模糊数学(模糊聚类、模糊映射与变换)

一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。

普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。

如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。

模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。

即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。

（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射： ))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。

)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。

映射所表示的函数称为隶属函数。

例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。

（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。

或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。

模糊数学中的模糊分类与模糊聚类模糊数学是一种旨在处理模糊或不确定信息的数学分支。

在日常生活中，我们经常会遇到无法明确划分的情况，例如对于颜色、温度、评价等概念，很难用确定的数值来量化描述。

为了更好地研究和解决这些模糊问题，模糊数学提供了一种有效的工具。

本文将重点介绍模糊数学中的模糊分类与模糊聚类两个主要概念。

一、模糊分类1.1 概述模糊分类是指将对象根据其模糊属性划分为不同的类别或群组。

与传统分类不同，模糊分类允许对象被同时归属于多个类别，而不是严格地属于某一个类别。

这一特点使得模糊分类能够更好地应对现实生活中的模糊性和不确定性。

1.2 模糊分类方法模糊分类的方法主要包括模糊关联、模糊决策树和模糊聚类等。

1.2.1 模糊关联模糊关联是通过建立一个关联矩阵来进行模糊分类的方法。

关联矩阵中的每个元素表示对象与类别之间的隶属度关系，该关系通常用一个介于0和1之间的实数值来表示。

通过对关联矩阵进行模糊运算，可以得到对象所属于不同类别的隶属度，从而实现模糊分类。

1.2.2 模糊决策树模糊决策树将传统决策树中的确切节点替换为模糊节点，从而实现对对象的模糊分类。

模糊节点表示对应分支的隶属度，可以有多个分支与之对应。

通过对模糊决策树进行模糊运算，可以得到对象所属于不同类别的隶属度，从而实现模糊分类。

二、模糊聚类2.1 概述模糊聚类是指将具有相似特征的对象自动聚合到一起形成群组的过程。

与传统聚类算法不同，模糊聚类允许对象被同时归属于多个群组，而不是严格地属于某一个群组。

这一特点使得模糊聚类能够更好地处理模糊性和不确定性。

2.2 模糊聚类方法模糊聚类的方法主要包括模糊C均值聚类、模糊聚类算法和模糊关联聚类等。

2.2.1 模糊C均值聚类模糊C均值聚类是一种常用的模糊聚类方法，它通过计算对象与聚类中心之间的隶属度关系来实现聚类。

该方法假设每个对象属于不同聚类的隶属度之和为1，通过迭代计算，可以得到每个对象所属于不同聚类的隶属度。

本科数学专业课程中思政元素的实践探索——以“模糊数学”为例近几年，在国家政策的指导下，课程思政建设正在全国各个高校如火如荼地展开，其效果也在高等教育中凸显出来［1］。

课程思政作为立德树人根本任务的重要举措，已经成为各类专业课程与思政元素有机结合的完美体现。

要将思政元素和专业知识双重目标分解落实，明确实施途径和方式，才能切实达到育人、育才统一的建设效果。

数学专业课程以其严谨的逻辑思维要求和独特的课程体系，使得与思政元素结合的切入点尤其关键。

如何将晦涩难懂的数学知识与鲜活高尚的思政元素融为一体，是很多大学数学教师潜心摸索的问题［2］。

笔者以数学专业课程——“模糊数学”的讲授过程为例，谈几点自己的看法。

一、课程思政引入数学类专业课中存在的问题（一）重视程度不足教育部颁布的《国家中长期教育改革和发展规划（2010-2020年）》中指出，高校教师的80%是专业教师，课程的80%是专业课程，学生学习时间的80%用于专业学习，专业课程教学是课程思政的最主要的依托。

但是目前高校中仍有少数专业教师在思想政治教育的认识上存在误区，导致对思政元素引入专业课堂的积极性不高、针对性不强。

同时，也有部分教师对教学中思政元素的引入一带而过，敷衍了事，这样的教学既没有达到思想政治育人的目的，也降低了专业知识传授的效果。

（二）课程体系不完善高校专业课程的培养目标通常强调提升学生的专业技能，在教学设计环节弱化了思想政治教育设计的周密性和科学性；在开展教学过程中，思想政治教育与专业教育出现了较大的脱节。

特别是数学类专业课程，专业知识中思政元素的挖掘不够全面，与专业课程结合比较片面，没有将专业教育与思想政治教育紧密融合，形成协同效应。

由于高校数学类专业课程具有较为完备的课程标准，尤其在基本概念、理论推导、计算过程等方面都已经形成了完善的教学体系和考核标准，因此，教师在教学过程中，往往只在标准框架下进行基本规范的教学活动，更加注重基本知识的讲解和逻辑思维的培养，对课程思政考虑不足，更没有在教学设计和教学对策中更好地融入思政元素，这不利于教学质量更好的提升，在一定程度上也阻碍了课程思政的顺利进行。