郑州大学大一高等数学教材

高等数学上下册完整版教材高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：第一章导数与微分1.1 导数的定义与几何意义1.2 基本求导法则1.3 函数的微分1.4 高阶导数与高阶微分1.5 隐函数与参数方程的导数1.6 微分中值定理与导数的应用第二章不定积分2.1 定积分的概念2.2 不定积分与不定积分的性质2.3 基本不定积分法2.4 特殊函数的不定积分2.5 不定积分的应用第三章定积分3.1 定积分的定义与几何意义3.2 定积分的性质3.3 定积分的计算方法3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程4.3 高阶线性微分方程4.4 变量可分离的方程4.5 齐次线性微分方程4.6 非齐次线性微分方程4.7 常系数线性齐次微分方程4.8 微分方程的应用第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的极限5.2 多元函数的偏导数5.3 多元复合函数的偏导数5.4 隐函数与参数方程的偏导数5.5 高阶偏导数5.6 多元函数的全微分5.7 多元函数的极值与最值第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 极坐标下的二重积分6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算方法6.8 曲线积分在物理学中的应用第七章曲面积分与格林公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算方法7.3 散度与无源场7.4 格林公式的推广与应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间直角坐标系与向量8.2 空间曲线与曲面8.3 向量的运算与坐标表示8.4 点、直线与平面的方程8.5 空间向量的夹角与投影8.6 空间点、直线与平面的位置关系8.7 空间曲线与曲面的位置关系第九章广义与特殊函数9.1 广义积分的概念9.2 常数项一般项相消法9.3 幂函数、指数函数与对数函数9.4 三角函数与反三角函数9.5 常见特殊函数第十章数项级数10.1 级数概念与性质10.2 收敛级数的判定方法10.3 常见级数的和10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数与泰勒展开10.6 常见函数的泰勒展开第十一章函数级数11.1 函数列与函数项级数11.2 函数列极限与函数项级数的一致收敛11.3 函数列极限的性质11.4 一致收敛级数的和函数的性质11.5 函数项级数的逐项积分与逐项求导11.6 Fourier级数以上是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述。

郑州大学大一高等数学教材高等数学作为大一学生所必修的课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力有着非常重要的作用。

郑州大学大一高等数学教材是经过精心编写和筛选的教学资料，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念、原理和方法，为他们打下坚实的数学基础。

一、教材概述郑州大学大一高等数学教材是基于多年的教学经验和教学研究成果编写而成的。

该教材以系统性、严谨性和实用性为特点，各章节之间联系紧密，内容层次分明，适合大一学生的学习需求。

二、教材内容郑州大学大一高等数学教材包含了大学高等数学的核心内容，共分为多个章节，涵盖了微积分、线性代数、概率论等基本数学理论和方法。

以下是教材的主要内容概述：1. 微积分微积分是高等数学的重要分支，也是郑州大学大一高等数学教材的重点内容。

该部分介绍了函数、极限、导数、积分等微积分的基本概念和运算规则，并通过大量的例题和练习题帮助学生巩固理论知识和解题能力。

2. 线性代数线性代数是数学中的一门重要学科，也是郑州大学大一高等数学教材的一部分。

该部分涵盖了向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量等线性代数的基本概念和运算方法。

学生通过学习线性代数的知识，可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。

3. 概率论概率论是数学中研究随机现象的一门学科，也是郑州大学大一高等数学教材中的一部分。

该部分主要介绍了概率的基本概念、概率分布、随机变量以及概率统计等内容。

通过学习概率论，学生可以了解到概率在现实生活中的应用，提高自己的统计和分析能力。

4. 其他内容郑州大学大一高等数学教材还包含了其他一些重要的数学内容，如数列、级数、常微分方程等。

这些内容对于进一步学习数学和相关学科具有重要的作用，也为学生的思维训练和问题解决能力提供了良好的基础。

三、教材特点郑州大学大一高等数学教材具有以下几个特点：1. 系统性该教材的编写遵循了数学知识的逻辑顺序，各章节之间有机地连接在一起，构成一个系统的教学体系。

高等数学郑州大学教材答案（本篇文章为一个关于高等数学的答案指南，为了方便观看和阅读体验，将按照题目和分小节论述的方式进行排版，不包含“小节一”、“小标题”等词语）一、题目：极限与连续1. 求以下极限：（1）lim(x→0) ((1+sin3x)^(1/2)-cos(x^2)) / x（2）lim(x→∞) (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))答案：（1）根据泰勒展开式，可以得到：(1+sin3x)^(1/2) = 1 + (1/2)sin3x - (3/8)(sin3x)^2 + O((sin3x)^3)利用余弦的泰勒展开式cos(x^2) = 1 - (1/2)(x^2) + (1/24)(x^2)^2 +O((x^2)^3)将以上结果代入原式，得到：lim(x→0) ((1+sin3x)^(1/2)-cos(x^2)) / x= lim(x→0) [(1 + (1/2)sin3x - (3/8)(sin3x)^2 + O((sin3x)^3)) - (1 -(1/2)(x^2) + (1/24)(x^2)^2 + O((x^2)^3))] / x= lim(x→0) [(1/2)sin3x - (3/8)(sin3x)^2 + O((sin3x)^3) + (1/2)(x^2) - (1/24)(x^2)^2 - O((x^2)^3)] / x= lim(x→0) [((1/2)x^2 - (1/24)(x^2)^2) / x] + O(x^2)= lim(x→0) [(1/2)x - (1/24)x^2] + O(x^2)= 0（2）利用高中知识可以知道，当x→∞时，e^x增长得非常快，e^(-x)趋近于0。

根据这个性质，lim(x→∞) (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))= lim(x→∞) [(1 - e^(-2x)) / (1 + e^(-2x))]= lim(x→∞) [(e^(2x) - 1) / (e^(2x) + 1)]令t = e^(2x)，当x→∞时，t→∞。

郑州大学高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力具有重要作用。

而郑州大学的高等数学教材，作为培养优秀人才的重要教育资源之一，具有丰富的教学内容和独特的教学风格，深受广大学生的喜爱与好评。

一、教材的编写团队郑州大学高等数学教材的编写团队由多位经验丰富的数学教师组成，他们具有深厚的学术背景和教学经验。

他们研究教学大纲，结合学生的学习特点和需要，精心打造了一本既符合课程要求又易于理解的教材。

二、教材的内容设计郑州大学高等数学教材的内容设计非常全面，包括了数学分析、数学推理、微积分等多个领域。

教材内容结构合理，层次清晰，将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

三、教材的教学方法郑州大学高等数学教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，通过引导学生思考、分析和实践，激发学生的学习兴趣和动力。

教材内设有大量的例题和习题，既有基础的计算题，也有思维拓展题，帮助学生巩固基础知识的同时培养数学思维能力。

四、教材的特色亮点1. 理论联系实际：教材将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，使学生能够更好地理解和应用数学知识。

2. 知识渗透互动：教材通过引导学生思考和讨论，增强师生之间的互动，促进知识的更好吸收和理解。

3. 注重实践应用：教材内设置了大量的实例和习题，帮助学生将所学知识应用于实际问题的解决过程中。

4. 强调思维能力培养：教材设计了一系列的思维拓展题，帮助学生培养创新思维和解决问题的能力。

五、教材的使用效果郑州大学高等数学教材在教学实践中取得了良好的效果。

许多学生在学习过程中对教材的内容表达了肯定和赞美之词。

教材内容的贴近生活和应用性，以及对学生思维能力培养的重视，使学生在学习高等数学课程中取得了更好的成绩。

综上所述，郑州大学高等数学教材以其丰富的教学内容和独特的教学风格，成为提高学生数学思维和解决问题能力的重要工具。

高等数学下册郑大版教材高等数学是大学本科学习中的一门重要课程，它承接了初等数学的基础知识，并深入研究了各种数学理论和方法。

高等数学下册是郑州大学精心编写的教材，下面将为大家介绍该教材的特点和内容。

一、教材特点高等数学下册郑大版教材具有以下几个特点：1. 知识点准确全面：教材对于高等数学下册的知识点进行了全面而准确的介绍，包括微积分、级数、微分方程等各个方面。

每个知识点都经过精心编排，确保学生能够全面理解和掌握。

2. 理论与实践结合：教材不仅仅注重理论知识的讲解，还注重理论与实践的结合。

在每个章节中，都会有一些实际问题的引入，帮助学生将理论知识应用到实际中去，提升学生的综合能力。

3. 题目分类明确：教材中的习题按照难易程度和题型进行了分类，方便学生进行选择和练习。

每道题目都带有详细的解析过程，学生可以通过自主练习巩固知识点。

二、教材内容高等数学下册郑大版教材的内容较为广泛，包括但不限于以下几个部分：1. 微积分：教材对微积分的内容进行了详细讲解，包括函数的极限、连续性与间断点、导数、微分、不定积分等方面。

通过对微积分的学习，学生能够了解函数的变化规律，并能够应用微积分方法解决实际问题。

2. 级数：在级数部分，教材介绍了级数的概念、收敛性与发散性、常用级数的性质等。

级数是高等数学中的重要概念，对于理解数列和函数的性质有着关键作用。

3. 微分方程：微分方程是应用数学领域非常重要的内容，教材对常微分方程做了详细讲解，包括一阶常微分方程、高阶线性常微分方程、变量分离方程等。

通过学习微分方程，学生可以了解物理、经济等实际问题的数学描述方法。

4. 多元函数微分学：在多元函数微分学部分，教材详细介绍了多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分等内容。

通过学习多元函数微分学，学生能够深入理解多元函数的性质，为进一步学习数学分析、高等代数等课程打下坚实基础。

5. 重积分与曲线积分：重积分与曲线积分是高等数学中较为复杂的内容，教材通过实例和题目的讲解，帮助学生逐步理解和掌握这两个概念，并能够灵活运用于实际问题的求解中。

大一高等数学教材有哪几种大一高等数学教材是大学本科阶段学生在学习高等数学课程时所使用的教材。

随着数学教育的发展，目前市面上存在多种版本和风格的高等数学教材。

本文将介绍一些常见的大一高等数学教材，供学生和教师选择。

一、国内教材1. 《数学分析》（第一册、第二册、第三册）作者：郭义勇等《数学分析》是大部分大学本科高等数学课程的教材。

该教材系统讲解了高等数学的基础理论和方法，并配有丰富的例题和习题，适合培养学生的数学思维和计算能力。

2. 《高等数学》（第一册、第二册、第三册）作者：蔡同杰等《高等数学》是另一种常见的大学本科高等数学教材，也是一些学校采用的教材之一。

该教材内容丰富，涵盖了数学分析、高等代数、数学物理方程等内容，适合进行全面系统的学习。

3. 《数学分析教程》（第一册、第二册、第三册）作者：王式初等《数学分析教程》是一门内容较为深入的高等数学教材。

该教材注重数学分析的理论和方法，同时涉及一些数学物理方程的应用。

对于对数学有较强兴趣和基础的学生来说是一本不错的选择。

二、国外教材1. 《Calculus: Early Transcendentals》作者：James Stewart该教材是国际上广泛使用的高等数学教材之一，被誉为“微积分圣经”。

教材注重理论和实际应用的结合，对微积分的各个方面进行了全面深入的讲解。

2. 《Thomas' Calculus》作者：George B. Thomas这是一本经典的微积分教材，内容详尽，包括了微积分的基础知识和高级应用。

该教材有多个版本，适用于不同层次的学生。

3. 《Linear Algebra and Its Applications》作者：David C. Lay该书是关于线性代数的教材，介绍了线性代数的基本理论和方法，并通过大量的例题和应用案例帮助学生理解和掌握相关知识。

综上所述，大一高等数学教材的种类繁多，每本教材都有其独特的特点和适用人群。

郑州大学高等数学1教材高等数学是一门对于大部分理工科学生来说十分重要的基础课程，也是培养学生分析问题、解决问题的思维方式的重要一门课。

在郑州大学，高等数学1教材扮演着至关重要的角色。

本文将对郑州大学高等数学1教材进行介绍和评价，并对其内容和编排进行详细的分析。

首先，郑州大学高等数学1教材以系统性和完整性为主要特点。

教材内容包含了大学高等数学1课程的基础知识，涵盖了数学的各个分支，包括函数、极限、连续性、微分等内容。

教材内容的编排合理，章节之间的内容有层次感和连贯性。

学生可以通过系统地学习这本教材，逐步建立起对高等数学的整体认识和理解。

其次，郑州大学高等数学1教材注重理论与实践相结合。

在教材中，理论部分与实例部分相互补充，既有基本理论的讲解，又有丰富的例题以及解题方法的详细讲解。

这种理论与实践相结合的教学模式，有助于学生更好地理解和掌握数学知识，并能够灵活运用于实际问题的解决中。

第三，郑州大学高等数学1教材注重启发式教学和培养学生的数学思维能力。

在教材的编写过程中，尽量避免简单的机械记忆和死板的计算方法，而是通过启发性的问题设置和解题思路的引导，培养学生的数学思维能力和创新意识。

教材中的一些拓展题目和思考题目，可以帮助学生培养自主学习和独立思考问题的能力。

此外，郑州大学高等数学1教材的编写团队非常强大，教材的内容准确、精炼，深入浅出地讲解了数学的基本概念和方法。

教材中的例题选择恰到好处，难度适中，有助于巩固和应用所学知识。

同时，教材还提供了大量的习题和答案，供学生进行课后练习和自测，以便学生加深对知识点的理解和运用。

综上所述，郑州大学高等数学1教材是一本系统性、完整性强的教材，注重理论与实践相结合，能够有效地培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

教材的内容准确、精炼，注重培养学生的自主学习和独立思考能力，对于大学的高等数学教学起到了积极的推动作用。

作为郑州大学的学生，我们要认真学习和运用这本教材，提升自己的数学素养和问题解决能力。

高等数学教材郑州版高等数学是大学数学教学的重要内容之一，对学生的数学思维能力和解决实际问题的能力有着重要的培养作用。

而高等数学教材的选择对于学生的学习效果和成绩提升起着至关重要的作用。

本文将介绍郑州版高等数学教材的特点和优势。

一、教材体系郑州版高等数学教材由多个版本组成，包括普通高等教育“十五”规划教材、全日制本科计算机类专业通用基础课程教材以及高职高专、成人教育、网络教育等专业用教材。

每个版本的教材都经过了严格的策划和编辑，内容全面、结构合理，且与国内外高等数学教学大纲紧密对接。

二、教材内容郑州版高等数学教材内容丰富多样，包含了高等数学的基本概念、重要方法与技巧，以及典型问题的解答。

教材的编写注重理论与实践的结合，既保证了知识的系统性和完整性，又强调了知识与实际应用的联系，有助于学生更好地理解和掌握数学知识。

三、教材特色1. 突出实际应用：郑州版高等数学教材注重将数学与实际应用相结合，通过实际问题的引入和分析，引导学生主动思考和解决问题的方法。

这种实际应用的教学方法有助于培养学生的实际运用能力，提高他们解决实际问题的能力。

2. 突出问题求解：教材设计了大量的例题和习题，旨在培养学生的问题解决能力和数学思维能力。

通过反复练习和思考，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高他们的解题能力。

3. 突出思维方法：教材注重培养学生的数学思维方法和逻辑思维能力。

通过引导学生思考问题的方法、分析解题的思路和推理过程，培养他们的思维能力和创新意识，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。

四、教材配套资源郑州版高等数学教材还提供了丰富的教学资源和辅助材料，包括教学案例、试题集、教师用书等。

这些资源可以帮助教师更好地开展教学工作，提供了丰富的教学素材和实用的教学工具。

总之，郑州版高等数学教材以其全面、系统、实用的特点受到了广大师生的好评。

它不仅可以帮助学生建立起扎实的数学基础，还能培养他们的数学思维能力和解决实际问题的能力。

大一高等数学下册教材高等数学下册教材正文：高等数学是大学理工类专业中必修的一门重要课程，它是数学学科的一大支柱。

作为大一的学生，我们刚刚接触到了高等数学下册教材，该教材包含了多个章节和知识点，涵盖了微分学、积分学、微分方程等重要内容。

下面将从不同章节的角度，对这些内容进行简要介绍。

第一章：函数的连续与间断这一章主要介绍了函数的连续性和间断点，学习函数的极限和无穷小的定义，深入了解了连续函数的性质和判定方法。

通过学习这一章，我们可以更好地理解函数的变化规律，为后续章节的学习打下基础。

第二章：一元函数微分学在这一章中，我们将学习到一元函数的导数与微分，了解导数的概念及计算方法。

同时，探究导数的几何意义和物理意义，以及驻点、最值问题等相关概念。

通过学习本章，我们能够更好地理解函数的局部性质，为应用数学打下基础。

第三章：一元函数积分学该章节主要介绍了一元函数积分和不定积分，学习了不定积分与原函数的关系，研究了积分的性质和性质，探究了定积分的概念和计算方法。

通过学习这一章，我们可以更深入地理解积分的意义和应用，为以后的微分方程做好铺垫。

第四章：常微分方程在这一章中，我们将学习到常微分方程的基本概念，了解了一阶常微分方程和n阶常微分方程的定义及解法。

通过学习本章，我们可以更好地应用微分方程解决实际问题，深入理解微分方程的应用领域。

除了上述几个章节，高等数学下册教材还包括了其他重要内容，如多元函数微分学、多重积分、无穷级数等。

通过系统学习，我们能够增强对于高等数学的理解，为今后的学习和应用打下坚实的基础。

总结：通过对大一高等数学下册教材的学习，我们可以对函数理论、微分学、积分学和微分方程等数学知识有更深入的认识。

这些知识不仅在数学领域中具有重要作用，还广泛应用于工程、物理学等其他学科。

因此，我们应该加强对高等数学知识的学习和掌握，提升自己在相关领域的能力。

随着学习的深入，我们相信高等数学将会为我们开启更广阔的数学世界。

大一高等数学教材各个版本1. 引言大一高等数学是大学一年级学生必修的一门课程，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等内容。

不同学校和教学机构为大一高等数学课程选择的教材版本有所不同。

本文将就大一高等数学教材各个版本进行介绍和比较，为大学新生在选购教材时提供参考。

2. 高等数学教材版本一：《高等数学（上）》《高等数学（上）》是一种常见的大一高等数学教材版本。

该教材编写团队经过多年实践积累，系统总结了大学一年级高等数学的基础理论和应用方法。

本书以深入浅出的方式，讲解了微积分的基本概念、极限、导数和积分等内容，适合初学者使用。

同时，该教材配有大量习题和例题，方便学生巩固知识，提高解题能力。

3. 高等数学教材版本二：《高等数学（下）》《高等数学（下）》是与《高等数学（上）》相对应的一本教材。

该版本教材主要介绍了微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

该教材内容丰富，深入浅出地解释了相应的理论和应用方法。

与上册相比，下册更加注重实际问题的分析与解决。

通过大量的实例和习题，学生可以更好地理解和掌握这些知识点。

4. 高等数学教材版本三：《高等数学（全册）》《高等数学（全册）》是将《高等数学（上）》和《高等数学（下）》合并为一本教材的版本。

此版本教材通常适合大学一年级全年课程所使用。

与拆分版本相比，综合教材更加紧凑，便于学生整体把握知识脉络。

同时，综合教材中的习题和例题更加全面，可以帮助学生对知识进行全面巩固和运用。

5. 高等数学教材版本四：其他教材除了上述常见的教材版本外，还有一些其他版本的教材供学生选择。

这些教材可能由不同的出版社出版，或者由各高校自主编写。

这些教材可能有着自身独特的特点和教学理念，因此在选购时需要根据个人需求和喜好进行选择。

6. 总结在选择大一高等数学教材时，学生应该根据自己的学习风格和学校要求进行选择。

常见的教材版本包括《高等数学（上）》、《高等数学（下）》以及综合版本《高等数学（全册）》。

大一高等数学全部教材6高等数学是大一学生必修的一门课程，它对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力起着重要的作用。

而大一高等数学的教材6是该课程的一部分，本文将就该教材的内容做一详细的介绍。

教材6主要包含以下几个章节：微积分学、无限级数、数理方法、常微分方程。

下面将分别针对每个章节的内容进行介绍。

第一章微积分学微积分学是高等数学的核心章节之一，也是后续学习更高级数学和应用数学的基础。

该章节主要介绍了函数的极限、连续、导数和微分等概念。

通过学习微积分学，我们可以了解到函数的变化趋势和曲线的性质，进而解决实际问题中的最优化、极值和面积等计算。

第二章无限级数无限级数是高等数学中的一个重要内容，它是由无穷多个数的和组成的数列。

该章节主要介绍了级数的概念、级数的性质以及级数的判敛法则等内容。

通过学习无限级数，我们可以了解到级数的收敛性和发散性，进而应用级数来研究函数的性质和展开函数的形式。

第三章数理方法数理方法是高等数学中的一个重要工具，它通过运用数学方法来解决实际问题。

该章节主要介绍了线性方程组、矩阵、向量和空间等内容。

通过学习数理方法，我们可以用线性代数的知识来求解线性方程组，用矩阵和向量进行数值计算，并且可以应用数理方法来解决实际问题。

第四章常微分方程常微分方程是高等数学中的一个重要分支，它研究的是未知函数及其导数之间的关系。

该章节主要介绍了常微分方程的基本概念、解的存在唯一性和解的稳定性等内容。

通过学习常微分方程，我们可以解决许多实际问题，例如弹簧振动、人口增长等，进而应用常微分方程来分析和预测现象的发展趋势。

通过以上的介绍，我们可以看出大一高等数学全部教材6包含了微积分学、无限级数、数理方法和常微分方程等多个重要的数学知识点。

通过系统学习这些内容，我们可以培养自己的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，并为后续学习更高级的数学和应用数学打下坚实的基础。

总结起来，大一高等数学全部教材6是一本重要的数学教材，它不仅包含了微积分学、无限级数、数理方法和常微分方程等多个章节的内容，还涵盖了许多数学的基本知识和方法。

高等数学大一上册课本教材高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，它为学生打下了理解和应用数学的基础。

