113角平分线的性质(第1课时)MicrosoftWord文档

11.3角平分线的性质(一)受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知/ AOB的两边上分别截取OM=O N再分别过M N 作MC L OA NCL OB MC?与NC交于C 点，连接OC那么OC就是/ AOB的平分线了.思考：这个方案可行吗？议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=ADBC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE, AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？分析：要说明AC是/ DAC 的平分线，其实就是证明/CAD M CAB/ CAD和/ CAB分别在△CAD^D^ CAB中，那么证明这两个三角形全等就能够了. 看看条件够不够.AB ADBC DCAC AC所以△ ABC^A ADC(SSS .所以/ CAD M CAB即射线AC就是/ DAB的平分线.、感悟深化行)学生将实物图抽象出数学图形•独立使用三角形全等的方法来证明• 本次活动中，教师应重点注重：(1)学生能否从简易的平分角的仪器中抽象出三角形，(2)学生能否使用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明AC是/ DAC的平分线•从上面的探究中，能够得出已知角的平分线的方法, 已知什么？求作什么？作已知角的平分线的方法：已知：/ AOB求作：/ AOB的平分线. 总结：1 .去掉“大于1-MN的长”这2个条件，所作的两弧可能没有交点，所以培养学生使用直尺和圆规作已知角平分线的水平•作法: 就找不到角的(1 )以0为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 0B于M N.1(2)分别以M N为圆心，大于—MN的长为半径作2弧.两弧在/ AOB内部交于点C.(3)作射线0C射线0C即为所求.议一议：11 .在上面作法的第二步中，去掉“大于—MN的长”2这个条件行吗？2. 第二步中所作的两弧交点一定在/ AOB的内部吗？3. 归纳角平分线的作法•角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.用三角形全等证明性质平分线.2. 若分别以M N 为圆心，大于1一MN的长为2半径画两弧，两弧的交点可能在/ AOB?勺内部，也可能在/ AOB 的外部，而我们要找的是/ AOB 内部的交点，？否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是/ AOB的平分线了.3. 角的平分线是一条射线•它不是线段，也不是直线，？所以第二步中的两个限制缺一不可.4. 这种作法的可行性能够通过全等三角形来证明.1证明几何命题的步骤：教材P21四、巩固提升2、使用：如图，△ ABC的/ B的外角平分线BD与 /C的外角的平分组CE相交于P,求证点P到三边AB, BCCA所在直线的距离 A B相等。

实验：1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。

3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。

4.再换一个新的位置比较一下，并试着说明理由。

归纳角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

应用：如图，已知ABC中，D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。

求证：AB=AC三、课堂训练1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，教师引导学生归纳出角的平分线的性质。

教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。

学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。

使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

巩固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。

从总体上把握学知识。

BE、CD相交于点O，若∠1=∠2，求证OB=OC.2.如图，四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出已知角的角平分线的方法；2.角的平分线的性质；3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题；2.补充作业：①如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE=2，求AB、CD间的距离.学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。

板 书 设 计②如图，在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6㎝，则△DEB 的周长为_________㎝。

EDBCA②思考题：已知：如图，任意ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线。

求证：BD ∶DC =AB ∶AC（提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明）课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法： 作已知角的角平分线 例题分。

12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质【知识与技能】1.掌握角的平分线的作法.2.会利用角平分线的性质.【过程与方法】经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.【情感态度】通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】角平分线的性质及其应用.【教学难点】灵活应用两个性质解决问题.一、情境导入，初步认识活动 1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.活动 2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:1.角平分线上的点到角两边的距离相等.2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.【教学说明】1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.例1 如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m ，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？(2)比例尺为1∶20000是什么意思？(3)图形上，表示500m 的是个什么距离？例2 如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC,点P 、D 分别在BF 上，PM ⊥AD 于M,PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN.△ABD ≌△CBD 即可得证.【证明】∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD.在△ABD 和△CBD 中，,,,AB CB ABD CBD BD BD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.即射线DP 为∠ADC 的平分线.又∵PM ⊥AD,PN ⊥CD,∴PM=PN.例3如图，点P 是∠AOB 的平分线OM 上一点，作PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是点D 、C ，点E 、F 分别在线段OD,OC 上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.【分析】欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.【证明】∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，∠ODP=∠OCP=90°.在Rt△ODP与Rt△OCP中，,, PD PC OP OP==⎧⎨⎩∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.在Rt△EDP与Rt△FCP中，∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.三、运用新知，深化理解______相等.2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.第2题图第3题图△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.°3.∠EDA∠CDA∠CAB四、师生互动，课堂小结1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.1.布置作业：从教材“”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.。

§13．3 角的平分线的性质§13．3．1 角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法．（二）能力训练要求1．应用三角形全等的知识，说明角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的进程中，培育学生动手操作能力与探讨精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方式的提炼．教学方式讲练结合法．教具预备多媒体课件（或投影）．教学进程Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？[生甲]三角形中有三条重要线段，它们别离是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．过三角形的极点作那个极点的对边的垂线，交对边于一点，极点与垂足的连线确实是那个三角形的高．取三角形一边的中点，其中点与那个边对应极点的连线确实是这条边的中线．用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与那个角的一边重合，那个角一半所对应的线确实是那个角的角平分线．[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．[师]你补充得专门好．数学是一门周密性很强的学科，你的这种精神值得咱们学习．若是老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？Ⅱ．导入新课[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过如此一个题：在∠AOB的两边OA和OB上别离取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC 交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，因此射线OC确实是∠AOB的平分线．受那个题的启发，咱们能不能如此做：在已知∠AOB的两边上别离截取OM=ON，再别离过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC确实是∠AOB的平分线了．[师]他那个方案可行吗？（学生试探、讨论后，统一思想，以为可行）[师]这位同窗不仅给了操作方式，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，•联想迁移的学习方式值得大伙儿借鉴．议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的极点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 确实是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作进程，使学生直观了解取得射线AC 的方式．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实确实是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 别离在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就能够够了．[生3]咱们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此△ABC ≌△ADC （SSS ）．因此∠CAD=∠CAB ．即射线AC 确实是∠DAB 的平分线．[生4]原先用三角形全等，就能够够解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是能够知新的．老师再提出问题：通过上述探讨，可否总结出尺规作已知角的平分线的一样方式．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发觉问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展现：作已知角的平分线的方式：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，别离交OA 、OB 于M 、N ．（2）别离以M 、N为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求．（教师依照学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地明白得画法，提高学习数学的爱好）．议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”那个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点必然在∠AOB 的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的明白得，培育数学周密性的良勤学习适应）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”那个条件，所作的两弧可能没有交点，因此就找不到角的平分线．2．若别离以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而咱们要找的是∠AOB内部的交点，•不然两弧交点与极点连线取得的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•因此第二步中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性能够通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．Ⅲ．随堂练习讲义P106练习．练后总结：平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长取得直线CD，直线CD与AB•也垂直．Ⅳ．课时小结本节课中咱们利用已学过的三角形全等的知识，•探讨取得了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种专门好的学习方式．Ⅴ．课后作业1．讲义P108习题13．2─一、2．2．预习讲义P106～107内容．。