立体几何问题转化为平面几何问题方法初探 --毕业论文

探索立体形的展开学习如何将立体形展开成平面在数学和几何学中，立体形是指具有三个维度的形状，如立方体、圆柱体和圆锥体等。

展开立体形指将这些具有体积的形状展开成平面上的二维图形，以便更好地理解和研究它们的性质和结构。

一、立体形的展开方法要将立体形展开成平面，需要按照一定的顺序，依次将各个面展开并与其他面相连。

下面以立方体为例，介绍一种展开立方体的方法。

首先，在纸上绘制一个正方形作为基准面，这个正方形的边长应与立方体的边长相等。

然后，按照立方体的各个面，依次在这个基准面上绘制出相应的图形。

例如，绘制正方形ABCD表示立方体的一个面，再绘制正方形AEFG，表示立方体上与ABCD相邻的面。

接下来，将ABCD和AEFG两个正方形的相邻边用直线相连，形成平面上的一个长方形。

继续按照同样的方法，绘制出其他的面，并将它们与已有的面相连，最终得到一个展开后的立方体平面图。

二、立体形展开的应用展开立体形对于理解和研究立体形的性质和结构具有重要作用。

以下是立体形展开的几个常见应用领域：1.工程制图：在建筑、机械设计等领域中，常常需要根据实际立体形状绘制平面图，以便进行制图、设计和施工等工作。

通过将立体形展开成平面，可以更加清晰地了解和呈现各个部分的结构和布局。

2.纸模型制作：展开立体形是制作纸模型的关键步骤之一。

通过展开，可以将复杂的立体形状简化为平面上的图形，方便制作和折叠纸模型。

例如，展开立方体可以得到六个相等的正方形，每个正方形表示立方体的一个面，进而用纸片制作出相应的模型。

3.数学研究：在数学研究中，立体形展开也有广泛应用。

例如，通过展开多面体，可以研究多面体的对称性、面积、体积等性质。

同时，展开也为解决一些几何问题提供了有力的工具和方法。

三、立体形展开的注意事项在进行立体形展开时，需要注意以下几个问题：1.正确选择基准面：选择与立体形有关的面作为基准面，有助于后续的展开和连接操作。

2.准确的边界连接：展开后的边界连接必须准确无误，以确保展开后的平面图与实际立体形状相对应。

立体几何问题平面化初探作者：姚永来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第05期摘要：把空间几何问题平面化，由简单问题深入，研究综合问题（实际问题）所存在的一般规律，从而培养学生的转化问题和归纳的思维能力。

关键词：平面化；转化；能力高中数学中的立体几何问题，常常需要转化为平面几何问题，有时可以起到化繁为简的作用。

下面，笔者就一个简单问题，谈谈自己的思考。

问题1：如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点。

（1）求证：CD面ABB1A1；（2）求证AC1面CDB1；（3）线段AB上是否存在点M，使得面CDB1。

分析：（1）一般地，线面垂直的证明问题都可转化成线线垂直或面面垂直，本题有题设易知，故只需证明即可。

（2）线面平行的问题常常转化为线线平行或面面平行，本题思路一：考虑到点D为AB的中点，可以考虑连接，交于点F，连DF，只需证明。

思路二：可以取的中点，连，问题转化为证明面面即可。

（3）本题属于探索性问题，可以假设存在点M，由（1）知CD面ABB1A1，故只需AM DB1，从而问题转化为平面几何问题，简化了问题。

解析：（1）、（2）证明略.（3）由分析可知，问题转化为在矩形的边AB上找一点M，使得成立，设AC=a，则AB=，，要使的，由平几知识可知，故点M与点B重合。

总结1：线面垂直的探索性问题通过转化，成为一道平面几何问题，从而把问题简化。

问题2：在棱长为的正方体中，求面和面的距离。

分析：考虑到面和面的位置关系为平行，且同时和直线垂直，从而可以把问题转化为：求夹在两平行平面间的线段长度问题。

解析：连结，设线段与面和面的交点分别为点E、F，由于E、F都在平面中，如右图，由平几知识可知，而，所以。

总结2：立体几何问题平面化，从而把平行平面所夹线段长度问题转化为点与点之间的距离，突出了问题的本质，简化了解题过程。

问题3：将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成角。

立体几何图形转化问题的研究一：前言立体几何是高中教学中重要的一部分，目的是为了培养学生们的空间想象能力，思维能力，运用图形的转化学习立体几何有利于培养他们的想象能力，提高做题的效率。

把抽象的立体图形简单化，平面化解决学生空间想象模糊的状况。

从不同角度观察图形，正确的分析图形情况，掌握立体图形与平面图形的转化，巧妙的解决难题。

不仅要学会空间与平面的转化还要学会空间与空间图形的转化关系，借助于所构造的新图形把问题转化为另一类直观、简洁的问题来解答，从而达到把复杂图形直观化,简单化的目的．二：正文《空间几何体》这一章的教学内容涉及平面的基本性质，空间的点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行和垂直的判定与性质，三类空间角的概念以及空间几何体表面积和体积的计算等。

它承载着学生三大能力（空间想象能力、逻辑推理能力、运算论证能力）的训练以及重要数学思想和方法（转化、数形结合、观察、类比、归纳、合情推理等等）的渗透。

内容繁多而且对学生的学习能力要求较高，大多数学生在这一章的学习中都遇到困难，甚至产生恐惧心理。

作为立体几何离不开图形，能否准确地看图，合理地做图、正确的分析图形是学好该学科的关键，因此从学习之初就必须重视对图形的观察,努力提高驾驭图形能力。

(一)、立体几何中图形的类比转化思想在立体几何的教学中,如能采用“类比”与“转化”法,充分利用所学过的知识,逐步开拓新的知识领域,不但可使学生复习巩固旧知识,还可以其减少学习新知识的难度,引发学习立体几何的积极性。

