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数学建模飞行管理问题引言在现代航空领域，航班的飞行管理是一个极其重要的问题。
飞行管理的目标是确保航班的安全、高效和准时到达目的地。
为了实现这一目标，数学建模在航班飞行管理中发挥着关键作用。
本文将探讨数学建模在飞行管理问题中的应用，并给出相应的示例和解决方案。
数学建模在飞行管理中的应用航班路径规划在飞行管理中，航班路径规划是一个重要的环节。
通过数学建模，我们可以确定最佳的航班路径，以确保航班的安全和高效。
航班路径规划的主要目标是最小化飞行时间、燃料消耗以及减少碳排放量。
数学建模中，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：考虑风速和风向对飞行速度的影响，选择最佳的飞行高度和航线。
•气温和气压：考虑气温和气压对飞行性能的影响，选择最佳的飞行高度和速度。
•气象条件：考虑降雨、雷雨和大风等天气情况对航班安全的影响，调整航班路径避开恶劣天气区域。
•空中交通管制：考虑航空交通管制对航班路径的限制，避免空中拥堵。
航班调度与资源分配航班调度和资源分配是飞行管理中另一个重要的问题。
通过数学建模，我们可以优化航班的调度和资源的分配，以确保航班的准时到达和高效运作。
航班调度和资源分配的主要目标是最大化机场和航空公司的资源利用率。
在数学建模中，我们可以考虑以下因素来优化航班调度和资源分配：•航班数量和航班时刻表：根据乘客需求和机场容量，确定最佳的航班数量和时刻表。
•登机口和登机桥分配：根据航班的到达时间和登机口的可用性，分配最佳的登机口和登机桥，以减少登机和下机的时间。
•地面设备和人员分配：根据航班的需要，合理分配地面设备和人员，以确保航班的准时运作。
示例和解决方案为了更好地理解数学建模在飞行管理中的应用，我们将给出一个具体的示例和相应的解决方案。
航班路径规划示例假设有一架航班从A城市飞往B城市，我们需要确定最佳的航班路径以最小化飞行时间和燃料消耗。
根据数学建模，我们可以考虑以下因素来确定最佳航班路径：•风速和风向：通过获取实时的风速和风向数据，我们可以计算出不同高度上的风向风速情况，并选择最佳的飞行高度和航线。
a题一个飞行管理模型在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。
现假定条件如下:1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上;5) 最多需考虑6架飞机;6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。
记录数据为:飞机编号横座标x 纵座标y 方向角(度)1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 220.54 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。
试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
b题天车与冶炼炉的作业调度某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p；a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3；b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢，简称半钢)b1, b2；原料供应处q。
这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车t1，t2，...，tn炉了作业服务。
布局示意如下。
|---------t1----t2----------------------------tn--------------|p a1 a2 a3 b1 b2 q天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从q处吊起原料一罐（吊罐时间ty）运至b1或b2处放下（放罐时间ti），并将上一炉的原料空罐吊起（吊空时间to）返回q处放下（放空罐时间tk）。
2019年第十六届中国研究生数学建模竞赛F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。
由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。
因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。
本题目研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。
假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。
其航迹约束如下：(1)飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。
飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加个专用单位,，以下简称单位。
