![实变函数[精华]](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/c5aa2ff19a89680203d8ce2f0066f5335a816718.webp)
0
1、单调渐张集列必收敛，其极限集为 ；若An
=[0,1-],则 。
0
2、闭集减开集的差集是 集。
0
3、若则 。
0
4、设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成一列 的极限函数。
0
5、康托尔集是一个 集，其测度为 。
0
6、在[a,b]上的有界变差函数一定是 函数。
0
7、设f(x)是可测集E（）上的有界函数，则f(x)在E上（L）可积的充
要条件是f(x) 。0
8、可数集合在无限集中具有最小的 。
0
二、判断题（20分,每小题2分）：0
1、复数集的基数最大。 （ ）
0
2、连续函数一定是可测函数。 （ ）
0
3、任意多个开集的交集一定是开集。 （ ）
0
4、康托尔集与有理数集的测度相等。 （ ）
0
5、若|f(x)|在可测集E上可测，则f(x)必在E上可测。 （ ）
0
6、几乎处处收敛的函数列必是依测度收敛的。 （ ）
0 7、L积分是一种绝对收敛的积分。 （ ）
0
8、E的界点一定是E的聚点。 （ ）
0
9、单调增加函数的间断点只有有限个。 （ ）
0
10、设f(x)在E上（L）可积，则f(x)在E上必有限。 （ ）
0
三、构造题（12分）：0
1（6分）、在[0，1]上构造一个具有有限正测度的闭集。
0
2（6分）、构造一可列集E，使其导集，其开核。
0
四、简答题（16分，每小题4分） 0
1、有界变差函数与连续函数的关系是怎样的？
0
2、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？
0
3、说明可测函数类比连续函数类广。
0
4、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系。
0
五、计算题（18分，每题9分）： 0
1
、求极限。
0
2、设在Cantor集上定义函数f(x)= 1，而在Cantor集的邻接区间上函数的图形
是以这些邻接区间长度为直径所作圆周之上半圆，计算f(x)在[0，1]上的L积分。
0
六、证明题(16分每题8分) 0 1、设在E上，且几乎处处成立于，n=1,2,„，则
第1页（共15页） 2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．𝑙𝑔100−2713=（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A．y＝lnx B．y=1𝑥 C．y＝x2
D．y＝ex﹣1
3．设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2
﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（ ）
A．任意m≥0，使mx2
﹣mx﹣1＝0无实根
B．任意m＜0，使mx2
﹣mx﹣1＝0有实根
C．存在m≥0，使mx2
﹣mx﹣1＝0无实根
D．存在m＜0，使mx2
﹣mx﹣1＝0有实根
4．已知𝑎=21.01，𝑏=𝑙𝑜𝑔
34，𝑐=√154，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩
不超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A．7
10 B．3
10 C．2
5 D．1
5
6．已知关于x的不等式2𝑥−𝑎
𝑥−1≤−1的解集是[23，1)，则实数a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．4
3 D．2
7．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现偶数点”，B＝“第二枚出现奇数点”，则下列说法
正确的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B互为对立
C．A与B相等 D．A与B相互独立
8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若对于任意的x
1，x
2∈（﹣∞，0]，当x
1≠x
2时，都有𝑓(𝑥
1)−𝑓(𝑥
2)
𝑥
1−𝑥
2
＞0成立，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为（ ）
第2页（共15页） A．（0，1） B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
- 214 -
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号
课程名称 实变函数与泛函分析
课程类别 综合选修
教材名称 实变函数与泛函分析基础
制 订 人 张文俊
审 核 人 胡鹏彦
2005年4月修订 张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
- 215 - 一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课
2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向）
3．开设学期：第七学期
4．学时安排：周学时6，总学时72
5．学分分配：4学分
（二）开设目的
《实变函数与泛函分析》是数学分析课程的深化和发展。从内容上看，它将微积分中区域的面积推广到一般集合的测度，将区域上的黎曼积分推广到可测函数的勒贝格积分；从研究方法上看，它运用点集分析方法揭露函数的许多深刻性质。通过对实变函数与泛函分析的学习，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
（三）基本要求
在学习本课程过程中，学生应特别注意培养自己的抽象思维能力与逻辑能力和基本概念实质的理解。
（四）主要内容
实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。
（五）先修课程
数学分析、解析几何、高等代数、复变函数
实变函数面试题目及答案
一、单项选择题（每题 2 分，共 20 分）
1. 实变函数论中，以下哪个概念不是勒贝格积分理论的基础？
A. 测度
B. 连续性
C. 可测集
D. 可积性
答案：B
2. 以下哪个函数在实数域上不是勒贝格可积的？
A. f(x) = x^2
B. f(x) = 1/x
C. f(x) = sin(x)
D. f(x) = 1
答案：B
3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：
A. 积分区间
B. 积分方法
C. 积分对象
D. 积分的连续性
答案：C
4. 以下哪个定理不是实变函数中的定理？
A. 勒贝格控制收敛定理
B. 单调收敛定理
C. 魏尔斯特拉斯逼近定理
D. 泰勒展开定理
答案：D
5. 测度论中，以下哪个概念描述了集合的“大小”？
A. 邻域
B. 内测度
C. 外测度
D. 极限点
答案：C
6. 以下哪个函数是勒贝格可测的？
A. f(x) = 1/x
B. f(x) = x sin(1/x) (x ≠ 0)
C. f(x) = 1 (x是有理数), 0 (x是无理数)
D. f(x) = 1 (x是整数), 0 (x不是整数)
答案：B
7. 以下哪个函数是勒贝格不可测的？
A. f(x) = x^2
B. f(x) = sin(x)
C. f(x) = 1 (x是有理数), 0 (x是无理数)
D. f(x) = 1
答案：C
8. 以下哪个函数是绝对连续的？
A. f(x) = x^2
B. f(x) = x sin(1/x) (x ≠ 0)
C. f(x) = 1 (x是有理数), 0 (x是无理数)
D. f(x) = 1
答案：A
9. 以下哪个函数是单调的？
A. f(x) = x^2
B. f(x) = sin(x)
C. f(x) = x sin(1/x) (x ≠ 0)
D. f(x) = 1
答案：D
10. 以下哪个函数是周期函数？
