求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤， 任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞． 解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立． 例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列． 证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛， 从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛． 注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=． 例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦． 解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰； 同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+； 由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭． 注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=． 例9．求：11lim 1n n e n →∞-． 解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-． 例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞； 另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=； 由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=． 注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈． 解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+． 注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞． 解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >． 解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--； 而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题． 例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞． 证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+， 则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+， 考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）． 证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---； 对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理， 可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-； 因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛， 所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限． 例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞． 解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠． 解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理， 得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列． 注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列． 定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立． 定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列； 由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列， 故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤， 从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑． 例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）． 解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~， 由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ． 注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点． 定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=． 例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞． 解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈， 易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<； 所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-， 从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解． 解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+； 逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞． 例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）； 矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭； 于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-． 因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-． 例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限． 解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭； 则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-， 由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ， 再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==． 注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

求极限的16个方法总结总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律，是时候写一份总结了。

但是总结有什么要求呢？以下是小编为大家收集的求极限的16个方法总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

首先对极限的总结如下。

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。

2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记。

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N趋近。

(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的'一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e的x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。

求数列极限的方法总结数列极限是数学中一个重要的概念，它在微积分、实分析等领域有着广泛的应用。

在数学学习的过程中，我们经常会遇到需要求解数列极限的问题，因此掌握求数列极限的方法是非常重要的。

本文将对求数列极限的方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

首先，我们来介绍一下数列极限的定义。

对于一个数列${a_n}$，当$n$趋于无穷大时，如果数列的项$a_n$无限接近于某个常数$A$，那么我们就说数列${a_n}$的极限为$A$，记作$\lim_{n \to \infty} a_n = A$。

换句话说，数列的极限就是数列中的项随着$n$的增大而逐渐趋近于一个确定的值。

接下来，我们将总结求数列极限的方法。

在实际运用中，我们常用以下几种方法来求解数列的极限：1. 数学归纳法，对于一些简单的数列，我们可以通过数学归纳法来证明其极限。

通过观察数列的前几项，然后假设数列的第$k$项成立，再利用数学归纳法证明数列的第$k+1$项也成立，从而得出数列的极限。

2. 利用常用极限公式，对于一些常见的数列，我们可以利用已知的极限公式来求解。

例如，当数列为等比数列、等差数列或者幂函数数列时，我们可以利用这些数列的通项公式，然后利用常用的极限公式来求解。

3. 利用夹逼定理，夹逼定理是求解数列极限中常用的方法之一。

当我们无法直接求解数列的极限时，可以尝试构造一个夹逼数列，通过夹逼定理来求解原数列的极限。

4. 利用递推关系式，对于一些递推关系式定义的数列，我们可以通过递推关系式来求解数列的极限。

通过不断迭代递推关系式，我们可以逐步逼近数列的极限值。

5. 利用数列的特性，有些数列具有特殊的性质，例如单调性、有界性等，我们可以利用这些特性来求解数列的极限。

通过分析数列的特性，我们可以更好地理解数列的极限性质。

总的来说，求数列极限的方法有很多种，我们需要根据具体的数列特点来选择合适的方法。

在实际应用中，我们还需要不断练习，加强对数列极限的理解和掌握，才能更好地运用这些方法来解决实际问题。

极限求法大全1.1利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值 A ,这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是 密切相连的例：lim f x A 的「S 定义是指：£>0， S = S ( x 0， £ ) >0, O v |x- X Q |x X Ovs |f(x)-A| V£为了求S 可先对X O 的邻域半径适当限制，如然后适当放大I f(x)-A (x)(必然保证© (x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式:I x+a I =|(x- X O )+( x o +a)| < |x- x °|+| x o +a| v| x °+a | +S 1域|x+a|=|(x- X O )+( x o +a)| >| x °+a|-|x- X O | >| x °+a|- S 1 从© (x) VS 2,求出S 2后，取3 = min( S 1，S 2)，当 0 v |x- x 0 | VS 时，就有 |f(x)-A| V£ . 例: 设 lim X n a 贝V 有 lim __也―a .n nn证明：因为 lim x nn a ,对0,N 1 N,),当n N 1时，X n -a -于是当n N 1 时，X 1 X 2…Xna X 1 X 2 ...x na1.2利用极限的四则运算性质求极限定理⑴：若极限lim f (x)和lim g(x)都存在，贝U 函数f (x) g(x)， f (x) g(x)当 X X)X X OX x 0时也存在且① l in i f(x) g(x) 阿 f(x) l in i g(x) x X 0 x X 0 x^0② lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)XX )X X )X X)nn其中A X 1 aX 2 a X N 1是一个定数 ,再由 A n2，解得n2A,故取N maxM, 2A当nN 时,X 1 x 2..X n—+ —2 2n of(x)lim f(x)在 x ------------ x 0时也存在，且有 lim -^-xo.g(x)x xg(x) lim g(x)Xx利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现0，-，等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。

