当前位置：文档之家 › 椭圆知识点与例题

椭圆知识点与例题

  • 格式：doc
  • 大小：117.00 KB
  • 文档页数：2

1 椭圆

（一）椭圆及其性质

1、椭圆的定义

（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1 F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

（2）一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率

2、椭圆的标准方程

3、椭圆的参数方程)(sincos为参数byax

4、离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ace2)(1abe 10e

椭圆的准线方程: 左准线caxl21: 右准线caxl22:

（二）、椭圆的焦半径

椭圆的焦半径公式：

（左焦半径）01exar （右焦半径）02exar 其中e是离心率

焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（ 21,FF分别是椭圆的下上焦点）

（三）、直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

1、弦长公式：

若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,2211yxByxA（则

弦长221221)()(yyxxAB

221221)()(kxkxxx

2121xxk

2122124)(1xxxxk

例1. 已知椭圆及直线y＝x＋m。

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

2、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程

AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一条弦，中点M坐标为(x0，y0)，

则AB的斜率为－b2x0a2y0.运用点差法求AB的斜率，设A(x1，y1)，

2 B(x2，y2)．A、B都在椭圆上，∴ x1 2a2＋y1 2b2＝1，x2 2a2＋y2 2b2＝1，两式相减得

x1 2－x2 2a2＋y1 2－y2 2b2＝0，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，

即y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.故kAB＝－b2x0a2y0.

例、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。

（四）四种题型与三种方法

1：已知椭圆C：1162522yx内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求｜PA｜+35｜PF｜的最小值。

2： 已知椭圆1162522yx内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求｜PA｜+｜PF|的最大值与最小值。

3：已知椭圆1162522yx外一点A（5，6），l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，求|PA|+d53的最小值。

4：定长为d(abd22)的线段AB的两个端点分别在椭圆)0(12222babyax上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。

1：椭圆22221xyab的切线与两坐标轴分别交于A,B两点， 求三角形OAB的最小面积 。

2：已知椭圆 221123xy和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦

点12,FF为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。

3：过椭圆2222xy的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求AOB面积的最大值 。

合集下载

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：

（一）椭圆

1.椭圆的定义

如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆

即|PF1|+|PF

2|=2a其中P是动点，F

1,F

2是定点且|F

1F

2|=2C

当a>c时表示

当a=c时表示

当a

第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0

2.椭圆的标准方程参数方程

（1）标准方程

（2）参数方程

3.椭圆的性质

（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程

x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF

2|=(F

1，F

2分别为椭

圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称

轴的弦）|P1P

2|=

（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程

x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF

2|=(F

1，F

2分别为椭

圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)

4.椭圆系

（1）共焦点的椭圆系方程为22

21xy

kkc

(其中k>c2,c为半焦距)

（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程22

22(0)xy

ab

(二)双曲线

1.双曲线的定义

如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动

点的轨迹是双曲线

若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨

迹是双曲线的一支

F

1，F

2为两定点，P为一动点，(1)若||PF

1|-|PF

2||=2a

①0<2a<|F1F

2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F

2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

(2)若|PF

1|-|PF

2|=2a

①0<2a<|F1F

2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F

2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质

高二椭圆与直线相交知识点

高二椭圆与直线相交知识点

高二椭圆与直线相交知识点

椭圆与直线是高二数学中的一种重要的几何关系，深入理解它们的相交性质对于解题和应用实践具有重要意义。本文将介绍高二椭圆与直线相交的几个关键知识点。

一、椭圆与直线的方程

在介绍椭圆与直线相交的知识点之前，我们先来了解椭圆和直线的方程。

椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为椭圆的长半轴，$b$为椭圆的短半轴。

直线的一般方程为：$Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$为实数且$A$与$B$不同时为零。

二、椭圆与直线相交的条件

椭圆与直线相交的条件为：直线不经过椭圆的中心，且直线方程与椭圆方程联立可解，即联立方程有实数解。

三、椭圆与直线相交的情况分类

根据椭圆与直线相交的情况，可以将其分为以下三种情况：

1. 直线与椭圆相交于两个不同的点

当直线与椭圆相交于两个不同的点时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立可解。

2. 直线与椭圆相切于一个点

当直线与椭圆相切于一个点时，此时直线既是椭圆内切线又是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立有唯一实数解。