大一上册数学课本教材是学生开始接触高等数学的第一本教材，它包含了该学期的教学内容和相关练习题，是学生学习的重要参考资料。

课本教材的结构和特点：大一上册数学课本教材通常由多个章节组成，每个章节涵盖了一个特定的数学主题，如函数、极限、导数、微分方程等。

这些主题在数学中起着重要的作用，并为后续更深入的学习打下了基础。

每个章节的开头通常介绍该主题的背景和基本概念，为学生提供了必要的背景知识。

接着，教材会详细介绍该主题的相关理论和公式，并以实例进行阐述和说明。

这些实例旨在帮助学生理解该主题的应用与意义。

在每个章节的结束处，通常会给出一些练习题，包括选择题、计算题和证明题等。

这些练习题的难度逐渐增加，旨在帮助学生巩固所学知识，并培养学生的解题能力和思维能力。

课本教材的优点与不足：数学课本教材作为学习的工具，具有许多优点。

首先，它提供了系统的数学知识，帮助学生建立起完善的数学知识体系。

其次，教材的内容经过精心编排和策划，符合课程设置和学习目标。

此外，教材还兼顾了理论与实践的结合，通过实例的讲解和习题的设计，让学生从理论中找到实际应用的方法。

然而，课本教材也存在一些不足之处。

首先，由于篇幅和知识点的限制，教材无法详细讲解每个数学概念的来源和推导过程，可能会导致学生对某些知识点的理解不够深入。

其次，教材的表达方式可能会过于抽象和符号化，对于初学者来说，理解起来可能会有一定困难。

同时，练习题的数量和难度也可能存在不足，无法覆盖学生对某一知识点的全面掌握。

针对这些不足，学生在使用课本教材时可以采取一些有效的学习策略。

首先，可以结合教材之外的参考资料，如教师讲义、课程视频等，来丰富对知识点的理解。

其次，可以主动参与课堂讨论和问答环节，与同学和教师进行交流和思考，通过互动提升学习效果。

此外，定期复习和总结课本教材的重要概念和公式，能够更好地巩固所学内容。

高等数学教材郑州大学答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念及其计算方法1.2 导数的几何意义与应用1.3 高阶导数第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理2.2 高阶导数的应用2.3 函数的单调性与曲线的凹凸性2.4 函数的图形与曲线的渐近线第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.2 换元积分法3.3 分部积分法3.4 有理函数的积分第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 定积分的计算方法4.3 牛顿-莱布尼茨公式4.4 定积分的应用第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次线性微分方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性微分方程第六章：无穷级数与幂级数6.1 数项级数的概念6.2 正项级数的审敛法6.3 幂级数的概念与性质6.4 幂级数收敛半径的计算6.5 幂级数的展开与运算第七章：多元函数微分学7.1 二元函数的极限与连续性7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数与参数方程7.4 多元函数的极值与条件极值7.5 二重积分的概念与计算方法第八章：空间解析几何与向量代数8.1 点、直线与平面的方程8.2 空间曲线的参数方程与切向量8.3 空间曲面的方程与法向量8.4 空间直线与平面的位置关系8.5 向量的基本运算与数量积第九章：多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.2 三重积分的概念与性质9.3 二重积分的计算方法9.4 三重积分的计算方法9.5 曲线、曲面积分与应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 第一类曲面积分10.4 第二类曲面积分10.5 牛顿-莱布尼茨公式再探第十一章：无穷级数的收敛性11.1 数项级数的审敛法11.2 幂级数的收敛性11.3 函数项级数的一致收敛性11.4 傅里叶级数第十二章：曲线与曲面积分的应用12.1 斯托克斯定理12.2 高斯公式12.3 曲线积分、曲面积分与物理应用12.4 一类重要的积分变换以上是《高等数学教材郑州大学答案》的大致内容框架，具体的答案请参考教材中的习题解析和题库。

