单调有界原理的应用

单调有界定理

2.4.3 实数的连续性

实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。

定理2.4.3（单调有界定理） 若数列{an}单调增加且有上界，则数列{an}收敛。

证明：我们不妨假设an ≥0，否则，存在某个有理数c>0，使an′= an+c≥0，从而由讨论数列{ an}变为讨论数列{ an′}。

由引理2.4.1知，数列{ an}稳定于某个实数a＝ ，下面证明，a 就是数列{ an}的极限。

事实上， ＞0， n0 N，当n≥n0时， ＜ 。由引理2.4.1知，

an 0 …，an k …，

对于充分大的n0，当n＞n0时，有

an＝ ，

︱an-a︱=︱ - ︱

≤ < ，

即 =a

推论4.1 若数列｛an｝单调减少（即an≥an+1），且有下界M（an≥M），则数列｛an｝收敛。

证明：令an′＝ -an。由于an≥an+1且有下界M′，则可得an′≥an+1 ′且an′≤M＝- M′，由定理2.4.3知 ′＝a′。从而有 = a = - an′

例1 设a0＞0，b>0，an＝ （ ），n=1，2，…，证明数列｛an｝收敛，并求其极限。

证明：不难看出， n N，有an＞0，根据几何平均不超过算术平均， n N，有

an＝ （ ）≥（ ） ＝b ，

即数列｛an｝有下界 。

n N，有 an+1-an＝ （ ）- an＝ （b-an2）≤0，

即数列｛an｝单调减少。

根据推论4.1，数列｛an｝收敛，设 ＝a，由极限的单调性，有a≥ >0。

对等式an+1＝ （ ）两端取极限得a= （a+ ），因a>0，得a= 。

注4.4 当b=2时， 是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛an｝收敛于无理数 。

函数的单调有界定理

设函数 f: [a, b] → R 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的实值函数，如果 f 在 [a, b] 上单调递增（或单调递减），则 f 在

[a, b] 上有界。

换句话说，如果一个函数在一个闭区间上是单调递增的，那么它在这个闭区间上是有上界的；如果一个函数在一个闭区间上是单调递减的，那么它在这个闭区间上是有下界的。

这个定理的证明可以通过反证法来进行。假设函数 f 在闭区间

[a, b] 上单调递增且无上界，那么可以构造一个无限逼近于无穷大的数列，使得这个数列对应的函数值也无限逼近于无穷大。然而，这与 f 在 [a, b] 上单调递增矛盾，因为单调递增的函数不会无限逼近于无穷大。类似地，可以证明函数在闭区间上单调递减且无下界的情况也是不可能的。

通过函数的单调有界定理，我们可以在一些实际问题中得到一些有用的结论。例如，在经济学中，如果某种商品的需求函数是单调递减的，那么我们可以得出结论，当价格上升时，需求量会下降，但需求量不会无限下降，因为函数在闭区间上有下界。类似地，在物理学中，如果某个物体的速度随时间的增加而单调递增，我们可以得出结论，物体的速度不会无限增加，因为函数在闭区间上有上界。

总之，函数的单调有界定理是一个重要的数学定理，它告诉我们在一些特定条件下，函数的单调性和有界性之间存在着紧密的联系。这个定理在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。

本科生毕业论文（设计）

题 目：

单调有界定理及其应用

学生姓名：

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指导教师：

完成时间： 2013年5月10日 单调有界定理及其应用

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目 录

0 引言 ………………………………………………………………… 3

1 单调有界定理的内容及其证明 ………………………………………3

2 单调有界定理的应用 …………………………………………………4

2.1 定理在证明区间套定理中的应用………………………………………4

2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用……………………………………5

2.3定理在证明致密性定理中的应用………………………………………6

2.4定理在证明有限覆盖定理的应用………………………………………6

2.5定理在证明级数的敛散性的应用………………………………………7

3 总结……………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………13

单调有界定理及其应用

3

【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.

【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积.

