复数的概念与几何意义

复数概念及其几何意义课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版数学教材八年级上册第四章“复数”的第二节“复数的概念及其几何意义”。

这部分内容主要包括复数的基本概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的分类。

二、教学目标1. 理解复数的基本概念，掌握复数的代数表示法。

2. 能够运用复数的几何意义解决实际问题。

3. 培养学生对数学知识的兴趣，提高学生的数学思维能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：复数的几何意义及其应用。

2. 教学重点：复数的概念、代数表示法及其几何意义。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、彩色笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一个实际问题：“在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点Q的坐标是多少？”让学生思考，引导学生发现解决问题需要引入一个新的数学概念——复数。

2. 复数的基本概念：教师通过讲解，引导学生掌握复数的概念：复数是实数的拓展，用字母a+bi（a、b为实数，i为虚数单位，i²=1）表示。

3. 复数的代数表示法：教师通过示例，让学生学会用复数的代数表示法表示各种形式的复数，如2+3i、12i等。

4. 复数的几何意义：教师通过几何图形，让学生理解复数的几何意义：在平面直角坐标系中，复数a+bi对应的点位于以原点为中心，半径为|a|的圆上，且与实轴的夹角为θ（θ=arctan(b/a)）。

5. 复数的分类：教师讲解复数的分类：实数、虚数、纯虚数、共轭复数等。

6. 例题讲解：教师通过讲解例题，让学生掌握复数的运算规则，如加、减、乘、除等。

7. 随堂练习：教师给出随堂练习题，让学生运用所学知识解决问题，如计算复数的加减乘除、判断复数的类型等。

8. 作业布置：教师布置作业，让学生进一步巩固所学知识，如绘制复数的几何图形、解决实际问题等。

六、板书设计1. 复数的基本概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何意义4. 复数的分类七、作业设计1. 绘制复数2+3i和12i在平面直角坐标系中的几何图形。

复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。

复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。

复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。

例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。

使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。

复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。

这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。

在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。

根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。

这种形式方便了复数的乘法和幂运算。

例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。

复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。

首先，复数可以用来表示平面上的向量。

向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。

复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。

其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。

数学中的复数及其几何意义在数学中，复数是一种比实数更为普遍的数。

一般来说，一个复数由实部和虚部组成，它们分别是实数。

复数的定义最初是为了解决方程$x^{2}+1=0$，因为$1$不等于$-1$的时候，该方程无解，但当我们引入复数$i$时，就可以得到该方程的解$x=i$。

复数在解决方程方面有着很大的用处，但它们的重要性远不止于此。

复数还具有在几何学中描述旋转的图形的能力。

如果我们将复数看作一个有序对$(a,b)$，其中$a$是实部，$b$是虚部，那么在坐标系中，每个复数都可以用一个点表示。

可以将实轴设置为$x$轴，虚轴设置为$y$轴，以原点为中心，建立一个平面直角坐标系。

在这个坐标系中，复数$a+bi$可以表示为点$(a,b)$。

现在，我们考虑一下复数的乘法。

如果$a+ib$与$c+id$相乘，我们可以通过将它们展开并合并相同项来得到：$$(a+ib)·(c+id)$$$$=ac+iad+ibc+i^{2}bd$$由于$i^{2}=-1$，所以：$$=ac+i(ad+bc)+(-1)bd$$$$=ac-bd+i(ad+bc)$$由此可以看出，复数的乘法满足分配律、交换律和结合律。

从几何角度来看，复数的乘法可以用于表示旋转。

假设我们有一个向量$z=(a,b)$，可以将它看作点$(a,b)$到原点的线段。

我们可以通过将该向量乘以一个复数$t=s+ti$来将它转换为另一个向量。

这个复数$t$在坐标系中的表示形式为$(s,t)$，我们可以将它看作一个点。

当我们将向量$z$乘以$t$时，可以将$z$绕原点旋转一个角度，这个角度由点$t$的位置决定。

具体来说，设$z=(a,b)$，$t=(s,t)$。

那么向量$zt$的坐标可以表示为：$$zt=(as-bt,at+bs)$$可以看出，向量$zt$的长度与向量$z$的长度相同，只是方向不同。

如果$t$是一个单位长度的复数，那么$zt$的长度和$z$的长度相同，只是方向不同。

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

复数的几何意义
复数的几何意义可以通过将复数看作是坐标平面上的一个
点来理解。

在复平面中，实数部分表示横坐标，虚数部分
表示纵坐标。

因此，复数可以表示为一个复数点的坐标。

具体地说，一个复数a+bi可以被表示为坐标平面上的点 (a, b)。

实数部分a表示点在x轴上的位置，而虚数部分b表示点在y轴上的位置。

这个点的位置就代表了复数在复平
面中的位置。

通过这种几何表示，我们可以以更直观的方式来理解复数
的运算。

例如，两个复数的加法可以被看作是将它们在复
平面中的点进行向量相加，而两个复数的乘法可以被看作
是将它们在复平面中的点进行旋转和缩放变换。

值得注意的是，复数的模长表示了复数点与原点的距离，
也就是复数的大小。

而复数的幅角则表示了复数点与正实
数轴的夹角，也就是复数的方向。

因此，复数的几何意义可以帮助我们更好地理解复数的大小和方向。

复数是数学中一个非常重要的概念，它在几何学中也有着重要的意义。

复数可以用一个实部和一个虚部来表示，通常写成a+bi的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i²=-1。