在类比创新中最重要的前提就是会看图，会分析图。

不要被题中的干扰因素所蒙蔽，用把图形类比出来简化解题思路。

在2011年河北的康义武老师，刘建华，李雅丽等学者就对立体几何中的类比转化思想有了一定的研究，其中康义武老师对类比有了更为详细的研究，他的研究有：1,点面距离类比线到面的距离在用空间向量解立体几何时点到面得距离不容易求,当转化为线面距离时就可以通过公式法很快的得出答案来.2,平面角类比二面角.平面几何中二线交角类比到立体几何中应为二面角,注意到”对应垂直”,则类比所得结论是:若两个二面角中的每个角的两个半平面分别垂直,则这两个二面角相等或互补.3．面积类比体积。

转化思想在立体几何解题中的应用初探转化思想是一种基本而又重要的数学思想，它借助于旧知识、旧经验来处理面临的新问题，是新、旧知识联系的桥梁和纽带，它不仅提供了思维策略，而且还提供实施目标的具体手段，尤其是立体几何中把空间问题转化为平面问题的思想方法，在解决立体几何问题中起着十分重要的作用，本文就转化思想在立体几何解题中的应用作些探讨。

1.“降维”转化，变立几问题为平几问题。

解决立体几何问题，往往要通过“降维”转化，把立体几何问题转化为平面几何问题，利用平面几何有关知识来求解。

例1：如右图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点在PC上求一点E，使PA∥平面BED，并给出证明。

分析：此题的关键是如何把线面平行转化为线线平行，即把PA∥平面BED 转化为PA与过E的一条直线平行，从而确定点E所在的位置，这样一来，就转化为同一平面内两直线平行问题了。

即转化为平面几何问题了。

解：如图，在PC上取一点E，连接ED、EB、BD、AC。

设AC∩BD=0。

若PA∥平面BDE，因为PA在平面PAC上，且平面PAC∩平面BDE=EO可得PA ∥EO。

∵O为AC的中点，∴E为PC的中点。

反之，若E为PC的中点，则：∵O为AC的中点，故必有EO∥PA。

∵PA不再平面BDE上，EO在平面EBD 上，∴PA∥平面EBD，故所求的点E是PC的中点。

例2：已知，如右图所示，平面α∥平面β，AB和AC是夹在平面α和平面β之间的两条线段，AB⊥AC，且AB=2，直线AB与平面α成角，求线段AC长的取值范围。

分析：利用两个平面平行，作于D，连BD、CD在△BCD中，可得∠BCD 是钝角，把AB、AC都转化到△BCD中，得到一个关于AC的不等式，进而可以求解，这样一来把问题就转化为同一个平面β内解△BCD的问题了。

解：如右图，作AD⊥β，连结BD、CD、BCΘAB>BD，AC>DCAB2+AC2=BC2∴在△BCD中，由余弦定理得：2.“向量”转化，变立体几何问题为代数问题。

例谈立体几何问题中的四种转化策略高二数学钟建新立体几何是高中数学的一个重要内容，也是数学学习中的难点之一。

在这部分中蕴含着多种数学思想方法，因而立体几何问题的解决不仅需要具有良好的空间想像能力和过硬的计算技能，还需要灵活的数学思想，其中最重要的就是转化思想。

本文例说解立体几何问题常用的几种转化策略。

一、距离的转化线线、线面、面面关系贯穿于立体几何始终，距离问题便是依托于这三种关系及其转化的一种重要问题。

例1. （’89的圆周上，并且AB=5分析：如图1，过A作显然两直线OO'与AB到平面ABC说明：两条异面直线的距离，线面距离，点面距离。

面面距离，既相互联系，又可相互转化。

距离转化策略，正是解决此类问题的上策。

二、割与补的转化割与补的转化是通过割与补，来改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体的数学方法。

分析一：如图2，连结AD 、PD ， BC DE BC AP ⊥⊥，， ∴⊥BC 平面APD ，又DE AP ⊥， ∴V V V BC S l h P ABC B APD C APD APD ---=+=⋅=13162∆ 分析二：如图3，以三棱锥P ABC -的底面为底面，侧棱PA 为侧棱，补成三棱柱PB C ABC ''-，说明：这类问题通常都是将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决。

四、等积转化等积转化，亦称等积变换。

通常是指用不同的方式求同一几何体的体积（或同一平面图形的面积）例 4. （’98全国高考）已知斜三棱柱，ABC A B C -111的侧面A ACC 11与底面垂直，即：132213223⨯⨯=⨯⨯h ，∴=h 3即为所求。

总之，立体几何问题联系多多，变化多多，但只要能对其进行合理而有效的转化，便可使问题浮出水面，看得见，摸得着。

从立体到平面时骏立体几何学作为高中的必修课程一直处在一个非常重要的地位，也是培养学生空间想象能力不可或缺的内容。

在实行课程改革前由于立体几何知识点较多，为了考察这些知识点研究的图形往往会比较复杂，这就造成一大批学生由于空间思维的局限性感觉到空间几何是很难的，甚至是高不可攀，从而使得有些学生放弃了这块内容，放弃了这方面能力的培养。

进入课程改革后，教材作了很大的调整，增加了三视图这个概念，内容上删掉了很多知识点，现在的立体几何内容主要就是空间几何体与点、线、面之间的位置关系。

由于内容的减少，所以研究的图形也简单得多，单一得多。

考察的重点也从对知识的考察转变成对能力的考察。

现在的高考考试说明明确指出空间想象能力的考察要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解与组合。