【Abstarct】

Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit

第２Ｏ卷第４期　２００７年Ｏ７月　唐山学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．２Ｏ　Ｎｏ．４　Ｊｕ１．２００７　‘‘　单调有界函数必有极限＂吗？　罗铁山　，王　荣　（１．唐山学院．河北唐山０６３０００；２．唐山师范学院初等教育学院．河北唐山０６３０００）　摘要：由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”的结论，因为数列的极限过程　是确定的，而函数的极限过程则是多种多样的。　关键词：函数；数列　单调有界；极限过程　中图分类号：Ｏ１７１　文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３４９Ｘ（２００７）０４—０１０３一Ｏｌ　Ｄｏｅｓ　Ｍｏｎｏｔｏｎｅ　Ｌｏｃａｌｌｙ　Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　Ｈａｖｅ　Ｅｘｔｒｅｍｅ？　ＬＵＯ　Ｔｉｅ—ｓｈａｎ　，ＷＡＮＧ　Ｒｏｎｇ　（１＿Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ　０６３０００，Ｃｈｉｎａ；２．Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，　Ｔａｎｇｓｈａｎ　０６３０００．Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｃａｎｎｏｔ　ｂｅ　ｄＹａｗｎ　ｔｈａｔ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｈａｓ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆａｃｔ　ｔｈａｔ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｈａｓ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｗｈｉｌｅ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｖａｒｉｅｄ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄ；ｅｘｔｒｅｍｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　１问题的提出　“单调有界数列必有极限”是《高等数学》中的一个重要　结论，而数列又是一类很特殊且重要的函数，因此有些教师　在讲到函数的极限时．往往就利用“单调有界数列必有极限”　这个结论得出“单调有界函数必有极限”的结论，且其证明的　方法也非常简单，即若函数是单调有界函数，那么它的任意　一个子数列都是单调有界数列，而“单调有界数列必有极　限”，从而得到“单调有界函数必有极限”。那么“单调有界函　数”是否真的就“必有极限”吗？　２证明和实例　关于“单调有界数列必有极限”，我们可以做如下描述：　若数列｝Ｘｎ　Ｊ是单调数列．且Ｊ　Ｘｎ　Ｊ≤Ｍ，则数列｝　Ｘｎ　ｌ一定收敛。　上述结论在《高等数学》的讲述中一般都没有给出证明。　事实上如果数列｛Ｘｎ　ｌ是单调递增数列，即对任意的ｉ＜ｊ　，总有Ｘ　≤Ｘｊ成立，且Ｍ是其最小上界（即对于任意的ｎ＞　ｏ，总存在正整数Ｎ。使得当　＞Ｎ时。Ｘｎ＞Ｍ—ｎ），则当　一　。。时．数列｛Ｘｎ　ｌ收敛于Ｍ。　对于任意给定的ｅ＞０，要使ｌ　Ｘｎ—Ｍ　ｌ＜ｅ，而Ｍ为｛　收稿日期：２００６—１１—２０　作者简介：罗铁山（】９５８一），男，副教授，从事数学教学。　Ｘｎ　ｌ的最小上界，则只需Ｍ—Ｘｎ＜ｅ或Ｘｎ＞Ｍ—ｅ即可。　因为Ｍ为｛Ｘｎ　ｌ的最小上界，所以总存在正整数Ｎ，使得　当　＞Ｎ时，Ｘｎ＞Ｍ—ｅ，即ｌ　Ｘｎ～Ｍ　ｌ＜ｅ成立。因此当　一。。时，数列｛Ｘｎ　ｌ收敛于Ｍ。　同理可以证明．如果数列｛Ｘｎ｝是单调递减数列，即　对任意的ｉ＜ｊ。总有Ｘｆ≥Ｘｊ成立，且ｍ是其最大下界（即对　于任意的ａ＞Ｏ，总存在正整数Ｎ，使得当　＞Ｎ时，Ｘｎ，￣ｍ＋　ｎ），则当　一。。时．数列｛Ｘｎ　ｌ收敛于ｍ。　这个结论的重要意义在于：一是确认了单调有界数列必　有极限，二是利用这个结论和夹逼准则我们还证明了两个重　／　１、　要极限中的ｌｉｍ（１＋专Ｊ＝ｅ。　．　∞、　＾　由此也就产生了本文所要讨论的问题：由“单调有界数　列必有极限”是否就能够得到“单调有界函数必有极限”这样　的结论呢？函数的极限到底都和什么相关呢？　事实上，函数的极限是由函数本身和极限过程所决定　的，因此在讨论函数的极限时，既要考虑函数本身，如函数的　定义域、函数关系等。还要考虑取极限时的极限过程。数列　作为定义在自然数集上的一类特殊函数，在讨论它的极限　时，其极限过程只有一个．即　一。。。而一般（下转第儿１页）