数学建模报告-飞行问题

湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。

实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。

根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。

如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。

出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。

（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。

B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。

最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。

以降落点为原点O建立直角坐标系。

一、问题背景与重述1.1问题背景虹桥国际机场采用的是东西两条跑道分工进行飞机起降的任务，所以大多数飞机的起降都要实现跑道穿越的过程，同时在飞机起降的高峰时期，此时人工指挥进行飞机调度就存在着一定的困难和安全隐患。

1.2问题重述1．设计一个跑道的智能调度模型，内容包括：飞机降落时间及落地后的运动规划，飞机起飞前的运动规划和起飞时间，所有航班的起降（次序、时间、地面滑行路径）。

在保证跑道上飞机安全的基础上，考虑准点率和起降效率的提高；2．对附件2的航班起降时间重新编排，在安全的基础上，计算出所有航班起降完需要的最短时间和调度安排（次序、时间、地面滑行路径）。

二、问题分析进近道对于参数较多，图形结构复杂的虹桥机场使用树状图，将其简化为三条主跑道与多条进近道，在此基础上，由南向北的行进过程中分析可能存在的道路，并考虑单一支路上的冲突情况与交叉冲突情形，并将多条可能的选择路线转化为时间效率，接着分析转弯节点处的约束条件与单一跑道的约束条件，将两者结合。

每次选定不同的覆盖航班数，在覆盖范围内唯一确定已经按计划起飞的航班，在此基础上，再对剩余的航班进行规划即可得到目标函数的最佳效益，通过改变每次覆盖的航班数量与可移动覆盖的航班数量，由此得到不同的目标效益最值。

三、模型假设所有斜进近跑道长度相等；飞机的机头调转不能超过90°；飞机在南北方向跑道上是匀速滑行的。

四、符号说明符号说明J第i架飞机的效益值iR最小尾流间隔i表示转弯角iv表示初始速度't起飞客机滑行时间''t降落客机的滑行时间五、模型建立与求解5.1 动态调度模型的建立与求解5.1.1 对虹桥机场跑道的简化（1）飞机起飞上海虹桥机场的跑道图显示，起飞飞机滑行的终点是指定的起飞跑道，此时飞机需要等待跑道被清空后才能完成飞行过程。

根据以上对飞机起飞过程的描述，可得到起飞图5-2 起飞飞机状态图为了简化问题，本文规定由T2机场起飞的飞机只能由H6与H7进近跑道进入滑行跑道，而由T1机场起飞的飞机只能由H7进近跑道进入滑行跑道，并且此时的飞机始终保持匀速滑行。

2019年第十六届中国研究生数学建模竞赛F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。

由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。

因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。

本题目研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。

假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。

其航迹约束如下：(1)飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。

飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加个专用单位,，以下简称单位。

到达终点时垂直误差和水平误差均应小于个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。

(2)飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。

飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。

校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图, 黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。

可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。

若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。

图1：飞行器航迹规划区域示意图(3)在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。

(4)飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。

(5)飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。

(6)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行垂直误差校正。

(7)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行水平误差校正。

题目无人机自主飞行航迹规划问题摘要本文分别研究了基于二维平面和三维空间的最优航迹规划问题。

对于第一问，我们在忽略地形和无人机操作性能等因素影响的基础上，将影响无人机飞行的“敌方雷达威胁”和“飞行燃油代价”两个因素进行了量化处理，建立了雷达威胁模型和燃油代价模型，并在这两个模型的基础上建立了基于二维平面的最优航迹规划模型。

在求解该模型时，我们依据图论中的相关理论，将二维平面划分成了若干网格，然后使用Dijkstra算法来求最优航迹。

对于第二问，我们在第一问的模型的基础上，同时考虑了地形因素和无人机的操作性能（主要是拐弯），增加了“无人机飞行高度代价”和“无人机操作性能”两个指标，并对其进行了量化处理。