2021考研数学基础复习：求极限的16种方法1.极限分为一般极限，还有个数列极限区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种。

2.解决极限的方法如下(1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记。

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)(2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N趋近。

(所以面对数列极候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为三种情况(1)0比0无穷比无穷时候直接用(2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了(3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)3.泰勒公式含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则项除分子分母!看上去复杂处理很简单。

5.无穷小与有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!6.夹逼定理主要对付的是数列极限这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

求数列极限方法总结归纳极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。

极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。

熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。

熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。

以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

与极限计算相关知识点包括：连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限 )1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。

求数列极限方法总结极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。

极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。

熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。

极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。

熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。

以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的.分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

与极限计算相关知识点包括：连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

数列求极限的方法总结1. 数列的收敛性在数学中，我们经常需要研究数列的极限。

首先，我们需要确定数列是否收敛。

一个数列收敛是指当n趋近于无穷大时，数列的值逐渐趋近于一个常数。

数列不收敛，则意味着数列的值在无穷大的范围内没有趋近于一个特定的值。

常用的方法来判断数列的收敛性有：•利用定义：若存在一个常数L，使得对于任意给定的$\\epsilon>0$，存在自然数N>0，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$，则数列a n收敛于L。

•利用数列的增减性：若数列a n单调递增且有上界，则数列a n收敛。

•利用数列的单调性：若数列a n单调递增或单调递减，则数列a n收敛。

2. 常用的数列极限求解方法对于已经确定收敛的数列a n，我们可以使用以下方法求解它的极限。

2.1 代入法对于一些简单的数列，可以直接通过代入法求得它的极限。

代入法是将数列的项逐一代入到极限定义中进行计算。

例如，考虑数列$a_n = \\frac{1}{n}$，我们可以代入$n=1,2,3,\\ldots$，计算出相应的数值：$a_1 = \\frac{1}{1} = 1$$a_2 = \\frac{1}{2} = 0.5$$a_3 = \\frac{1}{3} \\approx 0.33$…可以观察到数列a n随着n的增大逐渐趋近于0。

因此，我们可以推断出数列a n的极限为0。

2.2 常用的极限计算公式有一些常用的数列极限计算公式，可以帮助我们快速求解一些特定数列的极限。

2.2.1 基本公式•当k为常数时，$\\lim\\limits_{n\\to\\infty}k = k$•$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n} = 0$•$\\lim\\limits_{n\\to\\infty} \\frac{1}{n^k} = 0$，其中k为正整数2.2.2 通项公式对于一些有通项公式的数列，我们可以通过直接计算通项公式在n趋近于无穷大时的极限来求解数列的极限。

数列极限常见题型及解法著作权归作者所有。

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由于归结原则（海涅定理），数列极限可以看做x趋于+∞的函数极限。

（n换成x就行，其实也没什么）函数相比于数列，有着连续的优点，这样就能名正言顺的用洛必达，泰勒等方法（不然可能会扣过程分）。

纯粹从为了作出题的目的来说，泰勒公式最为关键。

撇开常用等价无穷小的证明过程，等价无穷小可以说道就是泰勒公式的精简版。

写下任一泰勒公式的前几项，将公式结尾的高阶无穷小舍弃，=变为～，就能够获得各种等价无穷小。

举个例子e^x=1+x+1/2 x^2+o（x^2）：从中就能够得出结论e^x-1～x，e^x-1-x～1/2 x^2当然还能一直写下去，只要你愿意。

当领到一道音速题时，尽量把整个式子拆毁分为若干个因式的秦九韶的样子，对每一个因式都先试试等价无穷小。

另外，如果存有非零因式可以轻易做为常数明确提出至音速号外。

再说一些题型吧：第一种就是拎根号的题，尤其以两个根号相乘居多。

通常方法就是搞存有化学，上下同除以共轭根式（也就是负号变小加号），这样搞一是能够消解旧有的根号，二就是后乘坐的因式多为一个非零常数可以轻易带进排序；首先从命题角度来说，含有根号的因式的极限多为0或无穷，否则直接带入数字就失去了命题的意义。

当然也有些题能直接带入，但往往都是一个很复杂的式子，只是为了考验你对非零因式的提取。

但是利用等价无穷小中的（（1+x）^a ）—1～ax，当a=1/2时就呈现了根号的样子，可以做为另一种解题思路，必须搞的事情就是一个字：兎。

只有一个根号时，假设根号里的极限是1（也就是根号之后会有个减一），那就写成√（1+｛一串极限为零的式子｝）-1，套等价就行了；如果极限变成2，只要在整个式子中提出一个√2，也就一样了。

接着就是双根号，双根号就是在原来的基础上将乘以的常数替代为另一个根式。

第一步，还是整体明确提出一个常数，先确保两个根号内的音速就是1，然后分别在两个根号之后迁调上—1，就能够获得两个无穷小，同时对他们用等价替代后，也能够达至回去根号的效果。

