高中数学必修5第三章《基本不等式》教案

1 《基本不等式》（第一课时）

教材：高中数学必修5（人教版）第三章

教学目标：

★知识与技能：引导学生从问题中发现基本不等式，让学生理解、掌握基本不等式，并能运用它解决一些简单问题；培养他们的探究能力以及分析问题解决问题的能力。

★过程与方法：1.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生观察、分析、猜想等能力；

2.通过引导学生用多种方法证明推导基本不等式，培养学生的创新思维和探索精神；

3.通过不等式的应用培养学生的应用意识。引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法。

★情感、态度与价值观：在教学中发挥学生学习的主体作用，培养学生勇于探索的精神，激发他们学习数学的兴趣。

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2baab的证明过程及应用。

教学难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、用基本不等式求最大值和最小值。

教学方法：采用启发式教学和探究式教学的方法让学生掌握本节课的内容，并通过讲练结合的方法让学生巩固课堂所学的内容。

教学手段：借助PowerPoint课件整合教材内容，利用几何画板作出动画营造轻松生动的课堂学习氛围。

教学过程：

教学环节 问题情境 师生活动 设计意图

一、创设情境

引入新课 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师通过几何画板演示，让学生更直观的理解问题，引导学生从中抽象归纳出结论。

创设问题情境，让学生利用弦图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，激发学生的学习兴趣。

2 二、新课讲解

探索研究 抽象归纳可得：

一般地，对于任意实数a、b，有abba222，当且仅当a＝b时，等号成立.

[问] 你能给出它的证明吗？

[问] 怎样理解“当且仅当”？

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即abbaba222；

仅当a=b时，取等号，即baabba222. 教师引导学生用作差法证明不等式 让学生通过证明进一步理解不等式，并为接下来的学习做准备.

特别地，当a>0,b>0时，在不等式abba222中，以a、b分别代替a、b，得到什么？

归纳总结：

如果a、b都是正数，那么2baab，当且仅当a=b时，等号成立.

我们称此不等式为基本不等式。 其中2ba称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数.

教师引导学生得出基本不等式，并给出规范的文字语言叙述。

让学生理解基本不等式的来源，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

[问] 你能给出它的证明吗？

证法一：作差比较法

证法二：（课本）

要证abba2 ①

只要证ba ②

要证②,只要证ba 0 ③

要证③,只要证0)(2 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立.

教师引导学生通过类比上一个不等式的证明方法进行证明.

学生由课本的提示寻求第二种证明不等式的方法，完成课本填空.

教师点评：该证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法. 引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华.

探究基本不等式的几何意义：

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DE，连接AD、BD. 学生分小组讨论，交流看法，并指出图中长度为ab通过数形结合，赋予不等式

3 能利用这个图形，得出不等式)0,(2babaab 的几何解释吗？ 与2ba的线段. 2baab几何直观。使学生进一步领悟不等式中等号成立的条件.

三、讲解例题

加深理解 例1：已知,x0求函数xxy1的最小值，并求相应的x值.

[问]函数的最值的概念是什么？如何运用基本不等式？

例2（1）用篱笆围一块面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？

[问]怎么把实际问题抽象为数学问题？ 教师讲解例题，强调取得最值的条件.引导学生通过例题得出结论：“积定和小，和定积大”.

简单易懂、贴近生活的问题，帮助学生学会应用基本不等式.让学生体会基本不等式是解决最值问题的有力工具.

下列命题正确吗？

①对于任意实数a,b，均有abba2；

②当3a时，由于34234aaaa，当且仅当34aa时，即a=4时，等号成立。所以34aa最小值为8.

结论：运用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”. 学生自主探究，教师指导，师生归纳总结. 让学生加深对基本不等式2baab的理解，明确其使用条件和成立的条件，突破重点和难点.

四、练习巩固

练习：

（1）若xx,x1230的最小值为________,此时._________x

（2）若a>0,b>0,且a+b=4，则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____.

学生完成练习，教师点评. 通过练习巩固知识 A B

D

C a b

E

4 五、课堂小结 两个不等式：对任意实数a、b，有abba222，当且仅当a＝b时，等号成立.

若0,0ba，则有2baab，当且仅当a=b时，等号成立.

三个注意：运用基本不等式2baab求函数的最大(小)值时注意：“一正二定三相等”

教师帮助学生总结课堂所学知识. 通过小结巩固知识技能，提高认知水平.

六、作业

必做题：习题3.4 A组 1、2、3

选做题：

1.已知3a，求证:473aa.

2.当1x时，求函数231()1xxfxx的值域. 关注学生个体差异。通过作业反馈发现和弥补教学中的不足

板书设计

课 题

1. 如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“=”号）

2. 如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”号） 例1：

例2

练习

5 《基本不等式》教案说明

教材：高中数学必修5（人教版）第三章

一、教材分析

本课内容为普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修5第三章不等式中的3.4 基本不等式。新课标对该内容的相关要求为：①探索并了解基本不等式的证明过程。 ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

基本不等式是不等式证明和应用的重要依据和工具，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是必不可缺的。

本节内容预计为两课时，第一课时侧重于基本不等式的理解及证明；第二课时侧重于基本不等式的应用。

二、教学目的分析

本节课是在学生已经系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。学生通过之前的学习已经掌握了证明不等式的基本方法，同时初步具备了从实际问题中抽象出不等式并运用数学方法解决实际问题的能力。

通过设置问题情境，引导学生从问题中发现基本不等式，从而达到提高学生观察分析、抽象归纳等能力的目的。在充分理解基本不等式及其几何意义后，能应用基本不等式求最值是本节课的教学重点，而基本不等式成立时的三个限制条件是本节课的教学难点。

三、教学过程分析

1、创设情境 引入新课

创设问题情境，让学生利用弦图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，激发学生的学习兴趣。

2、新课讲解 探索研究

教师引导学生用作差法证明不等式abba222，让学生通过证明进一步理解不等式。紧接着引出基本不等式2baab，让学生由课本的提示寻求第二种证明不等式的方法。用几何画板演示，赋予不等式2baab几何直观。让学生通过分组讨论，探究基本不等式的几何意义，使学生进一步领悟不等式中等号成立的条件。

3、讲解例题 加深理解

用简单易懂、贴近生活的问题，帮助学生学会应用基本不等式，让学生体会基本不等式是解决最值问题的有力工具。

4、练习巩固

通过练习，帮助学生巩固新知识。

5、课堂小结和作业

通过小结巩固知识技能，提高认知水平。

四、教法分析

本节课采用启发式教学和探究式教学的方法，并通过讲练结合的方法让学生能及时巩固课堂所学的内容。借助PowerPoint课件整合教材内容，以及利用几何画板的动画能更好地营造轻松的课堂学习氛围，调动了学生的学习积极性和主动性。

五、评价分析

观察法评价反馈性评价相结合。关注学生提出问题、参与解决问题的全过程，关注学生的创新精神和实践能力。

6