到达终点时垂直误差和水平误差均应小于个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。
(2)飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。
飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。
校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图, 黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。
可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。
若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。
图1：飞行器航迹规划区域示意图(3)在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。
(4)飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。
(5)飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。
(6)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行垂直误差校正。
(7)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行水平误差校正。
摘要近年来，随着现代航空运输不断发展，为了维护航空器的航空秩序，保证飞机飞行安全，对于同一区域的飞行管理问题提出了要求。
本文讨论了在一定区域范围内飞机飞行管理的最优化问题，通过建立数学模型计算求解，对飞机是否发生碰撞冲突进行预测，根据计算机求解结果对如何解脱冲突给出了较好的解决方法。
对于飞机是否发生碰撞冲突问题，本文提出了基于飞机位置速度矢量关系的碰撞冲突检测方案，证明了只有位置差与速度差矢量内积小于零，即0△△<∙ V P这样的航迹才存在潜在碰撞冲突,并根据安全飞行间隔规定,采用线性预测方法对冲突进行有效性确认,解决了飞机碰撞冲突检测的同时也避免了碰撞虚警问题。
在此基础上，对于存在潜在碰撞冲突的飞行问题，运用航向调整的方法解脱冲突，建立非线性数学模型∑=∆61mini iθ通过引入新的决策变量i m 、i n ，将原来的非线性模型转换成线性模型()∑=+=61min i n m i iij ij jj i i n m n m αβ>+-+-2ij ij jj i i n m n m απβ-<+-+-226/0pi m i << 6/0pi m j <<其中2i i i m θθ∆∆+=，2i i i n θθ∆∆-=。
再运用LINGO11编程求得该模型最优解为 3.6326，第3架飞机的调整角为 2.8419，第6架飞机（新进入的飞机）的调整角为 0.7907，其余飞机不进行调整，从而给出了冲突解决方案。
之后，本文对计算结果做出了分析和评价，同时还分析了滞后时间和转弯半径和限定在区域范围内对飞机航向调整的影响，使问题更符合实际情况。
在对模型进行评价与分析的同时，本文又对模型进行了推广，对速度不同、飞行高度不同的情况下进行了分析，并给出了合理的解释；增强了模型的实际应用意义。
关键词：飞行管理碰撞冲突线性规划一．问题重述本题主要分析了在同一高度，一定范围内的飞行管理问题。
货机装运模型问题重述：一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。
三个货舱所能装载的货物的最大重量和体积有限制如下表所示。
并且为了飞机的平衡，三个货舱共装载的货物重量必须与其最大的容许量成比例。
应如何安排装运，使得货机本次飞行获利最大？模型假设：（1）每种货物可以无限细分；（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。
模型建立：决策变量：每种货物放在每个货舱内的重量。
用xij表示第i种货物放在第j 个货舱内的重量，i =1,2,3,4 分别表示货物1，货物2，货物3 和货物4。
j =1,2,3 分别表示前舱、中舱和后舱。
决策目标：总利润的最大化，目标函数为3100( x11 + x12+ x13) +3800( x21+ x22+ x23) +3500( x31+ x32+ x33) + 2850( x41+ x42+ x43)⎪ 约束条件：（1） 供装载的四种货物的总重量约束，⎧ x 11 + x 12 + x 13 ≤ 18 ⎪x 21 + x 22 + x 23 ≤ 15 ⎨⎪x 31 + x 32 + x 33 ≤ 23 x 41 + x 42 + x 43 ≤ 12（2） 三个货舱的空间限制⎪⎪⎧480x 11 + 650x 21 + 580x 31 + 390x 41 ≤ 6800 ⎪⎨480x 12 + 650x 22 + 580x 32 + 390x 42 ≤ 8700 ⎩480x 13 + 650x 23 + 580x 33 + 390x 43 ≤ 5300（3） 三个货舱的重量限制⎧x 11 + x 21 + x 31 + x 41 ≤ 10 ⎪⎨x 12 + x 22 + x 32 + x 42 ≤ 16 ⎩x 13 + x 23 + x 33 + x 43 ≤ 8（4） 三个货舱装入重量的平衡约束x 11 + x 21 + x 31 + x 41= x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = x 13 + x 23 + x 33 + x 4310 16 8模型求解：使用计算软件求解（在 M ATLAB 中，可以使用 l inprog 命令求解） 求解结果为：( x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) = (0,0,0;10,0,5;0,12.947,3, ;0,3.053,0)MATLAB 实现线性规划的运算为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为minc Txsuch thatAx ≤ b Aeq ⋅ x = beqlb ≤ x ≤ ub其中 c 和 x 为 n 维列向量， A 、 A eq 为适当维数的矩阵， b 、 b eq 为适当维数的列向量。
民航飞行中的数学模型与计算一、数学模型概述1.数学模型的定义与分类2.数学模型在民航飞行中的应用价值3.建立数学模型的基本步骤二、民航飞行基本概念1.飞行速度与飞行时间2.飞行高度与飞行距离3.飞机性能指标（如推力、阻力、燃油消耗等）三、民航飞行中的数学模型1.飞行轨迹模型–直线飞行模型–曲线飞行模型（如圆周飞行、螺旋飞行等）2.飞行性能模型–动力学模型（牛顿运动定律、空气动力学方程等）–燃油消耗模型（如Wright公式、燃油流量公式等）3.飞行环境模型–大气模型（如国际标准大气模型、局部大气模型等）–气象模型（如风速、风向、降水等）4.飞行安全模型–避障模型（如圆柱避障、多边形避障等）–飞行间隔模型（垂直间隔、水平间隔等）四、计算方法与技巧1.数学建模方法–假设与简化–参数估计与优化–模型验证与修正2.数值计算方法–欧拉法、龙格-库塔法等数值积分方法–蒙特卡洛模拟、有限元分析等数值模拟方法3.计算机编程与软件应用–编程语言（如MATLAB、Python、C++等）–专业软件（如Mathematica、ANSYS、FLUENT等）五、民航飞行中的实际应用1.航线规划与航班调度–最佳航线规划算法（如遗传算法、蚁群算法等）–航班调度优化模型（如时间窗口、飞机利用率等）2.飞行管理与导航–飞行管理计算机（FMC）及其算法–卫星导航系统（如GPS、GLONASS等）3.飞行仿真与训练–飞行仿真器（如Flight Simulator、X-Plane等）–飞行训练大纲与教学方法六、发展趋势与展望1.人工智能与机器学习在民航飞行中的应用2.大数据与云计算在民航飞行领域的应用3.绿色航空与可持续发展知识点：__________习题及方法：一、数学模型概述习题习题1：定义一个数学模型，并说明其应用于民航飞行中的价值。
答案：定义：数学模型是用来描述现实世界中的某个特定系统的数学关系和规律的抽象表示。
在民航飞行中，数学模型可以用来预测飞机的飞行性能、优化航线规划、提高飞行安全性等。
Lingo在飞行管理中的应用概述随着航空业的日益发展，航空企业的管理需求也在不断增加。
其中，飞行管理是航空企业中重要的一环。
飞行管理主要包括航班计划安排、机组人员排班、飞机维护计划等。
而这些工作都需要高效的管理系统来支撑。
近年来，航空企业普遍采用了飞行管理软件来实现飞行管理的自动化。
Lingo是一种广泛应用于数学建模的工具。
它可以帮助人们建立数学模型、进行分析和求解，常被应用于生产调度、物流管理、供应链优化等方面。
而在飞行管理中，Lingo同样有着广泛的应用，可以帮助航空企业解决飞行计划、机组排班等问题，提高管理效率。
本文将详细介绍Lingo在飞行管理中的应用。
飞行计划优化飞行计划是飞行管理中最基础的工作之一。
飞行计划涉及航班的起降时间、航线、停靠机场、飞行时长等信息。
而对于航空企业来说，合理的飞行计划可以提高飞行效率、降低飞行成本。
因此，如何优化飞行计划是航空企业中重要的问题。
在传统的飞行计划优化中，往往需要考虑到多种因素，包括航班的数量、起降时间、机组人员等。
由于这些因素之间相互影响，因此很难快速得到一个最优解。
而使用Lingo进行飞行计划优化，可以大大降低这个问题的复杂度，提高优化效率。
Lingo通过建立数学模型来描述飞行计划优化问题。
例如，可以将优化目标设置为最小化航班总飞行时间，同时满足每个航班的飞行约束条件（如最晚到达时间、最早出发时间等）。
通过运行Lingo模型，可以得到一个最优的飞行计划方案，使得目标函数最小。
机组排班问题与飞行计划一样，机组排班也是飞行管理非常重要的一项工作。
机组排班涉及机组人员的任务安排、机组人员的休息时间、机组人员的交替等。
在传统的机组排班中，人工安排的方式容易出现安排不当，导致机组人员出现疲劳情况，从而影响航班安全。
因此，建立一个合理的机组排班系统对于保证航班安全至关重要。
Lingo同样可以用于机组排班问题的求解。
它可以把机组排班问题转化为一个数学优化模型，使得机组人员可以在最短的时间内完成任务，并且保障机组人员的休息时间。
对于航空公司航班调度问题的数学建模分析航空公司航班调度问题是一项复杂且关键的任务，直接影响旅客的出行体验和航空公司的运营效率。
为了有效解决这一问题，我们可以运用数学建模分析，从多个不同的角度出发，优化航班调度策略。
