群论试题

- sin2 ( + 120o ) / 2 - sin2 ( - 120o ) / 2 ] = 0
P123 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC + PD – PF ) F = ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - )
+ sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) ]
再由 P213 13 得 23 = 2 1/2 cos sin ]
[ 问题5: 由 P213 F 可得 23, 是否可由P123 F 可得 13 ? 为什么? ]
[ 答案: 因为 F 中没有 23, 所以不能由P123 F 可得 13 ]
*
[ sin2 ( - 120o ) – sin2 ( + 120o ) ]
= (31/2/3)(sincos120o +cossin120o-cossin120o+sincos120o )
(sincos120o-cossin120o-sincos120o-cossin120o )
= (31/2/3) 2 sincos120o(-2cossin120o )
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 120o + )
+ sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) ] = 0
*
P213 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC - PD + PF ) F
4
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - )

群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。

答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。

- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。

- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。

- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。

2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。

答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。

例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。

3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。

答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。

第二章 群论自测练习一、概念解释1. 置换2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数二、判断题1.对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。

2.任何一个子群都同一个变换群同构。

3. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。

（ ）4. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

（ ）5.4S 的置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。

6. 群G 中元素a 的逆元存在，但不一定唯一。

三、选择题1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。

A. ),(+NB. ),(+QC. ),(*+Z , 其中是非零整数集合D. ),(+C2. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ ）。

A. 111)(---=b a abB. 222)(---=b a abC. 若e a =2，则1-=a aD.ba ab =3.精确到同构, 4阶群有( )个。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 以下结论正确的是 ( )。

A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群C.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于1的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群5. 若,H K 分别是群G 的2011阶, 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ) 。

A.1阶子群B.2011阶子群C.2012阶子群D.2011⨯2012阶子群6. 以下结论正确的是 ( )。

A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C.有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7. 在4次对称群4S 中，阶等于2的元的个数是( )。

