14.4二面角

四法求二面角

二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。 （1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o点在棱上，用定义法。

(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点

O在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为

COS θ= S`÷ S

O

A

B

C D O A

图3 α

β O

B l

O

图5 β α

l C B A 例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。

（三垂线定理法）

分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC

上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解 ∵ PC⊥平面ABC

∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥

平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA

－C的平面角。

设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是

∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△

DEA

评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法

来求解。

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，

求点P到直线a的距离。（图1－126）（垂面法）

分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、

二面角求法总结

一、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD，2DCSD，点M在侧棱SC上，ABM=60°

（I）证明：M在侧棱SC的中点

（II）求二面角SAMB的大小。

练习1:（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.

二、三垂线法 F G 2 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。

（1） 证明：直线EE1//平面FCC1；

（2） 求二面角B-FC1-C的余弦值。

练习2（天津）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形． 已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．

（Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角ABDP的大小．

三．补棱法 3 PQMNBODAB本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

合 同

购货方： （以下简称甲方）

供货方： （以下简称乙方）

根据《中华人民共和国合同法》及有关法规的规定，结合本工程具体情况，经甲、乙双方自愿协商，本着平等互利、公平公正的原则达成以下条款。

一、 工程概况：

1、 工程名称：

2、 工程地点：

二、 订购产品名称、型号、数量及价格：

产品名称及型号：

产品数量及单价：附清单

合计总工程款：

1、 面料颜色由甲方选定，作为质量验收标准。

2、 乙方对于所制作、安装的产品免费保修一年（排除人为因素）。乙方对于已过保修期后，产品发生的质量问题，提供上门维修服务，并同甲方收成本费。

三、 交货（完工）时间及地点：

1、 施工期限为 天，自合同签订日起算。

2、 产品自乙方工厂至施工地点的运费由 承担。

四、 验收标准及方法：

1、 工程所需材料、设备到场后，应及时通知甲方进行验收。

2、 验收按照合同规定的质量要求。

3、 甲乙双方如对产品的质量验收过程中发生争议，以生产厂家质量检验机构提供的证明为准。

五、 付款及结算方式：

1、 合同自双方签订后，甲方应乙方付定金人民币 元。

2、 货到工地，经甲方验收，品牌产品数量无误，甲方应向乙方付货款人民币 元。

3、 工程验收合格后，一次性付清总工程款。

六、 违约责任：

1、 乙方未按合同规定的质量交付定作物，若甲方同意利用，应按质论价酌减或提升价款，甲方不同意利用，乙方应负责修整和调整。

2、 乙方若不能在合同规定的期限内完成工作的，按合同总额千分之三每日向甲方支付违约金。

3、 若付款不及时造成的工期延误，工期应向后自动顺延。

(1)二面角定义的回顾：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二

面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二

面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，

分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角

l的平面角。

(2)二面角的通常求法

a.由定义作出二面角的平面角；

b.作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。

c.利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；

d.空间坐标求二面角的大小;(法向量法)

e．射影面积法

例１：在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面

角B-AD-C后，BC=21AB，求二面角B-AD-C的大小。

证明：连结BC，在等边三角形ABC中

设AB=AC=a,则BD=CD= a

例2：（2006年广东高考题）如图右所示，DEAF,分别是⊙o、⊙1O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8AD，BC是⊙o的直径，6ACAB，ADOE//

（1）求二面角FADB的大小；

解：（法一）

AD均与两圆所在的平面垂直

AFADABAD, 故BAF是二面角FADB的平面角。 O A B

O A

B l

A

B C D A A

B C

A

B C D 的中点为BCDCDADBDAD,的平面角为二面角CADBBDC21ABBC21又aBC21为等边三角形BCD060BDC060的大小为二面角CADB方法：运用定义找二面角的平面角

FEOO1DCBAx y z  BC是⊙o的直径，AB=AC

 BCAO

又AF是⊙o的直径

四边形ABCF是正方形

BAF=450

即二面角FADB的大小为450

（法二）运用空间向量坐标运算

以A为原点建立空间直角坐标系A-XYZ，如图所示：

由（法一）可知：四边形ABCF是正方形