2020年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)

2020年广东省高考数学一模试卷答案解析一、选择题（共12题，共60分）1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），则A∪B＝（﹣1，3]，故选：B．2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为1．故选：B．3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．07【解答】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24【解答】解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．5．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上，∴．则该双曲线的离心率为e＝．故选：C．6．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为tanα＝﹣3，则＝cos2α＝＝＝＝．故选：D．7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．21【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r x7﹣2r，则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为•4＝84，故选：B．8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，故排除CD；f（﹣1）＝ln|e﹣2﹣1|+1＝ln（1﹣e﹣2）+lne＝，故排除B．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）A．B．32πC．36πD．48π【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体A﹣BCD：如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝42+42+42，解得r2＝12，所以：S＝4π×12＝48π．故选：D．10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值而|F2M|+|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4，故选：B．11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，又∵M为BC中点，∴，∵M为BC中点，∴＝＝＝．故选：D．12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，∴0＜≤1，解得0＜ω≤3，∴≤ωx﹣≤．①0＜ω≤时，则sin（ω﹣）＝，令g（ω）＝sin（ω﹣）﹣，y＝sin（ω﹣）在（0，]上单调递增，∵g（0）＝﹣＜0，g（）＝1﹣＝＞0，因此存在唯一实数ω，使得sin（ω﹣）＝．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝．综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个．故选：C．二、填空题（共4题，共20分）13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣3．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z＝x﹣2y过A时，z取得最小值，由，解得A（1，2），所以z的最小值为z＝1﹣2×2＝﹣3．故答案为：﹣3．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝63．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，由于S n＝2a n﹣n，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1+1，整理得（a n+1）＝2（a n﹣1+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．所以．故答案为：6315．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为．【解答】解：基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为．∴该验证码的首位数字是1的概率＝＝．故答案为：．16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为．【解答】解：由点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣），可得M，N在直线y＝x﹣上，联立曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3），可得x2＝﹣，无实数解，由y＝+x的导数为y′＝x+1，可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，可得切线的方程为y＝﹣，即有与直线y＝x﹣的交点E（0，﹣），同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，切线的方程为y＝4x﹣，联立直线y＝x﹣，可得交点F（，），此时可设M（0，﹣），N（，），则由图象可得|m﹣n|的最大值为﹣0＝，故答案为：．三、解答题（共70分）17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，所以2ab cos C＝ab sin C，即sin C＝2cos C＞0，sin2C+cos2C＝1，cos C＞0，解可得，cos C＝，（2）∵a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B），故sin A cos B+sin B sin A＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin A＝cos A，∵A∈（0，π），所以A＝，所以sin B＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，由正弦定理可得，b＝＝＝3．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．（1）求证：NC1∥平面BMD；（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求二面角N﹣BD﹣M的正弦值．【解答】解：（1）连接BD，AC交于E，取C1M的中点F，连接AF，ME，由C1M＝2MC，A1N＝2NA，故C1F＝AN，以且C1F∥AN，故平行四边形C1F AN，所以C1N∥F A，根据中位线定理，ME∥AF，由ME⊂平面MDB，F A⊄平面MDB，所以F A∥平面MDB，NC1∥F A，故NC1∥平面BMD；（2）AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由DB2＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，由AB2＝AD2+DB2，得AD⊥BD，以D为原点，以DA，DB，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），M（﹣1，，1），N（1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣1，，1），＝（1，0，1），设平面MBD的一个法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，0，1），设平面NBD的一个法向量为＝（a，b，c），由，得，由cos＜＞＝，所以二面角N﹣BD﹣M为，正弦值为1．19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的方程．【解答】解：（1）将P（1，﹣2）代入抛物线C：y2＝2px方程，得p＝2，所以C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），设M（x0，y0），当λ＝3时，，可得M（2，2）．（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由．可得（x0+1，y0﹣2）＝（λ，0），所以y0＝2，所以直线l的斜率存在且斜率，设直线l的方程为y＝x+b，联立，消去y，整理得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，△＝（2b﹣4）2﹣4b2＝16﹣16b＞0，可得b＜1，则x1+x2＝4﹣2b，，，所以，解得b＝﹣6，b＝2（舍），所以直线l的方程为y＝x﹣6．方法二：设直线l的方程为x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16m2+16n＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，则，则M（2m2+n，2m），由．得（2m2+n+1，2m﹣2）＝（λ，0），所以m＝1，所以直线l的方程为x＝y+n，由△＝16+16n＞0，可得n＞﹣1，由y1y2＝﹣4n，得，所以，解得n＝6或n＝﹣2，（舍去）所以直线l的方程为y＝x﹣6．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2， (20)由，得，化简得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．21.已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．【解答】解：（1）易知，①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）无极值点，即此时极值点个数为0；②若a＞0，易知函数y＝e x的图象与的图象有唯一交点M（x0，y0），∴，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有较小值点x0，即此时函数f（x）的极值点个数为1；综上所述，当a≤0时，函数f（x）的极值点个数为0；当a＞0时，函数f（x）的极值点个数为1；（2）证明：∵函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，∴存在为函数f（x）的极值点，由（1）可知，a＞0，且，即，两边取自然对数得1﹣a+e﹣a＞lna，即1+e﹣a﹣lna＞a，要证+＞a，不妨考虑证，又易知e x≥1+x，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴+＞a．22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。

3F 2揭阳市2010年高中毕业班第一次高考模拟考数学试题(理科)参考答案及评分说明1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题：DBAC ACCB解析：1．由1{}2AB =得1212a a =⇒=-，12b =，故选D.2．()cos(2)cos 2f x x x π=-=-，可知答案选B.3．由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A.4．设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由2317a a a =得2111(2)(6)a d a a d +=+12a d ⇒=故311111222a a d a q a a a +====，选C. 5．由1233120()F F F F F F ++=⇒=-+22223121212()2||||cos120F F F FF F F ⇒=+=++⋅1144()2=++⨯-3||F ⇒123||1,||2,||F F F ===13,F F 成90角，故选A.6.不等式组()()0;1 4.f x f y x -≥⎧⎨≤≤⎩即0;50;1 4.x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤≤⎩或0;50;1 4.x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩故其对应平面区域应为图C ． 7．依题意得2(32)88nnt dt tdt +=+⎰⎰，32284n n n +=+2(4)(2)0n n ⇒-+=4n ⇒=,选C.8．如图，设曲线y =127,,P P P ,过点1P 倾斜角大于45°的直线有1213,PP PP ，过点2P 的有27P P ,过点3P 有36P P 、37P P ，过点4P 有45P P 、46P P 、47P P ，过PFDEODCBAP点5P 有5657,P P P P ,过点6P 的有67P P ,共11条，故选B.二、填空题：9. 4a >；10. 13 、；11.100(3；12.124；13．10000、6000；14.9或－11；15. 30°.解析：9.{|4}A x x =<，由右图易得4a >.10．由4,3,a b ==得5c =设左焦点为1F ，右焦点为2F ,则21||()52PF a c c a c =++-==， 由双曲线的定义得：12||2||8513PF a PF =+=+=.11．该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积100(3S =2cm12．由已知得222(log 3)(log 31)(log 32)f f f =+=+22(log 33)(log 24)f f =+=122log 24log (24)1()22-==124= 13．∵月收入在[1000,1500)的频率为0.00085000.4⨯= ，且有4000人∴样本的容量4000100000.4n ==，由图乙知输出的S =236A A A +++=10000－4000=6000.14．将直线1l 的方程化为普通方程得330x y a -+-=，将直线2l 的方程化为直角坐标方程得340x y --=，由两平行线的距离公式得|1|10a =⇒+=9a ⇒=或11a =-15．由切割线定理得2PD PE PF =⋅2163412PD PE PF ⨯⇒=== 8EF ⇒=,4OD =,∵OD PD ⊥,12OD PO =∴30P ∠=, 60,30POD PDE EFD ∠=∠=∠=.三．解答题：16．解：（1）∵12z z =∴sin 22x mm xλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴sin 2x x λ＝--------------------------------------2分若0λ=则sin 20x x =得tan 2x =分∵0,x π<< 022x π∴<< ∴2,3x π=或423x π=∴6x π=或23π------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）∵1()sin 222(sin 22)22f x x x x x λ===-＝2(sin 2coscos 2sin )33x x ππ-2sin(2)3x π=------------------------------------------8分 ∵当x α=时，12λ=∴12sin(2)32πα-=，1sin(2)34πα-=，1sin(2)34πα-=-------------------------------9分∵cos(4)3πα+＝2cos 2(2)2cos (2)166ππαα+=+-＝22sin (2)13πα------------11分∴cos(4)3πα+2172()148=⨯--=-.------------------------------------------------------------12分 17．解：（1）由0.2100a=得20a = ∵402010100a b ++++= ∴10b =------------------------------------------------------2分（2）记分期付款的期数为ξ，依题意得：40(1)0.4100P ξ===,20(2)0.2100P ξ===,(3)0.2P ξ==, 10(4)0.1100P ξ===,10(5)0.1100P ξ===------------------------------------------------------5分则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:()P A ＝31230.80.2(10.2)0.896C +⨯-=-----------------------------------------------------------7分（3）∵η的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）(1)(1)0.4P P ηξ====-----------------------------------------------------------------------------8分 ( 1.5)(2)(3)0.4P P P ηξξ===+==-----------------------------------------------------------9分 (2)(4)(5)0.10.10.2P P P ηξξ===+==+=----------------------------------------------10分∴η的分布列为NEDCB A PF∴η的数学期望10.4 1.50.420.2 1.4E η=⨯+⨯+⨯=(万元)-12分.18．解：（1）证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA∴EC//平面PDA ,同理可得BC//平面PDA ----------------------------------------------------------------------------------2分 ∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA ---------------------------------------------------------------------------------3分 又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA--------------------------------------------------------------4分 （2）证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ， ∵F 为BD 的中点，∴//NF PD 且12NF PD =,--------------------------6分 又//EC PD 且12EC PD =∴//NF EC 且NF EC =∴四边形NFCE 为平行四边形-------------------------7分 ∴//NE FC ∵DB AC ⊥,PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD ∴AC PD ⊥， 又PD BD D =∴AC ⊥面PBD ∴NE ⊥面PDB ------------------------------------------------------------9分[证法2：如图以点D 为坐标原点，以AD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，PD a = 则(1,1,0),(0,1,0),(0,0,),B C P a(0,1,)2a E ,11(,,)222aN --------------------------------6分∴11(,,0)22EN =-,(1,1,)PB a =-,(1,1,0)DB =∵11110022EN PB a ⋅=⨯-⨯-⨯=,111100022EN DB ⋅=⨯-⨯+⨯=∴,EN PB EN DB ⊥⊥------------------------------------------------------------------------------------------8分∵PB 、DB ⊂面PDB ，且PBDB B =∴NE ⊥面PDB --------------------------------------------------------------------------------------------9分 （3）解法1：连结DN ，由（2）知NE ⊥面PDB ∴DN NE ⊥,∵PDAD=DB = ∴PD DB = ∴DN PB ⊥ ∴DN 为平面PBE 的法向量，设1AD =，则11(,22N ∴DN=11(,22---11GPA BCDE分∵DP为平面ABCD的法向量，DP =，---------------------------------------------12分设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cos||||2DN DPDN DPθ⋅===⋅----------------------------------------------------------------13分∴45θ=即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°---------------------------------14分[解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，则GB为平面PBE与ABCD的交线------------------------------------------------------------------10分∵2PD EC=∴CD CG CB==∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，∴DB BG⊥-------------------11分∵PD⊥平面ABCD,BG⊂面ABCD∴PD BG⊥且PD DB D=∴BG⊥面PDB∵PB⊂面PDB∴BG PB⊥∴PBD∠为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角-------------------------------------------------------------------------------------13分在Rt PDB∆中∵PD DB=∴PBD∠＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°----------------------------14分其它解法请参照给分19．解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N,连结OM，∵1NPM MPF∠=∠,1NMP PMF∠=∠∴PNM∆≌1PF M∆∴M是线段1NF的中点，1||||PN PF=|----------------------------------------------------2分∴OM=21NF2=()PNPF+221=()1221PFPF+∵点P在椭圆上∴21PF PF+＝8∴OM＝4，----------------------4分当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：2224x y+=.----------------------6分（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点A(4,0)-，B(4,0)满足2OEA OEBS S∆∆==,分别过A、B作直线OE的两条平行线1l、2l.∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线1l、2l上.------------------------------------7分∵12OE k = ∴直线1l 、2l 的方程分别为：1(4)2y x =+、1(4)2y x =--------------------8分设点(,)Q x y （,x y Z ∈ ）∵Q 在轨迹T 内，∴2216x y +<--------------------------------9分分别解22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=+⎪⎩与22161(4)2x y y x ⎧+<⎪⎨=-⎪⎩ 得2425x -<< 与2245x -<< --------------------------------------------------------------------11分 ∵,x y Z ∈∴x 为偶数，在2(4,2)5-上2,,0,2x =-对应的1,2,3y =在2(2,4)5-上2,0,2x =-，对应的3,2,1y =---------------------------------------------------13分∴满足条件的点Q 存在，共有6个，它们的坐标分别为：(2,1),(0,2),(2,3),-(2,3),(0,2),(2,1)----．-----------------------------------------------------14分20．解：（1）当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -++=--++∴当12x =时，max 1()4f x m =+ -----------------------------------------------------------------2分 当(1,]x m ∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -+=-+-∵函数()y f x =在(1,]m 上单调递增 ∴2max ()()f x f m m ==------------------------------4分由214m m ≥+得2104m m --≥又1m>12m +⇒≥∴当12m ≥时，2max ()f x m =，当112m <<时，max 1()4f x m =+.----------6分（2）函数()p x 有零点即方程()()|1|ln 0f x g x x x x m -=--+=有解即ln |1|m x x x =--有解-------------------------------------------------------------------------------7分 令()ln |1|h x x x x =--当(0,1]x ∈时2()ln h x x x x =-+∵1'()2110h x x x=+-≥>--------------------------------------------------------------------9分 ∴函数()h x 在(0,1]上是增函数，∴()(1)0h x h ≤=---------------------------------------------10分 当(1,)x ∈+∞时，2()ln h x x x x =-++∵1'()21h x x x =-++221(1)(21)x x x x x x-++-+==-0<--------------------------------12分 ∴函数()h x 在(1,)+∞上是减函数，∴()(1)0h x h <=-----------------------------------------13分 ∴方程ln |1|m x x x =--有解时0m ≤即函数()p x 有零点时0m ≤---------------------------------------------------------------------------14分 21．解：（1）解方程2650x x -+=得11x =，25x =，---------------------------------------------1分∴2115,x y x ==---------------------------------------------------------------------------------------------2分 3211(5)26x x y =+=， ∴322265x y x ==，------------------------------------------------------------------------------------------3分 4321(5)135x x y =+=,∴43313526x y x ==---------------------------------------------------------4分 （2）由211(5)n n n x x y ++=+得2115n n nx x y ++=+ 即115n ny y +=+151n n n y y y +⇒=+----------------------------------------------------------------6分 当2n ≥时5n y >，于是11226,z y y ==1n n n z y y +=＝51n y +26>（2n ≥） ∴12126nin i zz z z n ==+++≥∑--------------------------------------------------------------------9分 （3）当1n =时211||25y y -=2526625625=<，结论成立；------------------------------------------10分 当2n ≥时，有11111111|||5(5)|||||26n n n n n n n n n n y y y y y y y y y y -+-----=+-+=≤-1221||26n n y y --≤-2111||26n y y -≤≤-＝1112526n -⋅----------------------------------------12分 ∵22212122221||||n n n n n n n n n y y y y y y y y y ----+-=-+-+-+-∴212122221||||||||n n n n n n n n y y y y y y y y +----≤-++-+-123221111[]25262626n n n ---≤+++ ＝11211(1)12611126261256252662526126n n n n ----⋅<⋅=⋅- ∴对n N *∀∈有2211||62526n n n y y --<⋅()n N *∈----------------------------------------------14分。

2020年广东省揭阳市凤美中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）参考答案：D【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f （2）．故选D．2. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A. B. C. D.参考答案：A略3. 若复数，则等于（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由复数的四则运算，将复数化成的形式，再利用共轭复数的定义可得答案.【详解】∵，∴.故选D.【点睛】本题考查复数的计算，同时考查实部和虚部以及共轭复数，当两个复数的实部相等且虚部为相反数时称一个复数是另一个复数的共轭复数，意在考查学生对这一部分知识的掌握水平.4. 英国统计学家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，参考答案：D【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为，，行政庭维持原判的案件率，，总体上维持原判的案件率为的值，即可得到答案．【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率，总体上维持原判的案件率为；法官乙民事庭维持原判的案件率为，行政庭维持原判的案件率为，总体上维持原判的案件率为．所以，，．选D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5. 设全集S={a，b，c，d，e}，集合A={a，c}，B={b，e}，则下面论断正确的是（）A．A∪B=S B．A C S B C．C S A B D．C S A∩C S B=参考答案：B6. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|20=1≤2x＜4=22}={x|0≤x＜2}，∴A∩B={0，1}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.由一组样本数据得到的回归直线方程为，那么下列说法不正确的是A. 直线必经过点B. 直线至少经过点中的一个点；C. 直线的斜率为D. 直线和各点的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线.参考答案：B8. 命题“”的否定是（）A．B．C．D．参考答案：D略9. 已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．D．2参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出一个虚轴端点为B（0，b）以及双曲线的一条渐近线，根据点到直线的距离公式，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：设双曲线的一个虚轴端点为B（0，b），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，则点B到bx﹣ay=0的距离d===，即c=2a，∴双曲线C的离心率为e==2，故选：D10. 设k1，k2分别是两条直线l1，l2的斜率，则“l1∥l2”是“k1=k2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合直线平行和直线斜率的关系进行判断即可．【解答】解：∵直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，∴直线斜率存在，若“l1∥l2”则“k1=k2”成立，若“k1=k2”则“l1∥l2”或重合∴“l1∥l2”是“k1=k2”成立的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行和斜率之间的关系是解决本题的关键，注意本题的斜率以及存在．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则 .参考答案：100712. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．参考答案：∵命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，则，解得，则实数的取值范围是．故答案为．13. 将7个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有____________ 种(用数字作答) .参考答案：91放入编号为2 和3 的两个小盒子里球的数目有如下三种情况：2个与5个；3个与4个；4个与3个。