3. 直线与椭圆不相交

当直线与椭圆不相交时，此时直线既不是椭圆内切线也不是椭圆外切线，同时直线方程与椭圆方程联立无实数解。

四、解题方法与实例

在解决涉及椭圆与直线相交的问题时，可以采用以下方法：

1. 代数法：将直线方程代入椭圆方程，联立方程求解解得交点坐标。

2. 几何法：利用椭圆和直线的性质进行几何推导，得出交点的几何特征。

以下为一个实例：

例题：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直线$2x-3y+4=0$，求椭圆与直线的交点坐标。

解：将直线方程代入椭圆方程，得到$\frac{(2x-3y+4)^2}{4^2}+\frac{y^2}{9}=1$。

化简方程得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y+48=64$，整理得$4x^2-12xy+9y^2+48x-72y-16=0$。

人教版高中数学必修第二册8.1 椭圆及其标准方程1

人教版高中数学必修第二册8.1 椭圆及其标准方程1

word

1 / 1 §8.1.1 椭圆及其标准方程

一、教学目标：

1.掌握椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导，能够根据条件确定椭圆的标准方程.

2.进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标的自觉性以及解决几何问题的能力.

3.培养学生和提高学生运用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力.

二、教学重点与难点：

重点：椭圆的定义及其标准方程.

难点：椭圆标准方程的推导..

三、教学内容：

〔一〕复习

2.圆的几何特征.

3.实际生活中椭圆的例子有哪些？

〔二〕新课

1.知识点：

椭圆的定义

椭圆的标准方程

2.例题分析：

〔1〕求适合以下条件的椭圆的标准方程

〔10〕两个焦点的坐标分别是〔-4，0〕〔4，0〕，椭圆上一点P到两焦点距离之和等

于10

〔20〕两个焦点的坐标分别是〔0，-2〕〔0，2〕，并且椭圆经过点〔23，25〕

〔2〕B、C两个定点，|BC|=6，且ΔABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.

A

B O C

〔3〕方程1)42sin(322yx所表示的曲线是椭圆，求的取值X围。.

〔4〕如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数K的取值X围是〔 〕

〔94高考〕

A.〔0，+〕 B.〔0，2〕 C.〔1，+〕 D.〔0，1〕

3.作业：

教材P95 习题8.1 1-5

椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)

椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)

椭圆及特殊椭圆知识点(经典完整版)

椭圆及特殊椭圆知识点（经典完整版）

1.概述

椭圆是一个重要的几何概念，具有许多特殊性质和应用。本文将介绍椭圆的基本定义和性质，并探讨一些特殊类型的椭圆。

2.椭圆的定义

椭圆是一个平面图形，由到两个焦点的距离之和恒定于一个常数，且大于两个焦点间距离的点构成。椭圆可以由一个固定点（焦点F1）和一条固定线段（主轴）决定。

3.椭圆的性质

椭圆具有以下性质：

半长轴：椭圆主轴的一半长度，用a表示。

半短轴：椭圆次轴的一半长度，用b表示。

焦距：焦点到椭圆某点的距离之和，等于椭圆的长轴长度。

离心率：描述椭圆的扁平程度，为焦距与长轴长度之比，用e表示。 焦点坐标：椭圆的焦点F1的坐标表示为(-ae。0)，焦点F2的坐标表示为(ae。0)。

4.特殊椭圆

4.1 圆

当椭圆的长轴和短轴长度相等时，椭圆变成一个圆。圆是一种特殊的椭圆，具有对称性和均匀性。

4.2 扁圆

当椭圆的离心率接近于1时，椭圆变得扁平，称为扁圆。扁圆的长轴明显大于短轴，形状更接近于一个狭长的椭圆。

4.3 扇形

扇形是由椭圆上的一段弧和两条半径组成的图形。扇形的面积可以通过椭圆扇形公式计算。

4.4 椭圆柱体

椭圆柱体是由椭圆沿其中一条轴旋转形成的立体图形。椭圆柱体具有椭圆的特性，并且其体积和表面积可以通过相应的公式计算。

5.应用领域

椭圆的特性使其在许多领域中得以应用，包括：

天文学：描述轨道和行星运动。

工程学：设计轮廓和曲线。

密码学：用作加密算法的基础。

6.结论

椭圆是一个重要的几何概念，具有多种特殊性质和应用。我们通过介绍椭圆的定义、性质和特殊类型，认识到椭圆在几何学和其他领域中的重要性。