同时，我们对雷达威胁模型进行了适当的简化，建立了一个较复杂的、基于三维空间的最优航迹规划模型。

在求解该模型时，我们将三维空间划分为若干个小方块，在“无人机操作性能”作为补充约束条件的基础上，采用蚁群算法，得到了最优航迹。

在建立以上两个模型的基础上，我们对每个模型的可行性分别进行了分析。

由于规划的约束条件众多而且模糊性大、研究的各因素之间的相互联系及不同种类无人机的控制方式和任务情况各异，因而模型存在着一定的缺陷。

我们用MATLAB（寸建立的两个模型进行了仿真，分别得到了基于二维平面的最优航迹和基于三维空间最优航迹。

此外，我们分析了所建模型的优缺点，并对模型的完善进行了进一步的探索。

关键词：最优航迹Dijkstra 算法蚁群算法MATLAB仿真1.问题的重述------------------------------------------------------------- 2 2•问题的分析------------------------------------------------------------- 23. 模型假设-------------------------------------------------------------- 34. 符号说明-------------------------------------------------------------- 35. 模型的建立------------------------------------------------------------ 35.1问题一模型的分析、建立与求解---------------------------------------- 35.2问题二模型的分析、建立与求解---------------------------------------- 66. 模型的可行性分析与仿真----------------------------------------------- 96.1模型的可行性分析-------------------------------------------------- 96.2模型的仿真------------------------------------------------------- 107. 模型的评价、改进及推广------------------------------------------------- 128. 参考文献------------------------------------------------------------- 149. 附录----------------------------------------------------------------- 15一、问题的重述无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是执行各种侦察任务。

纸飞机的飞行原理数学建模我们可以将纸飞机看作一个质点，忽略其形状和空气阻力对其运动的影响。

假设纸飞机在平面上运动，我们可以使用二维坐标系表示其位置，其中 (x, y) 表示飞机在水平和垂直方向上的位移。

我们需要确定纸飞机的初始条件。

这包括初始位置 (x0, y0) 和初始速度 (v0x, v0y)，其中 v0x 和 v0y 分别表示飞机在水平和垂直方向上的速度。

然后，我们考虑纸飞机所受到的力。

在空气中，纸飞机主要受到重力和升力的作用。

重力可以用以下公式表示：Fg = m * gm 表示纸飞机的质量，g 表示重力加速度。

在这个模型中，我们可以忽略纸飞机的质量，即 m 取为常数。

升力可以使用简化的数学模型进行描述。

根据流体力学的基本原理，升力与速度的平方成正比，与气流的密度和机翼的面积有关。

我们可以使用以下公式表示升力：Fl = 0.5 * ρ * A * v^2Fl 表示升力，ρ 表示空气密度，A 表示机翼的有效面积，v 表示纸飞机的速度。

接下来，我们考虑纸飞机的运动方程。

根据牛顿第二定律，加速度与力的关系为：F = m * a在这个模型中，我们同时考虑了纸飞机受到的重力和升力，因此可以得到以下运动方程：ma = Fg - Fl由于我们忽略了纸飞机的质量 m，因此可以简化为：a = g - (0.5 * ρ * A * v^2)我们可以使用差分方程对纸飞机的运动进行数值模拟。

假设我们将时间间隔取为Δt，我们可以使用以下差分方程更新纸飞机的位置和速度：x[i+1] = x[i] + v[i] * Δty[i+1] = y[i] + v[i] * Δtv[i+1] = v[i] + a[i] * Δti 表示时间步数。