高数极限经典60题分步骤详解1. 求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+→∞本题求解极限的关键是运用三角函数和差化积公式，将算式进行转化，进而求出极限，过程如下：n n sin 1sin -+＝21sin 21cos2nn n n -+++ ＝)1121sin(21cos2n n nn n n n n ++++⋅-+++ ＝)121sin(21cos2nn n n ++++)(0∞→→n ∴ )sin 1(sin lim n n n -+→∞＝0这是因为，当∞→n 时，0)1(21sin→++n n ，而21cos n n ++是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0。

2. 令Sn =∑=+nk k k1)!1( ，求数列极限Sn n ∞→lim 解：)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ∴∑=+nk k k 1)!1(＝))!1(1!1()!1)!1(1()!41!31()!31!21()!21!11(+-+--++-+-+-n n n n ＝1)(1)!1(1∞→→+-n n 所以， Sn n ∞→lim =[lim →∞n 1)!1(1+-n ]＝13. 求数列极限)4321(lim 132-→∞+++++n n nq q q q ，其中1<q 且0≠q 。

解：令Sn ＝1324321-+++++n nq q q q ，将等式两边同时乘以q ，得到Sn q ⋅＝n n nq q n q q q q +-+++++-1432)1(4321 将以上两式相减，可得（1－q ）·Sn ＝n n nq q q q q -+++++-)1(132 上面的算式两边同时除以1－q ，得到Sn ＝q nq q q q q q nn ---+++++-111132当1<q 且时∞→n ，0→n nq （注：证明附后）， 1321-+++++n q q q q →q-11， ∴ Sn n →∞lim ＝2)1(1q --q nq n n -→∞1lim ＝2)1(1q -即 )4321(lim 132-→∞+++++n n nqq q q ＝2)1(1q -附注：关于0lim =∞→nn nq 的证明 若1<q 且0≠q ，当∞→n 时，0→nq 。

数列极限的证明方法介绍数列极限的证明方法介绍数列极限是数学中的知识，拿这个知识是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是店铺给大家整理的数列极限的证明内容，希望大家喜欢。

数列极限的证明方法一X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|<|Xn-A|/A以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

数列极限的证明方法二证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为0数列极限的证明方法三根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题：n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1 =0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1 /n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/( 1/n)=0*1=0数列的极限知识点归纳一、间断点求极限1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

求数列极限的几种常用方法一、运用极限的定义来求极限定义：设{an}为数列，a为常数，若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当nN时，有|an-a|ε，则称数列{an}收敛于a，常数a称为数列{an}的极限.二、利用极限四则运算法则及重要公式和初等变形求极限（1）四则运算法则：若limn→∞an=a，limn→∞bn=b.limn→∞（an±bn）=a±b，limn→∞（anbn）=ab，limn→∞anbn=ab（b≠0）.（2）limn→∞alnl+al-1nl-1+…+a0bknk+bk-1nk-1+…+b0=limn→∞alnlbknk.当l=k时，原式=albk;当lk时，原式=+∞.（3）limn→∞qn=0（|q|=0）.（4）limn→∞na=1（a0）.（5）limn→∞an=a.则① limn→∞a1+a2+…+ann=a.② 若an0，limn→∞na1a2…an=a.（6）若{an}是等比数列，其前n项和为Sn，公比q满足|q|=1，则limn→∞Sn=a11-q.三、利用重要极限求数列的极限（1）limn→∞sinxx=1.变形limn→∞sinφ（n）φ（n）=1（n→∞，φ（n）→0）.（2）limn→∞ax-1x=lna（a0）.变形limn→∞aφ（n）-1φ（n）=lna（a0）（n→∞，φ（n）→0）.（3）limn→∞1+1nn=e.變形limn→∞（1+φ（n））1φ（n）=e（n→∞，φ（n）→0）.推广：（1）n→∞.若φ（n）→0，f（n）→∞且φ（n）·f（n）→A，则limn→∞（1+φ（n））f（n）=limn→∞ef（n）ln（1+φ（n））=limn→∞ef·φ=eA.（2）n→∞.若φ（n）→1，f（n）→∞且（φ（n）-1）f（n）→B，则limn→∞φ（n）f（n）=limn→∞ef（ln（φ（n））-1）=eB.四、单调有界数列法、单调有界数列必收敛（即存在极限）（1）利用“单调数列必收敛”证明极限存在;（2）令limn→∞an=a，对an+1=f（an）两边取极限，转化为关于a的方程，求出a的值.五、利用迫敛性准则求数列极限如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：（1）从某项起，均有yn≤xn≤zn;（2）limn→∞yn=a，limn→∞zn=a，则limn→∞xn=a.六、利用柯西收敛准则证明极限的存在性例证明an=b112+b222+b332+…+bnn2（|bn|≤M，n=1，2，…）收敛.证明ε0，N0，使得当nN，P∈N+，有1n2≤1n（n-1）=1n-1-1n，|an+p-an|=M1n+p-1-1n+p+1n+p-2-1n+p-1+…+1n-1-1n≤M1nε.七、利用等价无穷小代换求极限重要的近似公式：当x→0时（1）sinx～x;（2）tanx～x;（3）ex-1～x;（4）1-cosx～12x2;（5）arcsinx～x;（6）arctanx～x;（7）ln（1+x）～x;（8）ax-1～xlna（a0且a≠1）.八、利用定积分求数列极限（此类方法主要是处理无限项求和或求积的形式）定积分的定义的数学形式：实际使用中[a，b]→[0，1]比较常见.∫baf（x）dx=limn→∞∑ni=1fa+i（b-a）nb-an（取右端点定义，x0=a），∫baf（x）dx=limn→∞∑n-1i=0fa+i（b-a）nb-an（取左端点定义，xn=b）.以上方法是数学分析中常用的求解数列极限的重要方法.除了以上的常用的方法外，还有许多求数列极限的方法等着我们不断去探索和挖掘，每一种方法的产生都源于多样的表达方式和细心地发现，所以在求解极限的过程中要巧妙地运用技巧，找到合适的方法，使问题迎刃而解.。

