5.3.3角平分线的性质

八上-角平分线的性质和判定(教案)第一章：角平分线的定义1.1 导入：通过复习角的概念，引导学生思考如何找到一个角的中点，进而引出角平分线的概念。

1.2 讲解：讲解角平分线的定义，即从角的顶点出发，将角分成两个相等的角度的线段。

1.3 例子：给出几个角平分线的例子，让学生理解角平分线的性质。

1.4 练习：让学生画出几个角的平分线，并判断其是否正确。

第二章：角平分线的性质2.1 导入：引导学生思考角平分线与角的关系。

2.2 讲解：讲解角平分线的性质，包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线与角的两边成等腰三角形等。

2.3 例子：给出几个角平分线的性质的例子，让学生理解并掌握。

2.4 练习：让学生运用角平分线的性质解决一些几何问题。

第三章：角平分线的判定3.1 导入：引导学生思考如何判定一条线段是角平分线。

3.2 讲解：讲解角平分线的判定方法，包括从线段的端点出发，分别作角的两边的垂线，线段的端点到垂足的距离相等，以及从角的顶点出发，作角的另一边的垂线，角的顶点到垂足的距离等于垂线到另一边的距离。

3.3 例子：给出几个角平分线的判定的例子，让学生理解并掌握。

3.4 练习：让学生运用角平分线的判定方法解决一些几何问题。

第四章：角平分线的应用4.1 导入：引导学生思考角平分线在几何中的应用。

4.2 讲解：讲解角平分线在几何中的应用，包括求角度，证明线段相等，证明三角形全等等。

4.3 例子：给出几个角平分线应用的例子，让学生理解并掌握。

4.4 练习：让学生运用角平分线解决一些几何问题。

第五章：总结与拓展5.1 总结：让学生总结本节课所学的内容，包括角平分线的定义，性质，判定和应用。

5.2 拓展：引导学生思考如何将角平分线的性质和判定应用到其他几何问题中。

5.3 作业：布置一些有关角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。

第六章：角平分线与等腰三角形的性质6.1 导入：通过复习等腰三角形的性质，引导学生思考角平分线与等腰三角形的关系。

北师大版数学七年级下册5.3.2线段垂直平分线的性质教学设计这条直线究竟有哪些性质呢?下面我们一起探究一垂线。

下.【做一做】请同学们在刚才折后的线段AB的折痕上取一点C,沿CA,CB将纸折叠,把纸张展开后，你将学生按照老师得到折痕CA和CB.•C 的要求进行折叠纸片，展开CA和CB3(1)通过手中的纸片，用刻度尺量取后发现它们相等.图).(2)通过折叠纸片，从它们互相重合发现它们相等.(3)通过三角形全等证明它们相等,在^AOC和^BOC中,因为AO=BO,Z AOC=Z BOC=90°,OC=OC,所以△AOC04BOC,所以AC=BC.如果改变点C的位置，那么AC还等于BC 吗?线段垂直平分由此你能得到线段垂直平分线的性质吗?线上的点到这条线段两个端等.【例】如图，在^ABC中，Z A=40°,Z B=90°,线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D,与AC交于点E,则Z BCD的度数是10【做一做】利用尺规，作线段AB的垂直平分线。

已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.A1线段垂直平分线的性质比较重要，要让学生自己发现结论，以便加深学生的理解和记忆，同时要让学生说明自己发现的正确性，逐步培养学生的说理能力.提示:可以结合我们刚才所讲的“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.1.分别以点A 和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D. 2.作直线CD.直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.T'CIIAB\/-"D -注意：以点A 和B 为圆心画弧时，半径长必须要大于AB,这样才能得到C,D 两个交点.你能说明为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线吗？我们只要连CA,CB,DA,DB 就可以了，因为在△ADC 和^BDC 中.=3。

AD=BD,CD=CD,由SSS 可知△ADC 04BDC,得到N ACD=N BCD,再由等腰三角形的“三线合一”就可知道CD 是AB 的垂直平分线.如图所示，祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B 提供牛奶,奶站应建在什么地方，才能使A,B 到它的距离相等？可以先作线段AB 的垂直平分线，与河岸边的交点就是码头M 的位置.学生认真思考通过利用尺规作如何作线段线段的垂直平分AB 的垂直平 线，学生在动手分线，小组间 中学到了知识，相互讨论.教 理解并掌握了线师提示：可以 段垂直平分线的 结合我们刚才 定义与性质，有 所讲的“线段 利于学生的掌握 垂直平分线上和记忆 的点到这条线段两个端点的距离相等”来进行作图.的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,则下列结论不正确的是（B）A.AE=BEB.AC=BEC.CE=DED.Z CAE=Z B4.如图所示，在直角三角形ABC中,Z C=90°,Z CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求Z B的度数.。

第五章生活中的轴对称5.3.3 简单的轴对称图形【教学目标】知识与技能1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。

2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．过程与方法1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.情感态度与价值观1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

行为与创新通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神,使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。

【教学重难点】重点角平分线的性质及角的对称轴难点利用角平分线的相关性质解决问题【课前准备】教师：课件学生：练习本.【教学过程】复习回顾1．什么是轴对称图形？2．下列图形哪些是轴对称图形？一、创设情景引入不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。

你有什么办法？（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师与学生一起动手操作。

展示学生作品。

对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE 就是∠BAD的平分线，为什么？教师课件展示实验过程，学生将实物图抽象出数学图形。

学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。

本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。

北师大版七年级数学下册《5.3 第3课时角平分线的性质》教案一. 教材分析《5.3 第3课时角平分线的性质》这一节内容，主要让学生掌握角平分线的性质。

教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而加深学生对角平分线的理解。

教材内容安排合理，由浅入深，既注重了知识的传授，又注重了学生的实践操作。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经有了一定的几何知识基础，对角的概念和性质有了初步的了解。