通过以上的数学建模，我们可以分析纸飞机在不同条件下的飞行轨迹和速度变化。

可以进一步讨论如何设计纸飞机的机翼面积和形状，以最大限度地提高其飞行距离和时间。

我们也可以通过调整纸飞机的初始条件来探讨其对飞行性能的影响。

民航飞行中的数学模型与计算一、数学模型概述1.数学模型的定义与分类2.数学模型在民航飞行中的应用价值3.建立数学模型的基本步骤二、民航飞行基本概念1.飞行速度与飞行时间2.飞行高度与飞行距离3.飞机性能指标（如推力、阻力、燃油消耗等）三、民航飞行中的数学模型1.飞行轨迹模型–直线飞行模型–曲线飞行模型（如圆周飞行、螺旋飞行等）2.飞行性能模型–动力学模型（牛顿运动定律、空气动力学方程等）–燃油消耗模型（如Wright公式、燃油流量公式等）3.飞行环境模型–大气模型（如国际标准大气模型、局部大气模型等）–气象模型（如风速、风向、降水等）4.飞行安全模型–避障模型（如圆柱避障、多边形避障等）–飞行间隔模型（垂直间隔、水平间隔等）四、计算方法与技巧1.数学建模方法–假设与简化–参数估计与优化–模型验证与修正2.数值计算方法–欧拉法、龙格-库塔法等数值积分方法–蒙特卡洛模拟、有限元分析等数值模拟方法3.计算机编程与软件应用–编程语言（如MATLAB、Python、C++等）–专业软件（如Mathematica、ANSYS、FLUENT等）五、民航飞行中的实际应用1.航线规划与航班调度–最佳航线规划算法（如遗传算法、蚁群算法等）–航班调度优化模型（如时间窗口、飞机利用率等）2.飞行管理与导航–飞行管理计算机（FMC）及其算法–卫星导航系统（如GPS、GLONASS等）3.飞行仿真与训练–飞行仿真器（如Flight Simulator、X-Plane等）–飞行训练大纲与教学方法六、发展趋势与展望1.人工智能与机器学习在民航飞行中的应用2.大数据与云计算在民航飞行领域的应用3.绿色航空与可持续发展知识点：__________习题及方法：一、数学模型概述习题习题1：定义一个数学模型，并说明其应用于民航飞行中的价值。

