模糊数学
第1节模糊聚类分析
第2节模糊模式识别
第3节模糊相似优先比方法
第4节模糊综合评判
第5节模糊关系方程求解
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析
1. 模糊集的概念
对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x?A，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：
A x x A x A
()=
∈
??
?
?
1
A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。
如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了一个从域X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。
x1：85分，即A(x1)=0.85
x2：75分，A(x2)=0.75
x3：98分，A(x3)=0.98
x4：30分，A(x4)=0.30
x5：60分，A(x5)=0.60
这样确定出一个模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。
定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 ≤λ≤ 1，记Aλ=｛x｜x∈X, A(x)≥λ｝,称Aλ为A的λ截集。
Aλ是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平λ (0 ≤λ≤ 1) 来确定其隶属关系。λ截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A是一个具有游移边界的集合，它随λ值的变小而增大，即当λ1 <λ2时，有Aλ1∩Aλ2。
定义3 模糊集运算定义。若A、B为X上两个模糊集，它们的和集、交集和A的余集都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：
(A∨B) (x)= max ( A(x), B(x) )
(A∧B) (x)= min ( A(x), B(x) )
A C (x)=1－A(x)
关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。
定义4若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内，则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样，有模糊单位阵，记为I；模糊零矩阵，记为0；元素皆为1 的矩阵用Ｊ表示。
定义5 若A和B是n×m和m×l的模糊矩阵，则它们的乘积C=AB为n×l阵, 其元素为：
C ij=∨∧
=
k
m
ik kj
a b
1
()
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l) (20.1)
符号“∨”和“∧”含意的定义为：a∨b=max(a, b)，a∧b=min(a, b)。
模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB)C=A (BC)；2) AI=IA=A；3)A0=0A=0; 4) AＪ=ＪA; 5) 若A、B为模糊矩阵且a ij ≤b ij (一切i, j)，则A≤B，又若A≤B, 则AC≤BC，CA≤CB。
2. 模糊分类关系
模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。由集合的概念, 可给出如下定义：定义6 n个样品的全体所组成的集合X作为全域，令X?Y=｛(X, Y)｜x∈X, y∈Y｝,则称X?Y为X的全域乘积空间。
定义7 设R为X?Y上的一个集合，并且满足：
1) 反身性: (x i , y i)∈R，即集合中每个元素和它自己同属一类；
2) 对称性: 若(x, y)∈R，则(y, x)∈R，即集合中(x, y)元素同属于类R时, 则(y, x)也同属于R；
3) 传递性: (x, y)∈R，(y, z)∈R，则有(x, z)∈R。
上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合R为一分类关系。
聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类，模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。
3. 模糊聚类
利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下：
(1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料，在定义相似系数矩阵之前，可先对原始数据进行变换处理，变换的方法同系统聚类分析, 可参考第17章系统聚类分析一节。
(2) 计算模糊相似矩阵。设Ｕ是需要被分类对象的全体，建立Ｕ上的相似系数R,Ｒ(i, j)表示i与j之间的相似程度，当Ｕ为有限集时，R是一个矩阵，称为相似系数矩阵。定义相似系数矩阵的工作，原则上可以按系统聚类分析中的相似系数确定方法，但也可以用主观评
定或集体打分的办法。DPS 平台，对数据集
X =????
????????
?x x x x x x x x x n m m m n n nm 1112121
2221
2
提供了以下8种建立相似矩阵的方法： ①相关系数法： ②最大最小法：
③算术平均最小法：
④几何平均最小法： ⑤绝对指数法：
⑥绝对值减数法： ⑦夹角余弦法：
⑧欧氏距离：
(3) 聚类分析。用上述方法建立起来的相似关系R ，一般只满足反射性和对称性，不满
足传递性，因而还不是模糊等价关系。为此，需要将R 改造成R *后得到聚类图，在适当的阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。将R 改造成R *，可用求传递闭包的方法。。R 自乘的思想是按最短距离法原则，寻求两个向量x i 与x j 的亲密程度。
假设R 2=(r ij )，即r ij =k n
=∨
1(r ik ∧r kj )，说明x i 与x j 是通过第三者K 作为媒介而发生关系，
r ik ∧r kj 表示x i 与x j 的关系密切程度是以min(r ik , r kj )为准则，因k 是任意的, 故从一切r ik ∧r kj 中寻求一个使x i 和x j 关系最密切的通道。R m 随m 的增加，允许连接x i 与x j 的链的边就越多。由于从x i 到x j 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链，这个边长就是相当于r ij ∝
。
在实际处理过程中，R 的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速度，通常采取如下
处理方法：
R →R 2→R 4→R 8→…
→R 2k
即先将R 自乘改造为R 2，再自乘得R 4，如此继续下去，直到某一步出现R 2k =R k =R *。此时R *满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R )就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R *)。
(4) 模糊聚类。对满足传递性的模糊分类关系的R *进行聚类处理，给定不同置信水平
的λ，求R λ*
阵，找出R *的λ显示，得到普通的分类关系。当λ=1时，每个样品自成一类，
随λ值的降低，由细到粗逐渐归并，最后得到动态聚类谱系图。
4. DPS 平台操作示例
首先在编辑状态下输入编辑数据，格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量，然后
将待分析的数据定义成数据矩阵块，在菜单方式下选择“模糊数学→模糊聚类”功能项，回车执行时，系统将提示用户选择数据转换方法：
0.不转换 1.数据中心化 2.对数转换 3.数据规格化 4.数据标准化 作出数据转换方式的选择后，系统又将提示选择建立模糊相似关系的计算方法，共有上面所述的8种方法可供选择。
分析输出的结果包括各个样本的联结序号、联结水平、聚类谱系图索引及在屏幕上显示聚类谱系图(拷屏可得到谱系图硬拷贝, 或按S 将图形文件以“.BMP ”格式存放在盘上，然后可在Windows 有关应用软件中调出)。
第2节 模糊模式识别
1. 方法简介
“模式”一词来源于英文Pattern ，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。
模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以理解为模式的分类，即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类，这与我们前面介绍的判别分析很相似。
模式识别的方法大致可以分为两种，即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近
原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知n 个类型在被识别的全体对象U 上的隶属函数，则可按隶属原则进行归类。此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模糊变量x ，其隶属度为
A x x a b ()=--?? ????????
?
??e 2
其中a 为均值，b 2=2σ2, σ2
为相应的方差。按泰勒级数展开，取近似值得
A x x a b x a b x a b ()=--?? ???-<->????
?102 若有n 种类型m 个指标的情形，则第i 种类型在第j 种指标上的隶属函数是
A x x a b x a b a b x a a x a x a b a x a b a b x
ij ij ij ij ij ij ij ij
ij ij ij ij ij ij ij
ij ij ()(1)
(1)(1)(1)(1)()
()()()()
=≤---??
????-<<≤≤--?? ????<<++
????
?
