点集拓扑知识点总结

附件5-1:

德州学院

本科课程教学大纲

课 程 名 称： 点集拓扑

英 文 名 称： Point set topology

课 程 编 号：

所属系（部）： 数学系

日 期： 2005.4

周学时 3 总学时 54 学分 3

教学对象（本课程适合的专业和年级）：数学系各专业本科三年级学生

预备知识：集合论的有关有关内容

课程的教育目标：

使学生通过本课程的学习，清楚拓扑学的中心任务，初步掌握点集拓扑学的基本概念、基本理论及其应用。主要掌握拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念，连通空间、局部连通空间、弧连通空间、紧致空间、局部紧致空间、仿紧致空间和满足可数性公理、分离性公理的空间的概念、拓扑性质以及相互之间的关系。学习逻辑推理的方法，提高抽象能力与逻辑思维能力.

课程的性质和任务：

点集拓扑是本科数学与应用数学专业的专业理论课。属几何类课程，选修课。拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其它分支中有着广泛的应用，特别与分析学有着密切联系，是分析学相应内容的提高和深化。同时在物理、化学、生物和现代科学技术中得到越来越广泛的应用。 拓扑学已与近世代数、近代分析共同成为近代数学理论的三大支柱.开设该课程就是要学习这门课程的基本知识，学习逻辑推理的方法．

课程的基本要求：

（1）掌握拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念及充要条件，拓扑空间的基和子基的概念、充要条件及作用。熟悉开集、导集、闭集等概念及其性质。

（2）熟悉子空间、有限积空间和商空间的拓扑结构。

（3）掌握连通性、理解局部连通、弧连通空间的概念、拓扑性质以及相互之间的区别与联系。

（4）掌握满足第一和第二可数性公理的空间、可分空间、林德洛夫空间的概念、性质以及相互之间的联系。

点集拓扑练习题

一、选择题（每题2分，共20分）

1.已知集合{}Xabcd，，，，下列集族中，（ ）是X的拓扑.

A {{}{bc}}TXab，，，，， B {{}{bc}{cd}}TXa，，，，，，

C {{}{abc}}TXab，，，，，， D {{}{bcd}}TXab，，，，，，

2.已知集合{}Xabcd，，，，拓扑{{}}TXac，，，，{}Aac，，则A（ ）

A  B X C {c}a， D {cd}a，，

3.已知集合{}Xabcde，，，，，拓扑{{}{b},{}}TXaaabcd，，，，，，，，{}Aabc，，，则oA（ ）

A  B {}a C {}a，b D {}abc，，

4.已知集合{}Xabcd，，，，拓扑{{}{b}}TXacd，，，，，，则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）个.

A 1 B 2 C 3 D 4

5.设X是一个拓扑空间，AB，是X的子集，则下列关系中不正确的是（ ）

A ()()()dABdAdB B ABAB

C ()()()dABdAdB D AA

6.已知{}Xabc，，上的拓扑T{{}}Xab，，，,则点a的邻域个数（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

7.在实数空间中，有理数集Q的闭包Q是（ ）

A  B Q C RQ D R

8.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为与它同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称这个性质是一个 ( )

A 拓扑不变性质 B 在连续映射下保持不变的性质

C 可商性质 D 可积性质

选择公理定义：设X是一个集合。记X为X中的所有非空子集构成的集族，即(){}XX。如果一个映射：XX满足条件：对于任意AX，有()AA ，则此映射称为集合X的一个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理。

1.设X和Y是两个集合。证明：cardYcardX当且仅当存在一个从X到Y的满射。

证：设cardYcardX，即存在一个Y到X的一一映射f，定义g：XY，使10()()()()fxxfYgxyxfY当当其中0y为Y中一固定元，则g是从X到Y上的映射。

反之，若存在从X到Y上的映射g，记1{:,()}yyAyYgyA则是X中非空族，并且中成员两两无交，由Zermelo假定存在集合CX，使得对于每一A，AC是单点集，所以存在C到Y上的一一映射，即cCY，又cCY，故cYX。

2.设1T和2T是集合X的两个拓扑。证明12TT也是集合X的拓扑。举例说明12TT可以不是X的拓扑。

证：若1T，2T都是X的拓扑，由于12,,XTT，所以12,XTT；任意12,ABTT,即12,,ABTT，所以12ABTT，任意12TTT，即12,TTT，即，则12,ATATT，所以12ATATT，因此12TT是X的拓扑。

例：设{,,}Xabc，1={{a}{b,c},T，

{a,b,c},}，2={{b}{a,c},{a,b,c},}T，易见12,TT都是X的拓扑，但12{{a}{a,c},{b,c},{a,b,c},}TT，，而12{},{}abTT，{,}{}{}abab1T

2T，因此12TT不是X的拓扑。

3.设(,)XT是一个拓扑空间，其中是任何一个不属于X的元素。令{}XX，{}TTX。证明(,)XT是一个拓扑空间。

证：显然,XT；任意,ABT，若A，B中有一个为X，显然ABT；若,ABT，则ABTT，故总有ABT；任意1TT，若1XT，则1ATAXT；若1XT，即1TT，也有1ATATT，故总有1ATAT，所以(,)XT为拓扑空间。

1 《点集拓扑》课程教学大纲

课程编号: 02200018

课程名称： 点集拓扑

英文名称： General Topology

课程类型: 必修课

总 学 时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12

学 分： 2

适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期

先修课程： 数学分析、高等代数、近世代数

一、课程简介

拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。

四、教学内容

第一章 朴素集合论（讲课3习题课0）

§1. 集合的基本概念

§2. 集合的基本运算

§3. 关系

§4. 等价关系

§5. 映射

§6. 集族及其运算

§7. 可数集，不可数集，基数

§8. 选择公理

第二章 拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）

§1. 度量空间与连续映射

§2. 拓扑空间与连续映射

§3. 邻域与邻域系

§4. 导集，闭集，闭包

§5. 内部，边界

§6. 基与子基

§7. 拓扑空间中的序列 2 第三章 子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）

§1. 子空间

§2.（有限）积空间

§3. 商空间

第四章 连通性（讲课8习题课2）

§1. 连通空间

§2. 连通性的某些简单应用

§3. 连通分支

§4. 局部连通空间

§5.道路连通空间

第五章 有关可数性的公理（讲课5习题课1）