数列极限的求法及应用内容提要数列极限可用语言和语言进行准确定义,本文主要讲,,NAN,述数列极限的不同求法,例如,极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用,如几何中推算圆面积,求方程的数值解,研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定义,夹逼准则,Stoltz公式,函数极限 ,,NOn the Solutions and the Applications as to the Sequence LimitAbstractThe limit of a sequence can be accurately defined by language ,,N and language. This paper mainly describes different solutions to AN, finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.Finally, we also briefly introduce the applications of sequencelimit in real life. Such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.Key Wordsdefinition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits ,,N目录第一章数列极限的概念 (1)数列极限的定义及分类……………………………………… 1 1.11.2 数列极限求法的常用定理 (2)1.2.1 数列极限的四则运算 (2)1.2.2 单调有界原理 (2)1.2.3 Stoltz公式 (2)3 1.2.4 几何算术平均收敛公式…………………………………1.2.5 夹逼准则,迫敛性, (3)1.2.6 归结原则………………………………………………… 3 第二章数列极限的求法 (3)2.1 极限定义求法 (3)2.2 极限运算法则法 (5)2.3 夹逼准则求法 (6)2.4 单调有界定理求法 (8)2.5 函数极限法 (9)2.6 定积分定义法 (9)2.7 Stoltz公式法 (11)2.8 几何算术平均收敛公式法 (11)2.9 级数法、收缩法 (13)2.10 其它方法 (14)第三章数列极限在现实生活中的应用 (16)3.1.几何应用-计算面积 (16)3.2 求方程的数值解 (17)3.3 市场经营中的稳定性问题 (18)3.3.1 零增长模型 (18)3.3.2 不变增长模型 (19)3.4 购房按揭贷款分期偿还问题 (20)第四章结论 ..................................................................... .......... 21 致谢 ..................................................................... .................... 22 参考文献 ..................................................................... . (22)数列极限的求法及其应用学号:071106132 作者:杨少鲜指导老师:董建伟职称:讲师第一章数列极限的概念在研究数列极限解法之前～首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如～我国古代数学家刘徽,公元3世纪,利用圆内接正多边形来推算圆面An积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大nA,,时～内接正多边形无限接近于圆～同时也无限接近于某n,,n一确定的数～此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同～下面主要介绍两种定义:定义～定义. ,,NAN,，aa定义1,语言,:设是个数列～是一个常数～若～正,,N,,,0,,naan整数N～使得当时～都有aa,,,～则称是数列当无限nN,,,nn1增大时的极限～或称收敛于～记作～或.aalimaa,aan,,，,,,，，nnn,，,n 这时～也称的极限存在. a,,n，定义2,语言,:若,正整数～使得当时～都有,aA,NAN,A,0nN,n，,则称是数列当无限增大时的非正常极限～或称发散于ana,,,,nn，,～记作或～这时～称a有非正常极限. lima,，,an,，,,，,,,，，nnn,，,n 对于的定义类似～就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺,,,,垫～我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1,数列极限的四则运算法则, 若a和b为收敛数列～,,,,nn则也都是收敛数列～且有 ababab，,,,,,,,,,,nnnnnnlimlimlim,abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn limlimlim.abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn,,an若再假设b,0及～则也是收敛数列～且有 lim0b,,,nn,,nbn,,,,an. limlim/limab,,,nn,,,,,,nnnbn,,定理1.2.2,单调有界定理, 在实数系中～有界的单调数列必有极限.xxy定理1.2.3,Stoltz公式, 设有数列～～其中严格增～,,,,,,nnn, 且,注意:不必,.