?????011
102222
222
其中a ij
(1)
和
a ij
()2分别是第i 类元素第j 种指标的最小值和最大值，b ij ij
222=σ, 而σij 2是第i 类元
素第j 种指标的方差。
(2) 若有n 种类型(A 1, A 2, …, A N ), 每类都有m 个指标，且均为正态型模糊变量，相应的
参数分别为a ij (1),a ij
()
2,b ij (i =1, 2, …, n ; j =1, 2, …, m )。其中，
a x ij ij (1)
min()
=,
a x ij ij ()
2=max(),
b ij ij
222=σ, 而σij 2
是x ij 的方差。待判别对象B 的m 个指标分别具有参数a j , b j (j =1, 2, …, m )，
且为正态型模糊变量，则B 与各个类型的贴近度为
(,)(()(()
)()()()()()
)()A a a b b a a b b a b b a a a a a a a b b a a a b b ij j ij j ij j ij
j ij ij j ij j ij
ij j ij
j
ij j ij ij j ij j ij B =≤----+?? ????--<<≤≤--+?? ???
?<<++0
1121
112112
111222
22
)()()
2a b b a ij j ij j
++≤???????
??????
记S i =min()
1≤≤j m
ij A ,B ，又有S i 0
=max ()
1≤≤j n
i S ，按贴近原则可认为B 与A i 0最贴近。
图30-3 模糊识别分析的数据编辑定义图
根据如上介绍，DPS 系统中设计了两个功能模块：一是根据在集合上的隶属函数，按
隶属原则识别对象，判定样本的类别归属；二是根据模糊集两两之间的贴近度，按择近原则，确定出最接近的两个模糊集。 2. DPS 平台的操作示例
系统规定数据输入的格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量。最右边的一列为样
本的已知类别(如1, 2, …)。（注意每一类中至少要有三个样本）。对于待判别的样本, 其分类类别用0表示。所有待分析数据(连同类别一起)需定义成数据块， 然后进入菜单操作，选择“模糊数学→模糊识别”功能项，回车执行后即可输出分析结果。输出结果包括各类参数(变量名、最小值、最大值、标准差和参数B )和各待判样本的归类结果(样本序号、对各类贴近度的最大值、最贴近的类号)。 注意事项：系统最多可处理20个因子，100个样本。
例如，在“有序样本最优分割”一节中，我们将历年三化螟发生动态根据最优分割结果
分成3类, 即将三化螟种群消长过程划分为猖獗?缓和?猖獗三个阶段, 这样的划分结果与该县历年水稻种植制度(一季中稻为主→纯双季稻→单双季混栽)的变化是相吻合的。为识别1988 年之后三化螟发生动态，我们也可以应用模糊识别方法进行分析。现将待识别数据和原来的历史资料按上页图30-3方式整理编辑和定义。
完成数据编辑定义之后，执行选项功能“模糊识别”，便可得到如下结果：
从分析结果可以看出，1989年和1990年三化螟发生动态仍和前几年相似，表明农业生态系统是相对稳定的。
第3节模糊相似优先比方法
1. 方法简介
相似优先比是模糊性度量的一种形式，它是以成对的样本与一个固定的样本作比较，确
定哪一个与固定样本更相似，从而选择与固定样本相似程度较大者。 假定样本x i 和x j 与固定样本x k 进行比较，其相似优先比R ij 必须满足如下要求： (1) 若R ij 在[0.5, 1.0]之间，则表示x i 比x j 优先。 (2) 若R ij 在[0.0, 0.5]之间，则表示x j 比x i 优先。
(3) 在极值情形下有三种可能：如果R ij =1，则表示x i 比x j 显然优先；如果R ij =0，则表示x j 比x i 显然优先；如果R ij =0.5，则x i 和x j 不分伯仲，优先无法确定。
在模糊优先比分析中，一般采用海明(Harming)距离作为相似优先比中R ij 的测度。如对
样本x i 和样本x j 与固定样本x k 之间进行比较，海明距离可定义为
r d d d ij ki
ki kj =
+
R ji = 1－R ij
式中 d ki =|x k -x i |，d kj =|x k -x j |，接下来，对给定的一样本集合X ={x 1, x 2, …, x n }和固定样本x k ，令任意x i 、x j ∈X 和x k 作比较，即计算两两样本间的相似优先比，从而得到模糊相关矩阵：
R =(r ij )
r i j n ij ∈=?
??[,],,,,0112
建立模糊相似矩阵之后，由λ水平集选出相似样本，亦即在相似矩阵中，从大到小地选定λ值，以在λ值下降过程中首先到达的除主对角线元素外全行都为1的那一行的样本最相似，然后删除矩阵相应的行和列，并降低λ水平值，继续寻找。依此类推，直至截距处理完毕。
一般情形下，若每个样本有m 个因素，则对每一因素都有一个模糊相似矩阵，所以，每一样本的每一因素都将产生一个反映相似程度的序号值，最后将每一样本各个因素的序号值相加，其结果便是该样本与固定样本相似程度的综合反映。
样本的序号值越小，该样本与固定样本就越相似，但严格地说，各个因素对样本的影响程度是不一样的，因此有必要给各个因素赋予一定的权重，这样得到的结果将更符合实际情况。所以当，用户在对有关因素影响的轻重程度有比较大的把握，或在分析中需突出某个因素时，可对各个因素进行加权处理以达到更好的分析效果。 2. DPS 平台的操作示例
数据的输入编辑格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量， 最右边的一列为已知
样本的代码(用1表示)和待识别样本的代码(用0表示)，并将数据和待识别样本一起定义成数据块。
在菜单下选择“模糊数学→相似优先比分析”，执行该项功能后系统将输出分析结果。结果包括待识别样本与各样本间的海明距离以及待识别样本与其它样本各个因素的模糊优先比矩阵R ，最后给出待判样品对各已知样品各变量相似程度和待判样品对各已知样品的优先比值，并按顺序排列。
例如，高素华(1981)对日本柑橘主要产地之一福冈和我国合肥、武汉、长沙、桂林、温州和成都等7地柑橘生长的农业气候相似程度进行了分析，选用各地年均温、年降水量、年日照时数、年极端最低气温和1月均温作为相似因子。现运用模糊相似优先比方法在DPS 平台上进行分析。其数据输入、编辑整理和数据块的定义如图30-4所示，
上海15.7 1129 2039 -9.4 3.3 1
长沙17.2 1422 1726 -9.5 4.6 1
桂林18.8 1874 1709 -4.9 8.0 1
温州17.9 1698 1846 -4.5 7.5 1
成都16.3 976 1239 -4.6 5.6 1
日本福冈16.2 1492 2000 -8.2 6.2 0
图30 4 模糊优先比分析的数据编辑定义图
在执行运算时，系统会提示用户输入各个因素权重比例(注意各比例之和须等于1)，这时如直接回车表示不考虑加权处理。本例分析结果如下。
从分析结果来看，上海、长沙与福冈柑橘生产的农业气候条件最相似，而合肥的相似程度最小。
第4节模糊综合评判
1. 方法简介
综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，这是在日常生活和
科研工作中经常遇到的问题，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。 模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型，在此仅介绍一级模型。采用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：
(1) 建立评判对象因素集U ={u 1, u 2, …, u n }。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们能综合地反映出对象的质量，因而可由这些因素来评价对象。 (2) 建立评判集V ={v 1, v 2, …, v n }。如工业产品的评价，评判集是等级的集合；农作物种植区域适应性的评价，评判集是适应程度的集合。
(3) 建立单因素评判，即建立一个从U 到F (V )的模糊映射
f U F V u U i :(),→?∈
u f u r v r v r
v i i i i im m →=
+++()1122
0≤r ij ≤1, 1≤ i ≤ n , 1≤ j ≤m
由f 可以诱导出模糊关系，得到模糊矩阵
R =????