广东省11大市2020届高三数学（理）一模试题分类汇编导数及其应用一、选择题、填空题1、（广州市2020届高三3月毕业班综合测试试题（一））10x cos ⎰d x = . 答案：sin12、（江门市2020届高三2月高考模拟）在平面直角坐标系Oxy 中，直线a y =（0>a ）与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328，则=a ． 答案：3 3、（汕头市2020届高三3月教学质量测评）函数y ＝lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______． 答案：1-=x y4、（汕头市2020届高三3月教学质量测评）若曲线y x =与直线x=a ，y=0所围成封闭图形的面积为a 2．则正实数a ＝＿＿＿＿ 答案：94=a 5、（韶关市2020届高三调研考试）设曲线axy e =有点（0,1）处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝＿＿＿ 答案：26、（茂名市2020届高三第一次高考模拟考试）计算 .答案：2e二、解答题1、（广州市2020届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知二次函数()21f x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R 如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nnng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).答案：（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m<-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. …………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x +∞,学科网上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x . …………6分 ②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >，若k <-，则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >时，11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .……9分(其中1x =, 2x =解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()xg x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*) 则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为1x =, 2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >或k <-故k >. ……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中1x =2x =(2)证法1：∵1m =， ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++L . …………10分 令T 122412n n n n n n n C xC x C x ----=+++L ， 则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++L122412nn n n n n n C xC x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n nn n n nn n nC C C C C C C -=+++++--L ()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. …………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k kk k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………11分()22k ≥⋅-+ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀*n N ∈都成立. ………14分2、（江门市2020届高三2月高考模拟）已知xa a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=（0>x ，a 是常数），若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围．解：依题意，xaa a x x f +++-=2/)12()(……1分)(00x f y =，曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为 ))((00/0x x x f y y -=-……2分，即))((00/0x x x f y y -+=，所以))(()(00/0x x x f y x g -+=……3分直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g ……5分， 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x ……7分 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ，则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=……8分若02≤+a a ，则由0)(/=x h ，得0x x =……9分，且当00x x <<时，0)(/<x h ，当0x x >时，0)(/>x h ……10分，所以)(x h 在0x x =处取得极小值，从而也是最小值，即0)()(0=≥x h x h ，从而)()(x g x f ≥恒成立……11分。

2020年广东揭阳市高考一模数学疫情下的第一次线下考试：高考一模揭阳全市高三、初三年级学生已于4月27日返校。

（1）5月11日，初一、初二、高一、高二、小学四至六年级学生返校。

（2）5月18日，小学一至三年级学生返校。

（3）幼儿园幼儿、特殊教育学校学生返园（校）时间另行研究确定；幼儿园幼儿返园前，校外培训机构不得开展线下教学活动。

2020年5月7日，同学们迎来了2020年广东揭阳市高考一模数学，今天我们选取部分题目跟同学们分析一下，最后附上这次考试的试卷与答案，供同学们参考。

理科卷文科卷总结：高考一模数学考试质量分析一、命题指导思想2019-2020学年度下学期一模考试高三数学试题是广东省考命题命题，目的在于考察学生对高三阶段性学习成果。

在遵循《课标》、依据教材的基础上，本套试卷从学生的实际情况，考察了不同层次的学生的数学学习水平；同时，注重体现传统内容在考试中的要求，使之对学生的学与教师的教给出科学而公正的评价，对我们的教学实施具有一定的导向作用。

二、对试题的分析试卷的结构：全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分。

其中，选择题12道，填空题4道，解答题7道。

整体布局和题型结构合理，难度梯度明显。

三、试卷题型布局与上一届期末试卷作对比的话，难度基本相当，与去年高考试题相比，难度会大一些，毕竟去年高考的难度实在是有点没下限。

对同学们空间想象力和计算能力都有比较高的要求，做到又快又准并不简单，需要引起计算能力偏弱的同学注意。

只是对题目理解、识图能力，有很高的要求，同学们可以多加留心。

重点考查的知识模块都相对基础，基础薄弱的同学常常在这里失分，需要加强锻炼。

导数的题目，函数的形式很常规，并不复杂。

但是有非常多的题目会从这些性质中获取命题的灵感，难度有一点提升，但是也并非故意出难题为难考生。

只要发现了规律，其实并不难。

这就要看两点了，第一，是否有平时的积累，思考过非常多压轴题;第二，前面的题是否做到够快，有足够的时间对题目进行分析。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ） A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3}2．复数z =4+3i3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1B ．2C ．5D ．13．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．﹣7B ．3C ．5D ．74．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数f （x ）＝cos （2x ﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或以上6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ）A．1920003cm3B．1600003cm3C．160003cm3D．640003cm37．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（）附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．已知(1+xm)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1＝3，a2＝4，则m＝（）A．1B．3C．2D．49．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．√213D．√1310．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n﹣7}的前n项和T n的最小值为（）A．−494B．−72C．72D．﹣1211．已知三棱锥P﹣ABC满足PA＝PB＝PC＝AB＝2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3πB．323πC．329√3πD．163π12．已知f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f（1）＝0，且当x∈（0，π2）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，π2）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（−π2，﹣1）∪（1，π2）D．（−π2，﹣1）∪（0，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）＝mx2lnx，若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线ex+y+2020＝0平行，则m ＝ ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，若数列{b n }满足b n •S n ＝1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10= ．15．已知A （3，0），B （0，1），C （﹣1，2），若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|最大值为 ．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线2√2x ﹣y ﹣3＝0的距离的最小值为 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2． （1）求内角A 的大小；（2）若AB ＝5，BC ＝7，求BC 边上的高．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB ＝1，AA 1＝2．（1）证明：CD ∥平面A 1EB ； （2）求二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值．19．已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x ＝2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． （1）求证：OP →⋅OM →为定值；（2）是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 20．已知函数f （x ）＝e x +（m ﹣e ）x ﹣mx 2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数m的取值范围．21．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a（0＜a＜0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．（1）证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P（ξ＝1）的值最大．（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i＝1，2，3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i＝P（ξ＝i）（i＝1，2，3），且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3}【分析】根据题意得出1，2∉B ，即可判断结论．解：∵集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}， 要满足A ∩∁U B ＝{1，2}； 则1，2∉B ，故符合条件的选项为C ． 故选：C ． 2．复数z =4+3i3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1B ．2C ．5D ．1【分析】利用复数的运算法则即可得出． 解：∵z =4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i ， ∴复数z =4+3i3−4i 的虚部是1， 故选：D ．3．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．﹣7B ．3C ．5D ．7【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分：由{x =2x −y =−1，得A （2，3）， 目标函数z ＝2x +y 可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大，z 越大， 由图数形结合可得当动直线过点A 时，z 最大＝2×2+3＝7． 故选：D ．4．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t（0＜t≤2）左侧的图形的面积为f（t），则y＝f（t）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．解：当0＜x＜1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．5．将函数f（x）＝cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个或以上【分析】先根据平移法则求出平移后的图象解析式，再根据零点定义即可求出．【解答】解；设函数f（x）＝cos（2x﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数为g （x ），∴g （x ）＝f （x +1）＝cos （2x +1） 令t ＝2x +1，x ∈[0，12]，∴t ∈[1，2]由g （x ）＝0，所以2x +1=π2，方程只有一个解． 故选：B ．6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A ．1920003cm 3B ．1600003cm 3C ．160003cm 3D ．640003cm 3【分析】由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 解：如图，正方体AC 1 的棱长为40cm ，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm 3．又正方体的体积为V ＝40×40×40＝64000cm 3， ∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3， 故选：B ．7．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N （98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544 A ．1500名B ．1700名C ．4500名D ．8000名【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论． 解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N （98，100）．∵μ＝98，σ＝10， ∴P （ξ≥108）＝1﹣P （ξ＜108）＝1﹣Φ（108−9810）＝1﹣Φ（1）≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%． ∴9450×15.87%≈1500 故选：A ．8．已知(1+xm )n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1＝3，a 2＝4，则m ＝（ ） A ．1B ．3C ．2D ．4【分析】根据通项求出第二、三项的系数，列方程组求出m 的值． 解：二项式展开式的通项为：T k+1=1m k C nk x k ． 当k ＝1，2时，可得{a 1=1m C n 1=3a 2=1m2C n 2=4，解得n ＝9，m ＝3． 故选：B ．9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，且∠PAQ =5π6，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√213D ．√13【分析】由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P ，Q 的坐标，得到∠F 2AQ =π3，则tan π3=b 2a=√3，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y =bax ，联立{y =ba xx 2+y 2=c2，解得x P ＝﹣a ，x Q ＝a ，∴Q （a ，b ），且AP ⊥x 轴，∵∠PAQ =5π6，∴∠F 2AQ =π3，则tanπ3=b 2a=√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝12a 2，得e 2＝13，即e =√13． 故选：D ．10．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2√S n =a n +1，则数列{a n ﹣7}的前n 项和T n 的最小值为（ ） A ．−494B ．−72C ．72D ．﹣12【分析】根据a n ＝S n ﹣S n ﹣1求得数列{a n }的通项公式，则可以推出a n ﹣7＝2n ﹣8，通过分组求和法求得数列{a n ﹣7}的前n 项和T n ，通过二次函数的最值求得T n 的最小值． 解：2√S n =a n +1， ∴S n =(a n +12)2，S n−1=(a n−1+12)2， a n ＝S n ﹣S n ﹣1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−14，化简得：2（a n +a n ﹣1）=a n 2−a n−12，正项数列{a n }中，a n ﹣a n ﹣1＝2． n ＝1时，2√S 1=a 1+1， ∴a 1＝1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． a n ＝1+2×（n ﹣1）＝2n ﹣1． a n ﹣7＝2n ﹣8，T n ＝2×1﹣8+2×2﹣8+2×3﹣8+…+2n ﹣8 =2×n(n+1)2−8n =n 2﹣7n =(n −72)2−494， ∵n ∈N *，n ＝3或n ＝4时，T n 的最小值为﹣12． 故选：D ．11．已知三棱锥P ﹣ABC 满足PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为（）A．3227√3πB．323πC．329√3πD．163π【分析】因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA＝PB ＝PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中有勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA＝PB＝PC＝AB＝2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√4−1=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP＝OA＝R，在△OAD中，R2＝r2+（PD﹣R）2，即R2＝1+（√3−R）2，解得：R=√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故选：A．12．已知f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，f（1）＝0，且当x∈（0，π2）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，π2）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（−π2，﹣1）∪（1，π2）D．（−π2，﹣1）∪（0，1）【分析】令g（x）＝f（x）sin x，g′（x）＝[f（x）+f′（x）tan x]•cos x，当x∈（0，π2）时，根据f（x）+f′（x）tan x＞0，可得函数g（x）单调递增．又g（1）＝0，可得x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）sin x＜0，sin x＜0，解得f（x）＜0．x＝0时，f（0）＝0，舍去．根据f（x）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，可得g（x）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．进而得出不等式f （x ）＜0的解集．解：令g （x ）＝f （x ）sin x ，g ′（x ）＝f （x ）cos x +f ′（x ）sin x ＝[f （x ）+f ′（x ）tan x ]•cos x ，当x ∈（0，π2）时，f （x ）+f ′（x ）tan x ＞0，∴g ′（x ）＞0，即函数g （x ）单调递增．又g （1）＝0，∴x ∈（0，1）时，g （x ）＝f （x ）sin x ＜0，sin x ＜0，解得f （x ）＜0． x ＝0时，f （0）＝0，舍去．∵f （x ）是定义在（−π2，π2）上的奇函数，∴g （x ）是定义在（−π2，π2）上的偶函数．∴不等式f （x ）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f （x ）＝mx 2lnx ，若曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行，则m ＝ −13．【分析】求出f （x ）的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020＝0平行，得f ′（e ）＝﹣e ，列出关于m 的方程，解出m 的值． 解：f ′（x ）＝m （2xlnx +x ），又曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线ex +y +2020＝0平行， ∴f ′（e ）＝3em ＝﹣e ，解得m =−13． 故答案为：−13．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，若数列{b n }满足b n •S n ＝1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10= 2046 ．【分析】数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，利用求和公式：S n ．由数列{b n }满足b n •S n ＝1，可得b n =1S n．进而得出b n +1b n，再利用等比数列的求和公式即可得出．解：数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2a n ，∴S n =2n−12−1=2n ﹣1．若数列{b n }满足b n •S n ＝1，∴b n =1S n=12n−1． ∴b n +1b n=2n ．则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=2+22+……+210=2(210−1)2−1=211﹣2＝2046．故答案为：2046．15．已知A （3，0），B （0，1），C （﹣1，2），若点P 满足|AP →|=1，则|OB →+OC →+OP →|最大值为 √13+1 ．【分析】根据|AP →|=1，易知P 点在以A （3，0）为圆心，1为半径的圆上，设P （3+cos θ，sin θ），通过坐标表示出OB →+OC →+OP →，再根据模长公式求解．解：由题，点P 满足|AP →|=1，说明P 点在以A （3，0）为圆心，1为半径的圆上， 设P （3+cos θ，sin θ），则OB →+OC →+OP →=（2+cos θ，3+sin θ），∴||=√(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=√14+2√13sin(θ+φ)（tan φ=23），根据三角函数的值域，可知|OB →+OC →+OP →|最大值为√13+1． 故答案为：√13+1．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6．若直线l 与抛物线C在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线2√2x ﹣y ﹣3＝0的距离的最小值为√23．【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，由题意求出直线l 的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由题意求出M 的坐标，求出线段AF 的中垂线，及AM 的中垂线，两条直线的交点为三角形AMF 的外接圆的圆心，及半径，求出圆心到直线√2x −y ﹣3＝0的距离d ，则可得圆上到直线的最小距离为d ﹣r ． 解：由抛物线的方程可得焦点F （0，1），准线方程y ＝﹣1， 因为直线l 过点F 且倾斜角为5π6，则直线l 的方程为：y =−√33x +1，直线与抛物线联立{y =−√33x +1x 2=4y，整理可得x 2+4√33x ﹣4＝0，解得x 1=2√3，x 2=6√3，可得y 1=13，y 2＝3， 即A （√3，3），由题意可得M （√3，﹣1），可得△ABF 的外接圆的圆心N 直线线段AM 的中垂线上，y ＝1上，又在线段AF 的中垂线上，而AF 的中点（−√3，2），y ﹣2=√3（x +√3）即y =√3x +5， 联立{y =1y =√3x +5解得：N （√3，1），所以圆心坐标为（√3，1），半径r =4√33，圆心到直线的距离d =|−4√2√3−1−3|√3=4√23+4√33，所以外接圆上的点到直线的距离√2x ﹣y ﹣3＝0的最小距离为d ﹣r =4√23，故答案为：4√23．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A 2． （1）求内角A 的大小；（2）若AB ＝5，BC ＝7，求BC 边上的高．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果． （2）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）在△ABC 中，sin （B +C ）＝sin A ，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A 2． 所以√3sinA =1−cosA ，则：sin(A +π6)=12，由于A ∈（0，π），所以A +π6∈(π6，7π6)， 则：A =2π3．（2）由于A =2π3，AB ＝5，BC ＝7， 由余弦定理得：72＝AC 2+52﹣10AC ，解得AC ＝3（﹣8舍去）． 则：S △ABC =12×AB ×AC ×sin 2π3=15√34．设BC 边上的高为h ，所以12×BC ×h =15√34，解得h =15√314．18．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB ＝1，AA 1＝2．（1）证明：CD ∥平面A 1EB ； （2）求二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值．【分析】（1）取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，推导出四边形CDEF 是平行四边形，从而CD ∥=EF ，由此能证明CD ∥平面A 1EB ． （2）推导出CD 、BD 、DF 两两垂直，以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值． 解：（1）证明：取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ， ∵D 、F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF ∥=12A 1A ，∵A 1A ∥=C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF ∥=EC ， ∴四边形CDEF 是平行四边形，∴CD ∥=EF ， ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD ∥平面A 1EB ．（2）解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ， ∴A 1A ⊥CD ，由（1）知DF ∥A 1A ，∴CD 、BD 、DF 两两垂直，∴以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，0，0），B （12，0，0），E （0，√32，1），A 1（−12，0，2），∴BE →=（−12，√32，1），DE →=（0，√32，1），A 1E →=（12，√32，﹣1），设平面A 1DE 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅A 1E →=12x +√32y −z =0n →⋅DE →=√32y +z =0，取z =√3，得n →=（4√3，﹣2，√3）， 设平面A 1BE 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅A 1E →=12a +√32b −c =0m →⋅BE →=−12a +√32b +c =0，取c ＝1，得m →=（2，0，1）， 设二面角B ﹣A 1E ﹣D 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=9√3355．∴二面角B ﹣A 1E ﹣D 的余弦值为9√3355．19．已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x ＝2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点．（1）求证：OP →⋅OM →为定值；（2）是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点． 【分析】（1）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设M ，P 的坐标，可得AP ，AM 的斜率相等，求出数量积OP →⋅OM →，由k AP •k BP =y 02x 02−4=−12，可得M ，P 的坐标的关系，进而可得OP →⋅OM →为定值．（2）假设存在Q 满足条件，因为以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ →⋅BP →=0，由（1）可得整理得n （x 0﹣2）＝0，再由x 0≠2可得n ＝0，解：（1）证明：由椭圆的方程可得：A （﹣2，0），B （2，0），设M （2，m ），P （x 0，y 0），（m ≠0，x 0≠±2）， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42，又k AP =y 0x 0+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y 0x 0−2，所以k AP •k BP =y 02x 02−4=−12， 又m 4⋅y 0x 0−2=−12，整理可得2x 0+my 0＝4，所以OP →⋅OM →=2x 0+my 0＝4为定值．（2）假设存在定点Q （n ，0）满足要求，设M （2，m ），P （x 0，y 0），（m ≠0，x 0≠±2），则以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ →⋅BP →=0， 所以（n ﹣2，﹣m ）•（x 0﹣2，y 0）＝nx 0﹣2n ﹣2x 0+4﹣my 0＝0，① 由（1）得2x 0+my 0＝4，②，由①②可得n （x 0﹣2）＝0，因为x 0≠2，解得n ＝0，所以存在x 轴上的定点Q （0，0），使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．20．已知函数f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2．（1）当m＝0时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（0，1）内存在零点，求实数m的取值范围．【分析】（1）将m＝0带入，求导得f′（x）＝e x﹣e，再求出函数f（x）的单调性，进而求得极值；（2）求导得f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x），对函数g（x）求导后，分m＝0，m＜0及m＞0讨论，m＝0时容易得出结论，m＜0时运用零点存在性定理可得出结论，m＞0时运用放缩思想，先证明e x＞ex，进而可得f（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此得出结论，以上情况综合，即可求得实数m的取值范围．解：（1）当m＝0时，f（x）＝e x﹣ex，f′（x）＝e x﹣e，又f′（x）是增函数，且f′（1）＝0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，当x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝0，无极大值；（2）f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，令g（x）＝f′（x）＝e x﹣2mx+m﹣e，则g′（x）＝e x﹣2m，①当m＝0时，f（1）＝0，由（1）知f（x）在区间（0，1）上没有零点；②当m＜0时，则g′（x）＞0，故g（x）＝f′（x）在（0，1）上单调递增，又g（0）＝f′（0）＝1+m﹣e＜0，g（1）＝f′（1）＝﹣m＞0，∴存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x∈（x0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，又∵f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上存在零点；③当m＞0，x∈（0，1）时，令h（x）＝e x﹣ex，则h′（x）＝e x﹣e，∵在x∈（0，1）上，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）＞h（1）＝0，即e x＞ex，∴f（x）＝e x+（m﹣e）x﹣mx2＞ex+（m﹣e）x﹣mx2＝m（x﹣x2）＞0，∴f（x）在（0，1）上没有零点；综上，要使f（x）在（0，1）上内存在零点，则m的取值范围为（﹣∞，0）．21．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a（0＜a＜0.4）．每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．（1）证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P（ξ＝1）的值最大．（2）在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i（i＝1，2，3）可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i＝P（ξ＝i）（i＝1，2，3），且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【分析】（1）每个勘探小组共有3名人员，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再依据相互独立事件的概率求出每个ξ的取值所对应的概率，并用作差法逐一比较P（ξ＝1）与P（ξ＝0）、P（ξ＝2）、P（ξ＝3）的大小关系即可得证；（2）先根据（1）中的结论比较P（ξ＝2）和P（ξ＝3）的大小，可得到t1＞t2＞t3，故而可猜想出结论，再进行证明．证明时，设三个小组A i（i＝1，2，3）按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η＝1，2，3，然后求出η的分布列和数学期望，只需证明数学期望E（η）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2≥3﹣2t1﹣t2+t1t2成立即可，这一过程采用的是作差法，其中用到了因式分解的相关技巧．解：（1）由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣0.6）•（1﹣a）2＝0.4（1﹣a）2，P（ξ＝1）=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P（ξ＝2）=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P（ξ＝3）＝0.6a2．∵0＜a＜0.4，∴P（ξ＝1）﹣P（ξ＝0）＝0.2（1﹣a）（1+3a）＞0，P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2）＝0.2（3a2﹣8a+3）＞0，P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝﹣0.2（4a2+2a﹣3）＞0，∴概率P（ξ＝1）的值最大．（2）由（1）可知，当0＜a＜0.4时，有t1＝P（ξ＝1）的值最大，且t2﹣t3＝P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）＝0.2a（6﹣7a）＞0，∴t1＞t2＞t3，∴应当以A1，A2，A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1，p2，p3为t1，t2，t3（t1＞t2＞t3）的任意一个排列，即若三个小组A i（i＝1，2，3）按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η＝1，2，3，且η的分布列为η123P p1（1﹣p1）p2（1﹣p1）（1﹣p2）∴数学期望E（η）＝p1+2（1﹣p1）p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2下面证明E（η）＝3﹣2p1﹣p2+p1p2≥3﹣2t1﹣t2+t1t2成立，∵（3﹣2p1﹣p2+p1p2）﹣（3﹣2t1﹣t2+t1t2）＝2（t1﹣p1）+（t2﹣p2）+p1p2﹣p1t2+p1t2﹣t1t2＝2（t1﹣p1）+（t2﹣p2）+p1（p2﹣t2）+t2（p1﹣t1）＝（2﹣t2）（t1﹣p1）+（1﹣p1）（t2﹣p2）≥（1﹣p1）（t1﹣p1）+（1﹣p1）（t2﹣p2）＝（1﹣p1）[（t1+t2）﹣（p1+p2）]≥0，∴按照完成任务概率从大到小的A1，A2，A3的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q的轨迹为C2．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1．若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|•|OQ|＝2，记动点Q 的轨迹为C2．设P（ρ1，θ），Q（ρ，θ），则：ρ1cosθ﹣2ρ1sinθ＝1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|•|OQ|＝2，所以ρ＝2cosθ﹣4sinθ，整理得ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝5（原点除外）．（2）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣1＝0．曲线C2的圆心为（1，﹣2），半径为√5，所以圆心到直线C1的距离d=|1−2×(−2)−1|√1+(−2)2=4√5．所以|MN|=2√(√5)2−(4√5)2=√5．由于点O到C1的距离d2=√12+(−2)2=√5所以S△OMN=12×|MN|×d2=12×√5√5=35．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)=|x−k|+12|x+3|−2(k∈R)．（1）当k＝1时，解不等式f（x）≤1；（2）若f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得|x﹣1|+12|x+3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．讨论x≤﹣2恒成立，x＞﹣2时，可得|x﹣k|≥x+12恒成立，讨论﹣2＜x≤﹣1，x＞﹣1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．解：（1）当k＝1时，不等式f（x）≤1即为|x﹣1|+12|x+3|≤3，等价为{x≥1x−1+12x+32≤3或{−3＜x＜11−x+12x+32≤3或{x≤−31−x−12x−32≤3，解得1≤x≤53或﹣1≤x＜1或x∈∅，则原不等式的解集为[﹣1，53 ]；（2）f（x）≥x对于任意的实数x恒成立，即为|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立．当x≤﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥0≥x+2恒成立；当x＞﹣2时，|x﹣k|+12|x+3|≥x+2恒成立等价为|x﹣k|+x+32≥x+2，即|x﹣k|≥x+12恒成立，当﹣2＜x≤﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立；当x＞﹣1时，|x﹣k|≥x+12恒成立等价为x﹣k≥x+12或x﹣k≤−x+12恒成立．即x≥2k+1或x≤23（k−12）恒成立，则2k+1≤﹣1解得k≤﹣1，所以k的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