虽然立体几何的要求和难度降低了，但在有些问题上学生可能还是会碰到一些困难。

主要有三点：一是空间几何体中的有些线、有些面比较抽象，无法度量和计算；二是空间几何体的直观图使我们对于图形中的点、线、面之间的位置关系产生了模糊甚至是错觉；三是空间几何体中点、线、面较多，研究无从入手。

针对这三个问题我总结三个方法，希望对空间几何的学习和掌握能有所帮助。

一、曲面平铺——由曲变直例如：如图，已知圆台的上、下底面半径分别为1cm ，3cm ，母线长为8cm ，P 是母线MN 的中点，由M 出发，沿圆台侧面绕一周到达点P ，则经过的最短路程是多少？ 解析：将圆台补成圆锥，再将侧面展开平铺成扇形。

则根据上下半径的比可知圆锥的母线为12cm ，所以OM=12cm ，因为圆心角'23122MM OM ππθ⨯===， 所以MOP ∆是直角三角形，MP=这道几何体的主要问题是“由M 出发，沿圆台侧面绕一周到达点P ”所经过的路径是曲的不是直的。

从立体图形到平面图形的互相转变［本数学思想方法的学］1.立体形与平面形之的互相化。

即几何体画它的三种，确定几何体。

多形之的化等都是化思想的重要体。

2.依照几何体的俯中每个小正方形中所注的数字可以画出几何体的主和左；依照三种，确定搭成几何体的小正方体的个数等都是数形合思想的化。

3.合几何体的主和俯，画它的左，所画的左可能不独一，需要依照不同样的情况分画出。

一.知要点：1.知点大纲⑴ 柱、、棱柱、球等立体形的特色，能几何体行分。

⑵能物体的三，会画几何体的三，并能依照三想象几何体或物原形。

⑶ 立体形与平面形的关系，和体形的化程，掌握棱柱、、柱的面张开，能依照张开想象立体模型。

特别是掌握正方体的张开与折叠。

⑷认识多形的看法，知道任何多形都可由三角形合而成，知道点、、多形、等形可合成各样美的案。

2.要点点⑴要点：几何体的及分，物体的三，依照张开想象和制作立体模型。

⑵ 点：由物的形状抽象出几何形，由几何形想象出物的形状，行几何体与其三、张开之的互相化。

二.考点解析：〔一〕立体形1.常几何体的型：①柱体；② 体；③球体。

如所示：⑵，⑷，⑸，⑹，⑺都称柱体，它有两个面互相平行，余下的每相两个面的交互相平行。

⑴，⑼，⑽都称体，⑶是球体。

由可以看出，柱体包括柱、棱柱；体包括、棱。

2.常几何体的特色：棱柱：棱柱的所有棱都相等，面的形状都是方形，棱柱的上、下底面的形状同样。

因底面的形状不同样而分三棱柱，四棱柱、五棱柱⋯⋯，如⑷，⑸，是四棱柱，⑹是三棱柱，⑺是五棱柱。

柱：上、下底面是半径相等的两个面，面是一个曲面。

如⑵。

棱：有一个面是多形，其他各面是有一个公共点的三角形。

因底面的形状不同样而分三棱，四棱、五棱⋯⋯，如⑼是四棱，⑽是三棱。

：由一个底面〔〕和一个面成。

3. 多面体：由多个平面成的密封的几何体。

若是把一个多面体拥有的点数作 V，棱数作 E，面数作F，通察的多面体获取 V＋F－ E＝ 2，即点数＋面数－棱数＝2，人称它欧拉公式。

151科研与教育2020年第1期立体几何动态问题从空间到平面的转化策略孙 强（邵阳学院，湖南 邵阳 422000）摘　要：高中数学与初中数学中的立体几何知识中，本质差距在于问题的解决已经换了维度。

平面转变到立体或者可以说是静态转变到动态。

这个变化差距对学生的空间想象力和思维能力的要求有着明显的提高。

在现如今的高中新课标数学中，静态几何体和动态几何体及其相关知识是立体几何的教学目标。

在学习静态几何中，一般学生感觉难度不大，但是在动态问题因为其题目的类型多、问题灵活性高等原因，导致这方面知识教学效果不是很好。

因此，文章从利用数学方法中的降维思维，讨论高中立体几何动态知识教学策略。

关键词：高中立体几何；动态问题；转换策略中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：2096-3092（2020）01-0151-01往年高考必考知识点必定有立体几何知识，其目的是检查高中生的逻辑思维和转换思想。

立体几何解题的重点在于，把动态的问题变为静态问题，由繁化简，通过转换得到求解题目的突破点[1-3]。

新课标下，高考大纲中对于立体几何的考点含直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置问题（平行或垂直）以及距离问题，其本质是转换思想和求解方程式。

本文内容对于立体几何动态问题从空间到平面的转换策略进行论述。

1 空间立体几何动态问题求解方式研究实际解题中，求解空间立体几何动态问题时，一般包括以下几方面。

1.1 空间点到面的垂线方法体提选出来；其如何能够转换成点到线的距离，寻找能够替代平面的垂线；（3）找到相对应的垂线之后，根据题目要求来列写相应的公式；（4）公式求解。

通过分析，就将三维的空间问题转换为二维的空间问题，化繁为简，降低了解题的复杂性。

1.2 空间的线与线的比例关系在实际考题中，经常会有求解空间中定点到动点两者之间的距离最值，根本上就是求解空间两点之间的距离，求解这类问题的也是先画空间直角坐标系，将题目中所涉及的信息都画出来；然后就是分析如何将空间中两点之间的距离转换为平面内两点的距离；将平面内两点之间的距离用二元一次方程表示出来；最后根据题目要求求解最值问题。