???????
?
r r r r r r r r r m m n n nm 1112
121
2221
2
称R 为单因素评判矩阵，于是(U , V , R )构成了一个综合评判模型。
(4) 综合评判。由于对U 中各个因素有不同的侧重，需要对每个因素赋予不同的权重，
它可表示为U 上的一个模糊子集A =(a 1, a 2, …, a n )，且规定a i i n
==∑1
1.
在R 与A 求出之后，则综合评判模型为B =A ο R 。记B =(b 1, b 2, …, b m )，它是V 上的一
个模糊子集，其中
b a r j i n
i ij =∨∧=1
()
(j =1, 2, …, m )。
如果评判结果b j j m
≠=∑1
1，就对其结果进行归一化处理。
从上述模糊综合评判的4个步骤可以看出，建立单因素评判矩阵R 和确定权重分配A
是两项关键性的工作，但同时又没有统一的格式可以遵循，一般可采用统计实验或专家评分的方法求出。在DPS 平台上，只是根据给出的评判矩阵R 和确定的权重分配A 进行综合评判处理。但是，用户可以在平台上利用公式计算，根据定义公式，计算其隶属函数。 2. DPS 平台的操作示例
根据给定的评估数据(评判矩阵R )和最终的评价结果(权重分配A )，确定出该类评估近
似的权分配系数。
例如对某教师讲课质量进行综合评定。已知因素集合U 为: U ={教材熟练，逻辑性强，启发性强，语言生动，板书整齐}，评语集合V ={很好, 较好, 一般, 不好}。 首先，建立评
估集合(评判矩阵)，即评价矩阵数据编辑和定义。在DPS 平台上，以行代表因素集，列代表评语集。每一行为因素集U 中某一单因素的评价结果，最后一行存放最终评价值(建立权重分配)，本例的权重分配为A =(0.3, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1)并放在数据块的最后一行。最后，评价矩阵数据块可按图30-5格式输入及定义：
图30-5 模糊综合评判的数据编辑定义图
完成评估数据(评判矩阵R )和最终的评价结果(权重分配A )数据块的编辑及定义之后，
在菜单下选择“模糊数学→模糊综合评判分析”功能项，回车执行后即得分析结果。评判结果表明，对该教师的课堂教学认为“很好”的占35.29%,“较好”的占29.41%,“一般”的占23.53%，“不好”的占11.76%。根据最大隶属原则，结论是“很好”。
第5节 模糊关系方程求解
1. 方法简介
模糊关系方程是模糊数学的一个重要组成部分。如下所示，它其实是模糊综合评判的逆
问题。
输入输出输入输出A
A R B
B A A R B
B
R R ?→????→
?????→????→
???====.?
?
.
这类问题具有普遍实际意义。如一些老专家、老中医或具有丰富经验的实际工作人员，
在他们的头脑里，经验和技术常归结于对诸因素有一种优越的权数分配方案，这些难以言传的经验和技术，可望利用模糊数学原理，借助计算机技术进行模拟并保存下来。
在DPS 系统中，求解模糊关系方程采用徐罗曹李方法(汪培庄 1983)。其求解过程首先考虑X ο R =B 类型的模糊关系方程：
(x ,x ,...,x )(b ,b ,...,b )12n 12m ????????
?????=r r r r r r r r r m m n n nm 111212122212
按照模糊合成运算的最大?最小法则，上式可化为下面一组线性等式，称为模糊线性方程:
()()...()()()...()...
...............()()...()r x r x r x b r x r x r x b r x r x r x b n n n n m m nm n m 11121211121222221122∧∨∧∨∨∧=∧∨∧∨∨∧=∧∨∧∨∨∧=??
?????
因此，求解模糊关系方程实际上就是对上述方程组的求解，其步骤简述如下：
(1) 标准化排列。将向量B 写于A 的上方，按b b b m 12≥≥≥...的次序更换向量B 的分量，
同时矩阵R 也作相应的更换，由此得到矩阵的标准化排列。
(2) (2) 上铣。按上述规则更换后的矩阵，对每一个j (j =1, 2, … m )，用b j 的上铣第j
列，即若r ij j >，将r ij 变成j ；若r ij j ≤，将r
ij 变成空元φ。从而得到新的r ij ，
用r ’ij 表示：
r b r b r b ij j
ij j ij j '()()
=>≤?????φ
(3) 求下确界。对上铣后所得矩阵的各行求下确界，得向量U R =(ur 1, ur 2, …, ur n )，并定义空元的下确界为1。
(4) 平铣。将上铣出来的矩阵称为平铣矩阵，即对每一个元素j 分别用j 平铣R 的第j 列：若r b ij j
≥，将
r ij
变成
b j
；若
r b ij j
<，将
r ij
变成空元φ。这样得到新的r ij ，以
r ij ''
表示：
r r r b ij j
ij j ij j ''()()
=≥
(5) 划元。对平铣后的矩阵，逐行划去该行中大于上界即第i 行大于u R i 的元素。 (6) 判别。若原方程有解，则上一步所得矩阵的每一列都有未被划去的非空白元素。
(7) 求解。从经过划元后所得的矩阵中的每一列，选定一个非空白、且未被划元的元素，
对这些当选元素逐行取上确界，并规定空集φ的上确界为0。这样得到的一组解为“拟极小解”。当被选元素不同时，可得到多个“拟极小解”。
最后得到的解之所以称为“拟极小解”，因为它们不一定都是极小解，它们相互之间还可能存在重合或优劣的模糊关系，需进一步进行筛选。实际上，当方程经判别有解时，第三步所求的上界就是方程的最大解。 应用DPS 平台求解模糊关系方程时，当模糊方程有解时，系统将给出最大解和最小解，如模糊方程无解时则提示没有解。
2. DPS 平台的操作示例
在平台上求解模糊关系方程时，其数据编辑格式是: 行为因素集，列为评语集，每一行为因素集U 中某一单因素的评价结果，最后一行存放整个因素集U 的综合评价结果，然后将数据定义成数据块。如对某单位的管理工作进行“民意测验”，得综合评价矩阵和最终评价结果，并按系统规定格式编辑整理数据和定义数据块，如图30-6。 然后，在菜单下选择“模糊数学→模糊关系方程”功能项，回车执行后即得到归一化之后的分析结果，详见于后。
注意：本系统最多可处理50个因子的因子集。
图30-6 求解模糊关系方程的数据编辑、定义示意图
第6节 综合评判的逆问题
1. 方法简介
前面的模糊综合评判和模糊关系求解是综合评判的正反两个方面。由于权重分配A 的
确定并无通用公式，所以它的正确与否往往只能取决于专家的判断或经验，而这些又是很难用数学公式表达出来的。与之相反，权重分酏B 可以通过实践的检验建立起来。由R 和B 反过来求A ，有利于总结专家的经验，使它得到量化。同样道理，由A 和R 而求R 可以帮助我们检验建立起来的数学模型是否合适。从这个角度来看，综合评判的逆问题比其正问题更有意义。
上面介绍的模糊关系方程求解，即求解综合评判逆问题时，其方程可能有解，也可能无解。有解时，解也可能有多个，这需根据实际情况作出恰当选择。若无解，又应当怎么办呢？ DPS 系统提供根据贴近原则解模糊关系方程的方法。
首先选择一些备择解的集合，设它们为J ={A 1, A 2, …, A n }，然后用贴近度原则在备择解集{A 1,
A 2, …, A n }中选取一个A i 作为模糊关系方程X οR =
B 中的X 。将A i 与R 进行合成：
A R
B A R B A R B n n 11
22 ===??