1 习题1.11.求下列函数的定义域. （1）234y x x=-（2）2ln 3x y x -=-（3）24y x =-（4）11arcsin 33xy x-=+-解：（1）只要分母不为零即可，即0x ¹且4x ¹.定义域为(,0)(0,4)(4,)-¥+¥ （2）只要203x x ->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -³即可，故定义域为(,2][2,)-¥-+¥ （4）只要30x ->并且1113x --££即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？（1）(),()1x f x g x x==；（2）3433(),()1f x x x g x x x =-=-. 解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ¹Î ，而()g x 的定义域为全体实数. （2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域. （1）22(0)y x x =+³（2）31xy =-解：（1）由22y x =+可得222y x =+，故222x y =-，由于0x ³，所以22x y =-原函数的反函数为22y x =-，定义域为2x ³（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x xf x x x -=（2）2()ln(1)f x x x =++（3）1()ln 1xf x x-=+（4）()2x xa a f x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）22221()ln(()1)ln(1)ln()ln(1)1f x x x x x x x x x-=-+-=+-==-++++()f x =-，所以()f x 为奇函数. （3）11()ln ln ()11x xf xf x x x+--==-=--+，所以()f x 为奇函数. （4）()()2xx a af x f x -+-==，所以()f x 为偶函数. 5.下列函数在指定区间内是否有界？下列函数在指定区间内是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x =-¥-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+¥-解：（1）在(,1]-¥-上，2101x <£，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界. （2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+¥上，2021x <<-，故有界. 6. 将下列复合函数进行分解将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y x x =+ （4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）,y u u x x ==+ （4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+， 由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <ìï===íï->î，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1xg x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =， 当0x >时，()1xg x e =>，故，故 [()]1f g x =-. 当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =， 当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=. 综上，1,0,[()]0,0,1,x f g x x x <ìï==íï->î 11,||1,[()]1,||1,,||1e e x gf x x x <ìï==íï>î9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？ 答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增. 下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-¥+¥都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-¥+¥并不是单调增的，而()()xf xg x e ==，显然在(,)-¥+¥都是单调增的，都是单调增的，2()()xf xg x e = 仍在(,)-¥+¥上单调增. 10. 设()f x 是周期为p 的奇函数，当(0,]2x pÎ时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x pp Î时，求()f x 的表达式. 解：由于()f x 是周期为p 的函数，所以()(0)f f p =，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x pÎ-时，(0,)2x p -Î，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+- 当(,)2x pp Î时，(,0)2xpp -Î-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x p p -=--=-以及()f x周期为p ，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x p p p =-=-+--=---综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x p p p ì---Îï=íï=î11. 设1()2y f t xx =-，且21|52x t y t ==-+，求()f x 解：由题即知211|(1)522x t y f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+ 12. 设(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-2(sin )1cos 22sin 22xx f x =+=-，令sin 2xt =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-. 习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限从图象上观察并写出下列极限 （1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x xx x x x x ®®¥®-¥®+¥（2）130lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +®®+¥®® （3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x xx x x x x x p ®®+¥®-¥®（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x ®®+¥®-¥®¥解：图略. （1）0lim 21xx ®=，lim 2xx ®¥不存在，lim 20xx ®-¥=，lim 2xx ®+¥=+¥（也是不存在）（也是不存在）（2）1lim ln 0x x ®=，0lim ln x x +®=-¥（不存在），lim ln x x ®+¥=+¥（不存在），3lim ln ln 3x x ®= （3）0lim cos 1x x ®=，lim cos x x ®+¥不存在，lim cos x x ®-¥不存在，2lim cos 0x x p®= （4）1lim arctan 4x x p ®=，lim arctan 2x x p ®+¥=，lim arctan 2x x p ®-¥=-，lim arctan x x ®¥不存在. 2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ì->ï==íï-<î求当0x ®时，函数的左、右极限，并说明当0x ®时函数的极限是否存在. 解：左极限00lim ()lim (1)1x x f x x --®®=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++®®=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x ®时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x ®时的左、右极限，并说明当0x ®时函数的极限是否存在. 解：左极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---®®®-===-，右极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x+++®®®===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x ®时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<ìï==íï->î求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x ®®® 解：当0x ®时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故00lim ()lim(1)1x x f x x ®®=+=当1x ®时，11lim ()lim(1)2x x f x x --®®=+=，11lim ()lim(1)0x x f x x ++®®=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x ®不存在. 当3x ®时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim(1)2x x f x x ®®=-=. 5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x p ®¥+=--①，求,a b 的值. 解：解：（1）当x ®+¥时，可以认为0x >，故||x x =， 故=-++¥®x bx x ax x 32lim 3232lim -+=-++¥®b a x bx x ax x ，从而2.32arctan 32lim p -+=-++¥®b a x x bx x ax x ， 所以由①式，可知22.32p p -=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x ®-¥时，可以认为0x <，故||x x =-， 故3232lim +-=+--¥®b a x bx x ax x ，从而÷øöçèæ-+-=+--¥®232arctan 32lim p b a x x bx xax x ，所以由①式，可知213a b -=+. 综上，可得方程组2323a b a b +=-ìí-=+î，解得32a b =ìí=-î. （注：lim arctan 2x x p ®+¥=，lim arctan 2x x p ®-¥=-） 6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：求：（1）lim ()x f x ®+¥；（2）lim ()x f x ®-¥；（3）0lim ()x f x +®；（4）0lim ()x f x -®；（5）0lim ()x f x ®. 解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x x x x x x x f x x x x x x x x +ì=>ï+ï-==í--ï=<ï+î 故易得（1）lim ()3x f x ®+¥= （2）1lim ()7x f x ®-¥= （3）0lim ()3x f x +®= （4）01lim ()7x f x -®= （5）0lim ()x f x ®不存在（左右极限都存在但是不相等）. 习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？ （1）242x y x -=-； （2）311y x =+； （3）21xy =-； （4）1xy e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义由22lim lim (2)0x xy x ®-®-=+=，可知此函数在2x ®-时为无穷小量；由lim lim(2)x x y x ®¥®¥=+=¥，可知此函数在x ®¥时为无穷大量. （2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim 01x x y x ®¥®¥==+，可知此函数在x ®¥时为无穷小量；由3111lim lim 1x x y x ®-®-==¥+，可知此函数在1x ®-时为无穷大量. （3）由00lim lim(21)0xx x y ®®=-=，可知此函数在0x ®时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y ®+¥®+¥=-=+¥，可知此函数在x ®+¥时为无穷大量. （4）1xy e =在0x =处无定义.由100lim lim 0xx x y e --®®==，可知此函数在0x -®时为无穷小量；由100lim lim xx x y e ++®®==+¥，可知此函数在0x +®时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明. 答：不一定，比如说当0x ®时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，2201lim 0(2)4x xx ®=¹，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，200lim lim 0x x xx x®®==，是无穷小量. 3. 求下列极限. （1）sin lim x x x ®¥； （2）2arctan lim x x x ®¥； （3）3113lim()11x x x ®---； （4）2211lim 23x x x x ®-+-（5）322lim()2121x x x x x ®¥-+-； （6）321lim 34x x x x ®¥--+； （7）342lim 1x x x x ®¥+-+； （8）33221lim 423x x x x ®¥++-； （9）11lim ()1nx x n x +®-Î-Z ； （10）0()lim ()nnx a x a n x +®+-ÎZ 解：（1）由于|sin |1x £，可知sin x 在(,)-¥+¥上为有界函数，而当x ®¥时，10x®，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim(sin )0x x xx x x®¥®¥== （2）由于|arctan |2x p<，可知arctan x 在(,)-¥+¥上为有界函数，而当x ®¥时，210x ®，为无穷小量，故22arctan 1lim lim(arctan )0x x x x x x®¥®¥== （3）2332111131323lim()lim()lim()111113x x x x x x x x x x x ®®®++-+-====---++ （通分，消元）（通分，消元） （4）22111121lim lim 23342x x x x x x x ®®-+===+-+ （5）3232222(21)(21)lim()lim 2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x ®¥®¥--+-=+-+-3232lim 4221x x xx x x ®¥--=-+-23111lim 1114422x xx x x®¥--==--+- （6）322211lim lim 1134134x x x x x x x x x ®¥®¥--==¥-+-+ （7）3344411122lim lim 0111x x x x x x x x x®¥®¥+-+-==++ （8）33323122121lim lim 1142342423x x x x x x x x ®¥®¥++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x ®¥时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为¥；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上）做法见上）（9）12121111(1)(1)lim lim lim(1)11nn n n n x x x x x xx xxn x x ----®®®--+++==+++=（10） 122200()lim lim n n n n n n n n x x a na x C a x x aa x a x x--®®++++-+-= 122210lim(())n n n n n x naC axx na----®=++=4. 设21lim 31x x ax b x ®++=-，求,a b 的值. 解：由于1lim(1)0x x ®-=，故21lim()0x x ax b ®++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a c b c =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x®®++=-+- 13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x ®¥=；（2）1lim ()0x f x ®=，求,a b ，,c d 的值. 解：由lim ()1x f x ®¥=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==. 由1lim ()0x f x ®=，可知21lim()0x x cx d ®++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211lim lim 22x x x cx d x e x x x ®®+++=+-+ 1012e +==+可知1e=-故2,1c d =-=. 6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ¹ì=í=î求0lim ()x f x ®. 解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x ®时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x ®=. 7. 设1lim ()x f x ®存在，且21()23lim ()x f x x x f x ®=+，求().f x 解：由题可知，只需求出1lim ()x f x ®即可，在21()23lim ()x f x x x f x ®=+两边同时求当1x ®时的极限21111lim ()lim(23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x ®®®®=+=+，易解得1lim()1x f x ®=-，从而2()23f x x x =-. 习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim()(1)()n nn n n ®¥+++++ （2）1lim nn n ®¥（3）22212lim()2n n n n n n ppp®¥++++++ （4）lim 123n n n n ®¥++解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()nn n a n n n n n n n n n n n n ++=+++<<+++=++++ ，而，而 2211lim lim 0()n n n n n n n ®¥®¥++==+，由两边夹原理可知222111lim()0(1)()n n n n n ®¥+++=++ . （2）当1n >时，11nn >，令11nn n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有且由二项式公式有2(1)(1)12nn n n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而201n a n <<-. 而2lim 01n n ®¥=-，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a ®¥=，从而1lim 1nn n ®¥=. （3）设222122n na n n n n p p p=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n an n n n n n n n n n n n p p p p p p p p ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1lim lim 2()2()2n n n n n n n n n p p ®¥®¥++==++，由两边夹原理可知222121lim()22n n n n n n ppp ®¥+++=+++ . （4）显然312333nnnnnnn<++< ，而lim 3lim 333n n n nn n ®¥®¥==，由两边夹原理可知lim 1233n n nn ®¥++=. 2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限求下列数列的极限 （1）2,22,222,+++ ； （2）1103,(3)n n n x x x x +<<=-（3）111,(),(,0)2n n nbx a x x a b +==+>. 解：（1）显然数列为单调增的，设122a =<，222222a =+<+=，依次得322222a a =+<+=，归纳可得2n a <.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a .对12n n a a +=+两端同时取极限，可得2a a =+，解得2a =或者1a =-（显然不可能）.故数列极限为2. （2）（i ）当132x =时，2113(3)2x x x =-=，依次可得32n x =，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32. （ii ）当132x ¹时，利用几何算术平均值不等式可知1121133(3)22x x x x x +-=-<=，依次可得302n x <<（1n >）.而131211n n n x x x+=->-=（1n >），故此数列除了1x 以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n n x ¥=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a .对1(3)n n n x x x +=-两端同时取极限，可得(3)a a a =-，解得32a =或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32. 