专题03
三角函数与解三角形
三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的
概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部
分．
在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式
的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、
正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思
想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．
§3－1 三角函数的概念
【知识要点】
1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．
2．弧度rad以及度与弧度的互化：．3.57)
π180
(rad1,π180;
rl
3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角
的顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边上
任意一点P(x，y)，｜OP｜＝r(r≠0)，则 ;cos;sin
rx
ry
xy
tan4．三角函数的定义域与值域：
函数定义域值域y＝sinxR[－1，1]
y＝cosxR[－1，1]
y＝tanx},
2π
π|{Z
kkxx
R
5．三角函数线：正弦线，余弦线，正切线MPOMAT
6．同角三角函数基本关系式：
cossin
tan,1cossin22
7．诱导公式：任意角
的三角函数与角等的三角函数之间的关系，可以统一为
2π
,π,“k·±
”形式，记忆规律为“将
看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．
2π
【复习要求】
1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表
示方法．
2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，
3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值．
4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式．
1 高考数学三角函数公式
同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商的关系： 平方关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
(六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”)
诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。)
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
三角函数知识点
（一）基本初等函数Ⅱ（三角函数）
1.角度制与弧度制的互化：,23600 ,1800
1 rad＝ ≈57.30°=57°18ˊ ； 1°＝ ≈0.01745（rad）
2.任意角的三角函数
设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=22yx
(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=
(2)各象限的符号：
sin cos tan
3.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：
（2）商数关系：
4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
(1)sin(2kπ+α)= ，cos(2kπ+α)= ，tan(2kπ+α)= (k∈Z)
(2)sin(π+α)= ; cos(π+α)= ; tan(π+α)=
(3)sin(−α)= ; cos(−α)= ; tan(−α)=
(4)sin(π−α)= ; cos(π−α)= ; tan(π−α)=
(5) sin(π2−α)= ; cos(π2−α)=
高考数学中的三角函数的全面应用
高考数学中，三角函数是一个非常重要的概念。作为初中数学的一个重要知识点，在高中数学中得到了更深的发展和应用。三角函数的应用不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以帮助我们理解数学中的抽象概念和思维方式。下面，我们就从三个方面来探讨高考数学中三角函数的全面应用。
一、平面直角坐标系中的三角函数应用
在平面直角坐标系中，三角函数有着广泛的应用。例如，在物理学中，我们可以运用三角函数来解决问题，比如两个物体之间的相对运动问题。在数学学科中，三角函数的应用也十分普遍，比如正弦函数，它是通过一个锐角直角三角形中的对边和斜边的比值来定义的。这个定义可以用来解决各种实际问题，比如在设计工程中测量一根电杆的高度等问题。
另一个比较经典的问题是，如何计算三角形的面积。我们知道，正弦或余弦可以用于计算三角形的面积，而正切则可以用于计算角度的大小。这些知识点不仅可以帮助我们解决具体的问题，还可以加深我们对于数学的理解和抽象思维能力。
二、空间直角坐标系中的三角函数应用
在空间直角坐标系中，三角函数同样有着广泛的应用。比如，正切函数可以用于计算两个向量之间的夹角，就像平面直角坐标系中的相似问题一样。我们还可以通过角度大小来计算三角形在空间中的投影面积，这些都是比较高级的知识点。
另外，我们可以利用三角函数在空间中描述三维物体的位置和运动。比如，在计算机图形学中，我们需要用到三维物体的位置和运动，而这些都可以由三角函数计算得出。这些知识点对于有志于从事计算机图形学和游戏制作等领域的学生来说，尤为重要。
三、三角函数的微积分应用
在微积分中，三角函数也有着广泛的应用。比如，我们可以利用三角函数进行极限计算，计算曲线的切线和弧长等等。在微积分中，极限是一个非常重要的概念，我们可以通过三角函数的性质来更好地理解和应用极限。
除此之外，三角函数的导数和积分也有着重要的应用。比如，我们可以利用三角函数的导数来计算极限，通过积分来求解曲线下面的面积，求解速度和加速度等等。对于有志于深入学习数学和物理学等领域的学生来说，这些知识点是必备的。