答案：定义：数学模型是用来描述现实世界中的某个特定系统的数学关系和规律的抽象表示。

在民航飞行中，数学模型可以用来预测飞机的飞行性能、优化航线规划、提高飞行安全性等。

飞越北极问题数学建模
飞越北极问题是一个数学建模问题，涉及到航空器如何飞越北极地区。

这个问题的关键是找到最短和最安全的航线，以避免飞行器面临极端的天气条件和地理障碍。

为了解决这个问题，可以考虑以下几个因素：
1. 地理位置：确定飞行器起点和终点的经纬度坐标。

2. 大气条件：分析北极地区的天气条件和大气层厚度，以确定最佳高度和速度。

3. 地理障碍：考虑北极地区可能存在的冰山、冰架等地理障碍，通过卫星数据或人工勘测确定避开这些障碍的航线。

4. 航行安全：考虑北极地区的导航设施、通信设备和紧急救援能力，以确保飞行器在飞越北极过程中的安全。

5. 燃料消耗：估算飞行器在飞越北极过程中的燃料消耗，以确保航线的可行性和航行器的续航能力。

基于以上因素，可以建立数学模型来求解飞越北极问题。

这个数学模型可以通过整数规划、线性规划或其他适当的方法来求解最优航线。

数学建模的目标是找到最优航线，即最短和最安全的航线。

这样可以确保飞行器能够顺利飞越北极地区，同时最大限度地减少风险和燃料消耗。

当然，数学建模仅仅是解决这个问题的一种方法，其结果还需要与实际情况相结合，经过验证和调整才能得到最终的航线规划方案。

数学建模报告导言：数学建模是一项非常重要的学科，它通过分析问题、建立模型、求解模型等方法，可以将实际问题转化为数学问题，并给出相应的解决方案。

本篇文章将介绍一个关于航空公司航班调度的数学建模问题，并通过分析、建模和求解来得出最佳的调度策略。

问题描述：某航空公司需要合理安排已有飞机的航班，以最大程度地利用资源、提高效益。

航班调度问题涉及到多个因素，包括飞机数量、航班需求、航程、乘客需求等。

而在实际操作中，还需要考虑到航空交通管制、机场状况、飞机维修等因素，以确保航班的安全和准时性。

因此，如何合理调度航班，成为航空公司面临的一个重要问题。

问题分析：首先，我们需要对现有的飞机、航线以及乘客需求进行调查和统计，整理出相关的数据。

然后，我们可以运用排队论、图论、优化理论等数学方法来建立模型，并通过求解模型来得出最优的航班调度策略。

模型建立：1. 创建图模型：将航班看作图中的节点，航线看作图的边。

利用图的相关理论，可以确定不同航班之间的转机关系、飞行时间、飞行距离等。

2. 建立排队模型：通过排队论，我们可以找到最佳的航班转机策略。

对于乘客需求较高的航班，可以考虑增加中转航班、提高载客率；对于乘客需求较低的航班，可以适当调整时间，减少损失。

3. 优化调度模型：利用优化理论，我们可以建立一个目标函数，以最大化利用资源、提高航班效益为目标，通过求解这个优化问题，可以得出最佳的调度方案。

同时还需要考虑到航空交通管制、机场状况、飞机维修等实际情况，以确保调度的安全性和准时性。

模型求解：在模型建立完成后，我们可以通过计算机程序来求解模型，并得出最佳的调度方案。

利用数学软件和算法，我们可以快速而准确地得到结果。

结果分析：通过模型求解，我们可以得到不同航班的最佳调度方案。

同时，我们还可以对调度结果进行灵敏度分析，检验调度方案的稳定性和可行性。

如果方案在一定范围内变化不大，则说明方案相对稳定，可以作为航空公司进行实际操作时的参考。

航空公司的最佳飞行方案摘要随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。

各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。

假设我们是某航空公司的策划者，根据给出的数据建立数学模型，综合评价各客机的性能，并制定最佳飞行方案。

对于问题一，我们运用层次分析法来构建数学模型。

我们先构建了性能评价层次结构模型，对各性能进行两两比较得到判断矩阵，并应用Matlab软件求解得到综合评价方程。

我们对该判断矩阵进行一致性检验，检验通过了。

通过该方程我们计算得到这17种客机的综合性能，对其分组，我们得出，型号为B747-100的客机综合性能最好，型号为MD-80，B737-300，DC-9-50，B737-100，F-100，DC-9-30，DC-9-10的客机综合性能最差，其余的性能适中。

对于问题二，我们采用线性规划法来建立模型。

建立目标函数，给出约束条件后，我们通过LINGO软件求解得到最佳飞行方案，即DC-10，1架，飞行航线4；B747-100，1架，飞行航线2；A300B4，2架，飞行航线2；B767-300，1架，飞行航线3；B757-200，1架，飞行航线5；MD-80，2架，飞行航线1,2；DC-9-30，2架，飞行航线4,5；B727-100，2架，飞行航线4,5，此时成本最低。

关键字：最佳飞行方案；层次分析法；线性规划法；综合性能；Matlab软件；LINGO软件1.问题重述1.1问题背景随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。

各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。

1.2问题提出随着民航事业的发展，我国形成了许多航空公司。

各航空公司拥有各种不同的民航客机，相互之间存在着激烈的竞争。

表 1给出了目前在我国民航业运营的各种客机的性能参数，假设你现在是某航空公司的策划者。

请回答以下问题：1. 试根据表 1的数据综合评价各客机的性能。

2. 如果你的公司目前承担表 2中的运输计划，请制定满足旅客需求（方便快捷）同时又节约成本的最佳飞行方案（即在每条航线上布置何种客机、布置多少）。

航班延误问题的数学分析摘要随着我国经济实力的不断提升，交通运输能力也在日益增强，比如飞机运输的出现，大大缩减了人们的出行时间，然而相关的问题也是日益突出。

近年来，航班延误的情况越来越多，因此而产生的一些纠纷也在随之增长。

这种不和谐的现象无疑会对中国的社会和谐发展产生一定程度上的负面影响。

为此，我们收集了大量的相关资料，并对其进行处理和分析，先核实题目所给出得报道的准确度，最后的出结论是中国确实存在此类的问题。

然后将问题细化，对问题产生的原因进行整理和编辑，并进行分析。

对问题有了本质的了解之后，然后根据上述的分析与研究构建数学模型，列出相应的数学表达式，构建出问题的数学表达模式。

并对其进行解决，并且又从不同的角度对相关问题的解决提出一些实质性的建议。

最后又针对这样的问题想出来相应的一系列解决办法。

文末我们又对整个问题和相应的处理方法又进行了审核与校正，并总结了本问的不足与缺陷。

一问题的重述问题一：题目所论述的现象是否准确。

问题二：我国航班延误的主要原因是什么。

问题三：可以采取哪些措施来解决问题的存在。

问题四：对由此衍生出来的矛盾的解决方法。

二问题的分析2.1针对问题一问题一要求统计国内国际航班延误数据，进行合理处理。

首先，我们查阅国内外各大航空公司的网页和一些主要统计部门的相关信息，得到关于年度航班延误的一些统计指标，并在此基础之上，对航班延误的原因进行初步的分析。

2.2针对问题二依旧先收集大量的国内各大航空公司航班延误的数据，并观察其特点，分析问题的本质和存在的根本原因，然后循序渐进深挖重点。

然后再通过MATLAB软件对数据进行处理。

2.3针对问题三我们通过分析历年我国航班延误率初步得出我国延误的大致水平，然后从航班延误成本和航班延误时长两个点入手，构造动态规划模型，最后为航空公司提供了一种合理的管理措施，即在延误时长一定的合理范围内，满足延误成本最小的建议。

2.4针对问题四搜集因为航班延误而产生的一些不和谐现象，例如产生的一些民事纠纷案件，暴力冲突事件等等。

湖南省首届研究生数学建模竞赛题目航班计划的合理编排摘要:本文从提高飞机利用率，降低运行成本，提高航空公司经济效益等角度出发，来研究航班计划的合理编排。

我们先后建立了，相关性分析模型，0-1整数规划模型，改进的0-1整数规划，鲁棒性评价模型等模型，并运用matlab，spss等相关软件对各模型进行求解，进而对题中各问题给出了相应的解答。

针对问题1，首先对附件1中的数据进行了检查，并合理地更改了一些不合理的数据，例如对附件1中餐食费为0的数据我们进行了合理的更改（见附录附表1）。

其次，为了找到影响航班收益的主要因素，我们求出了各航线的收益，建立了相关性分析模型，并给出了附件1中各因素与航班收益的相关系数。

通过对相关系数排序，我们找出了8各主要因素（见表1）。

同时基于这8个主要因素，我们对亏损航线提出了相应的整改措施。

针对问题2，首先根据问题中的假设条件，我们将求解航空公司收益最大化问题转化为了求解飞机利用率最高的问题。

为使飞机利用率最高，我们假设每架飞机每天的最大飞行时间为17.5小时，并针对西安、天津两个独立基地以及A320、E190两种机型分别建立了4个0-1整数规划模型，并将其转化为NP-hard 问题求解。