综合（i ）（ii ）可知数列极限为32. （3）（i ）当1x a b ==时，2111()2bx x b x =+=，依次可得n x b =，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为b . （ii ）当1x b ¹时，利用几何算术平均值不等式可知211111()2b bx x x b x x =+>= ，依次可得n x b >（1n >）而11()02n n n n b x x x x +-=-<（1n >），故此数列除了1x 以外，均为单调减小的，且有下界b .由单调有界原理可知数列2{}n n x ¥=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A .对11()2n n nb x x x+=+两端同时取极限，可得1()2bA A A=+，解得A b =或者A b =-（显然不可能）.故数列极限为b . 综合（i ）（ii ）可知数列极限为b . 3. 若lim nn x a ®¥=，证明：lim ||||n n x a ®¥=. 证明：由lim n n x a ®¥=，可知对0e ">，都0N $>，当n N >时，就有||n x a e -<.从而当n N >时，||||||n n x a x a e -£-<，由定义可知lim ||||n n x a ®¥=. （注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A®·=，则lim |()|||x f x A ®·=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x ®·=，则lim ()0x f x ®·=”，对数列也成立.） 4. 对于数列{}nx ，若212lim lim k k k k x x a -®¥®¥==，证明：lim n n x a ®¥=. 证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -®¥®¥==可知，对0e ">，数列21{}k x -中落在区间(,)a a e e -+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a e e -+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，来说，其中的项不在数列其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a e e -+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a ®¥=. 第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -®¥=，可知对0e ">，都10K $>，当1k K >时，就有21||k x a e --<.由2lim k k x a ®¥=，可知对上述的0e >，都20K $>，当2k K >时，就有2||k x a e -<.令12max{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a e -<.由定义可知lim n n x a ®¥=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5lim x x x ® （2）0sinlim (0)sin x ax b bx ®¹ （3）30tan sin lim x x x x ®- （4）1lim sin x x x ®¥ （5）lim(1)mx x k x ®¥- （6）22lim()1x x x x ®¥++ (7) cot 0lim(13tan )x x x ®- (8) 111lim(32)x x x -®- （9）2sin 0lim(1)x x x ®+ （10）lim tan n x n n ®¥ （11）11lim(sin cos )x x x x®¥+ （12）2sec 2lim(1cos )x x x p®- 解：（1）0sin 5sin 5lim lim(5)55x x x x xx®®==（2）0sin sin lim lim()sin sin x x ax axbx ax a bxax bx bx b®®==（3）23200022sin tan sin sin 1cos sin 112lim lim()lim()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x ®®®--=== （4）1sin 1lim sin lim 11x x x x xx®¥®¥== （当x ®¥时，10t x =®）（5）令xt k =-，则mx mkt =-，且当x ®¥时，t ®¥，所以11lim(1)lim(1)lim[(1)]mxmkt t mk mk x t t k e x t t---®¥®¥®¥-=+=+= （6）2221lim()lim(1)11x xx x x x x ®¥®¥+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x ®¥时，t ®¥，所以22(1)2222111lim()lim(1)lim[(1)](1)1xt t x ttx e x tt t--®¥®¥®¥+=+=++=+ （7）令3tan t x =-，则3cot x t =-，且当0x ®时，0t ®.所以所以31cot 33lim(13tan )lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ---®®®-=+=+= （8）111111lim(32)lim[13(1)]x x x x x x --®®-=+-，令3(1)t x =-，则当1x ®时，0t ®，所以，所以1313311lim(32)lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ----®®®-=+=+= （9）2122sin sin 00lim(1)lim[(1)]xxx xx x x x e ®®+=+= （10）因为00tan sin 1lim lim 1cos x x x x x x x®®== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan 1lim lim tan 11n n n n n n ®¥®¥==，从而当0x ¹时，tanlim tan lim n n x x n n x xx n n®¥®¥==当0x =时，lim tan 0n x n n ®¥=.综合可知lim tann xn x n ®¥=. （11）1111lim(sin cos )lim[1(sincos 1)]x xx x x xx x®¥®¥+=++- 11(sin cos 1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x xx xx x x +-+-®¥ìüïï=++-íýïïîþ，令11sincos 1t x x=+-，则当x ®¥时，0t ®，又1111lim (sincos 1)lim sin lim (cos1)x x x x x x xx x x®¥®¥®¥+-=+- 2111sin cos 12()2lim lim 1lim 1111x x x x x x xxx ®¥®¥®¥--=+=+=，故11lim(sin cos )xx e x x®¥+=. （12）令cos t x =-，则22sec x t =-，且当2x p ®时，0t ®，所以，所以212sec 222lim(1cos )lim(1)lim[(1)]xtt t t x x t t e p---®®®-=+=+=. 2. 求下列各极限. （1）011lim x x xx ®+-- （2）lim (11)x x x ®+¥+-- （3）0sin 4lim 11x x x ®+- （4）22220lim (,0)x x m m m n x n n ®+->+- （5）01lim []x x x +® （6）22limcos 2sin x x x x ®+¥+ （7）lim (ln(1)ln )x x x x ®+¥+- （8）0lim cos xx x +®. 解：（1）00011(11)(11)2lim lim lim1(11)11x x x x x x x x x x x x x x x®®®+--+--++-===++-++- （2）22lim (11)lim lim 0111111x x x x x x x x x x®+¥®+¥®+¥+--===++-++-（3）0sin 4sin 4(11)sin 4(11)lim lim lim 11(11)(11)x x x x x x x x x x x x ®®®++++==+-+-++sin 4lim 4(11)84x xx x ®=++=（4）222222222200()2lim lim 2()x x x m m x x n n n nm m x n n x x m m ®®+-++===+-++ （分子分母同时有理化）（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +®时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x>，故1111[]x x x -<£，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<£=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++®®-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+®=. （6）利用函数的性质可知22211ln(cos 2sin )ln(1sin )22cos 2sin x x x xxxx x ee+++==，其中20ln(1sin )ln 2x £+£，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x ®+¥时，10x ®，为无穷小量，故21lim ln(1sin )0x x x®+¥+=.从而可得220lim cos 2sin 1xx x x e ®+¥+== （7）111lim (ln(1)ln )lim ln lim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥++-==+=+== （8）11000lim cos lim (cos )lim[1(cos 1)]xxxx x x x x x +++®®®==+-1c o s 1c o s 10l i m {[1(c os 1)]}x x xx x +--®=+-，而2222sin2sincos1122limlim lim 24()2x x x x xx xxx +++®®®---===-，故12lim cos xx x e +-®=. 习题1.61. 比较下列无穷小的阶. （1） 当0x ®时，323x x +与sin x （2） 当1x ®-时，1x +与31x +（3） 当0x ®时，3tan x x x +与(1cos )x x + （4） 当0x ®时，211x +-与211x -- 解：（1）由于3232200033lim lim lim(3)0sin x x x x x x xx x xx®®®++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111lim lim 113x x x xx x ®-®-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小. （3）由于33tan tan lim lim lim 0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx xxx x x x x x ®®®+=+=+++，故3tan x x x+是(1cos )x x +的高阶无穷小. （4）由于2222220011(11)lim lim 111(11)x x x x x xx x ®®+-+-==--++，故211x +-与211x --是等价无穷小. 2. 证明：当0x ®时，时，（1） x x 21~1+； （2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于001lim(11)lim 02x x x x ®®+-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.011lim lim 111(11)22x x x x xx x ®®+-==++，由定义即知x x 21~1+. （2）由于3200lim(2)lim tan 0x x x x x ®®+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可. 3232200022lim lim lim(2)0tan x x x x x x xx x x x ®®®++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=. 3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21lim cos 1xx e x ®-- （2）21lim sin 1x x x x ®¥+ （3）311lim tan x x xx®+-- （4）sin 01lim ln(13)xx e x ®-+ （5）201cos lim x kx x ®- （6）01tan 1tan lim 1x x x x e ®+--- （7）3321tan 1limsin 1x x x ®-- （8）2013sin coslim(1cos )tan x x x x x x ®++ （9）011lim tan x x x +®+- （10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x®¥+-+. 解：（1）22021lim lim 21cos 12xx x e xx x ®®-==---（2）222211lim sin lim lim 111x x x x x x x x x x x x®¥®¥®¥===+++ （x ®¥时，10x ®，所以11sin x x ） （3）333000011(11)(11)1111lim lim lim lim tan tan tan tan x x x x x x x x x x x x x x®®®®+--+----+---==- （由()x xa a~1+）001111532lim lim 236x x xx x x ®®-=-=+=（4）sin 001sin 1lim lim ln(13)33xx x e x x x ®®-==+ （5）222220001()1cos 1cos 2lim lim lim 4(1cos )(1cos )x x x kx kx kx k x x kx x kx ®®®--===++ （6）001tan 1tan 2tan lim lim 1(1tan 1tan )x x x x x xe x x x ®®+--=-++- 02lim 1(1tan 1tan )x xx x x ®==++-，其中第一步用到了有理化. （7）33333322111tan 1111lim lim lim 12sin 11x x x x x x x x ®®®--===+-- （8）22201113sin cos3sin coscos 3sin lim limlimlim (1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx x®®®®++==+++++01cos33lim 2(1cos )2x x x x ®=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x ®= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小）穷小）（9）00111lim lim 2tan (11)x x x x x x x ++®®+-==++ （10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln(1)x x x x x x x x x x®¥®¥®¥+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x x x x x x x®¥®¥®¥®¥=+-+=-=-= 习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x 죣=í-<£î 在1x =处的连续性. 解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --®®===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim(2)1(1)x x f x x f ++®®=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续. 2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x ®、3lim ()x f x ®-、0lim ()x f x ®. 解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-¥-、(3,2)-和(2,)+¥上都连续. 2lim ()x f x ®=¥，2333311lim ()lim lim 625x x x x f x x x x ®-®-®-+===-+--，031lim ()62x f x ®==-- 3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sinx y x =（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211lim lim 22x x x x x x ®®-==¥+-+-，所以这两个都是第二类间断点. （2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k p =（k ÎZ ）.当0k =时，0lim 1sin x x x ®=，故0x =为可去间断点；当0k ¹时，lim sinx k x x p ®=¥，故x k p =（0k ¹）为第二类间断点. （3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x ®时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点. （4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim 2x x-®=¥（当0x -®时，1x®-¥，120x®），故0x =为第二类间断点为第二类间断点 4.已知函数24,0,(),0,2,0x x f x a x x b x ì+<ïï==íï+>ïî在0x =处连续，求a与b 的值. 解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而2lim ()lim 42lim ()lim(2)x x x x f x x a f x x b b--++®®®®=+====+=，即得2a b ==. 5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)x $Î，使得()0f x =即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2p p内至少有一个实根. 证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2p p上连续.又()3sin 302222f p p p p=-=->，()3sin 0f p p p p =-=-<，由零点定理可知(,)2px p $Î，使得()0f x =.即方程3sin x x =在区间(,)2pp 内至少有一个实根. 7. 确定,a b 的值，使下式成立. （1）21lim ()01x x ax b x ®+¥+--=+ （2）2lim (1)0x x x ax b ®-¥-+--=. 解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x ®+¥®+¥+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=故1a =，1b =-. （2）由22222(1)(12)1lim (1)lim 1x x a x ab x b x x ax b x x ax b®-¥®-¥--++--+--=-+++ 2221(1)(12)(1)lim 01111x a x ab b x a bx x x®-¥--++-==--+++可知21a=（若21a ¹，则极限为¥）且1a ¹（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =. 8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ££，证明：必存在点[],c a b Î，使得()f c c =. 证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-³，()()0F b f b b =-£. （i ） 若()0F a =，取c a =即得. （ii ） 若()0F b =，取c b =即得. （iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b $Î，使得()0F c =，即()f c c =. 综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点,c a b ，使得()f c c =. 复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x j =-，且()0x j ³，求()x j 并写出它的定义域. 解：2()[()]1x f x ex j j ==-，故2()ln(1)x xj =-，而()0x j ³，所以()ln(1)x x j =-，其定义域为(,0]-¥. 2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ³ì=í-<î 2,0,()1,0.x x g x x x ì³=í-<î 求[()]f g x ，[()]g f x . 解：当0x ³时，2()0g x x =³ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x º. 当0x ³时，()10f x =³ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ³ì=í<î. 3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函都可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和. 解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数. （2）显然()()()f x F x G x =+，故得证. 4. 设函数()f x 在(,)-¥+¥内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xyf =及(21)y f x =+的反函数. 解：由()2xy f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=. 5. 求下列极限. 。