实部表示复数在实轴上的位置，虚部表示复数在虚轴上的位置。

首先，我们来看复数在复平面中的几何意义。

复平面是一个平面笛卡尔坐标系统，实轴水平表示实数，虚轴垂直表示虚数。

复数表示的是平面上的一个点，实部为横坐标，虚部为纵坐标。

例如，复数2+3i表示复平面上的一个点，横坐标为2，纵坐标为3。

这样，我们可以将复数看作平面上的向量。

复数的几何意义可以通过两种方式来理解。

一种是向量表示法，复数是一个有向线段，表示一个从原点指向某个点的向量，向量的方向由实部和虚部决定。

另一种是极坐标表示法，复数可以用模长和幅角来表示。

模长表示向量的长度，幅角表示向量与虚轴的夹角。

这种表示法可以将复数的乘法和除法转化为向量的旋转和伸缩，非常有用。

利用复数的几何意义，我们可以进行一些有趣的运算。

首先是复数的加法。

复数的加法相当于向量的相加，两个向量相加的结果是两个向量首尾相接形成的新向量。

例如，复数2+3i和1+2i相加的结果是3+5i，可以想象成从2+3i位置出发，沿着1+2i的方向前进，最终到达3+5i的位置。

其次是复数的乘法。

复数的乘法相当于向量的旋转和伸缩。

两个复数相乘的结果是两个向量长度相乘，角度相加后的新向量。

例如，复数2+3i和1+2i相乘的结果是-4+7i，它相当于将向量2+3i绕原点逆时针旋转45度，并且长度变为原来的3倍。

最后是复数的除法。

复数的除法相当于向量的旋转和缩放。

一个复数除以另一个复数，相当于将两个向量的长度相除，角度相减后的新向量。

例如，复数2+3i除以1+2i的结果是1+1i，它相当于将向量2+3i绕原点顺时针旋转45度，并且长度变为原来的一半。

综上所述，复数在几何学中有着非常重要的意义。

复数的实部和虚部可以表示复数在复平面中的位置，而复数的加法、乘法和除法可以通过向量的操作来理解。

复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。

在复数运算中，加法和乘法可以在几何上进行解释。

首先，我们来讨论复数的几何表示。

对于一个复数 z=a+ib，其中 a是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。

这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。

因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。

1.加法：复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。

在几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。

可以看出，加法运算实际上是将两个向量相加，得到一个新的向量。

这个向量从第一个向量指向第二个向量的尖端。

换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行平移。

2.乘法：复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。

在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复数的实部和虚部形成一个新的复数。

乘法运算实际上是将两个向量相乘，并按照一定的规则得到新的向量。

具体而言，复数的模长是两个向量的模长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。

因此，复数乘法可以理解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。

除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：3.模长：一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。