首先，我们可以使用图论来建立航班网络模型，将不同的机场和航班连接起来。
每个机场可以表示为图中的节点，而航班则可以表示为节点之间的边。
通过构建这样的模型，我们可以计算不同机场之间的最短路径，以便为航班提供最优的路线选择。
然后，我们可以运用线性规划来确定航班的安排和分配。
我们可以将航班调度问题转化为数学优化问题，以最大化航空公司的收益或最小化旅客的等待时间。
通过定义准确的约束条件，包括每个航班的起飞与降落时间、乘客的航班转机需求等等，可以利用线性规划算法求解最优调度方案。
此外，我们还可以利用排队论来分析和优化航班的出发和降落过程。
排队论是一种研究排队系统的数学方法，可以帮助我们分析航班出发和降落的时间间隔，以减少航班之间的冲突和延误。
通过合理安排航班的进出顺序和间隔时间，可以降低旅客的等待时间，并提高航空公司的运行效率。
另外，航班调度问题还可以运用模拟方法来进行分析和优化。
我们可以建立航班调度的模拟模型，模拟不同调度策略下的航班运行情况，并评估其对航空公司和旅客的影响。
通过模拟实验，可以找到最佳的调度方案，并预测其在真实环境中的表现。
最后，为了提高航空公司航班调度的效率和准确性，我们可以利用数据挖掘和机器学习技术来分析大量的历史数据，并构建预测模型。
这些预测模型可以帮助我们预测航班的需求、人员配置和天气等因素，从而为航班调度提供更准确的参考信息。
综上所述，航空公司航班调度问题的数学建模分析可以从多个角度出发，包括图论、线性规划、排队论、模拟方法和数据挖掘等。
通过运用这些方法，可以优化航班的路线选择、安排和分配，提高航空公司的运营效率，提升旅客的出行体验。
飞行管理摘要本文主要研究了避免飞机撞击的飞行管理问题。
在边长为160km 的正方形区域内，为了保证欲进入该区域的飞机避免碰撞，对刚进入该区域的飞机记录其数据，然后立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
若发生碰撞，则做出调整。
本文对避免碰撞的飞行管理有一定的意义。
避免碰撞的飞行管理是一个在一定约束条件下的最优化问题，但是约束条件是非线性的，难以化为线性规划问题。
由此本文将其转化为求极值，引用惩罚函数将该问题化为无约束极值问题求解。
通过步长加速法求极值，得到一个局部最优解。
本文运用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，确定出相对速度和相对位置，求出相撞的三种可能。
建立相对运动模型，确定每个可调的方向角，使它在不违反判据cos 82r αβθ+⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所规定的限制下实现子目标。
本文运用惩罚函数法将非线性规划问题转化为无约束极值问题求解。
进而运用步长加速法求极值，由于步长加速法求出的是局部最优解，为了尽量求出全局最优解，本文选用几组不同的初值代入，求出极小值，再从中选出最优者。
取刚进入的飞机左偏1度为初始值，得出一个解为第三架飞机左偏约2.68度，第六架飞机左偏约0.94度，总改变角为约3.629693度。
即各机新方向角为243度，236度，223.18度，159度，230度，52.94度。
关键词 非线性规划 相对运动 步长加速法 飞行管理一、问题重述在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。
以避免碰撞。
现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里。
2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。
飞行管理问题摘要让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。
本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对象。
通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断t的取值。
当∆＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。
当∆≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（0≤t≤0.283h）。
若t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。
方向角的调整虽然在30o内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。
最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。
