12.1实数的概念

实数的定义和性质是什么
实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

什么是实数
实数释义：有理数和无理数的统称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

虚数不是实数。

|a|表示的是a的肯定值。

虚数的定义：在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = -1。

实数性质
封闭性
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍旧是实数。

有序性
实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满意并且只满意下列三个关系之一：a＜b，a=b，a＞b。

传递性
实数大小具有传递性，即若a＞b，且b＞c，则有a＞c。

阿基米德性质
实数具有阿基米德性质，即（倒A）a，b∈R ，若a＞0，则∈正整数n，na＞b。

稠密性
R实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

完备性
作为度量空间或全都空间，实数集合是个完备空间。

关于实数知识点总结一、实数的定义实数是指包括所有正数、负数、零，以及所有有理数和无理数的数集。

在数轴上，实数用来表示长度、面积、体积、温度等物理量。

1. 有理数：在有理数集中，包括整数和分数的集合。

例如，2，-5，3/4等都是有理数。

2. 无理数：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

例如，根号2，π，e等都是无理数。

二、实数的表示实数可以用数轴来表示，数轴是一个平直的线段，上面标有零点和正负无穷大。

在数轴上，实数可以用点来表示，点的位置与实数的大小对应。

1. 正数：在数轴上，正数表示为右边的点，如1、2、3等。

2. 负数：在数轴上，负数表示为左边的点，如-1、-2、-3等。

3. 零：零表示为数轴上的原点。

实数还可以用分数、小数等形式表示，例如1/3、0.5、-2.7等都是实数的一种表示方式。

三、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数a、b、c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

加法的逆元是减法，任意实数a，存在一个实数-b，使得a+(-b)=0。

2. 实数的减法：实数的减法可以看作加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。

3. 实数的乘法：实数的乘法也满足交换律和结合律，即对任意实数a、b、c，有a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)。

乘法的逆元是除法，任意非零实数a，存在一个实数1/a，使得a*(1/a)=1。

4. 实数的除法：实数的除法可以看作乘法的逆运算，即a/b=a*(1/b)。

四、实数的性质1. 实数的稠密性：在实数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在其他实数，即任意实数a、b，若a<b，则存在实数c，使得a<c<b。

2. 实数的有序性：实数可以按大小进行比较，任意两个实数a、b，满足且仅满足下列三种关系之一：a=b，a<b，a>b。

3. 实数的完备性：实数满足柯西收敛准则，任意柯西数列都收敛于某一实数。

实数的概念
实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时，|a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。

(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。

)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。

特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数。

实数的相关概念实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

性质封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab,a=b,ab。

传递性实数大小具有传递性，即若ab,bc,则有ac。

阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若ba0,则存在正整数n，使得nab。

稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

实数的相关概念 2实数的相关概念 2：实数是有理数和无理数的总称。

实数包括有理数和无理数，实数集通常用字母R表示。

实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，任一实数都对应着数轴上的唯一一个点。

实数是什么1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

整数和小数的集合也是实数，实数是有理数和无理数的集合。

而整数和分数统称有理数，所以整数和小数的集合也是实数。

小数分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即实数。

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。

什么是实数？实数是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

实数集通常用黑正体字母R表示。

《实数的概念》教案【教学目标】1、通过动手操作，回顾历史，经历发现无理数的过程，能通过二分法的原理对已知无理数进行估值，了解无理数的客观存在，以及在数轴上和有理数是稠密排列共存的。

2、通过对比分析，理解无理数是无限不循环小数，能够辨析一个数是不是无理数。

3、了解熟悉从整数到有理数，再到实数的一个扩充的过程，理解实数系统的构成结构，感受数学中严谨的分类思想。

【教学重点】对无理数简单的估值方法，理解无理数在数轴上是存在的。

【教学难点】理解无理数是无限不循环小数，以及实数与数轴上的点一一对应的关系【教学过程设计】一、复习引入我们对数的研究经历了一个漫长的过程，小时候自然数帮我们解决了数数的问题，直到学习了数轴我们知道了与正整数相对的还有负整数，它们与0统称为整数，至此我们学习的数的范围扩展了。

随着学习的深入我们发现在实际运算中：例如6÷3=2能整除，5÷3不能整除，因此我们有对数的学习进行了扩展，加入了分数的概念，我们知道分数可写成pq 形式，其中对p 、q 有没有什么要求呢？（p 、q 为整数，p 、q 互素，且P 不为0）。