习题1、11. 求下列函数得定义域、 （1） 234y x x =- （2）2ln 3x y x-=-（3） y =（4）1arcsin3xy -=解：（1）只要分母不为零即可，即0x ≠且4x ≠、定义域为(,0)(0,4)(4,)-∞+∞（2）只要203x x->-即可，故定义域为(2,3) （3）只要240x -≥即可，故定义域为(,2][2,)-∞-+∞ （4）只要30x ->并且1113x--≤≤即可，易解得定义域为[2,3)- 2、 下列各对函数就是否相同？为什么？ （1）(),()1xf xg x x==；（2）()()f x g x ==、解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 得定义域为{|0,}x x x ≠∈，而()g x 得定义域为全体实数、（2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同、 3、 求下列函数得反函数，并指出其定义域、（1）(0)y x ≥ （2）31x y =-解：（1）由y =222y x =+，故222x y =-，由于0x ≥，所以x =原函数得反函数为y =，定义域为x ≥（2）由31xy =-可得13xy +=，所以3log (1)x y =+，故原函数得反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4、 判断下列函数得奇偶性（1）sin ()cos x xf x x x-=（2）())f x x =（3）1()ln 1xf x x-=+ （4）()2x x a a f x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x xf x f x x x x x x x----+--====---，所以()f x 为偶函数、（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）())))f x x x x -====-()f x =-，所以()f x 为奇函数、（3）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+，所以()f x 为奇函数、 （4）()()2x xa a f x f x -+-==，所以()f x 为偶函数、 5、下列函数在指定区间内就是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x =-∞-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+∞-解：（1）在(,1]-∞-上，2101x<≤，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界、（2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+∞上，2021x <<-，故有界、6、 将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y =（4）2tan x y e =解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）y u x ==+（4）2,,tan uy e u t t x ===7、 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+， 由于函数与变量符号得选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8、 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1xg x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =， 当0x >时，()1xg x e =>，故 [()]1f g x =-、当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =， 当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=、 综上，1,0,[()]0,0,1,0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩ 1,||1,[()]1,||1,,||1ee x gf x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩9、 两个单调增加得函数得复合函数就是否一定单调增加？它们得乘积又如何？ 答：两个单调增加得函数得复合函数一定单调增加、但就是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都就是单调增得函数，即对任意得12x x <，都有12()()g x g x <；对任意得12u u <，都有12()()f u f u <、特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增、下面瞧乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-∞+∞都就是单调增得，但就是2()()f x g x x =在(,)-∞+∞并不就是单调增得，而()()xf xg x e ==，显然在(,)-∞+∞都就是单调增得，2()()x f x g x e =仍在(,)-∞+∞上单调增、10、 设()f x 就是周期为π得奇函数，当(0,]2x π∈时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x ππ∈时，求()f x 得表达式、解：由于()f x 就是周期为π得函数，所以()(0)f f π=，又()f x 就是奇函数，可知(0)0f =、当(,0)2x π∈-时，(0,)2x π-∈，由()f x 就是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+-当(,)2x ππ∈时，(,0)2x ππ-∈-，由sin()sin ,cos()cos x x x x ππ-=--=-以及()f x周期为π，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x πππ=-=-+--=---综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x πππ⎧---∈⎪=⎨⎪=⎩11、 设1()2y f t x x=-，且21|52x t y t ==-+，求()f x解：由题即知211|(1)522x t y f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+、令1t x -=，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+、所以2()9f x x =+12、 设(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2x f解：利用二倍角公式22cos 12sin2cos 122x x x =-=-、2(sin )1cos 22sin 22x x f x =+=-，令sin 2x t =，则2()22f t t =-、从而2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-、 习题1、21. 从图象上观察并写出下列极限（1）0lim2,lim 2,lim 2,lim 2xxxxx x x x →→∞→-∞→+∞（2）130limln ,lim ln ,lim ln ,limln x x x x x x x x +→→+∞→→ （3）02limcos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x x x x x x x x π→→+∞→-∞→（4）1limarctan ,lim arctan ,lim arctan ,limarctan x x x x x x x x →→+∞→-∞→∞解：图略、（1）0lim21xx →=，lim 2xx →∞不存在，lim 20xx →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞（也就是不存在）（2）1limln 0x x →=，0lim ln x x +→=-∞（不存在），lim ln x x →+∞=+∞（不存在），3limln ln 3x x →= （3）0limcos 1x x →=，lim cos x x →+∞不存在，lim cos x x →-∞不存在，2lim cos 0x x π→=（4）1limarctan 4x x π→=，lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-，limarctan x x →∞不存在、2、 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩求当0x →时，函数得左、右极限，并说明当0x →时函数得极限就是否存在、解：左极限0lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=，右极限2lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=-=-，由于左右极限都存在但就是不相等，所以当0x →时函数得极限不存在、 3、 求函数||()x f x x=当0x →时得左、右极限，并说明当0x →时函数得极限就是否存在、解：左极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---→→→-===-，右极限000||lim ()lim lim 1x x x x xf x x x+++→→→===，由于左右极限都存在但就是不相等，所以当0x →时函数得极限不存在、4、 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→解：当0x →时，只关心离0很近得那些点，所以可以认为1x <，故0lim ()lim(1)1x x f x x →→=+=当1x →时，11lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=，11lim ()lim(1)0x x f x x ++→→=-=，左右极限都存在但就是不相等，所以1lim ()x f x →不存在、当3x →时，只关心离3很近得那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim(1)2x x f x x →→=-=、5、 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x π→∞+=--①，求,a b 得值、解：（1）当x →+∞时，可以认为0x >，故||x x =， 故=-++∞→xbx x ax x 32lim3232lim-+=-++∞→b a x bx x ax x ，从而2.32arctan 32lim π-+=-++∞→b a x x bx x ax x ，所以由①式，可知22.32ππ-=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x →-∞时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim+-=+--∞→b a x bx x ax x ，从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+--∞→2.32arctan 32lim πb a x x bx x ax x ， 所以由①式，可知213a b -=+、 综上，可得方程组2323a b a b +=-⎧⎨-=+⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩、（注：lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-）6、 设2||()43||x x f x x x +=-、求：（1）lim ()x f x →+∞；（2）lim ()x f x →-∞；（3）0lim ()x f x +→；（4）0lim ()x f x -→；（5）0lim ()x f x →、 解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x xx x x x xf x x x x x x x x +⎧=>⎪+⎪-==⎨--⎪=<⎪+⎩故易得（1）lim ()3x f x →+∞= （2）1lim ()7x f x →-∞=（3）0lim ()3x f x +→= （4）01lim ()7x f x -→= （5）0lim ()x f x →不存在（左右极限都存在但就是不相等）、习题1、31、 下列函数在自变量怎样得变化过程中为无穷小量？在怎样得变化过程中为无穷大量？（1）242x y x -=-； （2）311y x =+； （3）21xy =-； （4）1x y e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义、由22lim lim(2)0x x y x →-→-=+=，可知此函数在2x →-时为无穷小量；由lim lim(2)x x y x →∞→∞=+=∞，可知此函数在x →∞时为无穷大量、（2）311y x =+在1x =-处无定义、由31lim lim 01x x y x →∞→∞==+，可知此函数在x →∞时为无穷小量；由3111lim lim 1x x y x →-→-==∞+，可知此函数在1x →-时为无穷大量、（3）由0lim lim(21)0xx x y →→=-=，可知此函数在0x →时为无穷小量；由lim lim (21)x x x y →+∞→+∞=-=+∞，可知此函数在x →+∞时为无穷大量、（4）1xy e =在0x =处无定义、由1lim lim 0xx x y e --→→==，可知此函数在0x -→时为无穷小量；由1lim lim xx x y e ++→→==+∞，可知此函数在0x +→时为无穷大量、 2、 两个无穷小量得商就是否为无穷小量？请举例说明、答：不一定，比如说当0x →时，2x 与2(2)x 都就是无穷小量，2201lim0(2)4x x x →=≠，故不就是无穷小量，又2x 与x 都就是无穷小量，200lim lim 0x x x x x →→==，就是无穷小量、 3、 求下列极限、（1）sin lim x x x →∞； （2）2arctan lim x x x →∞； （3）3113lim()11x x x →---； （4）2211lim 23x x x x →-+-（5）322lim()2121x x x x x →∞-+-； （6）321lim 34x x x x →∞--+； （7）342lim 1x x x x →∞+-+；（8）33221lim 423x x x x →∞++-； （9）11lim()1n x x n x +→-∈-； （10）0()lim ()n nx a x a n x+→+-∈解：（1）由于|sin |1x ≤，可知sin x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，10x→，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim(sin )0x x x x x x→∞→∞==（2）由于|arctan |2x π<，可知arctan x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，210x →，为无穷小量，故22arctan 1lim lim(arctan )0x x x x x x →∞→∞==（3）2332111131323lim()lim()lim()111113x x x x x x x x x x x →→→++-+-====---++ （通分，消元） （4）22111121lim lim 23342x x x x x x x →→-+===+-+ （5）3232222(21)(21)lim()lim 2121(21)(21)x x x x x x x x x x x x →∞→∞--+-=+-+-3232lim 4221x x x x x x →∞--=-+-23111lim 1114422x x x x x→∞--==--+-（6）322211limlim 1134134x x x x x x x x x →∞→∞--==∞-+-+（7）3344411122lim lim 0111x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==++ （8）33323122121lim lim 1142342423x x x x x x x x→∞→∞++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x →∞时，多项式得商得极限主要瞧分子分母得次数，分子次数大于分母次数，则极限为∞；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数得商、做法见上）（9）12121111(1)(1)limlim lim(1)11n n n n n x x x x x x x x x n x x ----→→→--+++==+++=--（10） 122200()limlim n n n n nn nn x x a na x C a x x a a x a x x--→→++++-+-=122210lim(())n n n n n x na C a x x na ----→=++=4、 设21lim31x x ax bx→++=-，求,a b 得值、 解：由于1lim(1)0x x →-=，故21lim()0x x ax b →++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a c b c =-=-、由极限211lim lim ()1x x x ax b x c x→→++=-+-13c =--=可知4c =-、故5,4a b =-=5、 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x →∞=；（2）1lim ()0x f x →=，求,a b ，,c d 得值、解：由lim ()1x f x →∞=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==、由1lim ()0x f x →=，可知21lim()0x x cx d →++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-、由极限2211lim lim 22x x x cx d x ex x x →→+++=+-+1012e+==+可知1e =-、故2,1c d =-=、 6、 设()g x 在0x =得某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ≠⎧=⎨=⎩ 求0lim ()x f x →、解：()g x 在0x =得某邻域内有界，而当0x →时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x →=、 7、 设1lim ()x f x →存在，且21()23lim ()x f x x x f x →=+，求().f x解：由题可知，只需求出1lim ()x f x →即可，在21()23lim ()x f x x x f x →=+两边同时求当1x →时得极限、21111lim ()lim(23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x →→→→=+=+，易解得1lim ()1x f x →=-，从而2()23f x x x =-、习题1、41. 利用数列极限存在得准则Ⅰ，求下列极限、（1）222111lim()(1)()n n n n n →∞+++++ （2）1lim n n n →∞ （3）22212lim()2n n n n n n πππ→∞++++++ （4）n 解：（1）设222111(1)()n a n n n n =+++++，显然有2222222211111111()()()()nn n a n n n n n n n n n n n n ++=+++<<+++=++++，而 2211limlim 0()n n n n n n n →∞→∞++==+，由两边夹原理可知222111lim()0(1)()n n n n n →∞+++=++、 （2）当1n >时，11nn >，令11nn n a -=，则显然0n a>、且由二项式公式有2(1)(1)12n n n n n n n nn a na a a -=+=++++，故2(1)2n n n n a ->，从而0n a << 而0n =，不等式左边常数也就是0，由两边夹原理可知lim 0n n a →∞=，从而1lim 1nn n →∞=、（3）设222122n na n n n n πππ=++++++，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n a n n n n n n n n n n n n ππππππππ++=+++<<+++=++++++++而22(1)(1)1limlim 2()2()2n nn n n n n n n ππ→∞→∞++==++，由两边夹原理可知222121lim()22n n n n n n πππ→∞+++=+++、 （433n <<，而333nnn ==，由两边夹原理可知3n=、2. 利用数列极限存在得准则Ⅱ，求下列数列得极限 （1； （2）1103,n x x +<<=（3）111,(),(,0)2n n nbx a x x a b x +==+>、解：（1）显然数列为单调增得，设12a=<，22 a=<=，依次得32a=<=，归纳可得2na<、即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a、对1na+=a=2a=或者1a=-（显然不可能）、故数列极限为2、（2）（i）当132x=时，232x==，依次可得32nx=，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32、（ii）当132x≠时，利用几何算术平均值不等式可知1123322x xx+-=<=，依次可得32nx<<（1n>）、而11nnxx+=>=（1n>），故此数列除了1x以外，均为单调增加得，且有界、由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列得极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a、对1nx+可得a=32a=或者0a=（显然不可能）、故数列极限为32、综合（i）（ii）可知数列极限为32、（3）（i）当1x a==时，2111()2bx xx=+=nx=、（ii）当1x≠211111()2b bx x x bx x=+>=，依次可得nx>1n>）、而11()02n n nnbx x xx+-=-<（1n>），故此数列除了1x以外，、由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列得极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A、对11()2n nnbx xx+=+两端同时取极限，可得1()2bA AA=+，解得A=或者A=、综合（i）（ii、3、 若lim n n x a →∞=，证明：lim ||||n n x a →∞=、证明：由lim n n x a →∞=，可知对0ε∀>，都0N ∃>，当n N >时，就有||n x a ε-<、从而当n N >时，||||||n n x a x a ε-≤-<，由定义可知lim ||||n n x a →∞=、（注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A →•=，则lim |()|||x f x A →•=”、反过来不对、但就是有“若lim |()|0x f x →•=，则lim ()0x f x →•=”，对数列也成立、）4、 对于数列{}n x ，若212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==，证明：lim n n x a →∞=、证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）、由212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==可知，对0ε∀>，数列21{}k x -中落在区间(,)a a εε-+外得只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a εε-+外得也只有有限多项、而对于数列{}n x 来说，其中得项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a εε-+外得也只有有限多项、由几何意义即知lim n n x a →∞=、第二种证法：用极限定义、由21lim k k x a -→∞=，可知对0ε∀>，都10K ∃>，当1k K >时，就有21||k x a ε--<、由2lim k k x a →∞=，可知对上述得0ε>，都20K ∃>，当2k K >时，就有2||k x a ε-<、令12max{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a ε-<、由定义可知lim n n x a →∞=、习题1、51. 