数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be plex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect bination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving bee programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录ⅠⅠ1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用 2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=.例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行 1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ,∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为和，则有b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l . 证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量,,,.因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使y x += 将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥， 所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为和，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F （2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos=055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0)设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→,则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC 取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n )2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则有〈=cos sin β例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a BD GE ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点O （A 1z()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解 ()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==5BD =所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离29131055d ⎛⎫=-=⎪⎝⎭3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

浅谈向量法在立体几何中的应用摘要：关键词：向量 空间角 空间距离 平行与垂直纵观近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。

在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,有着它独有的优势 −− 不用作图而直接计算。

下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题和平行与垂直的问题谈谈自己的看法。

一、用向量法处理空间角问题一）用向量求两条异面直线所成的角求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a,所成的角或其补角（如图1所示），即=><=,cos cos θ。

【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形，90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。

求异面直线BD 与PA 所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B得()()2,2,0,0,1,2-==，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则BCD PA图2，1010852,cos cos =⨯==><=θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为1010arccos。

利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。

题中通过><,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。

二）用向量求直线与平面所成的角如图4，求直线L 和平面α所成的角，只需在L上取定，是平面α的法向量，再求|||CP |cos n ⋅=θ，则2πβθ=-为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求直线CP 与面ADP 所成角的大小； 解：如图6，建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0P D C A ， 故()2,0,2-=()()2,1,2,2,2,0--=-= 设面ADP 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则有⎩⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02202200z y x z y 令1=y 得1=z ，21=x ，即⎪⎭⎫⎝⎛=1,1,211n ， 设直线CP 与B CD PA图5面ADP 所成角的大小为θ，故622381,cos sin 1=⨯==><=n CP θ，62arcsin=∴θ 即直线CP 与面ADP 所成角的大小为62arcsin。

向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。

在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。

1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。

它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。

在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。

例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。

这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。

另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。

如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。

这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。

2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。

它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。

例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。

这就用到了向量的点积。

在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。

这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。

3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。

而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。

例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。

这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。

再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。

这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。

浅谈向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中是一个重要而有效的应用。

在三维几何中，向量是一种抽象
的概念，表示两个点之间的方向与距离；它可以根据加减乘除等四则运算计算出来，从而解决复杂的几何问题。

首先，向量在立体几何中用于表示Google网页上平面上直线、弧和曲线等位
置和方向，可以将它们抽象为向量，然后依据向量的特征完成平面的几何操作。

其次，向量可以用于表示Google网页上立体几何的结构，包括垂足、中线、法向量等。

例如，在研究几何图形的投影及其关系时，可以借助向量表示平面和空间图形之间的关系，从而实现立体几何的计算。

此外，在三维几何中，向量可以用于表示几何图形的平移旋转及其变换。

可以
借助向量的加减乘除等四则运算，实现对三维几何图形的变换，比如旋转、缩放等，从而满足实际应用中的要求。

综上所述，向量在立体几何中的应用十分广泛，不仅在表示平面、立体几何结
构中具有重要作用，而且还可以应用于立体几何图形变换中，从而实现几何模型变形和变换，解决实际工程问题。

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

向量在立体几何中的应用
嘿呀，向量在立体几何中的应用那可真是太有趣啦！比如说，它可以用来求异面直线的夹角呀！就好像在一个复杂的三维世界里，向量就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角的秘密之门。

你想想，两条异面直线好比两个调皮的小精灵在空间里乱跑，而向量就能把它们抓住，告诉我们它们之间的角度呢！
还可以用向量来证明直线和平面平行呢！这就如同给直线找到了一个安稳的家——平面，向量能帮我们确认它们之间是不是和谐相处。

“哇，原来这条直线真的和这个平面平行啊！”
向量也能计算二面角的大小哦！二面角就像是空间里的一个神秘口袋，向量就能精准地告诉我们这个口袋的大小。

“嘿，有了向量，这个二面角的大小可就藏不住啦！”
甚至可以用向量来解决距离问题呢！空间中两点的距离，就像是一段未知的旅程，而向量能带着我们快速精准地找到那段距离。

“哎呀，向量真的太厉害啦，一下子就找到两点间的距离啦！”总之啊，向量在立体几何中真的是神通广大，让我们能轻松应对各种复杂的几何问题，你难道不觉得这超酷的吗？。

浅谈向量在立体几何中的应用向量知识在高中教学当中，有着非常重要的地位和价值，它的工具性特点在数学的许多分支中都有体现，尤其是在解析几何中，向量的思想渗透的很广泛，而空间向量在解决几何上的优势是传统知识无法替代的。

用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。

向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到以下问题 一.平行问题 1.证明两直线平行b a b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.知),(),,(2211y x y x ==，则有b a y x y x //1221⇒=.例1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x =，∵α⊥BD ， ∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x j BD ，∴),0,0(z BD =∴z =，又知O 、B 为两个不同的点， ∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行. 2.证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为，α//0AB ⇔⊥⇔=⋅.方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行. 2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=， ∴++= =FB BE AC λλ++-=AB BE BE BC AB λλλλ+-+-- =BE BC )1(λλ-+ ∴//PQ 平面BCE .方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行. 3.面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=n m . 方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥. 方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行. 二．垂直问题 1.证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0.例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ，可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ，因为0022m mPE BC ⋅=-+=，所以 PE BC ⊥. 2.证明线面垂直直线l 的方向向量为，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使x +=将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅， 因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直.3.证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m .方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法. 证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB =2，则A (0,0,0), D (0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，E (2,0,1), F (1,2,0) (1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos 055)2(10012|F D ||AE |11=-⨯+⨯+⨯=所以D 1F ⊥AE ， 由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥平面AED ， ∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示. 三．处理角的问题 1．求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB =〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD ,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz , ∵AB =BC =2BD ,设BD =1 则AB =BC =2,DC =3A (1,0,2),B (1,0,0),C (0,3,0),D (0,0,0)设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n)2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DC BC AB设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B ,515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）. 2.求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则有〈=cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.3.求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算.一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法.若所给图形不容易建立空间直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，对学生逻辑推理能力的要求也提高了.用向量坐标运算解题步骤：（1）建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系.注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致.（2）写出需要用到的点的坐标.注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错.（3）写出所要用到的向量坐标.注意必须终点坐标减始点坐标.（4）通过计算解决具体问题.注意公式要记对，运算要仔细.总之，向量在立体几何中的应用为我们解决立体几何问题提供了新的解题思路和方法，打破了传统解法“一作、二证、三计算”的模式，突破了传统解法中“添置辅助线”的难点，将立体几何中“形”的问题转化为“数”的问题，开创了解决立体几何问题的新模式.。

谈谈向量在立体几何的应用摘要：本文论述应用向量的线形运算解决立体几何的一些问题的方法：空间平行或垂直关系，通过空间向量的共线关系或内积为零的运算来判断；空间成角通过空间方向向量或法向量成角来求得；空间的距离通过对应向量在法向量或方向向量的投影求取。

培养学生应用能力。

主题词：向量应用内积共线夹角距离法向量投影方向《立体几何》研究的内容主要有：平行与垂直的判定，角与距离的计算，面积与体积的计算。

而面积与体积的计算主要是有关线段的长度和高的有关计算。

《立体几何》要解决的就是：平行与垂直的判定，角与距离的计算的实际问题。

这两类问题的解决，《立体几何》的方法比较繁杂，比较抽象；而用空间向量解决这两类问题时，比较直观，比较具体，也大大地减少立体几何构图的难度，也降低了思维的难度，把抽象的空间想象，全部转化为数的运算。

一、应用空间向量判断平行与垂直的问题直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直位置关系是进行立体几何问题研究的基石，是发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力的基础。

（一）、应用空间向量解决平行问题空间平行关系有“直线平行与直线”、“直线平行与平面”、“平面平行与平面”三种，这三种关系的判断，在几何中，要通过它们之间互相转化。

而在向量中，只要表示出相对的向量，用向量的内积关系或共线关系的计算判断；“线平行与线”的判断，找出两直线的方向向量，判断它们是否共线；“线平行与面”的判断，找出直线的方向向量和平面内的任意两向量，判断它们共面与否，或者找出平面的法向量，判断直线方向向量与法向量是否垂直即可。

这样，可以减少空间直线、平面之间的关系转化。

例1、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别为对角线AC和BF上的动点，且AM=FN。

求证：MN∥平面BEC。

分析：考虑到几何图形较易建立坐标且欲证MN∥平面BEC，即需证MN与平面BEC共面。

故只需证MN能用平面的基底线性表示出，或需证MN与平面BEC的法向量垂直。

摘要：向量在立体几何和解析几何解题中广泛应用，本文将举例说明． 关键词：向量 法向量 平面几何 解析几何向量是数学中的重要概念之一，是解决数学问题的有力工具．因为向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，如向量及其运算的几何意义；另一方面，又具有一套优良的运算性质．从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识．直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有优良运算性质的数学工具．下面举例说明向量在立体几何和解析几何解题中的应用．一，向量在立体几何中的应用例1．（2001全国高考）在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，︒=∠90ABC ,ABCD SA 平面⊥.1===BC AB SA ,21=AD ,求平面SCD 与平面SAB 的二面角的正切值.分析：此题可用一般的立体几何方法求解，但寻求二面角的平面角就显得有些困难，此时用平面的法向量就可顺利解决问题．解：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,0(A ，)0,1,1(-C ，)0,21,0(D ，)1,0,0(S ，)1,1,1(--=SC ，)1,21,0(-=SD ，)0,21,0(=AD ，AD 是平面SAB 的法向量，设),,(z y x =是面SCD 的法向量，面SCD 、面SA B 所成的二面角为θ，由⊥，SD n ⊥，得0=⋅SC n ，0=⋅SD n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-0210z y z y x ，取,2=y 得,1,1==x z 所以)1,2,1(=，则36,cos =>=<． 故22,tan >=<,所以22tan =θ，因此面SCD 、面S AB 所成的二面角的正切值为22． 例２．（1997全国高考）在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点，求证面⊥AED 面F D A 11．分析：如果通过证明一平面经过另一平面的垂线来证明面面垂直，对学生来说是有一定困难的．用平面的法向量来证明，过程就显得简单、明了了．证明：建立如图所示的空 间直角坐标系xyz D -,则),0,0,0(D ),1,0,1(1A ),1,0,0(1D ),0,21,0(F ),0,0,1(A ),21,1,1(E ),0,0,1(1-=AD )1,21,1(1--=A ，)0,0,1(=，).21,1,1(DE =设)z ,y ,x (n 1111=，)z ,y ,x (n 2222=分别是平面AED 与平面F D A 11的法向量，则由01=⋅n ，01=⋅n ，可取)2,1,0(1-=n ；由0112=⋅D A n ，012=⋅A n ，可取)1,2,0(2=n ．因为021=⋅n n ，即21n n ⊥，所以面⊥AED 面F D A 11.二，向量在解析几何中的应用例3．（1995全国高考）如图所示，已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+y x l ，P是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于R ，又点Q 在OP 上，且满足2OR OP OQ =⋅，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．分析：作为1995年全国高考试题中的最后一道题目，在当年的考试中大多数学生束手无策，若用解析几何常规解法，除了分式消参和解二次根式方程之外，更需分类讨论，而用共线向量来解决，问题就简捷了许多．解：依题意知，O 、P 、Q 、R 四点共线，设)0(>=m m ，)0(>=n n .则2OQ m OP OQ =⋅，222OQ n OR =， 依2OR OP OQ =⋅可得2n m =……（１） 设),(y x Q ，),(p p y x P ，),(R R y x R .则⎩⎨⎧==my y mx x pp ⎩⎨⎧==ny y nxx R R 因为点P 在已知直线上，点Q 在椭圆上，分别代入得：m y x 1812=+ 22211624n y x =+ 而由（１）式2n m =得：162481222y x y x +=+ ，整理得点Q 轨迹方程为：4851612241222=+-++-y y x x ,即：135)1(25)1(22=-+-y x （其中x 、y 不都为0） 由此可看出Q 点的轨迹是挖去原点的椭圆.例4．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线. (1).求椭圆的离心率；(2).设M 为椭圆上任意一点，且OB OA OM μλ+=（λ、μR ∈）， 证明22μλ+为定值.分析：从题目来看，此题显然是解析几何知识与向量知识相结合的问题，其中关于向量的坐标运算更体现了两种知识的巧妙融合.(1) 解：设椭圆方程为12222=+b y a x )0(>>b a ，右焦点)0,(c F ，则直线的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a令),(11y x A ，),(22y x B ，则222212b a c a x x +=+，22222221ba b a c a x x +-=⋅.由),(2121y y x x OB OA ++=+，)1,3(-=a ，+与共线，得0)()(32121=+++x x y y ，又,,2211c x y c x y -=-=所以0)()2(32121=++-+x x c x x ，得,2321c x x =+即c b a c a 232222=+，所以,322b a =,3622a b a c =-= 故离心率为.36==a c e(2).证明：由第(1)问知223b a =，所以椭圆12222=+bya x 可化为22233b y x =+.设),(y x OM =，由已知得：)()(),(2,21,1y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=2121y y y x x x μλμλ 由),(y x M 在椭圆上，22212213)(3)(b y y x x =+++∴μλμλ即：2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ……①由第(1)问知,2321c x x =+22c 23a =，22c 21b =，∴222222221c 83=+-=⋅b a b a c a x x ， ++=+∴2121213x x y y x x 3))((21c x c x --221213)3(4c c x x x x ++-=032923222=+-=c c c 又2212133b y x =+，2222233b y x =+,代入①式得 122=+μλ∴22μλ+为定值，且此定值为1.参考文献：[1]．田祥高．龙门最新五年高考题型解读（数学）[M]，北京：龙门书局，2004．向量在立体几何和解析几何解题中的应用曾霞甘肃省玉门市玉门高级中学。

浅谈向量在立体几何中的应用
立体几何学研究的是几何元素的三维构成，其中的向量起着至关重要的作用。

向量可以用来表示方向及大小。

它们能够描述立体几何中的各种元素，如点、线、面及体积等。

因此，向量在立体几何中的应用是非常广泛的。

首先，向量可以用来描述平面和专面上的点、线、面等立体几何元素。

对于点，可以使用一个标量来描述它在空间中的位置。

对于线来说，可以使用一个向量来描述它的方向及长度。

对于面来说，可以使用一个二维向量来描述面的法向量及面积。

此外，向量也可以用来描述立体几何中的平移、旋转、折叠等变换。

比如，使用倾斜向量来描述物体的平移和旋转。

这样，可以用数学表达式来快速描述空间变换，从而实现坐标变换。

此外，在立体几何学中，还有一种重要的概念叫做“定义域”，它是指一个几何物体定义出来之后，用来描述物体细节的特殊几何元素。

而向量可以用来描述这种特殊几何元素的位置及大小，一般情况下，这些特殊几何元素是由一组向量来表示的。

最后，向量在描述立体几何中的各个元素的功能上，可以说是十分重要的。

向量可以用来表示空间中物体的位置，物体的变换，定义域中的特殊几何元素等。

向量可以给出许多关于空间变换和特殊几何元素的定义，从而使立体几何学更加完善，为现代科学发展做出了重大贡献。

总之，向量在立体几何中是十分重要的一环，它可以用来描述各
种立体几何元素，并可以用来描述空间变换及定义域中的特殊元素。

向量既可以作为立体几何中的重要数学工具，也可以是科学研究的有力帮手。

由此可见，在立体几何中，向量是十分重要的。

从高考题探讨向量在立体几何中如何体现“工具”的作用崔永新（陇西县第一中学，甘肃 陇西 748100）摘 要: 作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.关键字: 向量；立体几何；证明；计算；运用空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，很好的把几何问题转化为代数问题，淡化了传统方法的由“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化，从而降低了立体几何问题的难度．下面我就空间向量在立体几何中的应用谈谈自己的感悟和体会．一、利用空间向量证明空间垂直问题例1.(2010辽宁理19）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0） 111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=-- , 因为110022CM SN ∙=-++= ， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.二、利用空间向量处理空间平行关系例4（2010 湖南理18）在正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1DD 的中点。

向量法在立体几何中的应用曾祥洲(湖北省荆州市江陵县第一高级中学湖北·荆州434100)中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2013）12-0154-01摘要向量是一种最基本的，也是最重要的一种数学概念。

通过向量的运用可以有效地解决几何问题。

本文主要探讨向量在立体几何教学中的应用问题。

关键词立体几何向量应用On the Application of Vector Method to Solid Geometry //Zeng Xiangzhou Abstract The vector is one of the most fundamental and most important mathematical concept.Through the use of the vector,we can effectively solve geometric problems.This paper mainly discusses the application of vector to the teaching of solid geome-try.Key words solid geometry;vector;application 1利用向量解决线面垂直问题例1如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=4,AB =2，点E 在CC 1上，CC 1=4EC 。

求证：A 1C ⊥平面BED 。

由图可知，坐标原点是D ，射线DA 是x 轴的正半轴，y 轴是DC ，z 轴是DD 1,建立如图所示的直角坐标系D -xyz ：由题可知，B （2，2，0）,C （0，2，0），E （0，2，1）,A 1（2，0，4），从而D E =（0，2，1），DB =（2，2，0），A 1C =(-2，2，-4),DA 1=（2，0，4）。

由于A 1C ·DB=0，A 1C ·DA1=0，所以，A1C ⊥DB ,A 1C ⊥DE ，而DE 和DB 相交于点D ，因此，A 1C ⊥平面BED 。

向量法在高中立体几何中的应用摘要：立体几何是高考的重要考点，常见的命题形式有判断空间中点、线、面的位置关系、求空间角的大小、求空间距离等。

采用常规方法求解较为复杂，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。

这样便将几何问题转化为向量坐标运算问题。

本文结合实例来谈一谈向量法在解答立体几何问题中的应用。

关键词：向量法；高中数学；立体几何通过对近些年的数学高考情况进行分析，立体几何相关问题在考试中频频出现，涉及知识面较为宽广，综合性内容较强，因此很多学生在解决此类问题时往往抓不到关键。

如何帮助学生有效提升解答立体几何问题的能力，本文结合自己的教学经验，进行了以下探讨。

1 向量法背景下高中数学立体几何的解题观向量法指的是利用空间向量的有关知识来解立体几何题，用空间向量表示几何体中线与线，线与面，面与面的位置关系。

如立体几何中求解空间角，空间距离和证明平行，垂直时，使用向量法能够极大地降低解题的难度。

怎样解决学生难以掌握立体几何知识的问题呢？教师又该如何开展立体几何教学呢？为此，借鉴了波利亚的解题思想进行探讨，波利亚在《怎样解题》一书中将解题分成了四个步骤，分别是理解题目、拟定方案、执行方案与回顾反思，这四个步骤也称“解题四重奏”。

1.1理解题目阶段熟悉题目指的是学生需要理解题目的文字表达内容，最好能用自己的话复述题目的内容。

此时教师需要检查学生是否了解题目中的已知量、题目中包含的重要条件以及所求的问题。

进而在熟悉题目的基础上加深对题目内容的理解，并列出通过分析得到的条件。

1.2拟定方案阶段解决问题的关键是拟定一个解题方案，这个方案可以从以下几个方面形成：①从以往获得的知识和经验中形成；②将原来的题目进行有效转化，通过已知条件寻求隐藏条件；③通过引入辅助问题来获得好的解题思路。

1.3执行方案阶段拟定了解题方案后，则需要结合题目内容进行解题，在解题过程中要保证计算正确。

高中数学论文空间向量与立体几何论文摘要：空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。

向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。

向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。

在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担。

一、空间向量在立体几何中的应用例如图所示，四面体ABCD中， E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2， AB=AD=（1）求点E到平面ACD的距离。

分析：假设过点E的向量为平面ACD的法向量，欲求E点到平面ACD的距离只需求在投影即可.我们知道垂直于平面ACD，因而它垂直平面ACD所有直线，不妨以为一组基，则，因为AB=AD=DB-2， CA=CB=CD=BD=2，所以，根据法向量定义得化简得到如下方程在上述解题过程中我们没有建立直角坐标系，而是任取空间三个不共面向量作基底，很显然在立体几何所给的已知条件中这点很容易具备的，因而这个方法具有很普遍的适应性.还是这题条件，我们来尝试另外一个重要问题。

例题21. 求点线距离、求线面夹角问题1：求直线AM与平面AB1P所成的角. 解：建系同上。

应用向量解决立体几何问题【摘要】利用空间向量解决立体几何问题，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。

【关键词】立体几何利用向量解题提高效率立体几何问题一直是高考和竞赛中的热点问题，解决这类问题除了常规方法外，如果能比较巧妙地建立三维空间直角坐标系，通过将空间几何点、线、面、体的位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法解决此类问题将能化繁为简，化抽象为具体，从而大大降低因空间想象能力的障碍而影响解题，提高解题的效率。

设a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)为三个非零向量，则空间向量的数量积、矢量积和混合积的定义为：1．数量积（内积）：a·b=|a||b|cos(a,b)=x1x2+y1y2+z1z2，其中(a,b) 表示向量a与向量b的夹角。

几何意义：向量a与向量b的数量积等于|a|与向量b在向量a方向上的投影|b|cos(a,b)的乘积。

2．矢量积（外积）：向量a与向量b的矢量积记为a×b，它仍是一个向量，且它的大小为|a×b|=|a||b|sin(a,b) ；它的方向由右手法则确定，即右手手掌先伸开，四个手指先指向a的方向，然后手指自然弯曲指向b的方向，则大拇指的指向就是a×b的方向（如图1所示）。

几何意义：记a=AB,b=AC ，则|a×b| 等于以AB和AC为邻边的平行四边形的面积。

坐标形式：记|abcd|=ad-bc(a,b,c,d) ，则a×b=(|y1z1y2z2|,-|x1z1x2z2|,|x1y1x2y2|)3．混合积：对于向量a,b,c，取其中任意两个的矢量积，再和第三个作数量积，所得结果为一个数量，称为这三个向量的混合积，记为(a,b,c)几何意义：记a=OA,b=OB ,c=OC，则以OA,OB,OC为共顶点的棱的平行六面体的体积为：V=|(a,b,c)|1.判断线、面之间的位置关系在立体几何问题中，考查线、面之间的位置关系主要有种，包括线与线之间的平行、相交和异面，线与面之间的平行和垂直，面与面之间的平行和垂直。

浅谈空间向量在立体几何中的应用引言：在高中数学中，向量既有代数的抽象也有几何的直观，其中的“数”与“行”完美结合的特点使得我们可以运用向量解决立体几何中某些复杂的问题。

正因为有向量的知識，解决立体几何一类的问题的时候就可以弥补部分同学在空间想象能力不足的缺陷，这在一定程度上降低了立体几何的做题难度。

一、向量在立体几何中的作用空间向量是高中数学教材中后来添加的新内容，它的功效就在于能够取代之前在传统教材中的地位，从目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直问题，角度问题，以及法向量之间的计算应用问题等。

1.空间向量的作用（1）证明垂直，面对线面垂直以及面面垂直的问题的时候，在算出法向量的基础上，通过证明直线平行于法向量即可得出结论；还有想要证明面面垂直的结论，证明出两平面的法向量是垂直的，即可得出最终的结论。

（2）计算角度，求二面角的精髓就在于转换两个法向量之间的角度来计算；立体几何中的平行问题是通过向量的基本定理进行验证的。

2.平面法向量（1）法向量，指的是与已知平面垂直的向量值，这个是可以根据坐标位置的确定有多个的，就我们使用的经验来讲一般是选择最为方便的那个来操作的。

（2）法向量的计算，根据一般情况建立适当的平面直角坐标轴，假设所知平面的法向量为m（a，b，c），在所在平面内找到两个相交的直线S，T，同时运用法向量来定义他们。

因为法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量点乘为零列出方程组。

由于有三个未知数a，b，c，通常是假设其中一个是较特殊的值，再求出另外两个的值。

二、向量在立体几何中的实际运用空间向量作为新鲜血液，解决几何问题时更具优势，解题者思维能清晰明了。

这样的方法不仅节省时间还能够简单地解决问题。

1.立体几何的证明和计算问题主要分成二大板块：位置问题和度量问题。

位置问题就是线线，线面之间的关系等；度量关系就是线线之间，线面之间的角度问题。

（1）证明问题1）假设在一个空间里有任意的一点O点，以及和O点不共线的E，F，G三点，假如：（其中x+y+z=1），则四点M，E，F，G共面。