我们利用动态规划算法，通过matlab软件求解，计算出航空公司最少需要再去租4架A320机型和2架E190机型的飞机。

同时，我们还制定了下个月的航班计划（见附录附表1），并计算出公司的最大收益为4237.1万元。

针对问题3，在问题2的基础上，我们进一步考虑了飞机累计飞行130小时就必须在维修基地停场维修24小时的条件，进而建立了改进的0-1整数规划模型。

通过对模型进行求解，我们计算出在问题2的基础上至少需要增加A320机型和E190机型的飞机各2架，同时列出了一份各飞机停场排班表（见表11-14）。

针对问题4，首先给出了评价航班计划“鲁棒性”的评判标准。

基于该评判标准，我们对问题2中制定的航班计划的“鲁棒性”进行了评价。

飞行动力学仿真报告姓名：学号：单位：航天学院代培班2015/8/15一、飞行动力学模型建立 1．质心动力学方程组在惯性系中，根据牛顿第二定律有mFdt V d i = （1.1）将上式投影到机体坐标系中V dtV d dt V d i⨯+=ω （1.2）其中T r q p ][=ω，T w v u V ][=，第二项k uq vp j wp ur i vr wq wv u r q p kj i V)()()(-+-+-==⨯ω（1.3）将合力投影到机体坐标系中T z y x F F F F ][=，所以质心动力学方程可表示为⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=uq vp wF wp ur v F vr wq u F z y x （1.4）2．绕质心转动动力学方程 根据动量矩定理b bi H dtH d dt H d M⨯+==ω（1.5）其中[]TN ML M =，T r q p ][=ω，T z yxh h h H ][=，飞机关于Oxz面对称，0==yz xy J J ，zx xz J J =，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------==r J p J q J r J p J r q p J J J J J J J J J J H z zx y xz x z zyzx yz y yxxz xy xω （1.6）式（1.5）中右边第二项就可以写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-+-+-==⨯x y z x y z x y z x y z zyxqh ph ph rh rh qh k qh ph j ph rh i rh qh h h h r q pkj iH )()()(ω（1.7）综上pq J J qr p J r J qrJ qpJ pqJ r J pJ N rp J J p r J q J prJ J p J r rpJ qJ M qr J J qp r J p J rqJ qrJ qpJ r J pJ L x y xz z xz x y z xz z x xz y z xz xz x y y z xz x y z xz xz x )()()()()()(2222-+--=+-++-=-+--=-+-+=-++-=-+--= （1.8）3. 角度运动学方程建立⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ψθφθφφ 00)()(00)(00y x x L L L r q p（1.9）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=θθθθθcos 0sin 010sin 0cos )(y L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=φφφφφcos sin 0sin cos 0001)(x L ，所以有 φθψφθφθψφθθψφcos cos sin sin cos cos sin +-=+=-=r q p （1.10）写成欧拉角的微分方程形式有)cos sin (cos 1tan cos tan sin sin cos φφθψθφθφφφφθr q r q p r q +=++=-= （1.11）4. 位置运动方程建立地面坐标系与机体坐标系之间的转换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+++--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==θφψθφψφψθφψφθφψθφψφψθφψφθψθψθψψψψθθθθφφφφψθφcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos 0sin 010sin 0cos 1000cos sin 0sin cos cos sin 0sin cos 0001)()()(321L L L A gb （1.12）所以，地面坐标系上表示位置的微分方程有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡w v u A z y x T gb g g g （1.13）5. 飞机的动力学模型综上，飞机的动力学方程组为质心动力学方程：⎪⎩⎪⎨⎧-+==-+==-+==uq vp wa m F wp ur va m F vr wq ua m F z z y y x x /// （1.14）绕质心转动动力学方程：⎪⎩⎪⎨⎧----=----=--+-=pq I I qr p I I rN rp I I p r I I q M qr I I pq r I I p L y x xz z x z xz y z y xz x )()()()()()(22 （1.15）飞机的运动学方程组为质心位置方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡w v u A z y x T gb g g g （1.16）欧拉角方程)cos sin (cos 1tan cos tan sin sin cos φφθψθφθφφφφθr q r q p r q +=++=-= （1.17）附加方程有22222222211222)()()(tan )(tan aa p a a a a a a a a aa a a a a a a aaa w u v w w uu v w u v w u u w wu w u v u ww v u V +--+=+-=+==++=-- βαβα （1.18）6. 飞机受力计算重力在机体坐标系上的投影为[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==θφθφθcos cos cos sin sin 00mg mg mg mg A G Tgb b （1.19）气流坐标系与机体坐标系之间的转换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=αβαβαββαβαβαββββααααcos sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos cos cos 100cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos wb A （1.20）所以空气动力在机体坐标系上的投影为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=αβαβαββαβαβαcos sin sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos Z Y X Y X Z Y X Z Y X A C B A R wb （1.21）综上有飞机所受合力在体轴系上的投影为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-=C mg mg B A mg P F b θφθφθcos cos cos sin sin （1.22）二、飞行动力学模型的求解 1. 飞行动力学模型求解流程动力学方程求解流程图2.1动力学求解流程详解注：上图来自课件，其中欧拉角的微分方程有误图2.2 动力学求解流程简图2. 编程实现动力学模型求解采用C++语言对该问题进行求解，程序见附件。