关键词向量平移最短临界距离方向角调整幅度一、问题重述（略）二、模型假设：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30o（3）所有飞机飞行速度均为每小时800km（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km以上（5）最多需要考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况（7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）（10）每架飞机都视为质点三、符号说明：i,=1,2,3,4,5,6）ji,表示飞机编号（jx表示第i架飞机所处位置的横坐标iy表示第j架飞机所处位置的纵坐标iθ表示第i架飞机的初始方向角iθ∆表示第i架飞机所调整的方向角it表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间S表示t时刻后第i架飞机与第j架飞机的距离（i≠j）ijA表示第i架飞机初始记录的点的坐标iB表示第i架飞机经t时刻后的点的坐标ia表示第Ai点经过t时刻后所平移的向量i四、模型建立与求解由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。
(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”(如n =5时上界为1)是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ，如: 设赛程中某场比赛是i ，j 两队， i 队参加的下一场比赛是i ，k 两队(k ≠j )，要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ，则上述两场比赛之间必须有除i ，j ，k以外的2r 支球队参赛，于是32+≥r n ，注意到r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r 。
(3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的n 编排出达到该上界的赛程。
如对于n =8， n =9可以得到:可以看到，n =8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，n =9时每两场比赛相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有22-n ，12-n ，2n ，n 为奇数时只有23-n ，21-n 。
(4)衡量赛程优劣的其他指标如平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ，2,2,1,,,2,1-==n j n i ，则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1 r 是赛程整体意义下的指标，它越大越好。
可以计算n =8，n =9的r ，并讨论它是否达到上界。
相隔场次的最大偏差 定义||,r c M a x f ij j i -=∑-=--=21|)2(|n j ij r n c Max gf 为整个赛程相隔场次的最大偏差，g 为球队之间相隔场次的最大偏差，它们都是越小越好。
可以计算n =8，n =9的f ，g ，并讨论它是否达到上界。
参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ，可以认为α和β无关， ()()βαβαh g f -=),(，g ，h 取尽量简单的形式，如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β)，0)(h h =β)30(0>β。
一、历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A 非线性交调的频率设计拟合、规划93B 足球队排名图论、层次分析、整数规划94A 逢山开路图论、插值、动态规划94B 锁具装箱问题图论、组合数学95A 飞行管理问题非线性规划、线性规划95B 天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A 最优捕鱼策略微分方程、优化96B 节水洗衣机非线性规划97A 零件的参数设计非线性规划97B 截断切割的最优排列随机模拟、图论98A 一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B 灾情巡视的最灾情巡视的最佳佳路线图论、组合优化99A 自动化车动化车床床管理随机优化、计随机优化、计算算机模拟99B 钻井布局0-1规划、图论00A DNA 序列分类模式识别式识别、、Fisher 判别判别、、人工神经网络00B 钢管订购和运输组合优化、组合优化、运输运输运输问题问题01A 血管三维重建曲线拟合、线拟合、曲面重建曲面重建01B 工交车调度问题多目标规划02A 车灯线光源光源的优化的优化非线性规划02B 彩票彩票问题问题问题 单目标目标决决策 03A SARS 的传播传播 微分方程、微分方程、差差分方程分方程03B 露天矿生产矿生产的车的车的车辆安辆安辆安排排 整数规划、整数规划、运输运输运输问题问题问题 04A 奥运会临时超市网点奥运会临时超市网点设计设计设计 统计分析、数计分析、数据处据处据处理、优化理、优化理、优化 04B 电力市场电力市场的的输电阻塞输电阻塞管理管理管理 数据拟合、优化拟合、优化 05A 长江长江水水质的评价和预测评价和预测 预测评价预测评价、数、数、数据处据处据处理理 05B DVD 在线租赁租赁 随机规划、整数规划随机规划、整数规划二、赛题发展的特点1.对选手对选手的计的计的计算算机能力提出了更高能力提出了更高的的要求：要求：赛题的解赛题的解赛题的解决依赖决依赖决依赖计计算机，题目的数题目的数据较据较据较多多，手工，手工计计算不能完成，如03B ，某些，某些问题问题问题需要需要需要使用使用使用计计算机软件，01A 。