在几何上，复数的模长表示了对应向量的长度，也可以理解为复平面上原点到点P的距离。

模长的平方等于复数的实部平方加上虚部平方，可以通过勾股定理来计算。

因此，复数的模长也可以理解为一个向量的长度。

4.共轭：一个复数的共轭可以表示为 z* = a-ib。

在几何上，一个复数和其共轭代表了复平面上关于 x 轴的对称点。

复数运算的几何意义复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部。

实部表示在实数轴上的位置，而虚部表示在虚数轴上的位置。

复数可以用来描述平面上的点，其中实部表示点在x轴上的位置，虚部表示点在y轴上的位置。

1.平移：当我们将一个复数加上另一个复数时，实际上进行了平移操作。

将一个复数加到另一个复数上，相当于将前者的位置平移至后者的位置。

例如，将复数1+2i加到复数3+4i上，就相当于将1+2i的点平移到3+4i的点上。

2. 旋转：复数的乘法运算可以用来实现平面上的旋转。

当我们将一个复数乘以另一个复数时，实际上进行了旋转操作。

乘法的模长表示了放大或缩小的比例，乘法的幅角表示了旋转的角度。

例如，将复数1+2i乘以复数cos(θ)+sin(θ)i，相当于将1+2i的点绕原点旋转θ的角度。

3.缩放：复数的乘法运算还可以用来实现平面上的缩放。

当我们将一个复数乘以实数k时，实际上进行了缩放操作。

乘法的实部和虚部同乘以k，相当于将复数所表示的点的位置沿实数轴和虚数轴同时拉伸或压缩。

例如，将复数1+2i乘以2，相当于将1+2i的点沿两个轴分别拉伸2倍。

4.对称：复数的共轭可以实现在平面上进行对称操作。

一个复数的共轭是将实部保持不变，虚部取相反数的操作。

当我们将一个复数取共轭时，实际上进行了平面上的对称操作。

例如，将复数1+2i取共轭，相当于将1+2i的点关于实数轴进行对称。

综上所述，复数运算的几何意义主要体现在平移、旋转、缩放和对称等操作上。

复数的加法和减法可以实现平移操作，乘法可以实现旋转和缩放操作，而复数的共轭可以实现对称操作。

通过这些操作，我们可以用复数来描述平面上的点的位置和变化。

复数的几何意义不仅仅是一种抽象的数学概念，而且在物理、工程等实际应用中也具有重要的意义。

复数一、数系的扩充和复数的概念：1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位。

其中a 叫作复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(其中12-=i )。

2.复数分类：复数⎩⎨⎧=≠=∈+)0)(0()0(),(时为纯虚数当虚数实数a b b R b a bi a 。

3.数集之间的关系：4.复数相等的充要条件：d b c a di c bi a ==⇔+=+且。

特别的：0,00,,==⇔=+∈b a bi a R b a 。

二、复数的几何意义：1.复平面：如图，点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ，复数bi a z +=可用点Z （a ，b ）表示。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2.复数与向量的对应：如图所示：复数−−−→←∈+=一一对应),(R b a bi a z 平面向量OZ , 这时复数的另一种几何意义。

3.复数的模：向量OZ 的模叫做复数),(R b a bi a ∈+的模或绝对值，记作z 或bi a +。

即22b a bi a z +=+=。

4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z 的共轭复数用z 表示。

注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x 轴对称。

三、复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=是任意两个复数。

复数的加法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21+++=+++=+； 复数的减法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21-+-=+-+=-； 复数的乘法运算：i bc ad bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅； 复数的除法运算：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++；加法运算律：交换律：1221z z z z +=+；结合律：)()(321321z z z z z z ++=++；乘法运算律：交换律：1221z z z z ⋅=⋅；结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；乘法对加法的分配率:3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+.四、复数的三角形式（选学）1.复数的代数形式转化为三角形式：代数形式),(R b a bi a z ∈+=可化为三角形式)sin (cos θθi r z +=。

养成文明习惯倡议书养成文明习惯倡议书（通用15篇）随着社会一步步向前发展，越来越多人会去使用倡议书，倡议书是由某一组织或社团拟定、就某事向社会提出建议或提议社会成员共同去做某事的书面文章。

为了让您在写倡议书中更加简单方便，以下是小编为大家收集的养成文明习惯倡议书（通用15篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

养成文明习惯倡议书1全体机关干部、职工：为进一步加强思想道德建设，提高机关干部文明水平，积极创建文明城市，根据“20ｘｘ年济南市精神文明建设工作要点”要求，市台办机关党支部向全办党员和干部群众发出倡议，积极参与“讲文明、树新风“活动。

具体要求如下：一、充分认识开展“讲文明、树新风”活动的重要意义全体党员、干部是我市精神文明建设的参与者，在全办深入开展“讲文明、树新风，争创文明标兵”活动，动员全体机关干部积极行动起来，弘扬齐鲁文化，学习文明礼仪，树立文明新风，争做文明礼仪的宣传者、实践者、示范者，带动全社会文明程度提升，具有十分重要的意义。

二、广泛开展形式多样的实践活动，做一个有素质、讲道德的人全体党员、干部要以讲文明、讲道德为重点，坚持学习和实践相结合，把“讲文明、树新风”的基本要求融入到干部群众的日常工作和生活之中，使之成为干部群众自愿参与、提升素质的过程，共同塑造崇尚文明、讲究礼仪、遵守秩序、爱护环境的社会风尚。

三、从身边人做起，努力营造积极向上的文明生活氛围。

全体党员干部不仅率先深入开展“不文明行为大家谈”、“小小文明言行纠察员”、“保护环境我先行”、“把文明礼仪带回家”等活动，而且主动引导、规劝身边的家人、朋友、邻居不说脏话、不乱扔垃圾、不乱写乱画、文明上网，自觉废弃日常生活中的不文明行为，遵守社会公德，从而在一个小范围内形成“讲文明、树新风”的积极氛围。

xxx20xx年9月18日养成文明习惯倡议书2市民朋友们：为巩固和提升国家级卫生区、省级文明城区成果，增强“当好文明东道主，迎接第二十一届农高会”的光荣感和责任感，在全区上下营造展示文明形象、宣传农高会、奉献农高会的浓厚氛围，区文明委向全体市民发出号召：讲文明，树新风，争做文明市民!一、文明礼仪我践行。

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。