等差、等比数列常用公式对照表

等差、等比数列基础知识对照表等差数列等比数列定n+1n =d a n 1=q(q ≠0)a -aa n表达式a1、a1 +d、a1+2d、⋯、a1+(n-1)d ⋯a1、a1q、a1q2、⋯、 a1q n-1⋯通公式a n=a1+(n-1)d=kn+b,a n=a m+(n-m)d a n=a1 q n-1 =C·q n,a n =a m·q n-m前n 和公式判定方法等差（比）中性nn (a 1 a n ) n (n 1) dS= 2 na 1 2=n(a k a n k 1 ) an 2 bn2(1)定法(2)通公式法(3)前 n 和公式法A=a b2(1)m+n=q+p a m+a n=a q +a p特： m+n=2p a m+a n=2a p(2)S m,S 2m-S m,S 3m-S2m成等差(3) a nS2n 1b n T2 n 1(4){an±b } 、{ a } 成等差n n(5)数偶数 2n 的等差数列 {a n}S 奇a nS偶 -S 奇 =nd,an 1S 偶(6)数奇数 (2n-1) 的等差数列{a n}na 1 (q 1)Sn=a1 (1 q n )1(q 1)qS n+1=a1+qS n定法G ba G(1)m+n=p+q a ·a =a ·aqm n p特： m+n=2p 2a · a =am np(2)S m,S 2m-S m,S 3m-S2m成等比· b } 、(3){an± b } 、 { a } 、 {ann n n{a n} 成等比b n(4)若数 n 偶数 2nP偶q nP奇(5)若数奇数 2n-1S2n-1 =(2n-1)a n(a n中 )S奇-S偶=a , S奇nnP奇P偶a nS 偶n 1数列求和的方法：公式法、分 法、并 法、 位相减法、倒序相加法、列 法。

例 1：(1) 数列 {a n } 的前 n 和 S n =3n-2n 2(n ∈N * ), 当 n ≥ 2 ，下列不等式中成立的是( )A ． S >na >naB ．S >na >naC ．na >S >naD ．na >S >nan1nnn11nnnn1(2) 已知数列 {a n } 的前 n 和 S n =a n -1(a ≠ 0), {a n } 是()A ．等比数列B ．等比数列C ．等差等比数列D．既不是等差也不是等比数列(3) 已知方程 (x 2-2x+m)(x 2-2x+m)=0 的四个根 成一个首1的等比数列，4|m-n|=( )A ． 1B ．3C ．1D ．3428例 2：已知 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 和(1)S 3、 S 9、S 6 成等差数列，求 ：a 2、a 8、 a 5 成等差数列；(2) 求 S 1+S 2+S 3+⋯+S n . 例 3：填空(1) 已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠0, 且 a 1、 a 3、a 9 成等比数列，a 1 a 3 a 9 =________。

求通项：一、公式法 ①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nn a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n na 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法 适用于 ()1""n n a a f n +-=型例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则11232211221()()()()(2)[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)111,n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n nn n n n a ---=-+-++-+-+≥=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=== 也成立。

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

三、累乘法 适用于()1""n na f n a +=型例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

等差等比数列公式大全《起点家教班》1、 a n ={()2)1(11≥-=-n s s n s n n 注意：1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥22、 等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d = m a +(n-m)d ⇒ d=mn a a mn --(重要)3、 若{n a }是等差数列，m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a4、 若{n a }是等比数列，m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ≠n,p ≠q,则mn a a mn --=q p a a q p --=d6、 等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s =()21na a n + （已知首项和尾项）=()211dn n na -+（已知首项和公差） =n d a dn ⎪⎭⎫⎝⎛-+212112（可以求最值问题）7、 等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 28、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 9、 在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系：①当n 为奇数时，n s =n.a 21+n , 奇s －偶s =a 21+n ，偶奇s s ＝11-+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n.2122++nn a a ， 奇s －偶s =d n 2偶奇s s =122+nna a10、若{n a }是等比数列，a,G ,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项) 11、若{n a }，{}n b （项数相同）是等比数列则{}{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∙⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列 12、等比数列单调性的问题①当1a ≥0时，若0＜q ＜1则{n a }是递减数列; q ＞1则{n a }是递增数列 ②当1a ＜0时，若0＜q ＜1则{n a }是递增数列; q ＞1则{n a }是递减数列 13、在等差数列中抽取新数列：一般地，对于公差为d 的等差数列{n a }，若.,321k k k 成等差数列，那么,......,,,321kn k k k a a a a 仍成等差数列，而且公差为（12k k -）d 14、在等比数列中抽取新数列：,......,,,321kn k k k a a a a 组成新数列{}nk a ，如果序号...,321k k k 组成数列为{}n k ，且n k 成公差为m 的等差数列，那么数列{}nk a 是以q m 为公比的等比数列15、等比数列的前n 项和n s =()q q a n --111=qqa a n --11。

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。

它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。

本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。

一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。

举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。

等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。

这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。

等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。

求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。

二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。

例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。

等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。

与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。

等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。