B 题：飞行管理问题摘要：飞行管理问题是一个既现实又重要的课题，本文利用偏转角度尽可能的小建立两个非线性规划模型。
模型一：时间模型。
考虑到各架飞机的偏转角有正有负，在此模型中，对于各架飞机调整选取各个偏转角的绝对值的和作为目标函数，要求任意两架飞机任意时刻的距离大于8公里，则可以求出任意两架飞机的距离ij d 。
此时，两架飞机距离ij d 是时间t 与各个飞机偏转角i θ∆的函数，编写程序时将t 离散化，且t 有最大值0.2828s （沿对角线飞过的时间），这样可得到表1-1的结果：表1-1模型二：闭塞区域模型。
在两架飞机中，将其中一架看成“静止”，另一架相对于它而运动。
而以“静止”飞机为圆心，km 8为半径的圆形区域构成该飞机的闭塞区域，任意一架飞机的方向角均不能在此区域内，则为不相撞。
为此，本文用复变函数的知识表示各架飞机的速度，从而算出相对速度，再求出相对位移，以相对速度与相对位移的夹角大于每两架飞机的临界夹角来刻画不相撞。
目标函数为每架飞机偏转角的平方和。
利用计算机编程得到表1-2的结果：表1-2对于上述两个非线性规划，在理论方面，本文利用SUTM 内点法（障碍函数法）进行算法描述，在操作方面，分别利用lingo 语言与MATLAB 语言直接编写程序进行计算关键词：非线性规划、复变函数、SUMT 内点法、闭塞区域、禁飞角一、问题重述1.背景知识与其他交通工具相比，飞机以其速度快、安全舒适等特点在交通领域占据了绝对地位。
而近年来飞机事故的频繁发生也预示着飞机存在一定的安全隐患。
经调查造成飞机相撞事故的原因主要是人、飞机（设备）、环境，而人的因素是事故中通常起主体作用的因素，直接影响事故的发生和结局。
飞机事故的发生难以预测且死亡率极高，所以航空安全机制的健全，航空人员素质的提高已变得刻不容缓。
2.问题重述在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。
区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。
当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。
如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。
现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；5）最多需考虑6架飞机；6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。
设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。
记录数据为：二、 基本假设1.飞机在规定区域内飞行，不会发生任何自然灾害；2．飞行人员能够探知飞行区域内所有飞机的飞行轨迹，并能够及时作出相应调整；3.飞机在规定区域内最多只调整一次，且在第六架飞机刚进入区域时调整；4.飞机在调整过程中是瞬间完成，飞行轨迹可看成直线；5.不碰撞的标准是任何两架飞机的距离大于km 8；6.飞机飞行方向的调整幅度不应超过︒30； 7．所有飞机调整角度总和最小为最优方案； 8.暂时不考虑飞机离开此区域的情况； 9.飞机在调整之后按固定速度飞行； 10.飞机在飞行过程中可看为质点。
三、 参数说明1.()i i y x ,表示第i 架飞机的初始位置；2.i θ表示第i 架飞机初始飞行角度；3.i θ∆表示第i 架飞机的调整角度；4.ij s 表示第i 架飞机和第j 架飞机的距离； 5．ij d 表示第i 架飞机和第j 架飞机距离的平方；5.i v 表示第i 架飞机的飞行速度；6.t 表示飞机的飞行时间；7.i t 表示第i 架飞机飞出飞行区域的时间； 10.;架飞机的飞行角度架飞机相对于第表示第i j ij θ 11.架飞机的速度矢量；表示第k Z k12.飞机的飞行矢量架飞机指向第表示第j k f kj ； 13.架飞机的禁飞角的大小架飞机对第表示第j k kj α。
四、 问题分析图4-1：飞机初始状态从距离约束条件来说，在初始状态下，我们可以通过调整飞行方向，目的使飞机在飞行区域内满足任意两架飞机的距离都大于8公里。
调整角度我们可以假设已知，将上述初始角替换成调整角，通过计算，我们知道存在调整方法能够使飞机安全飞出飞行区域，且调整方式多样。
若我们假设调整角度对于每架飞机来说，其满意度是一样的，那在这一系列调整方式中，必定存在调整角度之和达到最小的调整方式。
在飞行过程中，初始位置和飞行方向对飞机的飞行路径有决定性作用，而在速度已知的情况下，时间的确定就可以直接决定飞机的具体位置。
由此，我们想到，如果取适当的一段时间为步长，确定检测时间点，若这些时间点各架飞机都能满足不相撞的条件，那我们可以近似认为，飞机在这些飞行方向上是符合安全飞行条件的，之后只需找出调整最小的方式即可。
从角度约束条件来说，将飞机看做质点，在飞行区域内，以飞机为圆心，4公里为半径的圆形区域内是不能存在其他飞机的。
