2-1矩阵及其运算.

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乘法运算 乘法运算符为”*”，运算规则和现行代数中矩阵乘法运算相同，即放在前面的矩阵的行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。

1、两个矩阵相乘：必须满足前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数。

2、矩阵的数乘：返回数与矩阵中每一个元素相乘后的矩阵

3、向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘；A.*B表示A与B对应的元素相乘，返回的是一个向量

4、向量点积：

（1）C=dot(A,B) %若A、B为向量，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同维数

（2）C=dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积

5、向量叉乘：在数学上，两向量的叉乘是一个过两向量交点且垂直于两向量所在平面的向量。

（1）C=cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=AXB；若为矩阵，则返回一个3Xn矩阵，其中列是A与B对应列的叉积，A、B都是3Xn矩阵

（2）C=cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积

注：A与B必须具有相同维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3

6、矩阵卷积和多项式乘法：w=conv(u,v) （反褶积deconv(u,v)）

长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积定义为

k1jj)-1u(j)v(k)k(w，其中w向量序列长度为（m+n-1）

多项式的乘法实际上是多项式系数向量间的卷积运算，举例如下：

展开多项式(s2+2s+2)(s+4)(s+1)

>>w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))

w = 1 7 16 18 8

>>p=poly2str(w,’s’) %将w表示成多项式

p=s^4 +7 s^3 +16 s^2 +18 s + 8

7、张量积

C=kron(A,B) %A为mxn矩阵，B为pxq矩阵，则C为mpxnq矩阵

线性代数

中国人民公安大学理科基础部第二节逆矩阵及其运算

一、逆矩阵的概念和性质

五、初等变换求逆矩阵四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件

三、用伴随矩阵法求逆矩阵线性代数

中国人民公安大学理科基础部（或称的逆）；其中为的倒数，a11aaa,111aaaa在数的运算中，对于数，有

是否存在一个矩阵,

.11AAAAE在矩阵的运算中,单位矩阵E相当于数的乘法运算中

的1，那么，对于矩阵A，1A

使得一、逆矩阵的概念和性质

0a线性代数

中国人民公安大学理科基础部对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得

则说矩阵A是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B称为

A的逆矩阵，否则称A是不可逆矩阵或奇异矩阵。,ABBAE

例1设,0101

1010AB

,ABBAEB是A的一个逆矩阵。定义1（可逆矩阵）线性代数

中国人民公安大学理科基础部例1 设,21

10A

解设是A的逆矩阵,abBcd

则21

10abABcd10

01

2210

01acbd

ab求A的逆矩阵线性代数

中国人民公安大学理科基础部,

,

,

,21

20

0

1ac

bd

a

b,

,

,

.0

1

1

2a

b

c

d

又因为

011201

12011201

12,10

01

所以.101

12AABAB

(待定系数法)线性代数

中国人民公安大学理科基础部注：不是每个非零矩阵都有逆矩阵。

01

02A例如

11AAAAE不论一个怎样的矩阵的第一列全都是零。

因此，不可能有一个矩阵, 使,B

1ABA线性代数

中国人民公安大学理科基础部定理1若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是惟一的.

,,ABBAEACCAE

章节 第2章 课题 矩阵及其运算

计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班

教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。

教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。

教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法

教学方法和手段 讲授 习题课 答疑

备注

教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。

本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。

§1 矩阵

1、矩阵的概念

054132yxyx

0541322121xxxx

5432A 054132B

定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：

称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。

如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注

1 1

第2章 矩阵

一、矩阵的概念与运算

3. 矩阵与矩阵相乘

注意：

（1）AB不一定等于BA,即矩阵乘法不满足交换律.

（2）若矩阵,A与B满足ABO,并不能得出AOBO或的结论,

（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,ACBCCO,也未必推出=AB.

4. 方阵的行列式与幂

性质2.4 设A,B均为n阶方阵,为数,则

（1）nAA；

（2）mA=mA,m为正整数；

（3）ABABBA.

由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()kkkkABABAB.

5. 矩阵的转置

性质2.5 (假设运算都是可行的)

（1）()TTAA；

（2）()TTTABAB；

（3）()TTAA；

（4）()TTTABBA；

（5）若A为方阵,则TAA.

二、逆 矩 阵

定理2.2 方阵A可逆的充要条件是0A,且1*1AAA.

其中*A为A的伴随矩阵.

推论2.1 若ABE（或BAE）,则A可逆,且1BA.

性质2.6

(1) 若A可逆,则1A也可逆,且11()AA,111AAA；

(2) 若A可逆,数0,则A可逆,且111()AA；

2 2

(3) 若、AB为同阶矩阵且均可逆,则AB也可逆,且111()ABBA；

(4) 若A可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()TTAA；

(5) 若A可逆,*A为其伴随矩阵,则*11*()()AA.

例5.设abcdA,0bcad,求1A.

解：1*11dbcaadbcAAA

例6.若12(,,,)ndiagaaaLA,其中0(1,2,...,)iain,求证：

112111(,,,)ndiagaaaLA.