学目标 （一）核心素养从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (二)学习目标１. 牢固掌握五组诱导公式.2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明．3. 通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力. ４.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. （三）学习重点熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明. (四)学习难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识,诱导公式的推导、记忆及符号判断. 二、教学设计 （一)课前设计1． 阅读教材第23页至第27页,填空:(1)如图，πα+的终边与角α的终边关于 原点 对称; （２)如图,α-的终边与角α的终边关于 ｘ轴 对称； (３)如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称; （４)如图,2πα-的终边与角α的终边关于 直线y ＝x 对称;(5)诱导公式:公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α； 公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α,()tan α-=tan α-; 公式四：()sin πα-=sin α,()cos πα-=cos α-,()tan πα-=tan α-;公式五：sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin α；公式六:sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α，cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin α-．2.预习自测1.下列选项错误的是( ）A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.ﻩ Ｂ.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. ﻩC. sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． ﻩﻩ ﻩD ．若α为第四象限角,则sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．ﻩﻩ ﻩ答案：Ｃ． （二）课堂设计 １．知识回顾（１）任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的? 在角α的终边上任取一点(),P x y ,则22sin x y α=+，22cos x y α=+,tan y xα=. 当P 为角α的终边和单位圆的交点时，有si ｎα＝y ,co ｓα=x ,tan y xα=. (2）诱导公式一：()()()sin 2sin ;cos 2cos ;tan 2tan ,k k k k Z+⋅=+⋅=+⋅=∈απααπααπα(３）终边相同的角的同名三角函数值相等，即公式一.利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为０°到360°(0到2π)内的角的三角函数值． 对于任何一个[)0,2π内的角β,以下四种情况有且只有一种成立:ﻩ0,2,23,232,22παβππαβπβππαβπππαβπ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪+∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩，当，当，当，当ﻩ（其中α为锐角） 所以,我们研究πα-，πα+,2πα-与α的同名三角函数即可. ２.问题探究探究一 角πα+与角α之间的关系●活动① 结合图象，探究角πα+与角α终边之间的关系结合图象思考:①锐角α的终边与πα+角的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何?③任意角α与πα+呢?引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论:①无论α为锐角还是任意角，πα+的终边都是α的终边的反向延长线; ②角的终边与单位圆的交点关于原点对称.●活动② 结合定义，辨析角πα+与角α三角函数之间的关系设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()1,P x y ,由对称可知，角πα+的终边与单位圆的交点坐标为()2,P x y --.由三角函数的定义得：sin y α=，ﻩ ﻩﻩcos x α=, ﻩﻩﻩtan y xα=; ﻩﻩ()sin y πα+=-,ﻩﻩ()cos x πα+=-， ()tan y xπα+=. 从而，我们得到诱导公式二:()sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-， ()tan tan παα+=．探究二 角α-、πα-与角α之间的关系●活动① 结合图象，探究角α-、πα-与角α终边之间的关系结合图象思考:①任意角α-、πα-的终边与角α的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论：①任意角α-的终边与任意角α的终边关于x 轴对称,与单位圆的交点也关于x 轴对称；②任意角πα-角的终边与角α的终边关于ｙ轴对称，与单位圆的交点也关于y 轴对称.●活动② 类比探究一，辨析角α-、πα-与角α三角函数之间的关系 引导学生类比探究一的方法,得到: 公式三:()sin sin αα-=-, ()cos cos αα-=， ()tan tan αα-=-．公式四:()sin sin παα-=, ()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-.探究三 理解公式的内涵及结构特征 ●活动① 互动交流、初步实践引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求角πα-的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明，加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一~四:()2k k Z απ+⋅∈，α-、πα±的三角函数值,等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 进一步简记为:“函数名不变,符号看象限” . 点拨、引导学生注意公式中的α是任意角． ●活动② 巩固基础，理解升华 例1 利用公式求下列三角函数值. (1）cos225︒；ﻩ ﻩﻩﻩ(2)11sin 3π； （3）16sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭； ﻩ ﻩ(4）()cos 2040-︒．【知识点】公式一~四. 