极限单调有界准则

单调有界定理

2.4.3 实数的连续性

实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。

定理2.4.3（单调有界定理） 若数列{an}单调增加且有上界，则数列{an}收敛。

证明：我们不妨假设an ≥0，否则，存在某个有理数c>0，使an′= an+c≥0，从而由讨论数列{ an}变为讨论数列{ an′}。

由引理2.4.1知，数列{ an}稳定于某个实数a＝ ，下面证明，a 就是数列{ an}的极限。

事实上， ＞0， n0 N，当n≥n0时， ＜ 。由引理2.4.1知，

an 0 …，an k …，

对于充分大的n0，当n＞n0时，有

an＝ ，

︱an-a︱=︱ - ︱

≤ < ，

即 =a

推论4.1 若数列｛an｝单调减少（即an≥an+1），且有下界M（an≥M），则数列｛an｝收敛。

证明：令an′＝ -an。由于an≥an+1且有下界M′，则可得an′≥an+1 ′且an′≤M＝- M′，由定理2.4.3知 ′＝a′。从而有 = a = - an′

例1 设a0＞0，b>0，an＝ （ ），n=1，2，…，证明数列｛an｝收敛，并求其极限。

证明：不难看出， n N，有an＞0，根据几何平均不超过算术平均， n N，有

an＝ （ ）≥（ ） ＝b ，

即数列｛an｝有下界 。

n N，有 an+1-an＝ （ ）- an＝ （b-an2）≤0，

即数列｛an｝单调减少。

根据推论4.1，数列｛an｝收敛，设 ＝a，由极限的单调性，有a≥ >0。

对等式an+1＝ （ ）两端取极限得a= （a+ ），因a>0，得a= 。

注4.4 当b=2时， 是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛an｝收敛于无理数 。

第２０卷第４期　２００３年１１月　新疆教育学院学报　Ｊ（）Ｉ　ＮＡＬ　ＯＦⅪＮＪＩＡＮＧ　ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　Ｖｏ１．２０，Ｎｏ．４　Ｄｅｃ．２００３　

单调有界数列必有极限与　

柯西收敛准则等价性证明　

马爱江　（新疆轻工职业技术学院，新疆鸟鲁木齐８３００００）　

摘要：单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论，而柯西收敛准则则以另一种形式表这了这一　结论。本文就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。　关键词：单调；有界；数列；极限；等价　中围分类号：０ｌ３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８－－３５８８（２００３）０４－－００９５－－０２　

单调有界数列必有极限与柯西收敛准则以其简洁、明了、实用性强的特点在《数学分析》中起着很重要的　作用，它们都为实数系的基本性质，并且等价，下面就其等价性加以证明。　定理１：单调有界数列必有极限　

如果数列｛　）具有以下特点：对任意给定的￡＞０，存在正整数Ｎ，当ｎ，ｍ＞Ｎ时有ｌ　一ａ　ｌ＜￡，就称｛　）　是一个柯西数列或基本数列。　定理２：（柯西收敛准则）数列｛　｝收敛的必要且充分条件是：｛　｝柯西数列。　

定理１　定理２　．　

必要性：易知，当｛ａ　）有极限时（设极限为ａ），｛　）一定是一个柯西数列。因为Ｖ￡＞０，３Ｎ（Ｎ为正整数）。　

当ｎ，ｍ＞Ｎ时，有ｌ　ａｎ—ａｌ＜去，ｌ　一ａｌ＜吾　

１　一　ｌ≤ｌ　一ａｌ＋ｌ　一ａｌ＜￡这就证明了｛　）是一个柯西数列。　充分性：先证明柯西数列｛　）是有界的。取￡一１，因｛　）是柯西数列，所以存在某个正整数Ｎｏ，当ｎ＞Ｎｏ　