?????.........
求出A 之后，再用贴近度公式
[](,),()A B A B A B i i i =
+-1
2
1⊙ 分别求出B 与A 1, A 2, …, A n 的贴近度，选最大者作为近似的X *，将它作为方程的近似解。 2. DPS 平台操作示例
根据给定的评估数据(评判矩阵R 、最终的评价结果B 和备择权重方案A , 给出与预定若
干个权重数分配方案的贴近程度，从而确定出该类评估近似的权分配系数。这是一种近似求解模糊关系方程的方法，也可用来评价某一类量对于某些标准定量的贴近程度。
(1) 评估集合。评价矩阵的数据编辑和定义格式是行为因素集，列为评语集。每一行为因素集U中某一单因素的评价结果，最后一行存放整个因素集U的综合评价结果，再将数据定义成数据块。例如，对某品牌的自行车进行评价，已知因素集合U={外型, 质量, 价格}，评语集合V={很好, 较好, 一般, 较差}，其评价矩阵数据可按图30-7格式定义。
图30-7 贴近度解模糊关系方程评语集及评价结果数据编辑定义图
(2) 可能的权分配方案集合(A)的矩阵数据编辑和定义。每一行为一个权的分配方案，每一列为某一个因素的权重。数据编辑后将数据定义成公式块。如上例根据对顾客的心理分析，提出了四种可能的权分配方案，其数据按图30-8方式编辑和定义。注意，此处的数据块定义时，须在按下Ctrl的同时拖动鼠标。
图30-8 贴近度解模糊关系方程权重备择方案数据编辑定义图
完成评估数据(评判矩阵R)、最终的评价结果B以及备择权重分配A的数据的编辑、定义之后，再进入菜单操作，在菜单方式下选择“模糊数学→综合评判逆问题”分析功能项，回车后便可得到归一化之后的分析结果。
从上述分析结果可以看出，在权重备择集中应选A4作为近似的X*，即
X* = (0.7, 0.25, 0.05)
采用此方法，如果备择权分配方案太少，计算结果会不太理想。因此在实际应用时，为取得较满意的结果，应当尽可能多地建立一些权重分配方案。
精品文档 . 华北电力大学模糊数学考试试题 科目名称：模糊数学 开课学期：2011—2012学年第二学期 ■闭卷 班级： 学号： 姓名： 一、填空 1、传统数学的基础是 。 2、模糊模式识别主要是指用 表示标准模式，进而进行识别的理论和方法。 3、 处理现实对象的数学模型可分为三大类： ， ， 。 4、设论域{}54321,,,,u u u u u U =，F 集5 3215 .017.02.0u u u u A +++= ，F 集5 4217 .01.03.05.0u u u u B +++= ,则=B A ,=B A , =C A 。 5、设论域[]1,0=U , ,)(u u A =则 =)(C A A , =)(C A A 。 6、设U 为无限论域,F 集?-=U x x e A 2 ,则截集 e A 1= ,=1A 。 7 、设论域 {} 54321,,,,u u u u u U =, F 集 5432115.07.01.03.0u u u u u A ++++= ，F 集5 4319 .04.08.03.0u u u u B +++=,则=B A ,=ΘB A ,格贴近度 =),(B A N 。 8、设 2 1,R R 都是 实数域上的F 关系 , 2 )(1),(y x e y x R --=, ) (2),(y x e y x R --=, 则 =)1,3()(21C R R ,=)1,3)((21C C R R 。 9、设论域{}321,,u u u U =,{}4321,,,v v v v V =,)(V U F R ?∈,且 ?? ?? ? ??=6.005.04.02.03.0101.007.02.0R ,3 217 .03.01.0u u u B ++= 则 =3 v R ,=)(B T R 。 10、设变量z y x ,,满足? ?? -≤≥111a z a x 且或 ?? ? ? ? ≥-≤≥≥11111a z a z a y a x 或且且时,为使1),,(a z y x f ≥,此时函数),,(z y x f 的表达式为 。 二、证明 证明：R 是传递的F 关系的充要条件是2 R R ?。 三、叙述题 1、比较模糊集合与普通集合的异同。 2、叙述动态聚类分析的解题步骤。 四、解答题 1、 ) (),(0 7.03.08 .06.05.04.02.0)()()()()(} {},{1 3 215432121 321,3,2,1,5,4,3,2,1B f A f y y y B x x x x x A y x f x f y x f x f x f Y X f y y y Y x x x x x X -++= ++++= =====→==求 ：５４ 题号 一 二 三 四 总分 得分
南京工业大学 模糊数学与控制 试题（B ）卷（闭） 2009－20010学年 第一学期 使用班级 信科0701 班级 学号 姓名 一 填空题(共36分) 1 处理现实对象的数学模型可分为三大类： ， ， 。 2 设论域{}54321,,,,u u u u u U =，F 集5 3215 .017.03.0u u u u A + ++= ，F 集5 4217 .02.03.05.0u u u u B + ++= ,则=B A ,=B A , =C A 。 3 设论域[]2,0=U , ,)(u u A =则=)(C A A , =)(C A A 。 4 设U 为无限论域,F 集?-=U x x e A 2 ,则截集e A 1= ,=1A 。 5设论域{}54321,,,,u u u u u U =,F 集5 43211 5.07.0 6.03.0u u u u u A + +++= ，F 集5 4317 .04.08.01.0u u u u B +++= ,则=B A ,=ΘB A ,格贴近度=),(B A N 。 6 设21,R R 都是实数域上的F 关系,2 )(1),(y x e y x R --=,) (2),(y x e y x R --=,则 =)2,3()(21C R R ,=)2,3)((21C C R R 。 7 设 论 域 {} 321,,u u u U =, {}4321,,,v v v v V =, ) (V U F R ?∈,且
???? ? ??=6.07.05.04.02.03.0101.04.07.02.0R ,3 217.03.01.0u u u B + +=则=3 v R ,=)(B T R 。 8 设变量z y x ,,满足 ?? ? -≤≥1 11a z a x 且或?? ? ?? ≥-≤≥≥11111a z a z a y a x 或且且时,为使 1),,(a z y x f ≥,此时函数),,(z y x f 的表达式为 。 二（12分） 设[]5,0=U ，对[]1,0∈λ，若F 集A 的λ截集分别为[][]??? ? ? ???? ≤<≤<==132]5,3(3205,305,0λλλλλA 求出：（1）隶属函数)(x A ；（2）SuppA ;(3)KerA 。
