第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩

专升本矩阵知识点总结

一、基本概念

1.1 矩阵的定义

矩阵是一个按照矩形排列的数表，数表中的每个数称为矩阵的元素。一般地，矩阵记作A=(aij)，表示一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数，aij表示位于第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的类型

根据矩阵的行数和列数的不同，矩阵可以分为多种类型，例如：m×n矩阵、方阵、零矩阵、单位矩阵等。

1.3 矩阵的转置

矩阵A的转置记作AT，即将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵。

1.4 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵行空间和列空间的维数，它是矩阵重要的性质之一，对于解线性方程组、矩阵求逆等很有用。

二、矩阵的运算

2.1 矩阵的加法

设A和B是同型矩阵（即行数和列数相同），它们的加法规定为：A + B = C，其中C的每个元素cij等于A和B对应元素的和。

2.2 矩阵的数乘

设A是一个m×n矩阵，k是一个数，则矩阵A和k的数乘定义为：kA = B，其中B的每个元素bij等于k与A对应元素aij的积。

2.3 矩阵的乘法

设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，则矩阵A和B的乘法规定为：AB=C，其中C是一个m×p矩阵，C的元素cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

2.4 矩阵的逆

对于一个n×n的可逆矩阵A，存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，B称为A的逆矩阵，记作A-1。有逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵，没有逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵。 2.5 矩阵的转置

设A是一个m×n矩阵，其转置记作AT，有以下性质：

（1）(A.T).T=A

（2）(A+B).T=A.T+B.T

（3）(kA).T=k(A.T)

（4）(AB).T=B.TA.T

（5）(A-1).T=(A.T)-1

三、矩阵的性质

3.1 矩阵的行列式

矩阵的行列式是一个非常重要的性质，它在解线性方程组、求矩阵的逆等方面有着重要的作用。对于一个n×n的矩阵A，它的行列式记作|A|，行列式是一个数值，表示矩阵A的某种重要特征。

矩阵的秩的运算法则

矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们判断矩阵的性质和解决一些实际问题。在矩阵的秩的运算中，有一些基本的法则和规则，下面我将为大家介绍一下。

首先，我们需要明确什么是矩阵的秩。矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。换句话说，矩阵的秩就是矩阵中非零行或非零列的最大个数。我们用r(A)表示矩阵A的秩。

接下来，我们来看一下矩阵的秩的运算法则。首先是矩阵的加法。如果两个矩阵A和B的秩相等，即r(A) = r(B)，那么它们的和矩阵A +

B的秩也相等，即r(A + B) = r(A) = r(B)。这个法则告诉我们，矩阵的秩在加法运算中是保持不变的。

其次是矩阵的乘法。如果两个矩阵A和B相乘，那么它们的秩满足以下关系：r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}。也就是说，两个矩阵相乘后的秩不会超过原矩阵的秩的较小值。这个法则告诉我们，矩阵的秩在乘法运算中是有限制的。

再次是矩阵的转置。如果矩阵A的秩为r(A)，那么它的转置矩阵A^T的秩也为r(A^T) = r(A)。这个法则告诉我们，矩阵的秩在转置运算中是保持不变的。

最后是矩阵的行变换。对于一个矩阵A，我们可以进行一系列的行变换，如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。这些行变换不会改变矩阵的秩。也就是说，经过行变换后的矩阵与原矩阵的秩相等。

综上所述，矩阵的秩的运算法则包括矩阵的加法、乘法、转置和行变换。在矩阵的加法中，秩保持不变；在矩阵的乘法中，秩有一定的限制；在矩阵的转置中，秩保持不变；在矩阵的行变换中，秩也保持不变。

矩阵的秩的运算法则在线性代数的学习和应用中起着重要的作用。通过运用这些法则，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。同时，这些法则也为我们提供了一些计算矩阵秩的方法和技巧，使我们能够更加高效地进行矩阵的秩运算。

总之，矩阵的秩的运算法则是线性代数中的重要内容，它们帮助我们理解和分析矩阵的性质，解决实际问题。通过熟练掌握和灵活运用这些法则，我们可以更好地应用线性代数知识，提高问题的解决能力。

章节 第2章 课题 矩阵及其运算

计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班

教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。

教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。

教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法

教学方法和手段 讲授 习题课 答疑

备注

教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。

本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。

§1 矩阵

1、矩阵的概念

054132yxyx

0541322121xxxx

5432A 054132B

定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：

称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。

如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注

习题课一

（第二章）

内容介绍

一、 第二章基本内容回顾

二、 讲评第二章练习题

三、 讲评第二章部分习题

四、 讲评辅导材料第二章中部分典型题

一、 第二章矩阵基本内容回顾

§2.1 基本内容

2.1.1 矩阵的运算

1．矩阵的加法

设,][,][nmijnmijbBaA则

.][nmijijbaBA

2．矩阵的数乘

.][nmijkakA

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，它们满足以下算律：

 ;ABBA

 );()(CBACBA

 );()(lAkAkl

 ;)(lAkAAlk

 。AAkkAn为阶方阵|,|||

3．矩阵的乘法

设,][,][pnkjnmikbBaA则,][,][pnkjnmikbBaA

其中.,,2,1,,,2,1,1pjmibaCkjnkikij即矩阵C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列对应元素乘积这和。

两个矩阵可乘的条件是：左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数。 矩阵乘法与数的乘法有很大差异，它体现在

 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，.BAAB

 矩阵乘法含有非零的零因子，即既使0,0BA，可能有.0AB

 矩阵乘法不满足消去律，即由0,AACAB不能导出.CB矩阵乘法满足以下运

算律：

 );()(BCACAB

 ;)(,)(CABAACBACABCBA

 );()()(kBABkAABk

 BABAAB,|,|||||为同阶方阵。

4．矩阵的转置

设

nnnnnaaaaaaaaaA2121222111211

则A的转置为

nnnnmmTaaaaaaaaaA212222112111

矩阵转置满足以下算律：

 ;)(AATT

 ;)(TTTBABA

 ;)(TTTABAB