时有ｌ　一　＋·！＜１，亦即当ｎ＞Ｎｏ时ｌ　ａｏ　ｌ≤ｌａＮｏ＋Ｉ　ｌ＋１即｛ａｏ）有界。　不妨设｛　）≤Ｅａ，ｂ］即ａ≤　≤ｂ，我们可用如下方法取得｛　）的一个单调子列｛ａｎ　）　（１）取｛ａｎｋ）∈｛　）使［ａ，ａｎｋ］或［ａｎｋ，ｂ］中含有无穷多的｛ａ　）的项　

（２）在［ａ，　ｋ］或［ａｎｋ，ｂ］中取得ａｎｋ＋。∈｛ａｎ）且满足条件（１）并使ｎｋ＋。＞ｎｋ　

第２Ｏ卷第４期　２００７年Ｏ７月　唐山学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｖｏ１．２Ｏ　Ｎｏ．４　Ｊｕ１．２００７　‘‘　单调有界函数必有极限＂吗？　罗铁山　，王　荣　（１．唐山学院．河北唐山０６３０００；２．唐山师范学院初等教育学院．河北唐山０６３０００）　摘要：由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”的结论，因为数列的极限过程　是确定的，而函数的极限过程则是多种多样的。　关键词：函数；数列　单调有界；极限过程　中图分类号：Ｏ１７１　文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—３４９Ｘ（２００７）０４—０１０３一Ｏｌ　Ｄｏｅｓ　Ｍｏｎｏｔｏｎｅ　Ｌｏｃａｌｌｙ　Ｂｏｕｎｄｅｄ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　Ｈａｖｅ　Ｅｘｔｒｅｍｅ？　ＬＵＯ　Ｔｉｅ—ｓｈａｎ　，ＷＡＮＧ　Ｒｏｎｇ　（１＿Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ　０６３０００，Ｃｈｉｎａ；２．Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，　Ｔａｎｇｓｈａｎ　０６３０００．Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｃａｎｎｏｔ　ｂｅ　ｄＹａｗｎ　ｔｈａｔ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｈａｓ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆａｃｔ　ｔｈａｔ　ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｈａｓ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｂｅｃａｕｓｅ　ｔｈｅ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｗｈｉｌｅ　ｔｈｅ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｅｘｔｒｅｍｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｖａｒｉｅｄ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｅｑｕｅｎｃｅ；ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｂｏｕｎｄｅｄ；ｅｘｔｒｅｍｅ　ｐｒｏｃｅｓｓ　１问题的提出　“单调有界数列必有极限”是《高等数学》中的一个重要　结论，而数列又是一类很特殊且重要的函数，因此有些教师　在讲到函数的极限时．往往就利用“单调有界数列必有极限”　这个结论得出“单调有界函数必有极限”的结论，且其证明的　方法也非常简单，即若函数是单调有界函数，那么它的任意　一个子数列都是单调有界数列，而“单调有界数列必有极　限”，从而得到“单调有界函数必有极限”。那么“单调有界函　数”是否真的就“必有极限”吗？　２证明和实例　关于“单调有界数列必有极限”，我们可以做如下描述：　若数列｝Ｘｎ　Ｊ是单调数列．且Ｊ　Ｘｎ　Ｊ≤Ｍ，则数列｝　Ｘｎ　ｌ一定收敛。　上述结论在《高等数学》的讲述中一般都没有给出证明。　事实上如果数列｛Ｘｎ　ｌ是单调递增数列，即对任意的ｉ＜ｊ　，总有Ｘ　≤Ｘｊ成立，且Ｍ是其最小上界（即对于任意的ｎ＞　ｏ，总存在正整数Ｎ。使得当　＞Ｎ时。Ｘｎ＞Ｍ—ｎ），则当　一　。。时．数列｛Ｘｎ　ｌ收敛于Ｍ。　对于任意给定的ｅ＞０，要使ｌ　Ｘｎ—Ｍ　ｌ＜ｅ，而Ｍ为｛　收稿日期：２００６—１１—２０　作者简介：罗铁山（】９５８一），男，副教授，从事数学教学。　Ｘｎ　ｌ的最小上界，则只需Ｍ—Ｘｎ＜ｅ或Ｘｎ＞Ｍ—ｅ即可。　因为Ｍ为｛Ｘｎ　ｌ的最小上界，所以总存在正整数Ｎ，使得　当　＞Ｎ时，Ｘｎ＞Ｍ—ｅ，即ｌ　Ｘｎ～Ｍ　ｌ＜ｅ成立。因此当　一。。时，数列｛Ｘｎ　ｌ收敛于Ｍ。　同理可以证明．如果数列｛Ｘｎ｝是单调递减数列，即　对任意的ｉ＜ｊ。总有Ｘｆ≥Ｘｊ成立，且ｍ是其最大下界（即对　于任意的ａ＞Ｏ，总存在正整数Ｎ，使得当　＞Ｎ时，Ｘｎ，￣ｍ＋　ｎ），则当　一。。时．数列｛Ｘｎ　ｌ收敛于ｍ。　这个结论的重要意义在于：一是确认了单调有界数列必　有极限，二是利用这个结论和夹逼准则我们还证明了两个重　／　１、　要极限中的ｌｉｍ（１＋专Ｊ＝ｅ。　．　∞、　＾　由此也就产生了本文所要讨论的问题：由“单调有界数　列必有极限”是否就能够得到“单调有界函数必有极限”这样　的结论呢？函数的极限到底都和什么相关呢？　事实上，函数的极限是由函数本身和极限过程所决定　的，因此在讨论函数的极限时，既要考虑函数本身，如函数的　定义域、函数关系等。还要考虑取极限时的极限过程。数列　作为定义在自然数集上的一类特殊函数，在讨论它的极限　时，其极限过程只有一个．即　一。。。而一般（下转第儿１页）

