第二十二章 四边形复习

四边形复习一、教学目标：通过对本章知识的回顾，进一步认识四边形、特殊四边形的基本性质和判定方法，加深对三角形中位线的理解。

通过分类揭示各种特殊四边形之间的联系，形成完整的认知体系。

二、教学重点：通过分类揭示各种特殊四边形之间的联系，形成完整的认知体系。

三、教学过程：1.引入在本章我们学习了特殊的四边形——平行四边形、矩形、菱形、正方形。

他们之间具有一般与特殊的关系。

下面我们一起来梳理一下它们之间的关系以及特殊化的演进过程。

2.学生回顾四边形与特殊四边形的关系：正方形有一个角是直角对角线相等对角线垂直一组邻边相等菱形矩形对角线相等对角线垂直有一个角是直角一组邻边相等平行四边形三四个条两组对边对角线角边分别平行互相平分是相直等四边形在整个特殊化演进过程中，从平行四边形出发，按照边、角、对角线的特殊化进行分类，演化出了菱形、矩形。

菱形、矩形的边、角、对角线特殊化演化出了正方形。

3.知识梳理：通过对四边形与特殊四边形之间关系的梳理，进一步用表格的形式让学生来总结特殊四边形的性质与判定：（ 1）特殊四边形的性质：四边形对称性边角对角线项目中心对称图形平行且相等对角相等互相平分平行四边形邻角互补矩形中心对称图形平行且相等四个角都互相平分且相等轴对称图形是直角中心对称图形平行互相垂直平分，且每一条对菱形对角相等角线平分一组对角轴对称图形且四边相等邻角互补正方形中心对称图形平行四个角都互相垂直平分且相等，每一轴对称图形且四边相等是直角条对角线平分一组对角（ 2）特殊四边形的判定：四边形平行四边形矩形菱形正方形1. 定义：两组对边分别平行 2. 两组对边分别相等3. 一组对边平行且相等 4. 对角线互相平分5.两组对角分别相等1.定义：有一个角是直角的平行四边形2.三个角是直角的四边形3.对角线相等的平行四边形1.定义：一组邻边相等的平行四边形2.四条边都相等的四边形3.对角线互相垂直的平行四边形1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2. 有一组邻边相等的矩形3. 对角线互相垂直的矩形4. 有一个角是直角的菱形5. 对角线相等的菱形6.对角线相等且互相垂直的平行四边形（ 3）三角形中位线与中点四边形：①三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

第二十二章 四边形【学习目标】1．理解平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。

2．梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。

3．在回顾与思考的过程中体会特殊与一般的关系，进一步体会类比、转化等一些重要的数学思想。

【重点难点】灵活应用所学知识解决有关问题。

【教学过程】 一．知识再现1．下列命题中，正确的是（ ）2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A.对边相等B.对角相等C.对角互补D.对角线平分 3．三角形三条中位线的长分别为5米，12米，13米，则原三角形的面积是_____米 4．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 边上的一点， F 为BC 延长线上一点，CE =CF .(1)求证：△BEC ≌△DFC ；(2)若∠BEC =60°，求∠EFD .二．梳理沟通（学生先自主学习，再合作交流；教师穿插于学生之中，及时引导，答疑解惑，参与讨论并了解学生动向．）1．建成下列框架结构，理解各特殊四边形的联系与区别。

2．结合下表中的图形，用文字语言或符号语言写出它们的性质．3．学会判定方法（让学生用符号语言再以文字语言对照比较）（通过活动，让学生明白结构，熟悉图形语言、文字语言、符号语言的互相翻译与应用。

）由教师演示课件，师生共述，加深理解本章的知识脉络。

）三．知识运用，拓展与创新（教师引导学生深度加工，习得悟得）例题1:已知，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,点F,E分别在BC和AD边上，AE=CF,EF和对角线AD交于点O，求证：点O是BD的中点。

例题2、已知如图：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形.变式一：顺次链接矩形各边的中点得到的四边形是菱形。