如果 limx,，,limy,，,nn,，,,，,nn2yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1yyy,nnn,1则 limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,10定理1.2.3',Stoltz公式, 设x严格减～且～.lim0x,lim0y,,,nnn,，,,，,nn0若yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1则yyy,nnn,1. limlim,,ann,，,,，,xxx,nnn,1定理1.2.4,几何算术平均收敛公式, 设～则 limaa,n,,naaa，，，...12n,1,～ lim,a,,nnn,2,若～则. an,,01,2,...lim...aaaa,，，n12n,,n定理1.2.5,夹逼准则,设收敛数列ac都以为极限～数列满ab,,,,,,,nnn N足:存在正数～当nN,时～有 00～ acb,,nnnc则数列收敛～且. limca,,,nn,,n,定理1.2.6,归结原则,设f在内有定义.存在的充要Ux;,limfx，，，，0xx,0,条件是:对任何含于且以x为极限的数列～极限xUx;,limfx，，,,，，0n0n,,n都存在且相等.第二章数列极限的求法 2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时～关键是找到正数.我们前面一节的N3定理1.2.4,几何算术平均收敛公式,的证明就可用数列极限来证明～我们来看几个例子.n例2.1.1 求,其中. limaa,0,,nn解,. lim1a,,,n1n事实上～当时～结论显然成立.现设.记,则. a,1a,1,,0,,,a11,,nn由 , anna1111,,,，,，,，,，，,,,,1a,1n得 . ,5, a,,1n11a,1nn任给,由,5,式可见～当时～就有.即.,,0a,,1,nN,,a,,1,,n所以. lim1a,,,n11n对于的情况～因,由上述结论知,故 ,1,01,,alim1,,naa11n . a,,,limlim1n,,,,nn1a1/n综合得时,. a,0lim1a,,,n例2.1.2 定理1.2.4,1,式证明. 证明,由～则～存在N,0～使当nN,时～有limaa,,,,011n,,n, aa,,,/2n则aaa，，，...112n . ,,,，，,，,，，,aaaaaaaaa......，，，11NNn11nn caaaa,,，，,...令～那么 1N1aaa，，，...nN,,c12n1 . ,,，,annn24c,c由～知存在～使当时～有. N,0nN,,lim0,22n,,n2n再令,故当时～由上述不等式知 NNN,max,nN,,,12aaa，，，...,,,,nN,12n1 . ,,，,,，,a,nn2222aaa，，，...12n所以 . lim,a,,nnn7例 2.1.3 求. limn,,!nn7解:. ,lim0,,nn!n7777777777771 事实上～,,,,,,,,. ......nnnnn,!127817!6!n7771即. ,,,0nn!6!7，，71对～存在～则当时～便有 ,,,0nN,N,,,,,6!，，nn77771所以. ,lim0,,,,,，0,,nn!nn!6!ncc注:上述例题中的7可用替换～即. lim00,,c，，,,n!n2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话～计算量会太大.若已知某些极限的大小～用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.mm,1ananana，，，，...mm,110例2.2.1 求,其中. mkab,,,，，00limmkkk,1n,,bnbnbnb，，，，...kk,110,k解:分子分母同乘～所求极限式化为 nmkmkkk,,,,,11anananan，，，，...mm,110.lim,,,11kkn,,bbnbnbn，，，，...kk,1105,,由知～ lim00n,,，,，，n,,amk,m当时～所求极限等于,当时～由于～故此nn,,00mk,mk,，，bm时所求极限等于0.综上所述～得到a,mmm,1,km,...ananana，，，，,mm,110blim., ,mkk,1n,,bnbnbnb，，，，. ..kk,110,0,km,,na例2.2.2 求～其中. a,,1limn,,n，1ana1解: 若～则显然有, a,1,limn,,n，a12n若～则由得 a,1lim0a,,,nnann , limlim/lim10,，,aa，，n,,,,,,nnn，1a若a,1～则na11,,,limlim1n,,,,nn1，，a110 . ，1na2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性～它不仅给出了判定数列收敛的一种方法～而且也提供了一个求极限的工具.1321,,,,,n，，例2.3.1 求极限. limn,,242,,,,n，，解:因为22 24412121212121nnnnnnnn,,,,，,,,,,,，～，，，，，，，，所以61321,,,,,n，，13321211,,,,nn . 0,,,,,,,242,,,,n，，1335212121,,,,，，nnn1因～再由迫敛性知 ,lim0n,,n，211321,,,,,n，， . lim0,n,,242,,,,n，，n例2.3.2 求数列的极限. n,,n解: 记～这里～则 hn,,01anh,,，1，，nnnnn,1，，n2 , nhh,，,1，，nn22由上式得～从而有 ,,,hn01，，nn,12 , ,2, ,,，,，ah111nnn,1,,22,,数列是收敛于1的～因对任给的～取～则当,，,,0N11，,,2,n,1,,,, 2时有.于是～不等式,2,的左右两边的极限皆为nN,，,,,11,n11,故由迫敛性得n . lim1n,,,nkn*例2.3.3 设及～求lim. a,1kN,nn,,akn解:. lim0,n,,naa事实上～先令～把写作1，,～其中.我们有 ,,0k,1nnn2. ,,,,0nn2,nn1,，，,an1，，,，1，，2,,，，，1...n27k,,kn2nn,,,,由于～可见是无穷小.