但学生对角平分线的性质的理解还比较模糊，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的性质，能运用角平分线的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。

2.难点：角平分线的性质的证明和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等教学方法，引导学生观察、操作、探究，从而掌握角平分线的性质。

六. 教学准备1.教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、角平分线模型等。

2.学具：学生每人一份角平分线模型，一份练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入角平分线的概念，例如：在平面上有两个点A和B，现在需要找到一点C，使得AC=BC，问如何找到这样的点C？引导学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示角平分线的性质，引导学生观察和思考。

性质1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；性质2：角的平分线与角的两边构成的三角形是等腰三角形。

3.操练（10分钟）学生分组进行操作，每组用一份角平分线模型，尝试证明性质1和性质2。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用角平分线的性质进行解答。

学生独立完成，教师选取部分题目进行讲解和分析。

解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线， °，AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在 ⎪∠CAD ∴∠CAD ＝△ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ⎩＝AD AC ＝＋AD EB ，＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ⎧5．3 简单的轴对称图形第 3 课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在 S 区有一个集贸市场 P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题 1：怎样修建道路最短？问题 2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB于 E ，F 在 AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点 D 到 AB 的距离等于点 D 到AC 的距离，即 DE ＝DC △.再根据 CDF ≌△EDB ，得 CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到 AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解．⎪△CDF 和△EDB 中，∵⎨DC ＝DE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF＝EB ；⎪⎩∠FDC ＝∠BDE ， (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，＝∠EAD ， ∠EAD ，∠ ACD ＝∠AED ＝90°△.在 ADC 和△ADE 中，∵⎨∠ACD ＝∠AED ，∴△ADC ≌⎪＋2EB .⎧⎪∠解DEC ∵＝CD ∠是∠＝ACG °， 分线，∴∠ECD ＝∠FCD.在△DEC 和△DFC 中，△∴ △，方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为 E ，＝7，△S ABC DE ＝2，AB ＝4，则 AC 的长是()A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点 D 作 DF ⊥AC 于 F .∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，1 1∴DF ＝DE ＝2，∴△S ABC ＝2×4×2＋2AC ×2＝7，解得 AC ＝3.故选 D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 4 题【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为 E ，F .试说明：CE ＝CF .解析：由△DEC ≌△DFC 得出 CD 平分∠EDF ，根据角平分线的性质，得出 CE ＝CF .： DFC 90 的平 ∵⎨∠ECD ＝∠FCD ，⎪⎩DC ＝ DEC ≌ DFC(AAS)，∠EDC ＝∠FDC.又∵DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴CE ＝CF .方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点 O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有ABE DBE BC ，EA ⊥AB ，(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠ ，∵ ⊥＝BD ； ⎧AC ＝AD ，⎪⎩AO ＝AO ，⎩BE ＝BE ， 什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段； (2)由条件可得△AOC ≌△AOD ，可得 AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得 OE ＝OF . 解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，AC ＝BC ＝AD⎪(2)OE ＝ O F ，理由如下：在△ AOC 和△ A OD 中，∵ ⎨OC ＝OD ， ∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9 题【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC的平分线，DE ⊥BC ，垂足为 D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断 AD 与 BE 垂直吗？并说明理由． (3)如果 BC ＝10，求 AB ＋AE 的长．解析： (1) 由△ A BC 是等腰直角三角形， BE 为角平分线，可得△ABE ≌△DBE ，即 AB ＝BD ，AE ＝△D E ，所以 ABD 和△ADE 均为等腰三角 形．由∠C ＝45°，ED ⊥△D C ，可知 EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE ⊥AB ，DE ⊥△B C ，根据角平分线定理可知 ABE 关于 BE 与△DBE 对称，可得出 BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于 BE 与△DBE 对称， 且△DEC 为等腰直角三角形，可推出 AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ；(2)AD 与 BE 垂直．理由如下：由 BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE .又∵∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝△B E ，∴ ABE 沿 BE 折叠，一定与 △DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE ；⎪∴∠ B AE ＝∠BDE .在△ABE 和△DBE 中， ⎨∠BAE ＝∠BDE ，∴△ A BE ≌△DBE (AAS)，∴AB ＝BD ，AE ＝DE .又∵△ABC ⎪ 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥△B C ，∴ DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ＝AE ，即 AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画CAB＝60°.由尺规作图知AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：角平分线的画法如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别12弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°.又∵∠ACD＝120°，∴∠1230°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC的角平分线是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题三、板书设计1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的作法本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练。

5.3.3角平分线的性质教学目标：1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。

2.利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．3.使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；重难点：1. 利用角平分线的性质定理解决实际问题；2. 利用角平分线构造垂线。

启中入1.复习：（1）角平分线定义：（2）角平分线性质：（3）相关模型：2.验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E 。

求证: PD=PE归纳：角平分线性质：___________________________________________ 几何语言：O B读中思例1.如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ，求证：CF=EB 。

练习1.如图 ，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ， AD 平分∠CAB ，并交BC 于D ， DE ⊥AB 于点E ，若 AB=8cm ，则△DEB 的周长为_____2．如图，已知点P 是∠AOB 角平分线上的一点， PC ⊥OA 于C ，PC=4cm ，点D 是OB 上一个动点， 则PD 的最小值为___（练习1） （练习2） （例2）例2.如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积为__________．练习1．如图，已知△ABC ，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，连接AO 并延长交BC 于D ，OH ⊥BC 于H ，若∠BAC=60°，OH=3cm ，OA 长为_____（练习1） （练习2）CF OC B2.如图，∠AOB=300，P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ∥OA,交OB 于点C ，PD ⊥OA ，垂足为点D 。