变式二：顺次链接菱形各边的中点得到的四边形是矩形。

变式三：顺次链接正方形各边的中点得到的四边形是正方形。

变式四：顺次链接等腰梯形各边的中点得到的四边形是菱形。

【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 几种特殊四边形的概念和主要特征．2. 多边形的内角和与外角和．3. 总结常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．二. 知识要点： 1. 主要概念（1）平行四边形——有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形． （2）矩形——有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． （3）菱形——有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（4）正方形——有一个角是直角的菱形叫做正方形（有一组邻边相等的矩形叫做正方形）． （5）梯形——只有一组对边平行的四边形叫做梯形． （6）等腰梯形——两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （7）直角梯形——有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（8）三角形中位线——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2. 几种特殊四边形的关系四边形平行四边形梯形矩形菱形正方形直角梯形等腰梯形3.4. 几种特殊四边形的区别 （1）平行四边形从边看——⎩⎪⎨⎪⎧两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等从角看——两组对角分别相等 从对角线看——对角线互相平分 （2）矩形从角看——⎩⎨⎧有三个角是直角的四边形有一个角是直角的平行四边形从对角线看——⎩⎨⎧对角线相等且互相平分的四边形对角线相等的平行四边形（3）菱形从边看——⎩⎨⎧四条边都相等的四边形有一组邻边相等的平行四边形从对角线看——⎩⎨⎧对角线互相垂直平分的四边形对角线互相垂直的平行四边形（4）正方形从边看——有一组邻边相等的矩形 从角看——有一个角是直角的菱形5. 解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决． （3）有时也可以运用平移、旋转、轴对称来构造图形，解决四边形问题．三. 重点难点：本章重点是平行四边形的有关特征和识别，几种特殊平行四边形的特征以及它们之间的联系与区别，等腰梯形的特征；难点是几种特殊平行四边形的联系与区别，关键是理解并掌握平行四边形的有关知识．四. 考点分析：四边形的内容是平行线与三角形两部分知识的应用和深化．是中考考查的重点内容，所占分值较高．考查内容主要是与四边形有关的角、周长、面积、线段、折叠、证明等问题，近年来又出现了许多与四边形有关的开放探索题、操作题，以及四边形与相似、函数知识结合的综合题．【典型例题】例1. （1）如图，在△ABC ，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，若平移△ADF ，则图中能与它重合的三角形是__________（写出一个即可）．第（1）题第（2）题B（2）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②所示），其中完整的圆共有5个；如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③所示），其中完整的圆共有13个；如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④所示），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有__________个．分析：（1）与△ADF重合的三角形必与它全等．因为点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，不难判断△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD．（2）观察图中的数量关系发现：2×2的图案中圆的个数为22＋12＝5；3×3的图案中圆的个数为32＋22＝13；4×4的图案中圆的个数为：42＋32＝25；…总结规律为：n×n的图案中圆的个数为：n2＋（n－1）2．故在10×10的图案中圆的个数为102＋92＝181（个）．解：（1）△DBE（或△FEC或EFD）（2）181例2.在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9．此梯形的上、下底之和是__________．ABCDEABCD分析：四边形问题在不能得到直接解决时可以转换为三角形问题解决．作DE∥AC交BC的延长线于点E，则DE＝AC＝12，因为AC⊥BD，所以∠BDE＝90°．在R t△BDE中，BD＝9，DE ＝12，所以BE＝15．又AD＝CE．所以BC＋AD＝BC＋CE＝BE＝15．解：15评析：若题中没有可以利用的三角形、平行四边形，可以通过作辅助线构造三角形来解决．例3.已知，如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，试说明BP＋DQ＝PQ．ABCDPQABCDPQE分析：由于BP和DQ不在一条直线上，需把它们转化到一条直线上，将△AQD绕点A顺时针旋转90°，即可实现这一转化．