平时为了感受分数的大小，又能够将分数p q 化为有限小数或者无限循环小数。

特别的当P=1时，p q 可以表示一个整数。

由此，我们将分数和整数统称为有理数，它们均可用pq 来表示。

问题1：数扩充至此，是不是我们生活中的所有数都是有理数，都能够表示成p q （p 、q 为整数，且P 不为0）的形式？即：有没有不是有理数的数？【分析】不是所有的数都能用这个形式表示，例如我们学的圆周率 即是一个无限不循环小数。

二、新课讲授 【活动一】正方形剪拼，引出2。

我们将桌面上的两个边长为1的正方形，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个形状大小相同的直角三角形，他们的面积都是21，再把这四个直角三角形拼成一个正方形。

问题1：新的这个正方形的面积是多少？（21121=+=+=S S S 正）问题2：这个正方形的边长是我们学过的有理数么？（不是，若设边长为x ，则可以得到22=x 。

第十二章实数专题12.1 实数的概念基础巩固一、单选题（共6小题）1.下列各数中是无理数的是（）A．﹣3B．πC．9D．﹣0.11【答案】B【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进而得出答案．【解答】解：A、﹣3，是有理数，不合题意；B、π，是无理数，符合题意；C、9，是有理数，不合题意；D、﹣0.11，是有理数，不合题意；故选：B．【知识点】无理数2.在实数﹣，﹣3.14，0，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：﹣3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；，是整数，属于有理数；无理数有，π共2个．故选：B．【知识点】算术平方根、立方根、无理数3.在实数，0，，3.1415926，，4.，3π中，有理数的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【分析】根据有理数的定义判断即可得到结果．【解答】解：在实数，0，＝﹣1，3.1415926，＝4，4.，3π中，有理数有，0，，3.1415926，，4.，有理数的个数为6个．故选：D．【知识点】实数4.下列实数中，无理数是（）A．0B．C．D．0.1010010001【答案】C【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案．【解答】解：A、0是有理数，故本选项不符合题意；B、是有理数，故本选项不符合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、0.1010010001是有理数，故本选项不符合题意．故选：C．【知识点】算术平方根、无理数5.关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为10的正方形边长是C．是无限不循环小数D．在数轴上可以找到表示的点【答案】A【分析】根据无理数的定义、无理数的估算、算术平方根、实数与数轴的知识进行判断．【解答】解：A、是无理数，原说法错误；B、面积为10的正方形边长是，原说法正确；C、是无理数，是无限不循环小数，原说法正确；D、在数轴上可以找到对应的点，原说法正确；故选：A．【知识点】实数、实数与数轴6.下列说法正确的是（）A．实数与数轴上的点一一对应B．无理数与数轴上的点一一对应C．整数与数轴上的点一一对应D．有理数与数轴上的点一一对应【答案】A【分析】将无理数在数轴上表示出来，进而说明数轴上的点与实数一一对应．【解答】解：数轴不仅表示有理数，也可以表示无理数，例如：如图，矩形OABC，OA＝1，OC＝2，则OB＝，以O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点D，则点D所表示的数为：，同理，可以在数轴上表示其它的无理数，因此数轴上的点与实数一一对应，故选：A．【知识点】实数与数轴、无理数二、填空题（共6小题）7.﹣+2的绝对值是．【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．【解答】解：﹣+2的绝对值是：|﹣+2|＝﹣2．故答案为：﹣2．【知识点】实数的性质8.﹣绝对值是，2﹣的相反数是．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答；根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣绝对值是，2﹣的相反数是﹣2，故答案为：，﹣2．【知识点】实数的性质、算术平方根9.下列各数中0.102 030 405…，，π，，，0.56，，其中无理数有个．【答案】3【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．【解答】解：，∴在0.102 030 405…，，π，，，0.56，中，无理数有0.102 030 405…，π，共3个．故答案为：3【知识点】立方根、无理数、算术平方根10.若a是一个含有根号的无理数，且3＜a＜4．写出任意一个符合条件的值．【分析】根据无理数的定义以及二次根式的性质解答即可．【解答】解：由a是一个含有根号的无理数，且3＜a＜4，可得符合条件的值可以是、等．故答案为：（答案不唯一）．【知识点】无理数11.在，，，3.10100100001个数中，无理数是．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，故在，，，3.10100100001个数中，，，3.10100100001是有理数，是无理数．故答案为：【知识点】算术平方根、立方根、无理数12.在|﹣3|，﹣2，0，π这4个数中，其中属于无理数的是．【答案】π【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【解答】解：|﹣3|＝3，在|﹣3|＝3，﹣2，0，π这4个数中，属于无理数的是π．故答案为：π．【知识点】无理数拓展提升三、解答题（共6小题）13.把下列各数填在相应的横线上1.4，2020，，，，0，，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）（1）整数：；（2）分数：；（3）无理数：．【分析】根据整数、分数、无理数的定义判断即可．【解答】解：（1）整数：2020，0，；（2）分数：1.4，，；（3）无理数：，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．故答案为：2020，0，；1.4，，；，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．【知识点】实数14.把下列数按照要求填入相应的集合内：+8.5，﹣3，0.35，0，3.14，12，0.3，π，10%，﹣2.626626662…无理数集合：{…}；负数集合：{…}．【分析】根据实数的定义及其分类求解可得．【解答】解：无理数集合：{π，﹣2.626626662……}；负数集合：{﹣3，﹣2.626626662……}．故答案为：π，﹣2.626626662…；﹣3，﹣2.626626662…．【知识点】实数15.把下列各数填入相应的集合中：3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；正数集合：{}；负数集合：{﹣﹣﹣}；实数集合：{﹣﹣﹣}；分数集合：{﹣﹣}．【分析】根据实数的分类进行归类即可．【解答】解：正数有：3，5.，15，；负数有：﹣7，﹣，﹣8；实数有：3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；分数有：﹣，5.，﹣8，；故答案为3，5.，15，；﹣7，﹣，﹣8；3，﹣7，﹣，5.，0，﹣8，15，；﹣，5.，﹣8，．【知识点】实数16.把下列各数填在相应的大括号内：，﹣0.31，﹣（﹣2），﹣，1.732，，0，，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）正分数：{…}无理数：{…}【分析】根据无限不循环小数是无理数，大于零的分数是正分数，可得答案．【解答】解：正分数：{，1.732…}无理数：{，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：，1.732；，1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…．【知识点】实数17.把下列各数填入相应的集合内7.5，，6，，，，﹣π，﹣0.（1）有理数集合{﹣}（2）无理数集合{﹣}（3）正实数集合{}（4）负实数集合{﹣﹣}【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解．【解答】解：（1）有理数集合{7.5，6，，，﹣0.}（2）无理数集合{，，﹣π}（3）正实数集合{7.5，，6，，，}（4）负实数集合{﹣π，﹣0.}故答案为：7.5，6，，，﹣0.；，，﹣π；7.5，，6，，，；﹣π，﹣0.．【知识点】实数18.把下列各数的序号分别填入相应的集合里：①﹣1，②，③0.3，④0，⑤﹣1.7，⑥﹣2，⑦1.0101001…，⑧+6，⑨π负数集合{…}分数集合{…}无理数集合{…}整数集合{…}．【答案】【第1空】①⑤⑥【第2空】①②③⑤【第3空】⑦⑨【第4空】④⑥⑧【分析】直接利用负数、分数、无理数、整数的定义分别分析得出答案．【解答】解：负数集合{①⑤⑥…}；分数集合{①②③⑤…}无理数集合{⑦⑨…}；整数集合{④⑥⑧…}．故答案为：①⑤⑥；①②③⑤；⑦⑨；④⑥⑧．【知识点】实数。

沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析沪教版数学七年级下册12.1《实数的概念》是学生在学习了有理数的基础上，进一步扩大数的概念，认识实数的教材。

这部分内容是整个初中数学的基础，对于学生来说，具有承前启后的作用。

本节内容主要介绍实数的概念，包括实数的定义、性质以及实数与数轴的关系等。

教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生逐步理解实数的概念，体会实数在数学中的重要性。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的相关知识，具备了一定的数学基础。

但实数的概念相对抽象，需要学生具有一定的抽象思维能力。

此外，实数与生活实际联系紧密，学生需要能够将抽象的数学概念与实际问题相结合。

根据学生的实际情况，我在教学过程中要注重启发学生思维，培养学生的抽象思维能力，同时注重联系生活实际，提高学生的学习兴趣。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的性质，能够运用实数解决一些简单的问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等活动，培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学语言表达和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、性质以及实数与数轴的关系。

2.教学难点：实数的性质的理解和运用，实数与数轴的关系的把握。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数轴等教学工具，直观展示实数的概念和性质，提高学生的学习兴趣和理解能力。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的相关知识，引导学生回顾数的概念，为新课的学习做好铺垫。

2.探究实数的定义：引导学生观察实例，思考实数的定义，并通过讨论、交流得出实数的定义。

3.学习实数的性质：学生进行小组合作学习，探讨实数的性质，引导学生发现并证明实数的性质。