浅谈模糊数学在浦南金山区河流水质评价中的应用摘要:随着浦南金山地区的水资源评价与保护的重要性日渐突出，对金山区河流水质评价要求也随之提高,以往的一般统计方法难以满足要求。针对浦南金山区水资源状况与河流的特点，选择模糊数学综合评判法对金山区河流面杖港近期水质进行评价，说明模糊数学评价法在金山区河流水质评价中的适用性。 关键词:模糊数学；综合评判；水资源状况；评价因子；隶属函数；金山地区；面杖港 abstract: with the punan kingsoft region water resources assessment of the importance of protecting and becomes more and more serious, and to jinshan river water quality assessment requirements increases, the former general statistical methods are hard to meet the requirements. according to punan jinshan river water resources situation and features and choose a fuzzy mathematic comprehensive evaluation method of jinshan river port of rod surface water recent evaluation, shows that fuzzy mathematical evaluation method in jinshan river water quality assessment of applicability. keywords: fuzzy mathematics; comprehensive evaluation; water resources situation; evaluation factors; membership functions; kingsoft region; rod surface port
华南理工大学研究生课程考试 《 模糊数学 》样卷 注意事项：1. 所有答案请按要求填写在答题纸上； 2. 课程代码：（S0003006） 3．考试形式：闭卷（ √ ） 开卷（ ） 开闭卷结合（ ） 4. 考试类别：博士研究生（√ ） 硕士研究生（√ ） 5． 试卷共 十二大题，满分100分，考试时间150分钟。 一、填空题 1.设论域U={u 1,u 2,u 3,u 4,u 5}，F 集A=(0.5,0.1,0,1,0.8), B=(0.1，0.4，0.9，0.7，0.2)，则(A ?B)C =_______________。 2.设论域R=[0,3],且 01112 (), ()213323 x x x x A x B x x x x x ≤≤-≤≤??==?? -<≤-<≤?? 则它们的黎曼贴近度N(A,B)=_______________________。 3. 0.410.70.510.62,323=_______123234 = ++=++?设，则。 4. 设A =[3，9]， B =[7，10]，则A +B = ，A ?B = 。 5.设论域U={1,2,…,10}，且 0.20.40.60.811110.80.60.40.2 [],[]4567891012345 = ++++++=++++ 大小 则[不大也不小]=_____________________________。 二、判断题（请在每小题的括号内认为正确的打“√”错误的打“?”） 1. λ≤μ ? A λ ?A μ ( ) 2 (A λ)c =(A c )λ （ ） 3 若A ? B ? C , 则N (A ,C ) ≤ N (A ,B )∨N (B ,C ) ( ) 4 若R 1?S 1， R 2?S 2，则 R 1∪R 2 ? S 1∪S 2 ( ) 5 R∪R c = E ( )
浅谈模糊数学理论下的采矿方法选择 摘要：矿产资源是人类赖以生存和发展的物质基础，是生产力构成的主要因素之一。传统的采矿方法难以适应复杂多变的地质条件以及难以准确预测和定量描述其他因素。随着近代数学及计算机技术的发展，运用模糊数学理论来优选采矿方法，具有一定的科学性和现实意义。 关键词：模糊数学;采矿方法;选择 矿产资源是人类赖以生存和发展的物质基础，是国家经济起飞的首要条件及经济实力的重要标志，是生产力构成的主要因素之一。采矿方法的选择对安全生产、提高矿石产量、降低矿石损失率和贫化率、提高劳动生产率和降低成本等具有重要影响，关系到矿山的效益甚至矿山的生存和发展。采矿方法的选择又是一项复杂的系统工程，矿床地质条件和矿体赋存条件与采矿方法之间是一个复杂的非线性关系。传统的采矿方法难以适应复杂多变的地质条件以及难以准确预测和定量描述其他因素，基于此本文提出了用模糊数学理论来优选采矿方法。选出的采矿方法在一定程度上能够克服主观性和随意性，具有良好的科学性，并能为矿山企业选择采矿方法提供可靠的理论依据。 1传统的采矿方法选择技术 传统的采矿方法选择主要分为三步，首先根据矿床地质特征和采矿技术条件初选可行方案，然后进行技术积极分析，若比较的方案之间差异不明显，需要进行细致的综合分析选出最优的采矿方法。该方法依靠人的经验，主观随意性较大，结果比较主观、片面，缺乏科学性。因此，需要综合采矿领域多位专家的经验，并运用科学理论将经验决策上升到科学化的决策水平，实现采矿方法的优化选择。 2现代采矿方法 2.1基于数学及计算机技术的采矿方法 近代数学及计算机技术的发展是发展当代科学技术的理论基础，采矿方法的选择只有运用了近代数学及计算机技术才能上升到科学的高度。近年来，很多专家学者对此进行了深入研究并提出了运用模糊数学选择采矿方法，运用灰色关联分析选择采矿方法，运用灰色局势决策选择采矿方法，运用多目标决策选择采矿方法，运用价值工程选择采矿方法以及运用人工智能选择采矿方法等。 灰色理论选择采矿方法包括灰色关联分析和灰色局势决策，该方法可以克服采矿知识的不完全性和非确知性，但是没考虑到方案中各目标、各因素的相对重要程度，不符合实际情况;多目标决策选择采矿方法各目标权重的确定具有一定的人为因素。权重确定的正确与否直接决定着决策结果是否合理。因而，此法得出的结果可能会与实际情况不符;运用价值工程，主要考虑的是经济技术指标，选择的采矿方法不能很好的适应矿床地质开采技条件。人工智能主要采用专家系统，但是专家系统仍存在着知识获取的瓶颈，知识窄台阶，推理能力弱，智能水平低，系统次少，适用性差等问题。
模糊综合评价法（见课件） 模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性． 一、单因素模糊综合评价的步骤 1． 根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集 合 },,,{21m u u u U = 例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}． 2． 给出评价等级（evaluation grade ）集合 },,,{21n v v v V = 如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3． 确定各评价指标的权重（weight ） },,,{21m W μμμ = 权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，
经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ． 4．确定评价矩阵R 请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R 同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为 ()1.0,2.0,4.0,3.02=R ()2.0,3.0,2.0,2 .03=R 那么该项成果的评价矩阵为 ???? ? ??=????? ??=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价 通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W ?=1)(μ，n m ji r R ?=)(，那么 ()()n mn m m n n m s s s r r r r r r r r r R W S ,,,,,,212 1 22221 11211 21 =???? ?? ? ??==μμμ 其中“ ”为模糊合成算子． 进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通 常有四种： (1) ),(∨∧M 算子
