椭圆知识点归纳总结和经典 例题

椭圆的基本知识

1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的

点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦

距(设为2c) .

2.椭圆的标准方程：

（＞＞0） （＞＞0）

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程

为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法

解: (相关点法)设点M(x, y), 点P(x0, y0),

则x＝x0, y＝ 得x0＝x， y0＝2y.

∵x02＋y02＝4, 得 x2＋(2y)2＝4,

即所以点M的轨迹是一个椭圆.

4.范围. x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．

椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．

原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点 只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个

交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交

点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭

圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．

B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．

在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，

即c2＝a2－b2．

7.椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶

点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短

轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和

纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：

几点说明：

（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。

（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0

扁平程度。

由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋

近于，椭圆越圆。

（3）观察下图，，所以，所以椭圆的离心率e = cos∠OF2B28.直线与椭圆：

直线：（、不同时为0）

椭圆：

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程

组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下：

消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下

，

（1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

（2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）；

（3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度

（即弦长）为，设直线的斜率为，

可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。

椭圆典型例题

例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．

解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设

条件，运用待定系数法，

求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．

当焦点在轴上时，设其方程为．

由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．

例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶

点的轨迹．

分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．

（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方

程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标

为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，

有，

故其方程为．

（2）设，，则． ①

由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两

点）．

例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为

和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方

程．

解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．

从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，

可求出，，从而．

∴所求椭圆方程为或．

例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．

求：的面积（用、、表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．

解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在

第一象限．由余弦定理知： ·．①

由椭圆定义知： ②，则得 ．

故 ．

例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨

迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，

即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，

即．∴点的轨迹是以，为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标

准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例7 已知椭圆

（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，

求线段中点的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥

将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．

（2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

（3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得

， ⑧， ， ⑨

将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩

再将代入⑩式得： ， 即 ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，

即．，解得．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．

根据弦长公式得 ：．解得．方程为．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方

法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问

题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长

轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已

知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之

和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆的焦点为，．

点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．

解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．

所求椭圆的长轴：，∴，又，

∴．因此，所求椭圆的方程为．

例10 已知方程表示椭圆，求的取值范围．

解：由得，且．

∴满足条件的的取值范围是，且．

说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不

表示椭圆．

例11 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．

分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单

调性，求出的取值范围．

解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．

因此且从而．

说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在轴上，知，． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．

例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，

为了计算简便起见，

可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可

求出方程．

解：设所求椭圆方程为(，)．由和两点在椭圆上可得

即所以，．故所求的椭圆方程为．

例13 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦

点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

分析：可以利用弦长公式求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，

所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．

由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从

而．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为，设，，则，．

在中，，即；

所以．同理在中，用余弦定理得，所以．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐

标．

再根据焦半径，，从而求出．

　椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为

A．4 B．2 C．8 D．