求数列极限的几种典型方法
首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n
为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正
整数N ，使得当nN 时有ε<-a a
n
，则称数列
{}a n
收敛于，定数则称为数列{}a n
的极限，
并记作
a a a a
n n
n →=∞
→或lim （∞→n ）。
若数列没有极限，则称
{}a n
不收敛，或称{}a n
为发散数列。
下面我们来研究求数列极限的几种方法：
方法一：应用数列极限的定义 例一：证明
01
lim
=∞
→n
n α
，这里为正数。
证明：由于
n
n
α
α
1
01
=
-
故对任给的0>ε，只要取11
1+⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=εαN ，则当N n >时就有
εα
α
<<
N
n
1
1
这就证明了
01
lim
=∞
→n
n α
。
用定义求数列极限有几种模式： （1）0>∀ε，作差a a
n
-，
解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N
（2）将
a a
n
-适当放大，解出()εf n >；
（3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n
n
,都以为极限，数列{}c n
满足：存在正整数N
,
当N
n 0
>
时有：
b c a n
n
n
≤≤
则数列
{}c n
收敛，且a c
n
n =∞
→lim 。
例二：求数列{}n
n 的极限。
解：记h a
n n n
n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有
h h n
n
n n n n 2
2
)1()
1(-⋅>
=
+ 由上式的12
0-<
<
n h n )1(>n ,从而有 1
2
111-+
≤+=≤
n h a n n 数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，
因为任给的0>ε，取ε
22
1+=N ，则当N n >时有ε<--+
112
1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞
→n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设
,2,1,1
1
1
13
2=+
++
+
=n n
a n α
α
α
其中实数2≥α，证明数列{}a n
收敛。
证明：显然数列
{}a n
是递增的，下证有上界，事实上，
n
a n 2
2
2
1
1
1
13
2++++
≤
2
1
2)
1
11()3121()211(1)1(1
3212111<-=--++-+-+=⋅-++⨯+⨯+
≤n n n n
n
于是由单调有界定理知
{}a n
收敛。
方法四：对于待定型
1
∞
利用
=+∞
→)
11(lim n
n
n e
例四：求
)
211(lim n
n
n +∞
→
解：因=+∞
→)
211(lim 2n n
n e ，而
)211(lim n n
n +∞
→.)211(lim n n
n +∞
→==+∞
→)
211(lim 2n
n
n e
即e n n n =∞→⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+)211(lim 2
故e n
n
n =+∞
→)
211(lim
方法五：（柯西收敛准则）数列{}a n
收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数
N ，使得当n ，m N >时，有
ε≤-a
a m
n
例五：证明任一无限十进小数=0. b b b n
2
1
的n 位不足近似（n=1，2，
）所组成的数列
,10,,10,1010
1010
2212
2
1
1
n n b b b b b b ++++
满足柯西条件（从而收敛），其中为9,,2,1,0 中的一个数， ,2,1=k
证明：记
10
102
2110n n n
b b b a
+++= ，不妨设m n >，则有
10
10
10
2
21
1n
n
m m m m m n b b b a a +
++
=
-++++
m
m
m
n m
m n m 1
1
)
1
1(1)1
1011(9
10
10
101010
11<
<-=
+++≤---+