1、（模糊聚类）已知我国31个省农业生产条件的5大指标数据。 五大指标的数据 （1）作聚类图。并告知分5类时，每一类包含的省份名称（列表显示）。 （2）若分为3类，问相似水平（就是阈值）不能低于多少 解：新建,将全部数据存入该,打开MATLAB,在命令窗口输入： >>datastruct=importdata('') 检查一下数据是否导入正确： >> %这里是31*5的数值矩阵 >>datastruct.textdata%这里是31*1的省名称文本矩阵 >>fuzzy_jlfx(3,5, %调用网站所给的模糊数学聚类程序包
9 311.000.83 0.67170.93 1 150.91 2130.91 3290.91 4260.90 5110.89 6190.89 7100.89860.88 9310.88 10160.88 11120.87 12210.8713180.87 14230.85 15220.85 16200.8517140.84 18300.83 19270.83 2070.83 21280.82 22250.82 23240.81 2480.80 2550.79 2640.79 2730.76 2820.74 2910.67 30 根据编号代表意义，可知分5类时的省份编号为： 第一类：9、上海 第二类：1、北京 2、天津 第三类：3、河北 第四类：4、山西 第五类：其余省市自治区都属于第五类 （2）若分成3类，由聚类图可知阈值应在（,）内。 2、（模糊评价）对某水源地进行综合评价，取U 为各污染物单项指标的集合，取V 为水体分级的集合。可取U(矿化度，总硬度，NO3-，NO2-，SO42-)，V （I 级水，Ⅱ级水，Ⅲ级水，Ⅳ级水，V 级水）。现得到该水源地的每个指标实 I 级水 Ⅱ级水 Ⅲ级水 Ⅳ级水 V 级水 矿化度 0 0 0 总硬度 0 0 0 硝酸盐 0 0 0 亚硝酸盐 0 0 0 硫酸盐 几级水 解：在matlab 命令窗口内输入数据： >> V=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; >> A=[,,,,]; >> fuzzy_zhpj(2,A,V) % 调用网站所给的模糊综合评判程序包 ans =
《模糊数学》学习心得 姓名：李书纲 学号：200805050303 专业：信息与计算科学 老师；黄晓昆 地点：文鼎楼502
《模糊数学》学习心得 在大四的上学期，我们数学学院给我们开了黄晓昆老师的《模糊数学》这门课，这是继《近世代数基础》后黄老师给我们上的第二门比较抽象的课程。“模糊数学”这个词一听上去就很抽象，翻开课本是感觉更“模糊”。但在学习了半个学期后，对这门课程有了一定的了解，并学到了一部分知识，也积累了一点自己的学习心得体会。 先说说什么是“模糊数学”。模糊数学是相对于精确数学而言的，在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，为了研究这些与模糊概念相关的东西，“模糊数学”就产生了。 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学的研究内容主要有：第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复
模糊综合评价 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。其基本步骤可以归纳为： ①首先确定评价对象的因素论域 可以设N 个评价指标，12(,, ...)n X X X X =； ②确定评语等级论域 设12n =(W ,W , ...W )A ，每一个等级可对应一个模糊子集，即等级集合。 ③建立模糊关系矩阵 在构造了等级模糊子集后，要逐个对被评事物从每个因素(=1,2,,n)i X i ……上 进行量化，即确定从单因素来看被评事物对等级模糊子集的隶属度i X （R ），进而 得到模糊关系矩阵11112122122212nm ......=..................m m n n n nm X r r r X r r r X r r r ??????????????????????????（R ）（R ）R=（R ），其中，第i 行第j 列元素，表示某个被评事物i X 从因素来看对j W 等级模糊子集的隶属度。 ④确定评价因素的权向量 在模糊综合评价中，确定评价因素的权向量：12(,, ...)n U u u u =。一般采用层 次分析法确定评价指标间的相对重要性次序。从而确定权系数，并且在合成之前归一化。 ⑤合成模糊综合评价结果向量 利用合适的算子将U 与各被评事物的R 进行合成，得到各被评事物的模糊综合评价结果向量B 即：
111212122 2121212nm ......(,, ...)(,, ...)...............m m n m n n nm r r r r r r U R u u u b b b B r r r ??????===?????? 其中，i b 表示被评事物从整体上看对j W 等级模糊子集的隶属程度。 ⑥对模糊综合评价结果向量进行分析 实际中最常用的方法是最大隶属度原则，但在某些情况下使用会有些很勉强，损失信息很多，甚至得出不合理的评价结果。提出使用加权平均求隶属等级的方法，对于多个被评事物并可以依据其等级位置进行排序。
模糊数学阅读练习及答案 模糊数学 1965年，世界上诞生了一门新的学科——模糊数学。数学的特点是精确，如今却与“模糊”攀上了亲，似乎不可思议。确实，模糊数学引起人们的浓厚兴趣，世界各国的研 究者与日俱增，正如1975年纪念模糊数学诞生十周年的论文集所指出的：“未来的十年，将是模糊数学大发展的十年。” 模糊数学的诞生，是科学技术发展到一定阶段的必然产物。人类应用数学工具，对世 界的认识从模糊到精确，是一个飞跃。今天，精确的数学计算在许多场合必不可少。然而，当我们要求电子计算机具备人脑功能的时候，精确这个长处在一定的程度上反而成了短处。例如，我们在判别走过来的人是谁时，总是将来人的高矮、胖瘦、走路姿态等与大脑中储 存的样本进行比较，从而得出相应的结论。一般说来，这是轻而易举的事情。即使一位旧 友多年不见，面貌有变化，仍能依稀相认。然而要是让电子计算机来做这件事，那就复杂了。得测量来人的身高、体重、手臂摆动的角度以及鞋底对地面的正压力、摩擦力、速度、加速度等等数据，而且非要精确到小数点后几十位才肯罢休。如果某熟人近来消瘦了点， 计算机就“翻脸不认人”了。显然，这样的“精确”，反使人糊涂。由此可见，要使计算 机能模拟人脑功能，一定程度的模糊，倒是需要的。 模糊数学以客观世界的模糊性为研究对象，它的基础是模糊集合论。集合原是德国数 学家康托尔在19世纪末提出的概念。例如，太阳系是所有行星的集合，车厢是所有乘客 的集合，一张报纸是全部字组成的集合等等。经典集合论对事物只作明确的划分。然而事 实上，一个事物是否属于某集合，并非只有“是”或“非”两种回答，常有模棱两可的情况。例如，对“老年人”和“高个子”这类集合的界限就很难作明确的划分。50岁的人，可以算老年，也可不算老年。这就是说，在现实世界中，集合的边缘往往是模糊的。在人 们的思维或语言中，这样模糊的概念比比皆是。如胖、高、重、浓、响、明亮、暖和、粉红、漂亮等，都没有绝对的标准。经典数学就无法进行描述，而模糊数学却能对这些模糊 的集合，进行定量的分析。因此，模糊集合要比经典集合更加符合现实世界的实际状况， 更带有普遍性。可以这样说，数学从模糊到精确，又发展到模糊，是螺旋式的上升，标志 着我们认识世界的能力提高到了一个新的高度。 模糊数学在精确的经典数学与充满了模糊性的现实世界之间架起了一座桥梁。可以预料，模糊数学必将成为电子计算机、机器人的人工智能方向发展的有力工具。目前，模糊 数学在理论上正在不断完善，而它的应用已十分广泛。尤其在信息处理、系统工程、自动 控制、图象识别、综合评判、聚类分析、自动机理论、生物系统等方面，已引起了科技界 和有关部门的普遍重视。 1.举例说明这篇说明文主要采用了哪两种说明方法? 2.选文在说明模糊数学时采用了________的说明顺序和________的结构方式。
