新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线 课时分层练习题含解析

第二章圆锥曲线课时练习题

1、 椭圆及其标准方程 ................................................................................................ - 1 -

2、 椭圆的简单几何性质 ............................................................................................ - 6 -

3、 双曲线及其标准方程 .......................................................................................... - 12 -

4、 双曲线的简单几何性质 ...................................................................................... - 17 -

5、 抛物线及其标准方程 .......................................................................................... - 24 -

6、 抛物线的简单几何性质 ...................................................................................... - 29 -

7、 直线与圆锥曲线的位置关系 .............................................................................. - 35 -

1、 椭圆及其标准方程

一、选择题

1．如果方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )

A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)

C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)

D [由于椭圆的焦点在x轴上，所以 a2＞a＋6，a＋6＞0，即 a＋2a－3＞0，a＞－6.解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D．]

2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么( )

A．p是q的充分不必要条件

B．p是q的必要不充分条件

C．p是q的充要条件

D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件

B [若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．]

3．设D为椭圆x2＋y25＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0，2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为( )

A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20

C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

B [∵D为椭圆x2＋y25＝1上一点，且易知A，B为椭圆的焦点，

∴|DA|＋|DB|＝2a＝25．又|PD|＝|BD|，

∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝25，

∴点P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝(25)2＝20．故选B．]

4．若已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于( )

A．4 B．5 C．7 D．8

A [椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4．

∴m＝4．]

5．2

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B [若x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，

则有 m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，∴2

故2

二、填空题

6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________．

(0，－5)，(0，5) [方程可化为x23＋y28＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝8－3＝5，

所以，其焦点坐标为(0，－5)，(0，5)．]

7．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是－23，则顶点A的轨迹方程是________．

x254＋y236＝1(y≠±6) [设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得y－6x·y＋6x＝－23，化简整理，得x254＋y236＝1，

又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为x254＋y236＝1(y≠±6)．]

8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．

5 [易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5．]

三、解答题

9．已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．

[解] 由已知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，|F1F2|＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|． ①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|． ②

将②代入①解得|PF1|＝65，

∴S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335．

因此所求△PF1F2的面积是35 3． 10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解] 设动圆M和定圆B内切于点C，

由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，

∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝a2－c2＝7，

∴M的轨迹方程是x216＋y27＝1．

11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )

A．23 B．6 C．43 D．12

C [由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，

∴周长为4a＝43(F是椭圆的另外一个焦点)．]

12．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )

A．2 B．－2 C．12 D．－12

D [设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x212＋y21＝1，x222＋y22＝1．

两式相减，得x1－x2x1＋x22＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0．

依题意x1－x2≠0，x1＋x2≠0，∴12＋y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝0． 又k1＝y1－y2x1－x2，k2＝y1＋y22－0x1＋x22－0＝y1＋y2x1＋x2，

∴12＋k1k2＝0，∴k1k2＝－12．]

13．(多选题)若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为( )

A．1 B．32 C．2 D．3

ABC [方程可化为x213＋y21k＝1，依题意1k>13，解得0

14．(一题两空)椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．

2 120° [由题意知a＝3，b＝2，c＝7．

由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6．

∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2．又∵|F1F2|＝27，

在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，

∴∠F1PF2＝120°．]

15．在椭圆x28＋y2t＝1内有一点A(2，1)，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．

[解] 设过A点的直线l与椭圆交于B(x1，y1)，C(x2，y2)，如图所示．

设x218＋y21t＝1， ①

x228＋y22t＝1， ② ①－②得18(x1＋x2)(x1－x2)＋1t(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

∴y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－t8．∵A为BC的中点，

∴kOA＝y1＋y2x1＋x2，即kBC·kOA＝－t8． ③

由题意：kBC＝－1，kOA＝12，代入③得－1×12＝－18t，即t＝4．

∴所求椭圆方程为x28＋y24＝1.

2、 椭圆的简单几何性质

一、选择题

1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为( )

A．32 B．3

C．23 D．25

B [先将x2＋4y2＝1化为标准方程x21＋y214＝1，则a＝1，b＝12，c＝a2－b2＝32．故焦距为2c＝3．]

2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )

A．5，3，0.8 B．10，6，0.8

C．5，3，0.6 D．10，6，0.6

B [椭圆方程可化为x29＋y225＝1，则a＝5，b＝3，c＝25－9＝4，e＝ca＝45，故选B．]

3．已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )