二面角2

1 3.2向量法求二面角(16-1)

编制人：闵小梅 审核人：王志刚

【使用说明及学法指导】

1.完成预习案中的相关问题；

2.尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；

3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。

【学习目标】会用法向量求二面角的大小

【教学重点】向量法求二面角的大小

【教学难点】建立适当的坐标系，准确写出点的空间坐标

一、复习引入

【复习】

知识点1．向量法求两条异面直线所成的角（范围：]2,0(）

|||||||,cos|cosnmnmnm

知识点2．向量法求直线与平面所成角（范围：]2,0[）

||sin|cos,|||||nABnABnABruuurruuurruuur

类比以上求法，思考如何用向量法求二面角？

回顾二面角的有关概念：

(1) 二面角的定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

(2)二面角的平面角

①过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OAOB，则AOB叫做二面角l的平面角，[0,]AOB。

②一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为,,OAOBO为垂足，则AOB也是l的平面角，[0,]AOB。 a

b O

ObaObaABOn（图1） ABOn（图2）

2 【引入】

知识点3．向量法求二面角（范围：[0,]）

①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中CDlCDABlAB,,,.

结论：

②法向量法

如图1、2所示时，二面角l的平面角与平面α、β的法向量1nr，2nr的夹角12,nnrr相等，即 ；

北京市和平街第一中学课时教学设计

授课时间 2018 年 9 月 13日 第 1 页

课题

用空间向量解决立体几何中角的问题 (4)

二面角 课型 空间向量解立体几何新课

章（单元）总课时 14 本课题课时 14 本节课是第12课时

教学

目标

巩固二面角的求解

教学

重点 求解二面角向量方法.

教学

难点 准确建系，求解准确

教学

方法 讲授法、讨论法

教学

手段

投影

板书

设计 教 师 教 学 活 动 设 计 学生活动 估时

教

学

过

程 一． 回顾

1.二面角的概念：

2.二面角范围:

3.向量法:

例1．.在三棱柱111ABCABC中 ， 11CAB平面BBC ，E为棱1CC 上异于1CC的一点， 1AEEB ，已知2AB ，112,1,3BBBCBCC求二面角

11AEBA 的 大小

2如图：已知 ACD,DEACDAB平面平面，三角形ACD 是正三角形，且2ADDEAB，F是CD的中点，求二面角FBEC的 大小

CC1B1BA1AEFCDAEB练习:2018年北京高考

如图,在三棱柱111ABCABC中,1CC平面ABC,,,,DEFG分别为1111,,,AAACACBB的中点,15,2.ABBCACAA

（Ⅰ）求证:AC平面BEF;

（Ⅱ）求二面角1BCDC的余弦值;

小结：

学生讲解

学生练习

课

后

反

思

第1页共12页

二面角的计算（二）人教A版

一、单选题(共9道，每道11分)

1.已知、分别是正方体的棱、的中点，则截面与底面所成角的正弦值是(

)

A.B.

C.D.

答案：C

解题思路： 第2页共12页

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

2.已知、分别是正方体的棱、的中点，则截面与侧面所成角的正切值是(

)

第3页共12页 A.B.

C.D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

3.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的正方形，△是等边三角形，则二面角的正切值是( ) 第4页共12页

A.B.

C.D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

4.如图，在四棱锥中，，底面是边长为2的正方形，△是等边三角形，则二面角的正切值是( ) 第5页共12页

A.B.

C.D.

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法 第6页共12页

5.如图，已知平面，底面是正方形，，是的中点，则二面角的正切值为(

)

A.B.

C.D.

答案：C

解题思路：

第7页共12页

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

6.如图，已知平面，底面是正方形，，是的

中点，则二面角的正切值为(

)

A.B.

C.D.

答案：B

解题思路： 第8页共12页

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

7.如图，已知平面，底面是正方形，，是的

中点，则二面角的余弦值为(

)

A.B. 第9页共12页 C.D.

答案：B

解题思路：

第10页共12页

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

8.如图，已知是正方形，平面，且，则二面角的度数为(

)

A.B.

C.D.

答案：C

解题思路： 第11页共12页

试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法

2.3.2 二面角

【学习目标】

① 能理解“二面角”的定义；

② 能理解 “二面角的平面角”，并能找出“二面角的平面角”；

③ 会求一些简单的二面角的平面角。

【重点难点】

重点：二面角的平面角；

难点：如何求作二面角的平面角

【使用说明及学法指导】

阅读课本P67~P68，完成下列题目

预习案

一、知识梳理

1、半平面：__________________________________________________________叫做半平面

2、二面角：________________________________________________________叫做二面角，这条直线叫做____________，这两个半平面叫做___________________。

3、二面角三种表示：_____________，_______，________

4、二面角的平面角：

（1）_________________________________________________________________叫做二面角的平面角．

我们用_______________来度量二面角的大小。

5、二面角的范围是_______________

6、_________________________________________________________叫做直二面角，

二、问题导学

1、二面角和二面角的平面角有什么关系？

2 、二面角的范围是什么？

三、预习自测

1 .二面角是指 （ ）

A 两个相交平面构成的图形

B 以一个平面内的直线分成的一个平面与这个平面构成的图形

C 从一条直线出发的两个半平面构成的图形

D 过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线构成的角

2．在一个二面角的一个平面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数 .