【数学思想】化归思想【解题过程】解：（1)()2cos225cos 180+45cos45︒=︒︒=-︒=-； (２)113sinsin 4sin 333ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭. （３)16163sin sin sin 5sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (4)()()1cos 2040cos2040cos120cos 18060cos602-︒=︒=︒=︒-︒=-︒=-． 【思路点拨】利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数. 【答案】(1）2-；(2）3-;(３)3；（４）12-. 通过例1运用讲解,引导学生归纳，任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：变式训练 化简1+2sin 290cos430︒︒【知识点】公式一~四. 【数学思想】 【解题过程】 1+2sin 290cos430︒︒()()1+2sin 36070cos 36070︒-︒︒+︒12sin 70cos70-︒︒cos70sin 70cos70sin 70︒-︒=︒-︒1=-．【思路点拨】利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数. 【答案】1-探究四 角2πα±与角α之间的关系 ●活动① 探究角2πα-与角α之间的关系设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()1,P x y ．由于角2πα-的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称,角2πα-的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于直线y ＝x 对称,因此点()2,P y x ，从而有： ﻩﻩﻩﻩ cos x α=，ﻩﻩ ﻩsin y α=;ﻩﻩﻩﻩ cos 2y πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2x πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ﻩﻩﻩ．所以得到公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ●活动② 探究角2πα+与角α之间的关系我们可以类比探究2πα-与角α三角函数之间的关系，进行角2πα+与角α之间关系的探究．另一方面,由于22ππαπα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，是否可以结合公式四及公式五推导出角2πα+与角α三角函数之间关系呢?请学生进行推导. 可以得到公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 我们可以用下面一段话来概括公式五、六：正弦（余弦）函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限．●活动③ 探究角32πα-与角α之间的关系 例2 证明：（１)3sin cos 2παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ﻩ （2）3cos sin 2παα⎛⎫-=-⎪⎝⎭【知识点】诱导公式四、五. 【数学思想】 【解题过程】 证明：(1)3sin sin sin cos 222πππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； (2）3cos cos cos sin 222πππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【思路点拨】将32πα-变形为2ππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭利用公式四、五进行转化. 【答案】（１)cos α- ；（2） sin α-．学了六组诱导公式及上例的结果后，能否进一步归纳概括诱导公式．诱导公式一~四,函数名称不改变，这些公式左边的角分别是()2k k Z πα+∈，πα±，α-(可看作0α-）.其中2k π,π,0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角α±，函数名称不改变.而公式五、六及上面的例2，这些公式左边的角分别是2πα±，32πα-，其中2π,32π是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角α±，函数名称要改变．两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变,符号看象限． ●活动④ 灵活应用,融会贯通 例3 化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2a a πππαπααπππαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭.【知识点】诱导公式一～六. 【数学思想】 【解题过程】解:()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2a a πππαπααπππαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭ ()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42παααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2παααπαααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin tan cos ααα=-=-. 【思路点拨】合理利用诱导公式，抓住“负化正，大化小，化到锐角终了”的原则. 【答案】tan α- 变式训练已知()cos 16m m πα⎛⎫-=≤ ⎪⎝⎭,求2sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【知识点】诱导公式六. 【数学思想】 【解题过程】 解：∵2362πππαα⎛⎫---= ⎪⎝⎭，∴2326πππαα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭∴2sin 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭=sin 26ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 6m πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【思路点拨】当两个角的和或差是2π的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来. 【答案】m3. 课堂总结①有关角的终边对称性1)πα+的终边与角α的终边关于原点对称； 2）πα-的终边与角α的终边关于y 轴对称； ３）α-的终边与角α的终边关于x 轴对称; 4)2πα-的终边与角α的终边关于直线y =ｘ对称．②利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．其化简方向仍为:“负化正,大化小,化到锐角终了” ． ③纵变横不变,符号看象限. （三)课后作业 基础型 自主突破 1．