A.2B. 3C.6D.98. 设N 是群G 的不变子群，以下结论不正确的是( )。

第十二章群论简介习题§ 12.1群的定义和例子1.设G为一切不等于零的有理数所成的集合，证明G对于数的乘法作成一个群.【证明】1)任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故G对数的乘法封闭;2)数的乘法结合律对一切数都成立，自然对G也成立；3)1=0是非零有理数，且对任何一个非零有理数a,1 a =a仁a=0 ,说明1是G的单位元素；14)对任意的非零有理数a,则一是非零有理数，且a1 1 彳a a =1,a a一1说明a的逆兀是一，a根据群的定义，即知集合G对数的乘法作成一个群.2.G是由a, b, c三个元素所作成的集合，它的乘法表是a b ca ab cb bc ac c a b判别G是否成群？【解】由乘法表容易看到，G对规定的乘法是封闭的，a是G的单位元素，a、b、c的逆元分别是a、c、b.以下只要证明结合律成立即可.因为(ab)c= bc= a, a(bc) = aa= a, 故(ab)c= a(bc);同法可知a(cb)= (ac)b= a, (ba)c = b(ac)= a, (bc)a= b(ca) = a,(ca)b = c(ab) = a, (cb)a = c(ba) = a,以上6个式子说明结合律对规定的乘法是成立的，因此G对规定的乘法作成一个群.3 .证明下列四个方阵A,B,C,D对于矩阵乘法作成一个群V,写出的V乘法表.V是否循环群？V是否交换群？1 0、10 }r-1 0、=1 0 AA = ,B = ,C =,D =0 1丿0一1丿，1丿，-1j【证明】先写出乘法表.A B C DA ABC DB B A D CC CD A BD D C B A由乘法表看出，集合V={A,B,C,D}对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对V中的矩阵也满足，而矩阵A是单位元，元素A、B、C、D的逆元素分别是它们自身，故V 对矩阵的乘法作成群.但(A) = {A}, (B) = {A,B}, (C) = {A,C}, (D) = {A,D},它们都不等于V,从而V 不是循环群.由乘法表的对称性，可知群V 是一个交换群.2 .把置换表为轮换的乘积:广12 3 4 5 6 7、 <3 45 6 7 2 1」(2)设P,Q 为两个不相交的轮换，则PQ = QP.i k i k4 i l ) (i l i 2 i k )■ ・m ,・i i■ ・■ ■ A i k ik 出 J■・ ・・■ <i 2i3■ ・ ・■ ■ i1 ik 州 in 」 【证明】(1) (i i i 2…i k )二 ■ ■ ■, .■ .■ ■■ ・.・•■-、i k Ik Ji1 Ik 卅 i n ■ J >. ■ «■ ・・■>Qk/ ik-2 ik i k 岀 In 丿k i k i l )二1•求置换的乘积:§ 12.2 置换群12345“<3 1 5 4 2 J <2 3 4 5 1丿【解】1 2 3 4 5、2 3 4 5、2 3 4 51、广12 3 4 5、3 1 54 2」 <2 3 45 1>J 5 4 2 3> <2 3 4 5 1」2 3 4 5 6 7、=(1<3 4 5 6 7 2 1>2 3 4 5 6 7 8、8 6 5 4 3 2 b1 2 3 4 5 6 7 8' 7 8 6 5 4 3 2 b7)(2 42 8)(33 •证明:6);6)(4 5).ik i k -AJ k 4 i k -2i1 ik 1 i kik 1i nii J 212 13ikik 1■ ■ >.i 1 ik 1i n【解(2)【解=(1(』i k )，其中没有相同的数字. 则 PQ =(^2 i k )(i 「i k 2 i r )= (i k A 2 \)(也 i k )二QP •§ 12.3子群及其陪集1•求出三次对称群的所有子群.【解】S 3 二{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},它的平凡子群为单位元群 {(1)}及S 3本身；其2阶子群有3个，即 H 1 ={(1),(12)} , H^{(1),(13)} , H 3 二{(1),(23)}; 三阶子群只有1个，即 H 4 ={(1),(123),(132)},由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是% i 3…i 1 i k 申… i n 、 ■■ ■ ■ ■i 2 …i ki k 申 (i)n J/-・ \i1 i 2… i ki k 申…i n ■■■i 2… i k… I n.i k i 1ik 1 ik 1i n i n同理可证 (叩2 iJU k i k 」h)=仏),所以(i 1i2 i k ) = (ik i k Ji i ) •(2)设 P=(hi 2 i k ) 口11 i 2 12 i 3i k i 1ik 1ik 1i r i ri n i n 」A i 1i 2 i 2i k i k 1ik i k 2iri r 1 ik 1 i r 1i ni 1 i 2J2 i 3ik i k 1i1 ik 2i r i k 1i r 1 i r 1ni n 丿4.写出四次对称群的所有置换.【解】四次对称群的全体置换(共2 4个)用轮换的形式表示就是: (1)；(1 (1 (1 (1 2), (13), (14), (23), (24), (34);2 3 ), ( 1 3 2 ), ( 1 3 4 ), ( 1 4 3 ), ( 1 2 4 ), (12 3 4 ) , ( 1 2 4 3 ) , ( 1 3 2 4 ) , ( 1 3 4 2 ) , ( 1 4 2 3 ) ( 1 4 2) (34) , (13) (24) , (14)(23).42), (2 4 ), ( 2 4 3 ); 3 2); S 3的所有子群.