解：由于正方形四条边都相等，四个角都是直角，所以将△ADQ 以A 点为中心顺时针旋转90°，得△ABE ，所以BE ＝DQ ，AE ＝AQ ，∠DAQ ＝∠BAE ．又因为∠PAQ ＝45°，所以∠DAQ ＋∠PAB ＝45°，即∠EAB ＋∠PAB ＝∠EAP ＝45°，则△AEP ≌△AQP ，所以PE ＝PQ ，即BP ＋DQ ＝PQ ．评析：旋转变换前后的图形是全等的，利用旋转可把分散的线段或角相对集中到一起，有利于问题的解决．例4. 如图所示，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）说明四边形ABCD 是菱形；（2）若∠AED ＝2∠EAD ，请说明此时四边形ABCD 是正方形．AB CDOE分析：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，只要说明AD ＝CD 就可以证明平行四边形ABCD 是菱形．（2）有一个角是直角的菱形是正方形，所以本题只要说明∠ADC 是90°即可．解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AO ＝CO ．又因为△ACE 是等边三角形， 所以EO ⊥AC ，即DB ⊥AC ． 所以四边形ABCD 是菱形．（2）因为△ACE 是等边三角形，所以∠AEC ＝60°．因为EO ⊥AC ，所以∠AEO ＝12∠AEC ＝30°．因为∠AED ＝2∠EAD ，所以∠EAD ＝15°． 所以∠ADO ＝∠EAD ＋∠AED ＝45°． 因为四边形ABCD 是菱形． 所以∠ADC ＝2∠ADO ＝90°． 所以四边形ABCD 是正方形．评析：特殊四边形的识别方法很多，要根据题意选择合适的识别方法．例5. 如图所示，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，EF ∥AC 交BC 于F ，猜想BE 与CF 的数量关系，并加以说明．ABCDE F123分析：由DE ∥BC ，EF ∥AC ，得平行四边形DEFC ，于是FC ＝DE ．由∠1＝∠2，∠2＝∠3得∠1＝∠3，于是BE ＝DE ．则BE ＝CF ．解：BE ＝CF ，理由如下： 因为DE ∥BC ，所以∠2＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠3，所以DE ＝BE ．因为DE ∥BC ，EF ∥CD ，所以四边形DEFC 为平行四边形． 所以DE ＝CF ，所以BE ＝CF ．评析：这类题目的特点是结论开放，需要根据题意去探索．例6. 在学习梯形时，王老师向全班同学提出了如下问题：如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，现要求添加一个条件，使梯形ABCD 是等腰梯形（AD ＝BC 除外）． 以下是四名同学添加的条件： 甲生：∠A ＝∠B ， 乙生：∠B ＋∠D ＝180°， 丙生：∠A ＝∠D ，丁生：梯形ABCD 是轴对称图形．你认为哪些同学添加的条件符合要求？答：__________，理由是__________，你能添加其他的一个条件，使梯形ABCD 是等腰梯形吗？A BCD分析：本题的实质是考查等腰梯形的识别，解决问题的关键是熟练掌握等腰梯形的识别方法，从角、对角线、对称性三个角度添加直接条件或间接条件．解：甲生从同一底上的两个角进行判定； 乙生从对角间的关系进行限定，由于AB ∥CD ， 故∠B ＋∠C ＝180°，从而可知∠C ＝∠D ； 丁生从对称性进行限定．这些条件都能使梯形ABCD 成为等腰梯形．对于丙生的限定，由于∠A ＋∠D ＝180°，故∠A ＝∠D ＝90°，从而梯形ABCD 是直角梯形，而不是等腰梯形．故甲、乙、丁三名学生符合要求． 还可以从对角线进行限定如AC ＝BD ．【方法总结】1. 化归思想贯穿于本章学习内容的始终，对于四边形的性质和识别，往往通过变四边形为三角形，变一般四边形为平行四边形进行研究．2. 巧作辅助线，常见的辅助线有：（1）过四边形的一个顶点作垂线；（2）作四边形的一边的平行线；（3）作四边形对角线的平行线；（4）过三角形（或梯形）一边中点作平行于另一边（或底边）的平行线．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形2. 如图，EF过矩形的对角线交点O，且分别交AB、CD于E、F，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为（）A. 60B. 48C. 40D. 363. 不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A. AB∥CD且AB＝CDB. AB＝AD、BC＝CDC. AB＝CD，AD＝BCD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D4. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直且平分C. 四条边都相等D. 对角线平分一组对角5. 下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形*6. 如图所示，平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°DA B CE7. 