高中数学立体几何平面化思想的实践探究周玉珍(福建省南平第一中学㊀３５３０００)摘㊀要:立体几何ꎬ是平面几何的延伸ꎬ是从空间的二维向三维自然过渡的过程.立体几何问题ꎬ需要学生具备空间想象与推理论证能力ꎬ学生在解题时不易发现几何体中隐藏的数量与位置关系ꎬ从而影响解题.应用立体几何平面化思想ꎬ将问题转化到平面几何的知识范畴后ꎬ图形里的线线㊁线面关系将会一览无余地呈现ꎬ这样就能化难为易㊁化繁为简.因此ꎬ立体几何问题解题时ꎬ思路是平面化思想ꎬ将空间问题转化到更容易观察的平面上ꎬ应用初中平面几何相关的知识定理ꎬ使问题得以解决.关键词:立体几何ꎻ平面化ꎻ转化ꎻ平面几何中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)１８－００６１－０３收稿日期:２０２２－０３－２５作者简介:周玉珍(１９８４.１２－)ꎬ女ꎬ福建省南平人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.１高中数学立体几何与平面几何的关联与对应高中数学立体几何ꎬ是初中平面几何的延伸ꎬ二者同属几何学ꎬ知识方法具有关联性.平面几何培养学生的推理论证能力和代数化简能力ꎬ而立体几何培养学生的逻辑推理与空间想象能力.教师在立体几何中的教学方式ꎬ只有符合学生的认知发展规律ꎬ能够引导学生观察㊁类比㊁归纳ꎬ才能取得良好的教学效果.学生在立体几何中的学习方式ꎬ只有完善思维结构特征ꎬ能够将问题分析㊁迁移㊁转化ꎬ才能取得良好的学习效果.而学习立体几何ꎬ可以借助平面几何类比得到立体几何ꎬ或将立体几何转化得到平面几何ꎬ二者在教学与学习中既有统一性ꎬ又有关联性.作为平面几何的延伸ꎬ立体几何在知识㊁方法及思想上和平面几何是相呼应的ꎬ其本质是二维对三维的对应关系.２高中数学立体几何的平面化思想的定义立体几何的平面化思想ꎬ即将空间中的点㊁线㊁面的关系ꎬ通过转化的思想ꎬ使之转化到某一个平面内ꎬ利用平面几何相关的知识㊁定理进行研究的思想方法.在解决问题时ꎬ抓住平面几何图形的特征ꎬ比如三角形的中位线原理ꎬ三角形全等原理ꎬ三角形的相似比关系ꎬ或者通过解三角形ꎬ得到题目所需的代数㊁几何关系ꎬ对于更为复杂的几何问题ꎬ应用转化与化归㊁函数与方程㊁数形结合等思想解决问题.３高中数学立体几何问题应用平面化思想的对策３.１平面抽离法当几何体中的线与面的关系不明确时ꎬ可以将问题所涉及的局部平面抽离出空间ꎬ借助其平面图形更加直观的观察ꎬ并结合平面几何知识ꎬ得到需要的线线㊁线面或面面关系.以立体几何探究性问题为例:已知平面ＡＢＣＤʅ平面ＡＡ１Ｄ１Ｄꎬ其中正方形ＡＡ１Ｄ１Ｄ棱长为１ꎬ矩形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝２ꎬ点Ｅ是线段ＡＢ的中点ꎬ试问:线段ＡＢ上是否存在点Ｐꎬ使平面Ｄ１ＰＣ与平面ＰＣＤ的夹角大小为６０ʎ?若存在ꎬ求出１６ＢＰ的长ꎬ若不存在ꎬ说明理由.解题分析㊀(１)立体几何问题平面化:过点Ｄ１作Ｄ１ＨʅＰＣꎬ可证明得到ＰＣʅ平面Ｄ１ＤＨꎬ从而证明得到ＤＨʅＰＣꎬ说明øＤ１ＨＤ即为平面Ｄ１ＰＣ与平面ＰＣＤ的夹角ꎻ(２)平面抽离:在立体几何中抽离出与未知量有关的平面图形ꎬ将知识化归为平面几何问题ꎻ(３)平面几何问题代数化:在ＲｔәＤ１ＤＨ中ꎬ由三角函数ｔａｎøＤ１ＨＤ＝ＤＤ１ＤＨꎬ计算得到ＤＨ＝３ꎻ在矩形ＡＢＣＤ中ꎬ由әＤＨＣ与әＣＢＰ的相似性ꎬ得到ＤＨＣＢ＝ＤＣＣＰꎬ从而确定ＣＰ的值ꎬ根据勾股定理ＢＰ２＝ＣＰ２－ＣＢ２ꎬ计算得到ＢＰꎬ从而说明点Ｐ的存在性.３.２侧面展开法常应用在立体几何的折叠问题中.通过对几何体的侧面进行展开ꎬ结合其侧面展开图研究问题ꎬ是平面化思想的重要手段与方法.通过化曲为直㊁化折为直ꎬ结合侧面ꎬ展开研究其平面与几何体的关联性ꎬ找到题目所需的的数量关系和位置关系ꎬ借助平面几何相关知识解决问题.以立体几何的折叠问题为例:在әＡＢＣ中ꎬＡＤʅＢＣꎬＥＤ＝２ＡＥꎬ过Ｅ作ＦＧʊＢＣꎬ且将әＡＦＧ沿ＦＧ折起ꎬ使øＡᶄＥＤ＝６０ʎꎬ求证:ＡᶄＥʅ平面ＡᶄＢＣ.解题分析㊀(１)几何体的侧面展开:借助展开后的平面图形ꎬ结合立体图形研究ꎬ抓住图形的两个关键:不变的线线关系ꎬ不变的数量关系ꎻ(２)立体几何问题平面化:由平面图形的ＡＤʅＢＣꎬ得到空间中的ＡＥᶄʅＢＣꎬ在әＡᶄＥＤ中ꎬ构造余弦定理ꎬ计算得到ＡᶄＤʅＡᶄＥꎻ根据线面垂直的判定定理推导证明ꎬ得到ＡᶄＥʅ平面ＡᶄＢＣ.３.３截面法常用于立体几何的截面问题与球的切接问题.截面法大体分为两种ꎬ交线法与性质法.应用交线法作截面ꎬ作图关键在于确定截点ꎬ作图依据为基本事实ꎻ应用性质法作截面ꎬ作图关键在于找到平行的直线或平面ꎬ作图依据为线面平行㊁面面平行的性质定理.通过作出与未知量有关的截面图形ꎬ数形结合ꎬ产生与问题有关的平面几何关系ꎬ将立体几何问题平面化.以立体几何的截面问题为例:正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为２ꎬＭ㊁Ｎ分别是Ａ１Ｂ１㊁Ａ１Ｄ１的中点ꎬ过直线ＢＤ作平面αꎬ使得平面αʊ平面ＡＭＮꎬ求平面α截该正方体的截面面积.解题分析㊀(１)性质法作截面:以Ｃ１Ｄ１ꎬＢ１Ｃ１的中点ＰꎬＱ为截点ꎬ连接ＰＱꎬＢ１Ｄ１ꎬＤＰꎬＢＱꎬＮＰꎬ得到截线ꎬ根据面面平行的性质定理ꎬ作出满足条件(过直线ＢＤꎬ且与平面ＡＭＮ平行)的截面ＤＢＱＮꎻ(２)立体几何问题平面化:根据平面几何中梯形的定义ꎬ证明得到四边形ＤＢＱＮ为梯形ꎬ通过梯形的面积公式ꎬ计算得到截面ＤＢＱＮ的面积.