即每架飞机都有其自身的闭塞区域，而且是动态的闭塞区域。
在边长为160公里的正方形二维平面内，这6个闭塞区域在运动过程中是不允许存在重合部分的。
飞机在飞行区域内是按照同一方向飞行，也就是说在该正方形区域内，闭塞区域是按直线行走的。
运动初期，各圆的位置已知，飞行方向可调整（先不考虑调整角度的限制问题），而调整的目的是为了让这些圆在以相同速度且沿直线的行走过程中不存在重合部分。
将模型简化，仅看两架飞机的运动形式，以一个圆的圆心出发，引发出两条相对于另一个圆的切线，而这两条切线在包含另一个圆的一侧所构成的夹域是禁飞域，夹角为禁飞角。
在这种解法中不仅要考虑飞机之间的相对运动速度还要考虑飞机之间初始相对位置的具体关系。
讨论初期，我们确定飞机之间相对运动的速度还是引用原有的坐标系，飞机之间相对位置关系也在原有的坐标系中讨论，该模型的约束条件就是相对运动方向与相对位置方向之间的相对夹角只要满足不在禁飞夹角中即可。
首先我们选择通过几何方法计算相对夹角，而在进一步计算过程中，我们发现相对夹角若以角度制表示要分不同种情况讨论，过程复杂难以计算。
之后我们又将模型进一步改进，对于坐标系的选取，若以飞机之间相对位置所在向量确定相对坐标则使约束条件简化。
在计算方面，为了避免角度的多情况影响，我们选取以复数形式表示角度，这样就将相对夹角的形式统一起来，计算也有了进一步突破。
在计算出具体结果后，就需要对结果的有效性进行检验，而我们选取的检验条件就是飞机以调整后的角度飞行，在离开飞行区域时，是否与飞行区域内的其他飞机的距离大于60公里，若都满足大于60公里，则认为结果可行性较强，若有出入，在对模型进行相应调整。
五、模型建立与求解模型一设飞机初始状态下的坐标为),(i i y x 易知任意时刻飞机的坐标为)cos(i i i i vt x X θθ∆++= )sin(i i i i vt y Y θθ∆++=则两架飞机的距离：222)()(j i j i ij ij Y Y X X s d -+-==讨论飞机在规定区域内的飞行状态，则飞机有飞行时间的限制：若飞机沿对角线飞行，则飞行距离最远，飞行时间最长，此时8002160max =t ，即()2828.0,0∈t ，在飞行时间内，如果任意两架飞机的距离都超过8公里，则认为不会发生碰撞事件，即：()2828.0,0∈∀t )61,61(64==>j i d ij （1）首先讨论如果不改变飞机偏转角是否有两架飞机相撞，即满足（1）式的j i 和 当小时公里/800=v ，()i i y x ,和i θ已知的情况下，经计算：()()6452sin 5.220sin 80015552cos 5.220cos 80015022236<=-++-+=︒︒︒︒t t s 和()()6452sin 230sin 80015052cos 230cos 80013022256<=-++-+=︒︒︒︒t t s在()2828.0,0∈t 内有实解，则如果按照初始方向飞行会发生碰撞事件，需要做出相应调整。
为了确保飞行时不会发生碰撞事件，则任意两架飞机的飞行距离不得小于公里8，在此条件下寻求6架飞机能够安全通过飞行区域的最小调整方式。
而对于“最小的调整方式”，本文采取下述两种理解方式。
1.偏转总和最小。
因为每架飞机偏转角可正可负，所以，本模型取偏转角的平方和作为目标函数。
结合上述分析与条件，可建立如下非线性规划模型∑=∆612)(mini i θ ..t s ()⎪⎩⎪⎨⎧∈=<∆==>2828.0,0)61(30)61,61(64t i j i d i ij θ 其中：222)()(j i j i ij ij Y Y X X s d -+-== 2.每架飞机偏转都最小。
T =min..t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<∆<∆==>)2828.0,0(30)61,61(64t Tj i d i i ij θθ编程时，我们将t 离散化，分为200等分，即00094.03002828.0==dt误差km vdt ds 7541.0== （1）求得的最终结果为：01=∆θ；02=∆θ；︒=∆540629.23θ；04=∆θ；05=∆θ；︒=∆074526.16θ。
（2）求得的最终结果为：︒=∆2906.21θ；︒=∆2500.02θ；︒=∆5406.23θ；04=∆θ；︒=∆2500.05θ；0745.16=∆θ对比上述结果，结合题中误差在︒01.0之内，可只取第一种方案，这样既满足飞机偏转总和最小，又满足每架飞机偏转最小。
下面检验对于上述结果是否满足“进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；”飞机的飞行路径方程为：()()()i i i i x x y y θθ∆+=--tan /；求得每架飞机飞出飞行区域的坐标分别为()0,6190.129；()0,6668.27；()1227.15,0；()6603.105,0；()0,1351.4；()160,1314.120飞机飞出飞行区域的时间为：()()vy y x x t i i i i i 2121-+-=求得每架飞机的飞行时间为：0561.01=t ；1282.02=t ；2564.03=t ； 1941.04=t ；2448.05=t ；2501.06=t 。
飞机飞出飞行区域的先后顺序为：1，2，4，5，6，3。