据等式～ ,,nlim02,，，,,nn2nn,,1/k,,a,n,a1，，,,a，，,,,,n,,1/k注意到～由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明～a,1,,n1/ka,,，，,,k,,n可表为有限个,个,无穷小的乘积～所以也是无穷小～即 k,,na,,kn . lim0,n,,na2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛～再求其极限～此时该方法将会对我们有很大帮助～我们来看几个例子.nc例2.4.1 求例2.1.3注解中的. lim00,,c，，,,n!nnc解:. lim0,0,,c，，,,n!nnc*事实上～令.当时～ nc,xnN,,，n!nc . ,,xxxnnn，11，n，，x因此从某一项开始是递减的数列～并且显然有下界0.因此～由单,,nc调有界原理知极限存在～在等式的等号两边令xx,lim,xxnnn，1,,n1，n，，x～得到,所以为无穷小.从而 n,,xx,,,00,,nnc . lim00,,c，，,,n!nn例2.4.2 求极限,个根号,. lim333,,,n,,8解:设～～ a,,,,,3331aaa,,3nnn，1n故单调递增.又～设～ a,3aa,,33,,nn1则. aa,,，,3333nn，1又因有上界～故收敛.令由～ aaaa,3lim13aaa,,,，，,,,,nnnn，1n,,n对两边求极限得～故. aa,3a,32.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便～再利用归结原则即可求出数列极限.n例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求. lima,,nlnlnaalim1/0xxxx,,xx解,先求,因, limalimlimlim1aaeee,,,,,,,x,,,,,,xxx n再由归结原则知. lim1a,,,nn例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求. limn,,nlnlnxxlim0xxx,,xx解:先求.因～ limxlimlim1xeee,,,,,,x,,,,xxn再由归结原则知. lim1n,,,nk*na,1kN,例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及～求. limnn,,akk,1xkxk!kx,,,,limlim.....lim0kxx解:先求.因,由洛比达法limxxxx,,,,,,xaaalnaaln，，x,,akn则,～再由归结原则知. lim0,n,,na2.6 定积分定义法通项中含有的数列极限～由于的特殊性～直接求非常困难～n!n!若转化成定积分来求就相对容易多了.9nn!例2.6.1 求. lim,,nnnnn11in!1i解:令～则.而, ,y,,,,,lnlnylimlnlimlnln1yxdx,,,,,,,0nnnnnnn,1,i1inn!,1也即～所以. lnlim1y,,,,limlimyen,,,,,,nnn,,2,,sinsin,,sin,nn求极限lim...，，，. 例2.6.2 ,,n,,11n，1,,nn，，n2,,解:因为,,,,22，，，sinsin...sinsinsin,sin,nnnn ,，，， ...11，，nn11，，nn2n,,2sinsin...sin，，，,nn, ～ 1n，n,,2sinsin...sin，，，,n，，12,,,,,nn,,,，，，limlimsinsin...sin,,,,,nn,,,,nnnnn，，11,,,，，，，12,,,,, ,，，，limsinsin...sin,,,,,n,,nnn,,，，,,12 ～ ,,sinxdx,0,,类似地,,2sinsin...sin，，，,nnlim n,,1n，n2n122，，,,,,, ～ ,,,，，，,limsinsin...sin,,,,,2n,,nnnn，1,,,,，，由夹逼准则知10,,2,,sinsin,,sin2,nn lim...，，，, . ,,n,,11n，1,,,nn，，n2,,注:在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法yyy,nnn,1在求某些极限时非常方便～尤其Stoltz公式～limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,1n是当时特别有效. ya,,nkk,1例2.7.1 同例2.1.2～定理1.2.4,1,式证明. 证明:前面用定义法证明～现用Stoltz公式证明. ,,N令～则由Stoltz公式得到 yaaaxn,，，，,...,nnn12aaa，，，...12nlim,,nnaaaaaa，，，,，，，......，，，，,12121nn,limn,,nn,,1，，an . ,,,limlimaan,,,,nn1kkk12...，，，nlim例2.7.2 求. ，1k,，,nnkkkk12...，，，nn解: ,Stoltz公式, limlim,，1，1kk，1k,，,,，,nnnnn,,1，，kn , ,二项式定理, lim，1k121,kk,，,n,，，,...1CnCn，，，，11kk11 ,. ,1Ck，1k，12.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会11*n发现很多类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. *，nn例2.8.1 同例2.1.1一样求,其中. limaa,0,,n解:令,由定理1.2.4,2,知 aaaaa,,,,,,...1123nn . limlim1aa,,n,,,,nnn例2.8.2 同例2.3.2一样求. limn,,nn解:令,由定理1.2.4,2,知 12,3,...aan,,,，，，1n1n,nn . limlimlim1,,,nan,,,,,,nnn,1nn例2.8.3 同例2.6.1相似求. limnn,,!nnnn，1，，1,,解:令,则 a,，,1n,,nnn,,n123n，1，，234aaa,,,,,,,,,,,,12n23n 123nnnnnn，，11，，，，n ,. ,,nnnn!!