= 210sin ( ） Ａ.23ﻩ ﻩB.21 ﻩ Ｃ．23-ﻩ D ．21-【知识点】诱导公式． 【数学思想】化归思想.【解题过程】2130sin )30180sin(210sin -=-=+= ．【思路点拨】根据诱导公式求值. 【答案】D ．2．=-)240cos( （ ) A ．23ﻩ ﻩＢ．21 C ．23-ﻩﻩD ．21- 【知识点】诱导公式. 【数学思想】化归思想．【解题过程】2160cos )60180cos(240cos )240cos(-=-=+==- ． 【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】D.３．=67cos π( ) Ａ.23 ﻩ B ．21 C.23- ﻩ D.21- 【知识点】诱导公式．【数学思想】化归思想. 【解题过程】236cos )6cos(67cos -=-=+=ππππ． 【思路点拨】根据诱导公式求值.【答案】C ．4．=-)411tan(π（ ) A ．22ﻩﻩ B.1 ﻩﻩＣ.22- ﻩD.1-【知识点】诱导公式．【数学思想】化归思想． 【解题过程】14tan )4tan(45tan )4114tan()411tan(==+==-=-πππππππ． 【思路点拨】根据诱导公式求值．【答案】B.５.若53)2sin(=+απ,则_________)2sin(=-απ. 【知识点】诱导公式．【数学思想】化归思想. 【解题过程】因为3sin()cos 25παα+==.所以3sin()cos 25παα-==． 【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】35．6．已知角θ终边上的一点)2,1(-P ，则_______)450sin(=+θ .【知识点】任意角的三角函数定义、诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】sin(450)sin(90)cosθθθ+=+===． 【思路点拨】根据诱导公式求值.【答案】能力型 师生共研 ７．已知135)2cos(-=+απ，则_____________)sin(=+απ． 【知识点】同角三角函数关系、诱导公式．【数学思想】化归思想.【解题过程】方法一:由135sin )2cos(-=-=+ααπ，得135sin =α，所以135sin )sin(-=-=+ααπ； 方法二:135)2cos()22sin()sin(-=+=++=+απαππαπ； 【思路点拨】根据诱导公式求值． 【答案】135-. 8.已知32)3cos(=+απ，则_____________)6sin(=-απ． 【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.【数学思想】化归思想． 【解题过程】32)3cos()3(2sin )6sin(=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-απαππαπ; 【思路点拨】观察απ+3与απ-6关系,根据诱导公式求值. 【答案】32．探究型 多维突破９．现有下列三角函数:①()N n n ∈+)34sin(ππ;②()N n n ∈+)32sin(ππ;③()N n n ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+6)12(sin ππ；④()N n n ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+3)12(sin ππ.其中函数值与3sin π的值相同的序号是＿_＿＿___.【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想．【解题过程】 ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+为奇数，为偶数n n n 23,23)34sin(ππ;②233sin )32sin(==+πππn ； ③2165sin 6)12(sin ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+πππn ；④2332sin 3)12(sin ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+πππn . 【思路点拨】奇变偶不变，符号看象限．【答案】②④.１0．已知角α是第三象限角,且)sin()tan()tan()2cos()sin()(αππαπααπαπ----+--=a f . （1)化简)(αf ；（2）若51)sin(=-πα,求)(αf 的值; （３)若πα617-=,求)(αf 的值； 【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】(1）sin cos tan ()cos tan sin f ααααααα==--； (2)因为51sin )sin(=-=-απα,所以51sin -=α,因为角α是第三象限角， 所以562sin 1cos )(2-=--=-=αααf ; （３）2365cos )617cos(cos )(=-=--=-=ππααf ．【思路点拨】先化简,再求值.【答案】(1)()cos f a α=-;(２)；（．自助餐ﻩ1．1)cos()2cos()(sin 2+-+-+ααπαπ的值为（ )A.1 ﻩﻩ B ．α2sin 2 ﻩＣ．0 Ｄ．2 【知识点】诱导公式、同角三角函数关系.【数学思想】化归思想.【解题过程】αααααπαπ2222sin 21cos sin 1)cos()2cos()(sin =+-=+-+-+.【思路点拨】化简.【答案】B.ﻩ2.已知2)tan(-=-απ,则=+α2cos 11（ ) A.3- ﻩB.21ﻩ ﻩﻩC ．2 ﻩ ﻩﻩD.65 【知识点】诱导公式、同角三角函数关系.【数学思想】化归思想．【解题过程】因为2tan )tan(-=-=-ααπ，所以2tan =α，652tan 1tan cos 2sin cos sin cos 112222222=++=++=+αααααa a 【思路点拨】1与αα22cos sin +转化．【答案】D.ﻩ3．_____89sin 88sin 45sin 2sin 1sin 22222=++++ ．【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.【数学思想】化归思想【解题过程】 89sin 88sin 45sin 2sin 1sin 22222++++1cos 2cos 45sin 2sin 1sin 22222++++=25212=+=. 【思路点拨】观察 1与 89关系．【答案】25． ﻩ４.化简：)3cos()3sin(21+-+ππ .【知识点】诱导公式、同角三角函数关系、三角函数符号判断. 【数学思想】化归思想【解题过程】3cos 3sin 3cos 3sin 23cos 3sin 3cos 3sin 21)3cos()3sin(2122-=-+=-=+-+ππ 因为03cos ,03sin <>,所以原式＝3cos 3sin -【思路点拨】诱导公式化简、１的转化、符号的判断．【答案】3cos 3sin -.ﻩ5.已知x x f 3cos )(sin =，求)10(cos f ．【知识点】诱导公式．【数学思想】化归思想【解题过程】[]2160cos )60180cos(240cos )80(sin )8090cos()10(cos -=-=+===-= f f f ． 【思路点拨】关键在于利用诱导公式 10cos 转化 80sin ．【答案】21-.。