对于航空公司航班调度问题的数学建模分析航空公司航班调度问题是一项复杂且关键的任务，直接影响旅客的出行体验和航空公司的运营效率。

为了有效解决这一问题，我们可以运用数学建模分析，从多个不同的角度出发，优化航班调度策略。

首先，我们可以使用图论来建立航班网络模型，将不同的机场和航班连接起来。

每个机场可以表示为图中的节点，而航班则可以表示为节点之间的边。

通过构建这样的模型，我们可以计算不同机场之间的最短路径，以便为航班提供最优的路线选择。

然后，我们可以运用线性规划来确定航班的安排和分配。

我们可以将航班调度问题转化为数学优化问题，以最大化航空公司的收益或最小化旅客的等待时间。

通过定义准确的约束条件，包括每个航班的起飞与降落时间、乘客的航班转机需求等等，可以利用线性规划算法求解最优调度方案。

此外，我们还可以利用排队论来分析和优化航班的出发和降落过程。

排队论是一种研究排队系统的数学方法，可以帮助我们分析航班出发和降落的时间间隔，以减少航班之间的冲突和延误。

通过合理安排航班的进出顺序和间隔时间，可以降低旅客的等待时间，并提高航空公司的运行效率。

另外，航班调度问题还可以运用模拟方法来进行分析和优化。

我们可以建立航班调度的模拟模型，模拟不同调度策略下的航班运行情况，并评估其对航空公司和旅客的影响。

通过模拟实验，可以找到最佳的调度方案，并预测其在真实环境中的表现。

最后，为了提高航空公司航班调度的效率和准确性，我们可以利用数据挖掘和机器学习技术来分析大量的历史数据，并构建预测模型。

这些预测模型可以帮助我们预测航班的需求、人员配置和天气等因素，从而为航班调度提供更准确的参考信息。

综上所述，航空公司航班调度问题的数学建模分析可以从多个角度出发，包括图论、线性规划、排队论、模拟方法和数据挖掘等。

通过运用这些方法，可以优化航班的路线选择、安排和分配，提高航空公司的运营效率，提升旅客的出行体验。

飞行管理摘要本文主要研究了避免飞机撞击的飞行管理问题。

在边长为160km 的正方形区域内，为了保证欲进入该区域的飞机避免碰撞，对刚进入该区域的飞机记录其数据，然后立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。

若发生碰撞，则做出调整。

本文对避免碰撞的飞行管理有一定的意义。

避免碰撞的飞行管理是一个在一定约束条件下的最优化问题，但是约束条件是非线性的，难以化为线性规划问题。

由此本文将其转化为求极值，引用惩罚函数将该问题化为无约束极值问题求解。

通过步长加速法求极值，得到一个局部最优解。

本文运用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，确定出相对速度和相对位置，求出相撞的三种可能。

建立相对运动模型，确定每个可调的方向角，使它在不违反判据cos 82r αβθ+⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所规定的限制下实现子目标。

本文运用惩罚函数法将非线性规划问题转化为无约束极值问题求解。

进而运用步长加速法求极值，由于步长加速法求出的是局部最优解，为了尽量求出全局最优解，本文选用几组不同的初值代入，求出极小值，再从中选出最优者。

取刚进入的飞机左偏1度为初始值，得出一个解为第三架飞机左偏约2.68度，第六架飞机左偏约0.94度，总改变角为约3.629693度。

即各机新方向角为243度，236度，223.18度，159度，230度，52.94度。

关键词 非线性规划 相对运动 步长加速法 飞行管理一、问题重述在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。