以外接球问题为例:三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中ꎬәＡＢＣ为直角三角形ꎬＡＢ＝ＡＣ＝１ꎬәＰＢＣ是正三角形ꎬ平面ＡＢＣʅ平面ＰＢＣꎬ求三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球的半径.解题分析㊀(１)交线法找球心:根据等腰直角三角形的性质ꎬ可知әＡＢＣ的外接圆圆心是ＢＣ的中点Ｄꎬ直线ＰＤʅ平面ＡＢＣꎻ根据正三角形的性质ꎬ可知әＰＢＣ的中心Ｏ为әＰＢＣ的外接圆圆心ꎻ过Ｏ作平面ＰＢＣ的垂线ｌꎬ找到球心也就是两垂线的交点Ｏꎻ(２)立体几何问题平面化:根据外接球的定义ꎬ易得ＯＢ为三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的外接球半径ꎬ借助正三角形的性质和直角三角形的勾股定理ꎬ列出代数关系ꎬ计算得到球半径.４高中数学立体几何的平面化思想的实践难点高中数学立体几何问题中ꎬ如何寻找关键的平面ꎬ如何转化为平面几何问题ꎬ是教师教学的难点ꎬ也是学生解题的难点ꎬ它的实质是利用几何相关的定义和性质定理将立体几何问题平面化ꎬ从思想上要注意空间与平面的相互转化.５高中数学立体几何的平面化思想的教学案例５.１高中数学必修第二册«立体几何初步»中应用平面化思想的教学实例已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为１ꎬ线段ＡＤ的中点为Ｍꎬ动点Ｐ在不含边界的正方形ＡＢＣＤ内２６运动ꎬ满足Ｂ１Ｐʊ平面Ａ１ＢＭꎬ求线段Ｃ１Ｐ的最小值.教学内容分析㊀必修第二册«立体几何初步»中ꎬ处理立体几何的最值问题ꎬ需要将动态问题静态化ꎬ应用几何推理与代数推理相结合的办法实施.也就是找到动点在变化过程中的特殊的㊁确定的位置ꎬ借助平面几何的相关定理或进一步转化为函数㊁不等式问题来处理.解题思路分析:根据面面平行的相关定理ꎬ推导得到动点Ｐ落在定直线ＤＮ上ꎻ关联平面几何的知识ꎬ代入点到直线的距离公式ꎬ或者构造勾股定理ꎬ计算点Ｃ１到直线ＤＮ的距离.解题难点分析㊀由线面平行的判定定理㊁面面平行的性质定理推导关系ꎬ构造截面ꎬ找到动点Ｐ所在的定直线的过程ꎬ是解题的难点.平面化思想的应用分析:(１)作出截面:由Ｂ１Ｐ//平面Ａ１ＢＭꎬ转化得到过点Ｂ１的平面与平面Ａ１ＢＭ平行ꎬ作出截面Ｂ１ＱＤＮꎬ从而构造出与之相关的不变因素ꎬ即动点Ｐ在定直线ＤＮ上ꎻ(２)动态问题静态化:动点Ｐ到定点Ｃ１的距离Ｃ１Ｐꎬ转化成定点Ｃ１到定直线ＤＮ的距离ꎬ当Ｃ１ＰʅＤＮ时ꎬＣ１Ｐ取得最小值.根据三垂线定理ꎬ可证明底面上ＣＰʅＤＮꎬ最终将问题转化成平面几何的最值问题ꎻ(３)立体几何问题平面化:在底面ＡＢＣＤ上ꎬ由әＤＣＮ等面积关系:１２ＤＮ ＣＰ＝１２ＤＣ ＣＮꎬ求解ＤＮꎻ在ＲｔәＰＣＣ１中ꎬ根据勾股定理Ｃ１Ｐ２＝ＣＰ２＋Ｃ１Ｃ２ꎬ计算得到Ｃ１Ｐ的最小值.５.２高中数学选择性必修第一册«空间向量与立体几何»中应用平面化思想的教学实例在四棱锥Ａ－ＢＣＤＥ中ꎬ平面ＡＣＤʅ平面ＣＤＥꎬＡＣʅＣＤꎬәＢＣＥ为正三角形ꎬ平面ＤＡＣ与平面ＡＣＥ的夹角大小为６０ʎ.(１)求证:ＣＤ//平面ＡＢＥꎻ(２)若ＡＣ＝２ꎬＢＣ＝２ꎬ点Ｇ为线段ＡＢ上的点ꎬ直线ＢＣ与平面ＣＥＧ所成角的正弦值为２１７ꎬ求线段ＡＧ的长度.教学内容分析:选修第一册«空间向量与立体几何»中ꎬ空间向量法是解题的重要工具.解题的难点在于建系及写出坐标ꎬ对于较复杂的不能直接建系的几何体ꎬ将局部平面抽离出几何体ꎬ转化到该平面图形中研究坐标系及求解坐标.解题思路分析:由面面垂直的性质定理ꎬ可以证明ＡＣ与ＣＤ㊁ＣＥ分别垂直.结合平面与平面的夹角公式ꎬ构造线线平行ꎬ根据线面平行的判定定理ꎬ推证得到ＣＤ//平面ＡＢＥꎻ建立空间直角坐标系ꎬ求出所需的各点坐标ꎬ计算所需的方向向量ꎬ求得平面的法向量ꎬ利用空间向量中直线与平面的夹角公式ꎬ列出方程关系ꎬ计算未知数的值ꎬ代入得到点Ｇ的坐标ꎬ求出线段ＡＧ的长度.解题难点分析㊀(１)建系中的难点:根据面面垂直的性质ꎬ证明ＡＣʅ平面ＣＤＥꎬ可得ＡＣ为ｚ轴ꎬ难点在于底面ＢＣＤＥ上要找到经过点Ｃ且互相垂直的两条直线ꎻ(２)坐标化的难点:底面ＢＣＤＥ上各点的坐标ꎬ及线段ＡＢ上的点Ｇ的坐标的求解.高中数学立体几何问题的平面化思想ꎬ即空间向平面转化㊁三维向二维转化的思想ꎬ是立体几何中最基本也是最重要的数学方法ꎬ贯穿着整个立体几何学习的始末.平面化的本质是应用平面化思想的对策ꎬ包括平面抽离法㊁侧面展开法㊁截面法ꎬ把空间中的元素转化到与已知条件和未知结论有关的平面中解决.应用平面化思想解题的过程中需要把握三个要点ꎬ一要弄清立体几何中线与面的位置㊁数量关系ꎻ二要找到三维中的几何元素对应的二维平面的几何元素ꎻ三是利用平面几何知识解决问题ꎬ构造已知元素与未知元素的代数关系式.立体几何问题的平面化思想ꎬ对突破空间障碍ꎬ对提高解题效率ꎬ灵活学习立体几何有巨大的帮助.参考文献:[１]李敏.立体几何与平面几何的衔接教学研究[Ｄ].呼和浩特:内蒙古师范大学ꎬ２０１８. [２]谢晓强.立体几何中的平面化思考[Ｊ].数学教学研究ꎬ２００４(０６):１３－１５.[３]林良斌.立体几何动态问题从空间到平面的转化策略[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１３):１３０－１３１.[责任编辑:李㊀璟]３６。

[论文]从立体图形到平面图形的转化从立体图形到平面图形的相互转化,本讲数学思想方法的学习,1. 立体图形与平面图形之间的相互转化。

即已知几何体画它的三种视图，已知视图确定几何体。

多边形之间的转化等都是转化思想的重要体现。

2. 根据几何体的俯视图中每个小正方形中所标注的数字可以画出几何体的主视图和左视图;根据三种视图，确定搭成几何体的小正方体的个数等都是数形结合思想的转化。

3. 结合几何体的主视图和俯视图，画它的左视图，所画的左视图可能不惟一，需要根据不同的情况分类画出。

一. 知识要点:1. 知识点概要?认识圆柱、圆锥、棱柱、球等立体图形的特征，能对几何体进行分类。

?能识别简单物体的三视图，会画简单几何体的三视图，并能根据三视图想象几何体或实物原形。

?认识立体图形与平面图形的关系，经历和体验图形的变化过程，掌握棱柱、圆锥、圆柱的侧面展开图，能根据展开图想象立体模型。

尤其是掌握正方体的展开与折叠。

?了解多边形的概念，知道任何多边形都可由三角形组合而成，知道点、线、多边形、圆等图形可组合成各种优美的图案。

2. 重点难点?重点:对几何体的识别及分类，简单物体的三视图，根据展开图想象和制作立体模型。

?难点:由实物的形状抽象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化。

二. 考点分析:(一)立体图形1. 常见几何体的类型:?柱体;?锥体;?球体。

如图所示:图?，?，?，?，?都称为柱体，它们有两个面互相平行，余下的每相邻两个面的交线互相平行。

图?，?，?都称为锥体，图?是球体。

由图可以看出，柱体包括圆柱、棱柱;锥体包括圆锥、棱锥。

2. 常见几何体的特征:棱柱:棱柱的所有侧棱都相等，侧面的形状都是长方形，棱柱的上、下底面的形状相同。

因底面的形状不同而分为三棱柱，四棱柱、五棱柱……，如图?，?，是四棱柱，?是三棱柱，?是五棱柱。

圆柱:上、下底面是半径相等的两个圆面，侧面是一个曲面。

立体图形平面化探究作者：曹晓华来源：《陕西教育·教学》2011年第07期立体几何是平面几何的推广和发展，因此解决立体几何问题的基本思考方法是：寻找正确的手段和方法，将它转化为平面几何去解决。

立体几何中的三个公理，特别是公理3及其三个推论，是立体图形转化为平面的理论依据。

立体图形平面化是立体几何中主要的转化方法，它主要表现在以下几方面：1.空间角的平面化。

空间角是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的总称。

这三个概念的定义，为我们把空间角转化为平面角提供理论依据和具体的方法。

因此，在一个问题中，如果条件或结论出现空间角的概念，首先要以概念为指导作出有关的空间角，然后逐步转化为平面角去解决。

例1：底面是等腰梯形的四棱锥S-ABCD，AD=BC，AB=2CD=2SD，∠DAB=60°，SD⊥底面ABCD。

求：（1）侧面SAB与底面ABCD所成二面角的大小；（2）侧棱SB与底面ABCD所成的角；（3）异面直线SB和AD所成的角。

解题思路：（1）作SE⊥AB交AB于E，连结DE。

则∠DES即为所求二面角的平面角。

（2）连接SB，DB，则∠SBD即为所求的直线与平面所成的角。

（3）作BF∥AD交DC延长线于F。

连接SF，则∠SBF即为异面直线所成的角。

2.空间距离的平面化。

立体几何中的距离问题，根据它们的定义都可以转化为两点间的距离问题，这就是空间距离平面化的理论依据。

例如求异面直线距离的基本方法是：或转化为求它们公垂线段的长；或转化为求直线平行于平面间的距离；或转化为求二平行平面间的距离。

而这三种方法最终又转化为求两点间的距离。

例2：正四棱锥V-ABCD的底面边长为2，高为3，E和F分别是BC和CD的中点。

求：（1）AB和VC所成的角的正切与距离；（2）点C到截面VEF的距离。

作斜高VF，AB和VC的距离转化为AB和平面VCD的距离。

作斜高VK，所以又转化为求K点到平面VCD的距离。

立体几何问题转化为平面几何问题的思考作者：肖瞰臣来源：《新一代》2018年第01期摘要：将立体几何转化为平面几何的解题方法是当前较为常见的解题思路，然而在平常的解题过程中常常发生图形转换错误的现象。

本文针对立体几何转化为平面几何问题展开研究，以期在日后的学习过程中深刻掌握转化技巧，提升解题速度，增强数学思维能力。

关键词：立体几何；平面几何；转化前言学习高中立体几何，要求学生有足够的空间想象能力，而把已知条件中的空间几何体转化为平面几何图可以大大降低题目难度，因此，充分研究立体几何问题如何转化为平面几何问题能够加强立体几何题型的解题能力，增强转化思维在立体几何中的应用，于我们高中生而言具有积极意义。

一、立体几何问题转化为平面几何问题的价值平面图形的解题相对来讲较为简单，而立体几何问题具有空间思维特性，需要不断的进行空间想象才能解决问题。

然而通过维度之间的转换，将立体图形转变为平面几何图形能够降低解题难度，让我们能在较短的时间内找到解题思路。

图形的转换思想也是高中数学学习过程中必须掌握的技能之一，将特殊问题转变为一般问题，提升解题效率[1]。

与此同时，也能够增强逻辑思维能力与转换能力，在日后的学习过程中，针对难度系数较大的数学问题通过转化思想简化问题，进而求得问题答案。

二、具体应用（一）转化思想在立体几何中的应用1.简述转化思想究其根本便是从一个问题转化为另一个问题，主要精髓是化繁为简、将抽象问题具象化，这样能够大大减少解题时间以及精力，同时能够提升正确率。

在高中数学学习过程中，立体几何问题学习起来较为困难，常表现为无法将其从三维空间图形转化为二维平面图形，存在降维上的障碍，无法做到空间图形平面化，抽象问题具象化。

在解题过程中缺乏连贯性，无法察觉其中联系。

2.具体应用以平面角的大小，来解决直线与平面所成的角等空间角问题。

比如，直线之间所成的角、直线与平面之间所成的角以及平面与平面之间所成的角。

在解决该类问题过程中合理利用转化思想便能够利用平面角代替空间角，再通过判定定理与相关性质解决问题。

ʏ王佩其解决立体几何问题,贵于转化㊂转化思想是解决立体几何问题的 根本大法 ㊂那么立体几何中的转化思想主要体现在哪些方面呢一㊁立体图形平面化将立体几何问题转为平面几何问题来解决,这种 降维 思想,是解决立体几何问题始终如一的原则㊂例1 如图1,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发,绕圆锥爬行一周后回到点P 处,若该小虫爬行的最短路程为43,则这个圆锥的体积为㊂图1 图2解:作出该圆锥的侧面展开图,如图2中的阴影部分所示,该小虫爬行的最短路程为线段P P '㊂在әP P 'O 中,O P =O P '=4,P P '=43,由余弦定理得c o s øP 'O P =O P 2+O P '2-P P '22O P ㊃O P '=-12,所以øP 'O P =2π3㊂设圆锥底面圆的半径为r ,圆锥的高为h ,则2πr =2π3ˑ4,可得r =43,所以h =l 2-r 2=823,所以该圆锥的体积V =13πr 2h =1282π81㊂求空间几何体表面上的最值问题的一般思路:将空间几何体的 面 展开后放在一个平面上,把空间问题转化为平面上的最值问题㊂二㊁几何问题代数化在立体几何的有关计算问题中,往往可将变量间的关系转化为方程或函数关系,从而将几何问题代数化,即将几何问题转化为代数问题来解决㊂例2 某四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a ,则该四面体体积的最大值为㊂图3解:如图3所示,在四面体A B C D 中,A B =B C =C D =A C =B D =a ㊂设A D =x ,取A D 的中点P ,BC 的中点E ,连接B P ,E P ,C P ㊂由题意得C P ʅA D ,B P ʅA D ,C P ɘB P =P ,所以A D ʅ平面B PC ㊂四面体A B C D 的体积可看作三棱锥A -B P C 与三棱锥D -B P C 的体积之和,所以V A B C D =13S әB P C ˑA D =13ˑ12ˑa ˑa 2-x 24-a 24ˑx =112a ˑ(3a 2-x 2)x2=112a ˑ-x 2-3a22()2+9a 44ɤ18a3(当且仅当x 2=32a 2,即x =62a 时不等式取等号),即该四面体体积的最大值为18a 3㊂四面体A B C D 体积的大小取决于A D 的大小,于是可把A D 看成自变量x ,将四面体体积转化为函数问题,通过求函数的最值可得四面体体积的最值,这充分体现了函数思想的应用㊂作者单位:江苏省太仓市明德高级中学(责任编辑 郭正华)6数学部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2022年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

立体几何平面化的研究作者：罗海远来源：《科学导报·学术》2020年第18期1.引言：数学上，立体几何就是我们所熟知的三维欧氏空间的传统名称，也就是我们所生活的空间。

虽然有的平面几何定理在空间问题上不一定成立，但对于空间的每一个平面，平面几何的结论都是成立的。

因此，在解决立体几何问题时可以选取或构造一个恰当的平面，使得问题在所选取或构造的平面上获得突破性进展，为解决问题带来方便。

2.立体几何平面化思想的几类问题2.1空间图形画法的平面化在我们的生活中，总会遇到多种多样的事物，每个事物都有它们自己特有的形状，那么，我们该如何描述事物，并准确地将之画出来呢？这就涉及到将立体的图形画在一个平面上的问题。

斜二测画法是空间图形最主要的画法，此画法将空间图形转化为它的直观图，也就是将空间图形转化为平面图形，为学生对空间图形的理解带来方便，为解题带来便捷[1]。

例如：下面两个六面体，图2.1.1中，阴影面是我们所看不到的背面，而图2.1.2中，阴影面是我们所看得到的正面，正因为虚线不同，看上去图形就大不一样了。

空间图形画法的平面化，可以帮助我们将空间图形平面化，还可以帮助我们对空间图形的认识进一步加深，从而更好地解决有关于立体几何的问题。

2.2空间角的平面化空间角主要是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角这三类角[2]。

在一个问题中，如果条件或结论中有涉及空间角的概念，首先要以概念为指导，作出有关的空间角，然后逐步转化为平面角去解决。

对这种方法的掌握尤为重要，若能掌握并运用之，在一定程度上可以反映研究空间问题的水平以及质量。

2.2.1异面直线所成的角从上述定义可知，两条相交直线可以确定一个平面，所以异面直线所成的角是用平面内两相交直线所成角来定义的，即用平面角来定义的。

所以在求异面直线所成角时，应该先将要求的两条直线平移到同一个平面上，之后在求解。

2.2.2直线与平面所成的角直线与平面所成的角的定义[3，4]：从上述定义可知：在碰到求斜线与平面所成角的问题时，应该先将要求的斜线在平面上的射影画出来，之后通过上述方法求解，便能顺利解决此类问题。

立体几何中向量法和普通方法的比较立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用，因而它成为历届高考重点考查的内容之一，在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中立体几何的难度不会很大，所以应在基础知识，基本技能落实的基础上注意类比、转化思想，数行结合思想的应用，借助向量知识、点-线-面之间的性质等工具，选取合理、快捷的解题方法.立体几何中常出现的问题无外乎线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质以及空间距离和空间角等这几方面，下面分别从传统法和向量法两种方法阐述这两种方法在解这些问题时的方法。

传统法传统方法是在向量法以前的唯一一种解立体几何的方法，它存在一定的技巧性，只要从多个方面考虑问题解决并不难。

以下从几个方面给出运用传统法的方法。

（一)解决线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质(见表一)（二）传统法解决空间距离的方法①异面直线距离：通常找公垂线段，在根据已知条件求出公垂线段长。

②点到平面的距离：先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算；或用等体积法。

③面与面间距离：找出两个面的公垂线，根据已知条件求出公垂线的距离即为面与面间的距离。

（三）传统法解决空间角的方法①异面直线所成的角：将异面直线平移，转化为同一平面内的两条直线，在借助三角形的正、余弦定理求解。

②线面角：先求点到面的距离，通过射影斜线间在同一个三角形内，然后解直角三角形的方法进行求解。

③二面角：方法一：设二面角α-l-β的大小为θ (0≤θ≤π) , a，b分别是平面α，β内且垂直于l的向量,则θ=<a,b> 或θ=π- <a，b> 。

方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，通过射影斜线间的关系，然后通过解直角三角形求角。

（四）解题思路传统法的解题思路：证明平行和垂直主要是依据判定定理和性质定理，计算问题主要是作辅助线、证明、求解的过程，先要做出或寻找到所求的距离或角，然后证明，最后计算.计算一般使用勾股定理，余弦定理等解三角形的知识，解决问题的技巧性较大。

从立体走向平面感悟事物的本质作者：陈林
来源：《科学导报·学术》2020年第50期
摘要：通过一道立体几何的选择题解答过程，思考解决一类立体几何问题的一般做法，更好的思考高中立体几何所要体现核心素养中直观想象.直观想象是解决数学问题的重要手段，是建立数与形联系的主要表现，将立体几何问题，形成数学直观，在具体问题中感悟事物的本質.
关键词：数学核心素养;直观想象
立体几何内容是高中阶段的重要内容之一，也是基础内容. 立体几何的题目对学生的空间想象能力要求比较高，在历年的高考试题中比较难往往在选择题或填空题的形式出现.数学学科核心素养其中包括直观想象.
下面笔者从解析一道几何题进行分析，和同行交流，共同提高.
我们就可以清楚此类问题，立体几何问题的基本处理方式与方法，提高对知识掌握的系统性和针对性.。