所以nn，1n ～ aaa,,,,,,,12nnnn!nnn也即～而由定理1.2.4,2,知 ,,,,,,,aaa12nn1n，!nn1,,n . aaaae,,,,,,,，,limlimlim112,,nn,,,,,,nnnn,,故nnnn . limlimlim,,,,,,,,,,aaaee12nn,,,,,,nnn，，11nn!n3n123...，，，，n例2.8.3 求. lim,,nn12n解:令～则由定理1.2.4,1,知 ann,,,1,2,3...，，n3n123...，，，，nn . limlimlim1,,,ann,,,,,,nnnn2.9 级数法若一个级数收敛～其通项趋于0,,,我们可以应用级数的n,0一些性质来求数列极限～我们来看两个实例来领会其数学思想.nc例2.9.1 用级数法求例2.1.3注. lim0,c，，,,n!nnc解:考虑级数～由正项级数的比式判别法～因 ,!nnn，1ccc ～ lim/lim01,,,nn,,,,，，1!!1nnn，，nncc故级数收敛～从而. lim00,,c，，,,,n!n!nkn*例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设及～求. lima,1kN,nn,,akn解:考虑正项级数～由正项级数的比式判别法～因 ,nakkkn，1，，nn111，,, ～ lim/lim1,,,,,,，1nn,,,,nnaaana,,kknn故正项级数收敛～所以. lim0,,nn,,naa，，111例2.9.3 求极限. lim...，，，,,222n,,nnn12，，，，，,,，，,1解: 因级数收敛～由级数收敛的柯西准则知～对～存在, ,,,0N,0,2nn1, 使得当时～ nN,1321nn,11 ～ ,,,,,22kkkk,,11111此即～，，，,,...222n，nn12，，，，所以，，111 . lim...0，，，,,,222n,,nnn12，，，，，,,，，12n,,例2.9.4 求极限. ，，，,lim...1a，，,,2n,,naaa,,,1n解:令～所以x,1.考虑级数～ nxx,,an,1n，1nx，1，，an，1因为～所以此级数收敛. limlim1,,,xnnn,,,,anxn ,,,nn1n1,,令～则.再令～ sxnx,sxxnx,,fxnx,，，，，，，,,,n1n1n1,,, ,,xxx1nn,. ,,,ftdtntdtx，，,,,,001,x11nn,,所以,x1,, . fx,,，，,,21,x,,1,x，，,1xa而 , sxxfx,,,,，，，，22,11x,，，1a,，，所以,112na,, . lim...，，，,,sx，，,,n22n,,,1aaa,,,1a，，2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外～针对不同的题型可能还有不同的方法～我们可以再看几个例子.1422例2.10.1 求. limsin,nn，，，n,,解:对于这个数列极限可用三角函数的周期性.2222 limsinlimsin,,,nnnnn，,，,，，，，nn,,,,n,,22 , limsinlimsin,2nn,,,,1，，nnn11，，n,2 ,. sin1,22accn例2.10.2 设, 01,,,,，，，caa，n11222a收敛～并求其极限. 证明:,,n解:对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.首先用数学归纳法可以证明. 0,1,2...,,,acn，，nc事实上,.假设～ 0,,,ac01,,,acn1222acccccn则. 0,,，,，,，,ac，n12222222cx,fx,，令～则. fxx,，，，，22, aafafafaa,,,,,,,，，，，，，nnnnnn，,,111,～ ,1, ,,,,,aacaannnn,,11,aaa其中介于和之间.由于,再由,1,式知为压缩数列～01,,c,,nn,1n c故收敛.设,则. limal,,,lcn,,n2由于2acn ～ ,，a，n12215所以2cl2 . lllc,，,，,,2022解得,舍去,～. lc,，,11lc,,,11综上知. lim11ac,,,n,,n注:对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.第三章数列极限在现实生活中的应用 3.1 几何应用-计算面积在论文开始时～我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积～现在2我们再来介绍如何求抛物线与两直线和所围的面积. yx,y,0x,11121n,，，，，，，先将区间0,1等分为n个小区间～以这些小0,,...,1，，，,,,,,,,,nnnn，，，，，，222121n,,,,,,,n区间为底边～分别以为高～作个小矩形. 0...，，，，,,,,,,nnn,,,,,,n这个小矩形的面积之和是22nni,111,, Ai,,,,,1，，,,n,,3nnn,,,,ii11n,1nnn,,121，，，，112 , ,,i,33nn6i,1111,, ,. ,,1,,323nn,,AA这样我们就定义一个数列～对每个而言～它都小于欲求的,,nn1“面积”～但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积～n1An即～所以～当越来越大时～将越来越接近于欲求的“面积”～因nn此～我们可以定义此面积为161 . A,limn,,n3这种定义面积并求面积的方法简单又朴素～它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分:积分学.3.2 求方程的数值解我们都知道～是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近22～以达到事先指定的精确度,是二次方程的正根～所22x,,20以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.