= (i i ),(恒等变换) i 1 i 2 J2 i 32•证明：阶为质数的群一定是循环群.【证明】设G群的阶为质数p，则G必含有周期大于1的元素，不妨设为a,其周期为m>1,故由a生成的循环群(a)是群G的子群，其阶数为m, 由拉格朗日定理知，m整除p,但p是质数，故m= p, 从而G=( a),即G是循环群.3•证明：阶为质数幕p m的群中包含一个阶为p的子群.【证明】设群G的阶为p m，因p为质数，故群G含有非单位元素a.设a的周期为n,由拉格朗日定理的推论，知n整除p m,r即n = p, 4_r_m.若r =1,则循环群(a)= {a,a2J||,a p= e}是G的p阶子群；r i r i r1 r1 r 若r 1，那么循环群(a p r= {a p—,a2p—,|||,a p L p a p=e}是G的p阶子群.证完.4.证明：循环群的子群也是循环群.【证明】设G是循环群，H是其子群.若G是单位元群，则显然日=6,故结论成立.下面讨论G不是单位元群的情况.若G=(a)，其中a不是单位元，H是G的子群，但不是单位元群，那么H中必含有m>0的幕a m.不妨就设a m是H中a的最小正幕，显然H包含a m的任何乘幕.若a s是H中的任意元素，由s=tm+ r, 0乞r m，可知a r =a s4m =a s(a m)4也是H中的元素，但m是最小正整数，而且0 _ r ：：：m，故r=0,s m t于是a =(a ),这就是说，H中的任意元素a s都是a m的幕，即H只含有a m的任意乘幕,所以H是由a m生成的循环群，即H=( a m).这样就证明了命题.5 .证明：群G的一个元素a是恒等元的充分必要条件为a适合关系a2= a .【证明】必要性是显然的.F 面只证充分性.设群G 的恒等元为 e ,由于aa 」=a= e , 在关系式a 2 = a 两端同时乘a 的逆元a J ，有a 2a‘ =aa" = e 而 a 2a J 二a(aa')二 ae=a , 所以 a =e ，即a 是群G 的单位元.§ 12.4共轭类与子群2 3 4 5，求 QPQ3 4 15.【解】使用教材8 4 — 8 5页的方法，对置换P 的上下两行分别施行置换Q,得2 .设四阶群V={e,a,b,c}的乘法表为e a b c e e a b c a a e c b b bceacc b a e 求出V 的所有共轭类.【解】由V 的乘法表看出，群V 是可换群，故群V 的每一个元素就是一个共轭类. 四个共轭类：{e},{a}, {b}, {c}.3 .证明：指数为2的子群一定是正规子群.【证明】设H 为群G 的子群，由于[G:H]=2，则群G 按子群H 的左分解为G=H+aH按H 的右分解为G=H+Ha, 其中a H因此 aH = Ha ，即对任意的 a H ，都有 aHa J = H 若a H ，则aH = Ha, 即卩aHa J = H 显然成立. 依正规子群的定义，H 是正规子群.4.证明：交换群的每一个子群都是正规子群.【证明】设G 为交换群，H 为G 的子群，则对任意的a G ，都有aH = Ha,即aHa = H ，所以H 是正规子群.5 .求四次对称群的所有共轭类. 【解】由§12.2的习题4,知 s 4的所有置换(共24个)为(1);(12), (13), (14), (23), (24), (34);1.设QP Q 」23 4 1^4 5 1 2<253>即群V 有(123) , ( 1 3 2 ) , ( 1 3 4 ) , ( 1 4 3 ) , ( 1 2 4 ) ,( 1 4 2 ) , ( 2 3 4 ) , ( 2 4 3 );( 1 2 3 4 ) , ( 1 2 4 3 ) , ( 1 3 2 4 ) , ( 1 3 4 2 ) , (1 4 2 3 ) (1 4 32 );( 1 2 )( 3 4 ) ,( 1 3 )( 2 4 ) , ( 1 4 ) ( 2 3 ).再由教材8 5页的定理2,具有相同的轮换结构的置换必共轭,知 S 4共有5个共轭类，即上面的每一行的置换组成一个共轭类.§ 12.5点群1.证明：点群D 3含有三个共轭类.【证明】点群 D 3有一个三重轴（取为 z 轴）及三条二重轴（与 z 轴垂直），其元素为E C C 2 C ⑴ C （2） C （3） 甘占 C ⑴ 仃（yz ） C （2） 疗（yz ）C C （3）（ yz ）C 2E,C 3,C 3,C 2 ,C 2 ,C 2 ,其中 C 2v,C 2 vC 3,C 2vC 3 ,这个群的乘法表为E c 21)c 22)c 23)c' C 3 EE c 21)c 22)广（3）C2c"C 3 C 21)c 21)E c" C 3 c 22)c 23)c 22)c 22)C 3 E c 2 c 23)c 21)c 23)c 23)c 2 C 3 E C 21)c 22)c ； C 32c 23)cjc 22)C 3 E C 3C 3 c 22)广（3）C2c 21)Ec ；由教材8 6页例3给出的方法，可知：2 2C 3,C 3属于一个共轭类•这是因为 C 3,C 3有共同的旋转轴，而变换E 即保持它不变. c 21）,c 22）,c 23）属于另一个共轭类•因为只要作变换C 3或C",反映c 21）,c 22）,c 23）的对称平面即可互相转化.而E 是恒等变换，它单独成一类. 所以两面体群 D 3共有三个共轭类. 2 .求出点群？ 3h 的元素和它的乘法表.2 2【解】把反映"加到旋转群（C 3） ={E,C 3,C 3}上去，并用 6分别乘C 3,C 3，即得点群E C 3_ 2 C 3hC^hc 2 C^"hEE C 3 C3 ▽hC^hc 2 C^hC 3 C 3 c ； E C3^ hC3b h▽hc ；C 2EC 3h▽hC3。