翻译质量评估（TQA）中以模糊数学为基础的量化方法探讨 翻译质量评估（TQA）的方法存在传统定性评估与数学定量评估两个相对对立的方法。20世纪60年代美国加利福尼亚大学控制论专家、系统工程教授L.A.札德发表《模糊集合》论文，创立了模糊数学理论，该理论之后被大量应用于模糊控制、信息检索、医学、气象学、结构力学、心理学等多个领域。后来，语言学学者也开始尝试将其应用于语言学研究领域。在中国，将模糊数学基础理论与方法引入翻译质量评估（TQA）的过程中作为一种参数参照，正处于可行性验证与起步阶段，这是中国翻译界的一次大胆尝试。合理的模糊量化分析能够逐渐实现翻译质量评估评的综合化与合理化，具有较为重要的科学意义。 一、国内利用模糊数学方法进行翻译质量评估现状 国内学者将模糊数学与翻译评价相结合的第一人是范守义，他在《中国翻译》1987年第4期的发表的《模糊数学与译文评价》一文中，利用模糊集合中隶属度的概念从定量的角度对译文质量进行评价，大体分三步步骤：（1）选择模糊集合的必要元素，即译文评价单位；（2）确定译文评价特征依据，如修辞、风格、句法、语义等；（3）明确信度控制点，从译文内容各单位部分各自的隶属度相加求出的平均值结果来评价译文的质量。在此之前，范守义（1986）在国内首次将“信、达、雅”标准用
数学公式“I=（R/F）?（S’/S）”进行表示，其中“I”为译文与原文的接近程度指数，“F”代表“信”，“R”代表“达”，“S”代表原文中的“雅”，而“S’”则代表译文所达到的“雅”，“F”与“S”为常量，公式中的“R”对应“F”，“S”对应“S’”，对应量的数值彼此越接近，则“I”越接近最大值“1”。之后，范守义（1990）又对应用与译文评价中的数学模型进行了修改，将主标准与次标准的并集纳入语言变量下，用公式表示为：Q=X∪Y∪Z，或扩展为：Q=[X1，X2，（X3）]∪[Y1，Y2，（Y3）]∪[Z1，Z2，（Z3）]。其中：“X”代表中心信息，即：X1：信息量；X2：形象转换；X3：虚设标准。“Y”代表附加信息，即：Y1：风格层次；Y2：情感元素；Y3：虚设标准。“Z”代表结构信息，即：Z1：元语言方面；Z2：修辞与逻辑；Z3：音韵。 同时，范守义提出了以计算机编程为取向的公式运作方式，包括“数据输入”、“加权”、“计算”与“数据输出”。从其研究所处的时期看来，范守义的研究具有远见性，也具有使用价值，为利用模糊数学的理论与方法对翻译质量进行评估展奠定了基础。 在此期间，徐盛恒也进行了相关研究，他（1987）曾针对范守义公式中存在的不足提出了改进：（W1，W2...Wn）?|X1， X2，…Xn|，其中“W”与“X”分别代表“权值”与“标准”，并规定样本抽样方法必须为等距离抽样，标准的确定依据必须为
三种电视机模糊综合评价模型 摘要 本文通过顾客对三种电视机的图像，价格，音质三种评价因素建立的模糊综合评价的模型，此模型首先设定了评价指标因素集U 和评语集V ,从而建立了评价矩阵R , 然后根据评价指标权重集A 最后分别运用了四个算子，进而采用了加权平均原则的方法建立了如下四个模型，最终得出 模型一：运用① 算子和加权平均原则方法对三种电视机建立模糊综合评价模型，得出11 2.73B =，12 2.62B =，13 2.46B =，即第一种电视机最受顾客青睐 模型二：运用② 和加权平均原则方法对三种电视机建立模糊综合评价模型，得出21 2.72B =，22 2.75B =，23 2.51B =，即第二种电视机最受顾客青睐 模型三：运用③ 算子和加权平均原则方法对三种电视机建立模糊综合评价模型，得出31 2.71B =，32 2.58B =，3 3 2.32B =，即第一种电视机最受顾客青睐 模型四：运用④ 算子和最大隶属原则方法对三种电视机建立模糊 综合评价模型，得出41 2.75B =，4 2 2.71B =，43 2.39B =，即顾客对第二种电视机做出综合评价较好。 综合四个模型这三种电视机的综合评价在较好和可以之间并且在这三种电视机中第一种电视机最受顾客青睐，第二种次之，第三种最不受欢迎。 关键词：综合评价 模糊数学 加权平均原则 算子 ),(∨∧M (,)M ?∨算子),(⊕∧M ),(⊕?M
一、问题重述 在对电视机质量的评价中，其涉及的因素很多，一般说来基本要考虑图像，声音，价格等等，而每一类因素的质量水平受许多因素的影响。这些评价因素往往具有模糊性。评价的结果本身也带有模糊性。如何合理地评价电视机的质量呢？ 假设对电视机的评价因素U={图像u1，声音u2，价格u3}，评语集合V={很好v1，较好v2，可以v3，不好v4}，现请专家10人对三种电视机进行评价，结果如下： 设某类顾客主要关心图像、价格，对音质不太关心，即 试对以上三种电视机进行模糊综合评价。 二、问题分析 根据对题目的理解，我们知道问题的求解是根据10位专家对三种电视机的图像，价格，音质的评价结果，而要求我们对这三种电视机进行模糊综合评价，所以我采用四种算子方法。 即① 算子 评语 因素 (1)第一类电视机 (2)第二类电视机 (3)第三类电视机 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 u1 5 4 1 0 4 3 2 1 1 5 2 2 u2 4 3 2 1 5 1 2 2 4 3 1 2 u3 0 1 3 6 2 1 3 4 2 4 4 (0.5,0.2,0.3) A =(){}n k r r s jk j m j jk j m j k ,,2,1, ,min max )(11 =∧=≤≤=∨μμ＝),(∨∧M
模糊数学简介 模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。1965年，《模糊集合》的论文发表了。作者是著名控制论专家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。精确和模糊，是一对矛盾。根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时，一定要求精确：“×月×日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。但是，物极必反。如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大，工作越困难。然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。工作量甚至跟土地无关。因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量。大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需