单调有界定理在极限中的应用

作者：缪彩花

来源：《新课程·上旬》 2014年第12期

文/缪彩花

摘 要：极限的计算和极限存在性的证明具有相当大的灵活性与技巧性，一般来说无定法可循，简要论述单调有界定理在求极限和证明极限中的应用，有利于开拓解题思路，深刻理解数列的极限。

关键词：数列；极限；有界

数列的极限，是分析中的基础内容，是研究函数解析性的重要工具.极限的计算与极限的存在性是极限理论的两大基本问题.求（证）极限具有相当大的灵活性与技巧性，且有一定的难度，一般来说无定法可循，因为极限是相当生动的内容，不可能刻板地得出求（证）极限的通用方法.本文简要论述单调有界定理在求极限和证明极限中的应用.

单调有界定理是实数集完备性的基本定理之一，其内容是：“在实数系中，有界的单调数列必有极限”，它给出了数列极限存在的一个充分条件.

一、单调有界定理在求极限中的应用

对于能写出递推关系式xn+1=f（xn）的数列，如果满足单调有界定理的条件，则可通过在递推关系式xn+1=f（xn）中两边同时取极限的方法，得到极限所满足的方程A=f（A），解此方程，就可以求出数列{xn}的极限A.在证明{xn}有界时，有时可以使用数学归纳法.

二、单调有界定理在证明极限中的应用

单调有界定理给出了数列极限存在的一个充分条件，当所讨论的数列满足单调且有界时，就可由单调有界定理得出该数列的极限是存在的.

其中εn→0（n→∞）为常数.

分析：本题先对函数f（x）=lnx在区间［k，k+1］上利用拉格朗日中值定理，由此推证数列{xn}是有界数列.再指出该数列是单调递减的.据“单调有界定理”知，{xn}有极限，由此本题即可得证.

参考文献：

［1］华罗庚.高等数学引论［M］.科学出版社，1963-11.

［2］张筑生.数学分析新讲［M］.北京大学出版社，1990-10.