泊松分布的概念及表和查表方法

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- -优质- 泊松分布的概念及表和查表方法

Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

中文名泊松分布外文名 poisson distribution

分类数学时间 1838年

台译卜瓦松分布提出西莫恩·德尼·泊松

1命名原因

2分布特点

3关系

4应用场景

5应用示例

6推导

7形式与性质

- -优质- 命名原因

泊松分布实例

泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson

distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete

probability distribution）。泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

分布特点

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为特征函数为

关系

泊松分布与二项分布

泊松分布

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

应用场景 -

- -优质- 在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。

应用示例

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：

……

是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此就意味着全部死亡的概率。

推导

泊松分布是最重要的离散分布之一，它多出现在当X表示在一定的时间或空间内出现的事件个数这种场合。在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，是一个典型的例子。泊松分布的产生机制可以通过如下例子来解释。 -

- -优质- 为方便记，设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段：

我们做如下两个假定：

1. 在每段内，恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长成正比，可设为。当n很大时，很小时，在这么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在这段时间内不发生事故的概率为。

2.各段是否发生事故是独立的

把在[0,1)时段内发生的事故数X视作在n个划分之后的小时段内有事故的时段数，则按照上述两个假定，X应服从二项分布。于是，我们有

注意到当取极限时，我们有

因此

- -优质- 从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若,其中n很大，p很小，因而不太大时，X的分布接近于泊松分布。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。

形式与性质

阶乘特点以及泰勒公式使得一类期望的计算十分简便

- -优质-

泊松分布——概率分布表-

- -优质- x λ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

0 0.904837 0.818731 0.740818 0.670320 0.606531 0.548812 0.496585 0.449329 0.406570 0.367879 0.223130 0.135335 0.082085 0.049787 0.030197 0.018316 0.011109 0.006738 0.002479 0.000912 0.000335 0.000123 0.000045

1 0.090484 0.163746 0.222245 0.268128 0.303265 0.329287 0.347610 0.359463 0.365913 0.367879 0.334695 0.270671 0.205212 0.149361 0.105691 0.073263 0.049990 0.033690 0.014873 0.006383 0.002684 0.001111 0.000454

2 0.004524 0.016375 0.033337 0.053626 0.075816 0.098786 0.121663 0.143785 0.164661 0.183940 0.251021 0.270671 0.256516 0.224042 0.184959 0.146525 0.112479 0.084224 0.044618 0.022341 0.010735 0.004998 0.002270

3 0.000151 0.001092 0.003334 0.007150 0.012636 0.019757 0.028388 0.038343 0.049398 0.061313 0.125511 0.180447 0.213763 0.224042 0.215785 0.195367 0.168718 0.140374 0.089235 0.052129 0.028626 0.014994 0.007567

4 0.000004 0.000055 0.000250 0.000715 0.001580 0.002964 0.004968 0.007669 0.011115 0.015328 0.047067 0.090224 0.133602 0.168031 0.188812 0.195367 0.189808 0.175467 0.133853 0.091226 0.057252 0.033737 0.018917

5 0.000002 0.000015 0.000057 0.000158 0.000356 0.000696 0.001227 0.002001 0.003066 0.014120 0.036089 0.066801 0.100819 0.132169 0.156293 0.170827 0.175467 0.160623 0.127717 0.091604 0.060727 0.037833

6 0.000001 0.000004 0.000013 0.000036 0.000081 0.000164 0.000300 0.000511 0.003530 0.012030 0.027834 0.050409 0.077098 0.104196 0.128120 0.146223 0.160623 0.149003 0.122138 0.091090 0.063055

不同泊松分布表的查法

不同泊松分布表的查法可以通过以下步骤进行：

1. 确定参数：泊松分布的参数是λ（lambda），表示单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的平均次数。确保已知λ的值。

2. 确定随机事件的次数：确定你感兴趣的随机事件发生的次数k，通常从0开始。

3. 计算概率：查找泊松分布表，根据λ和k的值找到相应的概率值。这些表提供了给定λ和k的概率值，有时还提供了累积概率值。

4. 插值计算（可选）：如果你找不到准确的λ和k值组合的概率，可以通过插值计算来获取更接近的近似值。

5. 解释结果：最后，根据计算得到的概率值，解释随机事件发生的可能性大小。注意，泊松分布假定各事件之间是独立发生的，且出现的概率相同。

需要注意的是，现代技术使得泊松分布表的使用变得相对较少。通常，可以使用计算软件来直接计算泊松分布的概率值。这样可以更加灵活和精确地进行计算。

泊松分布的特征

一、泊松分布的概念

泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在固定时间或空间内随机事件发生的次数。它的命名来源于法国数学家西蒙·丹尼·泊松。

二、泊松分布的概率密度函数

泊松分布的概率密度函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内随机事件发生的平均次数。

三、泊松分布的期望与方差

泊松分布的期望为λ，方差也为λ。这意味着在一个固定时间或空间内，随机事件发生的平均次数越多，其变异程度也越大。

四、泊松分布的应用

1. 人口统计学：在人口统计学中，泊松分布可以用来描述某个地区在某个时间段内出生或死亡人数、疾病发病率等。

2. 金融风险管理：在金融风险管理中，泊松分布可以用来描述市场上某种风险事件（如股票价格下跌）发生的概率。

3. 工业质量控制：在工业质量控制中，泊松分布可以用来描述某个时间段内生产线上出现的缺陷数。

4. 交通流量研究：在交通流量研究中，泊松分布可以用来描述某个时间段内某个路口通过车辆的数量。

五、泊松分布与其他概率分布的关系

1. 当λ趋近于无穷大时，泊松分布逼近于正态分布。

2. 当λ小于1时，泊松分布逼近于几何分布。

六、总结

泊松分布是一种常见的概率分布，在许多领域都有广泛应用。它的特点是离散型、单峰型、对称型，并且具有平均值等于方差的特性。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数λ来描述随机事件发生次数的概率。

泊松分布表

在审计中使用统计抽样时，所采用的统计方法必须与特定的环境相适应。统计方法其实就是数学模型，模型的选定取决于抽样分布。本附录采用的统计方法基于泊松分布，它是一种连续分布，不对称，并完全由一个参数来确定。在技术上，该参数取决于 n(测试的数量)和 p(某一事件发生的概率)。

选用这一统计方法基于以下原因：

(1)在实务中，统计领域广泛使用这一统计方法；

(2)同样的分布在控制测试和细节测试中均可采用；

(3)分布的总体与许多会计总体非常相似(高斜率，低偏差率)；

(4)大部分计算和公式都比其他统计方法简单。

1.使用统计公式计算样本规模。在基于泊松分布的统计模型中，样本量的计算公式如下：

样本量(N)=可接受的信赖过度风险系数(R)

可容忍偏差率(TR)

其中的分子“可接受的信赖过度风险系数”取决于特定的信赖过度风险和预期将出现的偏差的个数，它可在泊松分布表中查得。表1314-6 列示了在控制测试中常用的风险系数，其中的数据来自附录1314-4 中表 1314-16“高估错报中的风险系数表”中相关数据的近似值。

在本例中，注册会计师确定的可容忍信赖过度风险为 10%，可容忍偏差率 7%，并预期至多发现一例偏差。应用公式可计算出所需的样本量为 56，计算如下：