西北工业大学研究生院 学 位 研 究 生 课 程 考 试 试 题 考试科目：模糊数学 课程编号：105012 考试时间：2014年1月13日 说 明：所有答案必须写在答题册上,否则无效。 共4页 第1页 一.填空题 (14空×2分，共28分) 1、设~ ~B A ，是论域U 上的模糊子集，则~~B A 和~~B A 的隶属函数分别是 =)(~ ~u B A μ ，=)(~~u B A μ 。 2、设[]10，=U ，~A ，2)(u u =则=）（u A c ~____________，（ ~A c A ~）（u ）=_____________，~(A c A ~）（u ）=________________，~(A c A ~ ）（21）=_________。 3、设给定模糊矩阵R=（r ij ）, 对于任意的λ∈[0，1],记R λ=(λ r ij ) , 其中λr ij = ，则称R λ =(λr ij )为R 的λ截矩阵。 4、模糊矩阵R=n n ij r ?)(如果满足自反性 ，对称性 ，传递性 ， 就称R 是一个 。 5、设论域U={n u u u ,...,,21}，~A ，~ B ∈)(U F ，其绝对欧氏距离、相对欧氏距离及欧氏模糊度分别定义为e(~A ，~B )= ，ε（~A ，~ B ）= ，=)(~ A D 。 二、计算题（3题×10分，共30分） 1、 设},,,,{54321u u u u u U =，)8.0,1.0,3.0,4.0,7.0(~=A ，)6.0,5.0,1.0,9.0,2.0(~ =B ， 请分别求出c A ~与~A c B ~ 。 2、设~A =e d c b a 17.06.05.03.0++++，求5.0A 与1A 。 3、已知论域},,{z y x U =，)1.0,7.0,4.0(~=A ，)8.0,6.0,5.0(~=B ，分别求出绝对海明距 离),(~~B A d 和相对海明距离),(~ ~B A δ。
模糊数学结课报告
本学期选修了模糊数学这门课，旨在对自己以后在数学的学习上有所帮助，同时也拓宽自己的知识面和训练自己的逻辑思维。通过老师的讲授再加上自己查阅一些关于模糊数学的资料书，有了自己对模糊数学这门学科的一些理解，下面进行简单阐述。 摘要：模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。在1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。现代数学建立在集合论的基础上。对模糊性的数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基础的，乘积空间中的模糊子集就给出了一对元素间的模糊关系。对模糊现象的数学处理就是在这个基础上展开的。 模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。模糊性数学最重要的应用领域应是
计算机智能。它已经被用于专家系统和知识工程等方面，在各个领域中发挥看非常重要的作用，并已获得巨大的经济效益。 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进行推断或识别。在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊识别。 模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对分类对象进行定量分类的方法。 主要内容：数据标准化建立、模糊相似矩阵。 一、数据标准化 1.原始数据 设论域U 是n 个被分类对象构成的集合,每个对象又有m 个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原始数据矩阵: 2.极差正规化 ????? ?? ?????=nm n n m m x x x x x x x x x X 2 1 22221 11211
模糊数学题签 （2008－2009第一学期） 1.(10分)设[0,10]U =为论域，对[0,1]λ∈，若F 集A 的λ截集分别为 [0,10]0[3,10]00.6[5,10] 0.61[5,10]1 A λλλλλλ=??<≤?=?<
6．(10分)设1R 是U V ?上的模糊关系，2R 是V W ?上的模糊关系， ,,U V W 均是实数域， 2 ()1(,)k u v R u v e --=，2 ()2(,)k v w R v w e --=，求12R R 7．(10分)若Ｑ，Ｒ是Ｆ等价矩阵，则Q R ?也是Ｆ等价矩阵。 8．(20分)对某产品质量作综合评判，考虑由四种因素1234{,,,}U u u u u =来评价产品，将质量分为四等 V ＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ｝，设单因素评判是F 映射：:()f U F V → 12()(0.3,0.6,0.1,0),()(0,0.2,0.5,0.3) f u f u ==34()(0.5,0.3,0.1,0.1),()(0.1,0.3,0.2,0.4)f u f u == 及权重分配：(0.2,0.4,0.1,0.3)A =，试评价该产品相对的属于哪一级。
??? ? ??3.05.08.01.0??? ? ??5.05.08.05.0大学模糊数学期末试题 命题人：控制与计算机工程学院 测控技术与仪器 测控1003班 吴国勋 1101160319 一、 选择题（共2小题，每题5分，共10分） 1、设集合A={1,2,3,4,5,6},f 是如下定义的： f:x ∈A →f(x)=6/x ∈A.则f 的定义域（ ） A 、(1,2,3,6) B 、(1,2,5,6) C 、(2,3,4,6) A 、(1,3,4,6) 2、设A= 则t(A)=（ ） A ??? ? ??2.05.08.05.0 B ??? ? ??5.08.08.05.0 C ??? ? ??5.02.08.05.0 D 二、 填空题（共5小题，每空2分，共20分） 1、已知下列各集合 A={y|y=2x+1,x>0},B={y|y=-3x+9} 则A ∩B=_______;A ∪B=_________. 2、（A ∩B ）∪C=(A ∪C)________(B ∪C). 3、设},,,,{54321u u u u u U =，) 8.0,1.0,3.0,4.0,7.0(~ =A ，)6.0,5.0,1.0,9.0,2.0(~ =B ， 则 =c A ~ ，~ A =c B ~ 。 4、若模糊概念a 在论域U 上的模糊集为~ A ，则判断句“u 是a ”的真值为 。 5、模糊矩阵R=n n ij r ?)(如果满足自反性 ，对称 性 ，传递性 ， 就称R 是一个 。 三、 判断题（共5小题，每题2分，共10分）
10 1 918178.066.054.042.0++++++5 2.044.036.028.011++++1、λ)(C A 和C A )(λ是相等的。( ) 2、设A,B 是模糊对称矩阵，则A ∪B,A ∩B ，A 。B 都是模糊对称矩阵。( ) 3、设A,B 是模糊自反矩阵，则A ∪B,A ∩B, A 。B 都是模糊自反矩阵。( ) 4、设a=（a1,a2,…,an ）,b=(b1,b2,…,bn)。则b a b a ∧≤?。( ) 5、在实数里关系f={(x,2x)}是对称的、自反的。( ) 四、 计算题（共4小题，每题10分，共40分） 1、论域U={1,2,3，···，10}，定义 “大”=A= “小 ”=B= 试求C=“不大”，D=“不小”，E=“或大或小”，F=“不大也不小”。 2 、 设 论 域 X={x1,x2,x3,x4,x5}, 模 糊 集 合 A=(0.4,0.1,0.5,0.3,0.6),B=(0.4,0.5,0.9,0.5,1),计算(A ∪B)∩C,(A ∩B)∪C. 3、解方程 ??????? ??2.01.07.08.04.04.05.02.0。???? ??21x x =??????? ??2.06.04.05.0