求下列各极限、 （1）0sin 5limx x x → （2）0sin lim (0)sin x ax b bx →≠ （3）30tan sin lim x x x x →- （4）1lim sinx x x→∞ （5）lim(1)mx x k x→∞- （6）22lim()1x x x x →∞++ (7) cot 0lim(13tan )x x x →- (8) 111lim(32)xx x -→- （9）2sin 0lim(1)xx x →+ （10）lim tan n x n n →∞（11）11lim(sin cos )x x x x →∞+ （12）2sec 2lim(1cos )x x x π→- 解：（1）00sin 5sin 5limlim(5)55x x x xx x→→==（2）00sin sin limlim()sin sin x x ax ax bx ax abx ax bx bx b→→==（3）23200022sin tan sin sin 1cos sin 112limlim()lim()cos cos 24()2x x x x x x x x x x x x x x x x→→→--=== （4）1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞== （当x →∞时，10t x =→） （5）令xt k =-，则mx mkt =-，且当x →∞时，t →∞，所以11lim(1)lim(1)lim[(1)]mx mkt t mk mk x t t k e x t t---→∞→∞→∞-=+=+= （6）2221lim()lim(1)11x xx x x x x →∞→∞+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x →∞时，t →∞，所以22(1)2222111lim()lim(1)lim[(1)](1)1x t t x t t x e x t t t--→∞→∞→∞+=+=++=+（7）令3tan t x =-，则3cot x t=-，且当0x →时，0t →、所以31cot 33000lim(13tan )lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ---→→→-=+=+=（8）111111lim(32)lim[13(1)]xxx x x x --→→-=+-，令3(1)t x =-，则当1x →时，0t →，所以131331100lim(32)lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ----→→→-=+=+=（9）2122sin sin 0lim(1)lim[(1)]x xx xx x x x e →→+=+=（10）因为00tan sin 1limlim 1cos x x x x x x x →→==，由数列极限与函数极限得关系可知1tan 1limlim tan 11n n n n n n →∞→∞==，从而当0x ≠时，tan lim tan lim n n x x n n x x xn n→∞→∞== 当0x =时，lim tan 0n x n n →∞=、综合可知lim tan n xn x n →∞=、（11）1111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x xx x x x x x→∞→∞+=++-11(sin cos 1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x xx x x x x +-+-→∞⎧⎫⎪⎪=++-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，令11sincos 1t x x=+-，则当x →∞时，0t →，又1111lim (sincos 1)lim sin lim (cos 1)x x x x x x x x x x →∞→∞→∞+-=+-2111sin cos 12()2lim lim 1lim1111x x x x x x x x x→∞→∞→∞--=+=+=，故11lim(sin cos )x x e x x→∞+=、 （12）令cos t x =-，则22sec x t =-，且当2x π→时，0t →，所以212sec 2202lim(1cos )lim(1)lim[(1)]xtt t t x x t t e π---→→→-=+=+=、2、 求下列各极限、 （1）0limx x → （2）lim x →+∞ （3）0x →（4）0(,0)x m n →> （5）01lim[]x x x +→ （6）lim x （7）lim (ln(1)ln )x x x x →+∞+- （8）0lim x +→解：（1）0lim1x x x x →→→=== （2）lim limlim0x x x →+∞===（3）0x x x →→→== 0sin 4lim 4(11)84x xx x→=++=（4）022x x n nm m→→=== （分子分母同时有理化） （5）讨论0x +→时函数得极限时，我们只关心那些离0很近得正数，不妨设01x <<，有11x >，故1111[]x x x -<≤，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号得方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<≤=，而001lim (1)lim(1)1x x x x x++→→-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+→=、 （622211ln(cos 2sin )ln(1sin )x x x xxee++==，其中20ln(1sin )ln 2x ≤+≤，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x →+∞时，10x→，为无穷小量，故21limln(1sin )0x x x→+∞+=、从而可得0lim 1x e ==（7）111lim (ln(1)ln )lim ln lim ln(1)lim ln[(1)]ln 1x x x x x x x x x x x e x x x→+∞→+∞→+∞→+∞++-==+=+==（8）110lim )lim[11)]x xx x x +++→→→==+lim{[1x +→=+，而220002sin 2sin 12lim lim lim 2x x x x +++→→→--===-，故120lim x e +-→=、习题1、61. 比较下列无穷小得阶、（1） 当0x →时，323x x +与sin x （2） 当1x →-时，1x +与31x +（3） 当0x →时，3tan x x x +与(1cos )x x + （4） 当0x →1与1解：（1）由于3232200033limlim lim(3)0sin x x x x x x x x x x x→→→++==+=，故323x x +就是sin x 得高阶无穷小、 （2）由于3211111limlim 113x x x x x x →-→-+==+-+，故1x+就是31x +得同阶无穷小、 （3）由于33000tan tan limlim lim 0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x →→→+=+=+++，故3tan x x x +就是(1cos )x x +得高阶无穷小、（4）由于201x x →→==1与1就是等价无穷小、2. 证明：当0x →时，（1）x x 21~1+； （2）322(tan )x x o x += 证明：（1）由于0011)lim 02x x x →→==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可、01limlim 1111)22x x x x x →→==，由定义即知x x 21~1+、 （2）由于32lim(2)lim tan 0x x x x x →→+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可、3232200022lim lim lim(2)0tan x x x x x x x x x x x→→→++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=、 3、 利用极限得运算法则与无穷小得有关性质求下列极限、（1）201lim cos 1x x e x →-- （2）21lim sin 1x x x x→∞+ （3）0x →（4）sin 01lim ln(13)x x e x →-+ （5）201lim x x → （6）0lim 1x x e →- （7）1x → （8）2013sin coslim(1cos )tan x x x x x x →++ （9）0lim x +→ （10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x→∞+-+、解：（1）220021limlim 21cos 12x x x e x x x →→-==--- （2）222211limsin lim lim 111x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞===+++ （x →∞时，10x →，所以11sin xx） （3）00001)1)11lim lim lim lim tan tan tan tan x x x x x x x x→→→→-==-（由()x x αα~1+）001111532lim lim 236x x x xx x →→-=-=+=（4）sin 001sin 1limlim ln(13)33x x x e x x x →→-==+ （5）2201()4x x x kx k →→→=== （6）00x x →→=1x →==，其中第一步用到了有理化、（7）11x x x →→→=== （8）22200001113sin cos3sin cos cos3sin limlim lim lim (1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x →→→→++==+++++ 01cos33lim2(1cos )2x x x x →=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x→= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小） （9）001lim lim 2x x ++→→==（10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln(1)x x x x x x x x x x→∞→∞→∞+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞=+-+=-=-= 习题1、71、 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩ 在1x =处得连续性、解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim(2)1(1)x x f x x f ++→→=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续、 2、 求函数23()6x f x x x +=+-得连续区间，并求极限2lim ()x f x →、3lim ()x f x →-、0lim ()x f x →、解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-∞-、(3,2)-与(2,)+∞上都连续、2lim ()x f x →=∞，2333311lim ()limlim 625x x x x f x x x x →-→-→-+===-+--，031lim ()62x f x →==-- 3、 讨论下列函数得间断点，并指出间断点得类型、 （1）21()2f x x x =+- （2）sin x y x= （3）21()cosf x x= （4）112xy = 解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =与2x =-，而221211limlim 22x x x x x x →→-==∞+-+-，所以这两个都就是第二类间断点、（2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k π=（k ∈）、当0k =时，0lim 1sin x x x →=，故0x =为可去间断点；当0k ≠时，lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=（0k ≠）为第二类间断点、 （3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x →时()f x 得左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点、（4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而101lim 2x x-→=∞（当0x -→时，1x→-∞，120x→），故0x =为第二类间断点 4、已知函数0,(),0,2,0x f x a x x b x <==⎨⎪+>⎪⎩在0x =处连续，求a 与b 得值、解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既就是左连续又就是右连续，从而lim ()lim 2lim ()lim (2)x x x x f x a f x x b b --++→→→→=====+=，即得2a b ==、 5、 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根、证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续、又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=>，由零点定理可知(1,2)ξ∃∈，使得()0f ξ=、即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根、 6、 证明：方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根、证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2ππ上连续、又()3sin 302222f ππππ=-=->，()3sin 0f ππππ=-=-<，由零点定理可知(,)2πξπ∃∈，使得()0f ξ=、即方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根、7、 确定,a b 得值，使下式成立、（1）21lim ()01x x ax b x →+∞+--=+ （2）lim )0x ax b →-∞-=、解：（1）由221(1)()1lim ()lim 011x x x a x a b x bax b x x →+∞→+∞+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=、故1a =，1b =-、 （2）由222lim )limx x ax b →-∞-=221(1)(12)(1)lim0x a x ab b --++-==可知21a =（若21a ≠，则极限为∞）且1a ≠（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-、并且120ab +=，故12b =、 8、 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ≤≤，证明：必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =、证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-≥，()()0F b f b b =-≤、（i ） 若()0F a =，取c a =即得、 （ii ） 若()0F b =，取c b =即得、（iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b <，由零点定理可知(,)c a b ∃∈，使得()0F c =，即()f c c =、综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =、复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ并写出它得定义域、解：2()[()]1x f x e x ϕϕ==-，故2()ln(1)x x ϕ=-，而()0x ϕ≥，所以()x ϕ=，其定义域为(,0]-∞、2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 2,0,()1,0.x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 求[()]f g x ，[()]g f x 、解：当0x ≥时，2()0g x x =≥ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =、因此[()]1f g x ≡、当0x ≥时，()10f x =≥ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=、因此1,0,[()]2,0.x g f x x ≥⎧=⎨<⎩、 3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与 1()[()()]2G x f x f x =--得奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内得任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之与、 解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数、 （2）显然()()()f x F x G x =+，故得证、4、 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，()g x 就是()f x 得反函数，求()2x y f =及(21)y f x =+得反函数、解：由()2x y f =可得()2x g y =，故2()x g y =，所以()2xy f =得反函数为2()y g x =； 由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+得反函数为()12g x y -=、5、 求下列极限、（1）21111lim()3153541n n →∞++++-；（2）()()()nxx x n 22111lim +++∞→ ，（||1x <）；（3）2lim coscos cos222n n x xx →∞； （4）n ； （5）1402sin lim()||1xx xe x x e →+++； （6）20lim(cot )sin x x e x x→-； （7）0)xx π+→； （8）10lim()x x x x e →+、解：（1）2111111111111(1)31535412335572121n n n ++++=-+-+-++---+ 11(1)221n =-+，故21111111lim()lim (1)31535412212n n n n →∞→∞++++=-=-+、（2）()()()1111lim 22<+++∞→x xx x nn因()()()()()()()[]xxxx x x x xx x n nn--=-+++-=++++111111.1111122222，故()()()xx x x x x n nn n -=--=++++∞→∞→1111lim 111lim 1222 、（注意到当||1x <时，12lim 0n n x +→∞=） （3）当0x ≠时，n n x x x x 2sin 2cos 2cos 2cos 2 nn nn n x x x x x 2sin 22sin 2cos 2cos 2cos 22 =nnx x2sin 2sin =故=∞→n n n x x x x 2sin 2cos 2cos 2cos lim 2 n n n x x 2sin 2sin lim ∞→x xx x nn n sin 2.2sin lim ==∞→； 当0x =时，12sin 2cos 2cos 2cos lim 2=∞→n n n xx x x 、综合可知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∞→.0,1,0,sin 2sin 2cos 2cos 2cos lim 2xx x xxx x x n n n（4≤，以及1n n ==，由两边夹原理可知1n =、（5）114130002sin 21sin lim ()lim lim 1||1xxx x x x x xex e xx xe e e +++-→→→-+++=+=++，（10lim x x e +→=∞）11440002sin 2sin lim()lim lim 211||11x xx x x x xex e xx x e e---→→→+++=+=-=-++（10lim 0x x e -→=） 左右极限都存在并且相等，所以1402sin lim()1||1xx xe xx e→++=+、 （6）222000cos (cos 1)(1)lim(cot )lim lim sin sin x x x x x x e x e x e x x x x→→→-----==2200001cos 1122lim lim lim lim 2xx x x x x x e x x x x x→→→→---=-=-=-、 （7）0lim)lim x xxxx x e eπππ+→++→→==，而20000112lim lim lim lim 2x x x x x x πππ++++→→→→-====-从而2)xx e ππ+-→=（8）0111ln()lim ln()0lim()lim x x x x e x e x xxxx x x e ee→++→→+==，而000001ln[1(1)]11lim ln()lim lim lim lim 2x x x xx x x x x x e x e x e x e x x x x x→→→→→++-+--+===+=，从而120lim()x xx x e e →+=、6、 （1）如果数列{}n x ，{}n y 都发散，问数列{}n n x y +就是否发散？ （2）如果数列{}n x 收敛，{}n y 发散，问数列{}n n x y 就是否一定发散？答：（1）不一定，比如{}{}{}n n x n y ==都发散，{}{2}n n x y n +=也发散、又{}{}n x n =与{}{}n y n =-都发散，但就是{}{0}n n x y +=为常数列显然收敛、（2）也不一定、比如1{}{}n x n=收敛，{}{}n y n =发散，{}{1}n n x y =为常数列显然收敛；再比如1{}{}n x n=收敛，2{}{}n y n =发散，{}{}n n x y n =发散、7、 （1）证明不等式()())2(12126.4.2125.3.121≥+<-<n n n n n 、 （2）计算(21)!!lim(2)!!n n n →∞-，其中()()()().26.4.2!!2,125.3.1!!12n n n n =-=-证明：（1）一方面，()()221245.23.2126.4.2125.3.1--=-n n n n n ，上述连乘式中除了第一项以外，其余每一项都大于1，故()()nn n 2126.4.2125.3.1>- ；另一方面，又223.1<，245.3<，，2(21)(21)(2)n n n -+<，由此可得()[]()12.125.3.12+-n n ()()()()()[]12.127.5.5.3.3.1+-=n n().26.4.22222n <从而有()()12126.4.2125.3.12+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n n ，两边开方即得 ()())2(12126.4.2125.3.1≥+<-n n n n 、不等式得证、（2）由（1）中得不等式可知()()12126.4.2125.3.121+<-<n n n n ，而1lim02n n n →∞==，由两边夹原理可知(21)!!lim0(2)!!n n n →∞-=、8、 设10x >，13(1)3n n nx x x ++=+（1,2,n =），证明数列{}n x 收敛，并求其极限值、解：（i）若1x =1213(1)3x x x +===+n x =常数列，显然数列{}n x（ii）若1x12113(1)63333x x x x +==->-=++6()33f x x =-+在(0,)+∞上为单调增），23223(1)63333x x x x +==->-=++归纳得n x >213(1)3033n n n n n n nx x x x x x x ++--=-=<++，即数列为单调减小得数列，且，由单调有界原理可知数列{}n x 收敛，不妨设其极限值为a ，在13(1)3n n nx x x ++=+两边同时取极限，可得3(1)3a a a+=+，解得a =a =（iii）若1x <12113(1)63333x x x x +==-<-=++6()33f x x =-+在(0,)+∞上为单调增），23223(1)63333x x x x +==-<=++归纳得n x <、又213(1)3033n n n n n n nx x x x x x x ++--=-=>++，即数列为单调增加得数列，且，由单调有界原理可知数列{}n x 收敛，不妨设其极限值为a ，在13(1)3n n nx x x ++=+两边同时取极限，可得3(1)3a a a+=+，解得a =a =综合（i ）（ii ）（iii ）可知数列{}n x、9、 设函数2122()lim 1n n n x ax bx f x x -→∞++=+连续，求常数,a b 得值、解：当||1x <时，221lim lim 0nn n n xx-→∞→∞==，从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++；当||1x >时，2lim nn x →∞=∞，从而21223222211111()lim lim 11n n n n n n n abx ax bxx x f x x x x x---→∞→∞-++++===++当1x =时，21221()lim 12n n n x ax bx a b f x x -→∞++++==+ 当1x =-时，21221()lim 12n n n x ax bx a b f x x -→∞++--==+、由于()f x 在1x =与1x =-处都连续，故112112a b a b a b a b ++⎧+==⎪⎪⎨--⎪-=-=⎪⎩，易解得01a b =⎧⎨=⎩、10、 设函数2(2)(2)()lim x tx tt x e f x x e --→+∞=+（0x >），求()f x 得间断点与连续区间，并指出间断点得类型、解：当02x <<时，20x -<，从而(2)lim 0x tt e-→+∞=，故2(2)(2)()lim0x tx tt x e f x x e --→+∞==+ 当2x =时，20x -=，此时(2)1x te-=，故2(2)2(2)4()lim 13x t x t t x e x f x x e x --→+∞===++当2x >时，(2)lim x tt e-→+∞=+∞，故2(2)22(2)(2)()limlim 1x tx t t t x tx e x f x x xx e e--→+∞→+∞-===++、 所以20,02,4(),2,32,x f x x x x ⎧<<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩显然()f x 在2x =处间断，在区间(0,2)与(2,)+∞上都连续，2x =为跳跃间断点、11、 设函数()()(1)x e bf x x a x -=--有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，求,a b 得值、解：由于()f x 为初等函数，故只在x a =与1x =处间断，从而显然有0a =、由于1x =为可去间断点，即1lim ()(1)x x e bx a x →---存在，而分母得极限1lim()(1)x x a x →--=0，所以1lim()0x x e b →-=，从而b e =、12、 证明方程3121230a a ax x x λλλ++=---（123123,,0,a a a λλλ><<）在区间12(,)λλ与23(,)λλ内各有一个实根、证明：（第一种证法）令123213312()()()()()()()F x a x x a x x a x x λλλλλλ=--+--+--，显然()F x 在区间[]12,λλ与[]23,λλ上都连续、111213()()()0F a λλλλλ=-->，。