如图，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，BN，NM上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，平行四边形ABCD的周长是（）A. 24B. 18C. 16D. 12ABC DMN**8. 如图所示：将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE ，则∠GFH 的度数α满足（ ）A. 90°＜α＜180°B. α＝90°C. 0°＜α＜90°D. α随着折痕位置的变化而变化AB CD EHGF二. 填空题1. 四边形的内角和等于__________°，外角和等于__________°．2. 正方形的面积为4，则它的边长为__________，一条对角线长为__________．3. 一个多边形，若它的内角和等于外角和的3倍，则它是__________边形．*4. 如果四边形ABCD 满足____________________条件，那么这个四边形的对角线AC 和BD 互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．5. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为__________． *6. 如图所示，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F ，BC ＝5，AB ＝4，AE ＝3，则AF 的长为__________．ABCDF7. 已知，如图所示，△ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，如果AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ，那么△DEF 的周长是__________cm ．ABCD EF*8. 如图：矩形纸片ABCD ，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是__________．A BCDE三. 解答题1. 已知：如图所示，平行四边形ABCD 中，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE ＝DF ．试说明AC 与EF 互相平分．ABCDE FO2. 如图所示，正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，OE ＝OF ，连结BE ，连结CF 并延长交BE 于点G ，试说明∠ACG ＝∠DBG ．ABCDO E FG3. 如图所示，小明画了一个梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠C ＝76°，∠D ＝52°，他通过测量发现BC ＝DC －AB ．但他说不出为什么，你能帮助他找出原因并说明理由吗？ABCD*4. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．若将矩形对角线BD 对折，使B 点与D 点重合，四边形EBFD 是菱形吗？如果是，求这个菱形的边长．ABCDOEF**5. 如图所示，已知平行四边形ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并说明理由（要求：推理过程要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．AB C DPQM N【试题答案】一. 选择题1. A2. B3. B4. A5. D6. A7. D8. B二. 填空题1. 360，3602. 2，2 23. 八4. 四边形ABCD是菱形或四条边都相等或四边形ABCD是正方形等5. 5（菱形面积等于对角线乘积的一半）6. 154（提示：利用面积相等来求，BC·AE＝CD·AF）7. 12 8. 4三. 解答题1. 连结AF、CE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，又因为BE＝DF，所以CF∥AE，CF＝AE，所以四边形AECF是平行四边形，所以AC与EF互相平分．2. 因为四边形ABCD是正方形，所以OB＝OC，∠AOB＝∠COB＝90°，又因为OE＝OF，所以△OBE≌△OCF，所以∠ACG＝∠DBG．3. 过点A作AE∥BC交DC于点E，得∠AED＝∠C＝76°，又因为AB∥DC，所以四边形ABCE是平行四边形，∠BAE＝∠C＝76°，AB＝EC，AE＝BC．因为∠D＝52°，所以∠DAB＝180°－52°＝128°，所以∠DAE＝∠DAB－∠BAE＝52°＝∠ADE，所以AE＝DE＝DC－EC＝DC－AB，所以BC＝DC－AB．4. 是菱形．理由：因为B点与D点关于EF成轴对称．所以EF垂直平分BD．因为四边形ABCD是矩形，所以易得△BOF≌△DOE．所以OE＝OF．所以EF与BD互相垂直平分．所以四边形EBFD是菱形．因为四边形EBFD是菱形，所以FD＝BF，所以DF2＝CF2＋CD2，DF2＝（8－DF）2＋62，解得DF＝254．菱形的边长为254cm．5. 结论：四边形PQMN是矩形理由：因为四边形ABCD是平行四边形所以AD∥BC，AB∥CD所以∠ABC＋∠BAD＝180°，∠BCD＋∠ABC＝180°．又因为AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，所以∠BAP＝12∠BAD，∠ABP＝12∠ABC，所以∠BAP＋∠ABP＝90°，所以∠APB＝90°．同理可得：∠Q＝∠N＝90°．所以四边形PQMN是矩形．。