把问题提得更一般一些.设是任意给定的～我们来求的近aa,0a似值.给定的一个近似值～在两个正数中～一定有一个x,0ax,00x0大于xa另一个小于a～除非正好就是a.有理由指望这两个数的0,,1a算术平均值可能更加靠近～这便得到了更好的近似.axx,，,,102x0,, 事实上2,,111a2 . xaxaxaxaxa,,，,,，,,,,20，，，，,,10000222xxx000,,xx这表明:不论初值如何～得出的第一次近似值是过剩近似值.不01x妨设初值本身就是过剩近似值～因此.由此得出 xxa,,,0000xa,110 . 0,,,,,,xaxaxa，，，，10022x0xxa这个不等式告诉我们:第一次近似值到的距离至多是初值到10a的距离的一半.重复施行上述的步骤～便产生数列～其中 xxx，，，...,...01n17,,1a* ～ xxnN,，,，,,nn,12xn,1,,由111 ～ ,,,,,,,,,xaxaxaxa0...，，，，，，nnn,,1202n222可见.对于充分大的～数x与的距离要多小有多nalimxa,nn,,n小.让我们看看实际应用起来有多方便～设想我们需求的近似值.2取初值,这是相当粗糙的近似值,～反复迭代的结果是 x,20xxx,,,,,,2.0,1.5,1.4166，012x,,,,1.4142566，3 x,,,,1.41421356，4x,,,,1.41421356，5这已是相当精确的近似值.3.3 市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素～以股票为例～为尽量避免出现羊群行为～减少非理性投资～我们需要对股票的内在价值,即未来收入现金流的现值,有较清晰的认识～从而决定是该购买还是该售出～作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值.3.3.1 零增长模型假定股利增长率为0,因其内在价值如下,DDDDtt11 ,1, ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iii，，，，，，t1,12tt D,,V-内在价值～股息(红利)～贴现率,～ i,18现由假定知～ DDDDiiii,,,,,,,,......，1212tn所以此时股票内在价值为,DDDD ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iiit1，，，，，，,t,,D1,,1,,,,,,,11，，ii,,D,, ,lim,. ,2, ,,t1i1,1，i知道股票的内在价值后～可求出其净现值～即内在价值减去市NPV，，场价格～也即:. NVPVP,,当～该股票被低估～可买入,当～被高估～不益购买. NVP,0NVP,0例:某公司在未来无限期支付每股股利为8元～现价65元～必要收益率10%～评价该股票.解:利用,2,式结论可求得该股票的内在价值为:D8 . VNVPVP,,,,,,,,,808065150，i10%故该股票被低估～可以购买.3.3.2 不变增长模型假定股利永远按不变增长率g增长～即，，t ～ DDgDg,，,,，1...1，，，，,10tt代入,1,式得此时内在价值为19t,,Dg1，，，1，g,,01,,,,,t,,,,11ii，，,,DgDg11，，，，，，DD00,,t1.,3, V,,,,,lim,,tt,,t1，gigig,,1+1+ii,,11tt，，，，t1,1，i 例:去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长～假设必要收益率为11%～当每股股票价格为40元～评价该股票.解:利用,3,式的结论～由于～可知 D,，，,1.8015%1.89，，11.8015%，，，，股票内在价值～故 V,,31.5011%5%,～ NVPVP,,,,,31.50400该股票被高估～建议出售.3.4 购房按揭贷款分期偿还消费贷款的还款,即按揭,大多为年金方式～故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.P设表示总的房款金额～表示首次付款比例～表示年利率～kinR表示分期付款,贷款,的总年数～表示每月底的还款金额～则有如下的价值方程12，，～ 112,,kPRa，，n12，，11,,kPkiP，，，，进一步有 . ,4, R,,12，，12ia12annn1,v2n其中 . aavvv,,，，，,...nini上述是针对有限期限付清的情况～如果考虑永久期末年金:在每个付201m，，款期末付款上货币单位～直至永远.若将该年金的现值记为～a,m则有计算公式12,,11mm，，，，mm . avva...lim,，，,,,,,m，，n,,nmi,,代入,4,式即可.通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额.第四章结论通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石～是微积分学的基础～可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础～灵活巧妙的应用它～也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样～给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以～国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断～同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决～去突破.21。