区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。

当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。

如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。

以避免碰撞。

现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里。

2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。

飞行管理问题摘要让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。

本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对象。

通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断t的取值。

当∆＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。

当∆≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（0≤t≤0.283h）。

若t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。

方向角的调整虽然在30o内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。

最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。

关键词向量平移最短临界距离方向角调整幅度一、问题重述（略）二、模型假设：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30o（3）所有飞机飞行速度均为每小时800km（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km以上（5）最多需要考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况（7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）（10）每架飞机都视为质点三、符号说明：i,=1,2,3,4,5,6）ji,表示飞机编号（jx表示第i架飞机所处位置的横坐标iy表示第j架飞机所处位置的纵坐标iθ表示第i架飞机的初始方向角iθ∆表示第i架飞机所调整的方向角it表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间S表示t时刻后第i架飞机与第j架飞机的距离（i≠j）ijA表示第i架飞机初始记录的点的坐标iB表示第i架飞机经t时刻后的点的坐标ia表示第Ai点经过t时刻后所平移的向量i四、模型建立与求解由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。

综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。

(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”(如n =5时上界为1)是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ，如: 设赛程中某场比赛是i ，j 两队， i 队参加的下一场比赛是i ，k 两队(k ≠j )，要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ，则上述两场比赛之间必须有除i ，j ，k以外的2r 支球队参赛，于是32+≥r n ，注意到r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r 。

(3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的n 编排出达到该上界的赛程。

如对于n =8， n =9可以得到:可以看到，n =8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，n =9时每两场比赛相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有22-n ，12-n ，2n ，n 为奇数时只有23-n ，21-n 。

(4)衡量赛程优劣的其他指标如平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ，2,2,1,,,2,1-==n j n i ，则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1 r 是赛程整体意义下的指标，它越大越好。

可以计算n =8，n =9的r ，并讨论它是否达到上界。

相隔场次的最大偏差 定义||,r c M a x f ij j i -=∑-=--=21|)2(|n j ij r n c Max gf 为整个赛程相隔场次的最大偏差，g 为球队之间相隔场次的最大偏差，它们都是越小越好。

可以计算n =8，n =9的f ，g ，并讨论它是否达到上界。

参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ，可以认为α和β无关， ()()βαβαh g f -=),(，g ，h 取尽量简单的形式，如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β)，0)(h h =β)30(0>β。

航行问题数学建模一、航线规划在航行问题中，航线规划是至关重要的。

它涉及到船舶的起始位置、目的地、沿途的障碍物和可能遇到的气象条件等因素。

航线规划通常使用地图或电子海图进行，并考虑船舶的尺寸、吃水深度、航速等因素。

数学模型可以用于优化航线，以减少航程、时间和燃料消耗。

二、速度与距离关系速度与距离之间的关系是航行问题的基础。

距离= 速度× 时间。

因此，航速的增加将减少航程所需的时间，但会增加燃料消耗。

数学模型可以用于确定最佳航速，以平衡时间和燃料消耗。

三、风速影响风速对航行有很大的影响。

逆风将减慢船速，而顺风则有助于加速。

数学模型可以用于预测在不同风速条件下的航速和航程。

此外，还需要考虑风向的影响，以确定最佳航线。

四、航行时间预测航行时间预测是航行问题的重要部分。

它涉及到船舶的航速、距离、风速和天气条件等因素。

数学模型可以用于预测航行时间，以帮助船长制定计划和决策。

五、燃料消耗与航程燃料消耗是航行问题中的重要考虑因素。

船长需要了解船舶在不同航速下的燃料消耗情况，以确定最佳航速和航程。

数学模型可以用于预测燃料消耗和航程之间的关系，以帮助船长做出决策。

六、位置与导航位置和导航是航行问题中的关键因素。

船舶需要准确知道自己的位置和目的地位置，以确定最佳航线。

数学模型可以用于计算船舶的位置和方向，以及预测船舶在给定时间和速度条件下的位置。

此外，还需要考虑导航误差和不确定性等因素。

七、船舶稳定性船舶稳定性是航行问题中的重要考虑因素。

它涉及到船舶的浮态、稳性和操纵性等方面。

数学模型可以用于分析船舶在不同条件下的稳定性，以帮助船长制定安全可靠的航行计划。

八、避碰规则建模在航行中，避碰规则是至关重要的，因为它们可以防止碰撞和事故的发生。

避碰规则可以通过数学模型进行建模和实施，以确保船舶之间的安全距离和行驶路线。

这些规则通常包括避让规则、碰撞危险判断等，并根据不同的环境和条件进行调整和优化。