沪教版数学八年级下册第二十二章《四边形》复习教学设计一. 教材分析沪教版数学八年级下册第二十二章《四边形》复习教学设计，主要涵盖了四边形的性质、分类、判定以及四边形的相关定理和公式。

本章内容是初中数学的重要内容，对于学生来说，掌握四边形的性质和判定方法，对于后续学习多边形和其他数学知识具有重要的意义。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了三角形的相关知识，对图形的性质和判定方法有一定的了解。

但部分学生在理解和运用四边形的性质和判定方法上还存在一定的困难，需要通过复习教学，进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.理解四边形的性质和分类，掌握四边形的判定方法。

2.能够运用四边形的性质和判定方法解决实际问题。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 教学重难点1.四边形的性质和分类。

2.四边形的判定方法。

3.四边形相关定理和公式的运用。

五. 教学方法采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，提高对四边形知识的理解和运用能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关练习题。

3.教学黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形的相关知识，引导学生回顾图形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示四边形的性质、分类和判定方法，引导学生认真观察和思考，理解四边形的特点。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据四边形的性质和判定方法，判断给出的图形是否为四边形。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成相关练习题，巩固对四边形知识的理解。

教师及时批改，反馈学生的答题情况。

5.拓展（10分钟）引导学生运用四边形的性质和判定方法解决实际问题，提高学生的知识运用能力。

6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调四边形的性质、分类和判定方法。

7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

第二十二章四边形【教学目标】1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯.【教学重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别.2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法.【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用.【教学模式】以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件.【教学过程】一、以题代纲，梳理知识（一）开门见山，直奔主题同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕.（二）诊断练习1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）(2)∠A＝∠B＝∠C＝90°（矩形）(3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形（菱形）(4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （正方形）(5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为5厘米.3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形.4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是50平方厘米.5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有：矩形、菱形、正方形，中心对称图形的有：平行四边形、矩形、菱形、正方形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是：矩形、菱形、正方形 .（二）归纳整理，形成体系1、性质判定，列表归纳2、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（C）A．对角线相等（距、正） B. 对角线平分一组对角（菱、正） C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直（菱、正）（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（A）A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直C. 对角线互相垂直且互相平分D. 对角线互相垂直平分且相等（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（D）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形 都是中心对称图形，A 、B 、C 都是平行四边形 （4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ）A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对边平行且相等D. 内角和为360问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形. （5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ）A. 内角为3600B. 四个角都是直角C. 两组对边分别相等D. 对角线平分对角问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等2、集合表示，突出关系二、查漏补缺，讲练结合 （一）一题多变，培养应变能力 〖例题1〗已知：如图1，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ， EF 过点O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ． 求证：OE=OF ． 证明: ∵变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？BC对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式2．在图1中，如果过点O 再作GH ，分别交AD 、BC 于G 、H ，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式3．在图1中，若EF 与AB 、CD 的延长线分别交于点E 、F ，这时仍有OE=OF 吗？你还能构造出几个新的平行四边形？对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式4．在图1中，若改为过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，连结HO 并延长交AD 于G ，连结GC ，则四边形AHCG 是什么四边形？为什么？可由变式1可知四边形AHCG 是平行四边形， 再由一个直角可得四边形AHCG 是矩形.变式5．在图1中，若GH ⊥BD ，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？为什么？可由变式1可知四边形BGDH 是平行四边形， 再由对角线互相垂直可得四边形BGDH 是菱形.BB变式6．在变式5中，若将“□ABCD ”改为“矩形ABCD ”，GH 分别交AD 、BC 于G 、H ，则四边形BGDH 是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH 的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD 对折，使B 、D 重合，求折痕GH 的长.） 略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10. 设OG = x ，则BG = GD=252+x ． 在Rt △ABG 中，则勾股定理得： AB 2 + AG 2 = BG 2 ，即()()22222252586+=+-+x x ，解得 415=x ．∴GH = 2 x = 7.5．（二）一题多解，培养发散思维 〖例题2〗已知：如图，在正方形ABCD ，E 是BC 边上一点， F 是CD 的中点，且AE = DC + CE ．求证：AF 平分∠DAE ．证法一：（延长法）延长EF ，交AD 的延长线于G （如图2-1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD ，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF在△EFC 和△GFD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF CF GDF C 21 ∴△EFC ≌△GFD （ASA ）∴CE=DG ，EF=GF ∵AE = DC + CE ， ∴AE = AD + DG = AG ， ∴AF 平分∠DAE ．FE BCA G证法二：（延长法）延长BC ，交AF 的延长线于G （如图2-2） ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD // BC ，DA=DC ，∠FCG=∠D=90°（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G ，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D在△FCG 和△FDA 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF CF D FCG 21 ∴△△FCG 和△FDA （ASA ）∴CG=DA ∵AE = DC + CE ，∴AE = CG + CE = GE ， ∴∠4 =∠G ，∴∠3 =∠4， ∴AF 平分∠DAE ．思考：如果用“截取法”，即在AE 上取点G ，使AG=AD ，再连结GF 、EF （如图2-3），这样能证明吗？三、综合训练，总结规律 （一）综合练习，提高解题能力1． 在例2中，若将条件“AE = DC + CE ”和结论 “AF 平分∠DAE ”对换，所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？2．已知：如图，在□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，G、H分别是BC、AD的中点．求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法）（二）课堂小结，领悟思想方法1．一题多变，举一反三.经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获.也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力.2．一题多解，触类旁通.在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的. 3．善于总结，领悟方法.数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力.四、课后反思。