河南大一高等数学教材分类在河南大一的数学教学中，高等数学是必修课程之一。

因此，为了方便学生学习和教师教授，河南大学根据教学需要，将高等数学教材进行了分类。

本文将针对这一问题进行分析和讨论。

一、教材简介高等数学是大一学生所学的一门科目，主要包括微积分、数学分析和线性代数等内容。

而对于高等数学教材的分类，是为了使学生更好地掌握数学知识，因此河南大学对其进行了分类。

二、分类方法根据教材的内容和学习难度，河南大学将高等数学教材分为基础篇和拓展篇两大类。

1. 基础篇基础篇主要包括高等数学的核心知识和基本技能。

这部分教材主要适用于对高等数学还不太熟悉的学生，内容相对简单，适合初学者掌握。

基础篇的教材涵盖了微积分的基本概念、导数与微分、积分与定积分、微分方程等内容，以及线性代数的行列式、向量、矩阵、线性方程组等。

2. 拓展篇拓展篇则是高等数学的深入学习和应用。

这部分教材主要适用于已经掌握基础知识的学生，内容相对复杂，适合对数学有一定兴趣和能力的学生进一步提高。

拓展篇的教材涵盖了微积分的多元函数、曲线积分、曲面积分等高级内容，以及线性代数的特征值与特征向量、二次型与正定性等。

三、教材使用建议对于学生来说，在学习高等数学时，需要根据自己的实际情况选择适合自己的教材。

对于初学者而言，可以选择基础篇的教材，通过掌握基本内容来打好基础。

而对于对数学有一定兴趣和能力的学生，可以选择拓展篇的教材，进一步提高自己的数学水平。

对于教师而言，需要根据学生的学习情况和教学要求，选择合适的教材进行教学。

对于学习能力较强的学生，可以引导他们使用拓展篇的教材，通过深入学习和拓展，提高他们的数学能力。

而对于学习能力较弱的学生，则可以选择基础篇的教材，循序渐进地教授相关内容，帮助他们建立起扎实的数学基础。

四、教材更新和调整随着数学领域的发展和教学需求的变化，高等数学教材也需要不断更新和调整。

河南大学将持续关注最新的数学教学动态，并及时对教材进行修订和更新，确保教材的内容与教学需求相适应。

河南省大一高等数学教材一、前言数学作为一门基础学科，对于大学生的学习和发展起着重要的作用。

本文将介绍河南省大一高等数学教材的特点和内容，以及在学习过程中的注意事项。

二、教材特点1. 教材内容全面：河南省大一高等数学教材内容丰富，包括数学分析、线性代数、概率统计等多个方面，能够全面培养学生的数学思维和解决问题的能力。

2. 理论与实践相结合：教材注重理论与实践的结合，通过实际问题的引入和应用，培养学生的数学建模能力，使数学不再是一门抽象的学科，而是与实际生活相联系的。

3. 难度适中：教材难度设计合理，既注重学生的基础知识夯实，又注重培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。

4. 强调学科交叉融合：教材中涉及到的数学知识与其他学科的联系密切，强调学科交叉融合，培养学生的综合素养和跨学科思维能力。

三、教材内容1. 数学分析：包括极限与连续、微分学、积分学等内容。

通过数学分析的学习，学生将能够掌握数学的基本概念与方法，培养数学思维。

2. 线性代数：介绍向量、矩阵、行列式等概念与性质，培养学生的抽象思维和空间想象能力，为后续学习打下基础。

3. 概率统计：包括概率论基本概念、随机变量与分布、参数估计与假设检验等内容。

通过概率统计的学习，学生将能够具备处理概率与统计问题的能力。

四、学习方法与注意事项1. 注重基础知识的学习：数学是一门建立在基础知识上的学科，学生应注重夯实基础，熟练掌握各类数学公式和定理。

2. 积极参与课堂互动：课堂是学习的重要环节，学生应积极提问、互动，与教师和同学共同探讨问题，加深理解。

3. 多做习题和练习：通过做习题和练习，巩固知识点，提高解决问题的能力，同时发现和解决自己在学习中的问题。

4. 善用辅助资源：在学习过程中，可以参考相关参考书、教学视频等辅助资源，拓宽数学知识的广度和深度。

5. 注重数学的应用：数学与实际问题的联系紧密，学生应注重将数学应用于实际问题的解决，提高数学的实际运用能力。

大一高等数学教材是什么大一高等数学教材是大学数学系列教材中的一本教材，旨在帮助大一学生打下扎实的数学基础，为之后的学习打下坚实的基础。

本教材内容丰富、综合，涵盖了大一学生所需学习的基本数学概念、原理和方法。

下面将从教材的主要内容、特点以及学习建议等方面进行阐述。

教材主要内容大一高等数学教材的主要内容包括但不限于以下几个方面：1. 集合论和函数：介绍基本的集合论概念，如集合的表示方法、集合的运算和集合之间的关系等，以及函数的定义、性质和运算等内容。

2. 极限和连续：讲解数列和函数的极限理论，包括极限的定义、性质、计算方法，以及连续函数的定义和性质等。

3. 导数与微分：介绍导数的概念和性质，包括导数的定义、导数的四则运算和链式法则等内容，以及高阶导数、隐函数与参数方程的导数求法等。

4. 函数的应用：探讨函数在最值、单调性、曲线图和分析绘图等方面的应用，以及微分中值定理和泰勒公式等内容。

5. 不定积分和定积分：介绍不定积分和定积分的概念，以及它们的性质和计算方法，包括换元积分法、分部积分法和定积分的几何应用等内容。

6. 微分方程：简要介绍一阶常微分方程的概念和基本解法，包括可分离变量方程、一阶线性常微分方程和一阶齐次线性方程等内容。

教材特点大一高等数学教材具有以下几个特点：1. 系统性：教材内容有机地组织，按照从基础概念到应用方法的顺序进行阐述，使学生能够系统地理解数学知识。

2. 抽象性与具体性并重：教材通过抽象的数学概念和具体的例子相结合，既强调抽象思维能力的培养，又帮助学生将抽象概念应用到实际问题中。

3. 理论与实践相结合：教材在讲述数学理论的同时，注重培养学生的问题解决能力和实际应用能力，通过大量的例题和习题帮助学生巩固所学知识。

4. 知识扩展与延伸：教材在讲解基本概念和方法的同时，留有适当的思考空间，引导学生深入思考并进行知识的扩展和延伸，培养学生的创新思维和独立解决问题的能力。

学习建议在学习大一高等数学教材时，建议学生采取以下策略：1. 预习和复习：在上课前预习教材内容，了解基本概念和方法，便于跟上教师的讲解；课后及时复习课堂所学内容，巩固知识点。

河南高等数学教材长什么样高等数学是大学阶段的重要学科之一，也是各个理工科专业的基础课程。

河南作为中国的中部省份，其高等数学教材在内容和形式上都有其独特之处。

本文将从内容、结构和特点三个方面介绍河南高等数学教材的长相。

一、内容方面河南高等数学教材在内容上力求全面、系统地涵盖高等数学的各个领域。

它一般由多个单元组成，每个单元以一个主题为中心，包括了该主题的基本概念、相关定理和方法。

例如，微积分单元将包括极限、连续、导数、积分等基本概念与性质。

线性代数单元则会涵盖向量、矩阵、线性变换等内容。

此外，教材还会涉及到高等数学在其他科学领域的应用，如物理、经济学等。

二、结构方面河南高等数学教材的结构一般分为章节、节和小节。

每个章节对应一个大的主题，如微分学、积分学等。

章节下面会有若干个小节，每个小节对应一个细分主题。

在每个小节中，会按照教学的逻辑顺序呈现相关的定义、定理和证明过程。

这种结构设计有助于学生系统地学习和理解高等数学的知识点，并且能够方便教师进行教学和学生进行复习。

三、特点方面河南高等数学教材的一个特点是注重理论与实践的结合。

除了介绍基本理论和定理外，教材还会通过例题和习题来帮助学生巩固理论知识，并培养解决实际问题的能力。

例如，在微积分部分，会引入一些实际应用的例子，如物体的运动学问题，通过解决这些例子来让学生更好地理解微积分的概念和应用。

此外，河南高等数学教材还注重发展学生的数学思维和逻辑推理能力。

在教材的编写中，会精选一些具有代表性的证明和推理过程，通过引导学生进行数学思考和训练，提升他们的逻辑思维和问题解决能力。

这种培养方式有助于学生在以后的学习和研究中更好地运用数学方法，发现问题的本质和规律。

综上所述，河南高等数学教材具有内容全面、结构合理和特点鲜明的特点。

它不仅包括了高等数学的基本理论和方法，还注重理论与实践的结合以及学生思维能力的培养。

通过学习和使用这样的教材，学生可以更加系统地掌握高等数学的知识，培养数学思维，为未来的学习和研究打下坚实的基础。