广东省梅州揭阳两市高三第一次联考数学理科一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.)1． 设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i +2．设0<x<1，则a=2x ，b=1+x ， c=x-11中最大的一个是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．不能确定3．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．已知直线n m ,和平面α，则//m n 的一个必要非充分条件是( ) A ．//m α且α//n B ．m α⊥且α⊥n C ．//m α且α⊂n D ．,m n 与α所成角相等5．设变量y x ,满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是( )A ．1B ．14 C ．12D ．26．等差数列{}n a 的前n 项和为等于则若982,12,S a a S n =+（ ）A ．54B ．45C ．36D ．277．圆)(022044222R x t y tx y x y x ∈=---=-+-+与直线的位置关系（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能8．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，则AE CD ⋅=（ ）A ．0B ．12 C ．12- D ．14-二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．10．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有 种(用数字表示) 11． 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ca bC B +-=2cos cos , 则角B 的大小为12．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2 的圆,则此几何体的外接球的表面积为13．函数xe y 2=图像上的点到直线042=--y x 距离的最小值是 _14．类比是一个伟大的引路人。

揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(．锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高．一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数2()lg(1)2x f x x x=---的定义域是A. (0, 2)B. (1,2)C. (2,)+∞D. (,1)-∞2.已知复数(tan 3)1i z iθ--=,则“3πθ=”是“z 是纯虚数”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知(2,1,3)a =- ，(1,2,1)b =- ，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为oyxoy xoy xoxy 侧视图正视图D C B AA. －2B.143- C.145 D. 24.已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =的图象过点(2,1)，则()y g x =对应的图象大致是A B C D5. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为6. 已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π， 则为得到函数()y f x =的图象可以把函数sin y x ω=的图象上所有的点A. 向右平移6π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;B. 向右平移3π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍;C. 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的12倍;D. 向左平移12π，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍.7. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B 、C 、D 中选择，其他四个号码可以从09 这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有．A ．180种B ．360种C ．720种D ．960种S=S/10i=i+1S=S+(a i －a)2输入a i 开始否结束输出S i≥10？i ＝1S ＝0是8. 已知直线:60l x y +-=和M ：222220x y x y +---=，点A 在直线l 上，若直线AC 与M 至少有一个公共点Ｃ，且30MAC ∠=，则点A 的横坐标的取值范围是.A.(0,5)B.[1,5]C.[1,3]D.(0,3] 二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知1{1,,1,2}2α∈-，则使函数y x α=在[0,)+∞上单调递增的所有α值为 .10.已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0, b ＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .11.已知α为锐角，且4cos(),45πα+=则cos α= .12.记函数2()2f x x x =-+的图象与x 轴围成的区域为M ,满足0,,2.y y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩的区域为N ，若向区域M 上随机投一点P ，则点P 落入区域N 的概率为 .13. 某市新年第一个月前10天监测到空气污染指数如下表（主要污染物为可吸入颗粒物）：（第i 天监测得到的数据记为i a ）在对上述数据的分析中，一部分计算见右图所示的算法流程图(其中a 是这10个数据的平均数)，则输出的S 值是 ，S 表示的样本的数字特征是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i a 61 59 60 57 60 63 60 6257 610.080.09(重量/克)0.050.045155105055004954900.020.030.06频率/组距0.0100.07产品重量（克）频数（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]（510,515]481486D EACB14.（几何证明选做题）如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E,连结AE ，已知ED=3, BD=6 ,则线段AE 的长＝ . 15.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数，2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数），若1l //2l ，则k = ；若12l l ⊥，则k = .三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为２，公比为12的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项n a 及n S ；（2）设数列{}n n b a +是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．表１：（甲流水线样本频数分布表） 图1：（乙流水线样本频率分布直方图） （1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率；（3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与第13题图第14题图HGDE FABC两条自动包装流水线的选择有关” ． 甲流水线乙流水线合计 合格品 a = b = 不合格品 c =d =合 计n =附：下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)18.(本小题满分14分）已知如图：平行四边形ABCD 中，2BC =， BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．（1）求证：GH ∥平面CDE ；（2）记CD x =，()V x 表示四棱锥F-ABCD 体积，求()V x 的表达式；（3）当()V x 取得最大值时，求平面ECF 与平面ABCD所成的二面角的正弦值．19.(本小题满分1４分)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南 偏西60°的方向以每小时６千米的速度步行了１分钟以后，在点D 处 望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的 最大值为60．（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； （2）求塔的高AB. 20.(本小题满分14分）在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且3mn =.（1）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；（2）已知点(1,)A t (0t >)是轨迹M 上的定点，E,F 是轨迹M 上的两个动点，如果直线AE2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828的斜率AE k 与直线AF 的斜率AF k 满足0AE AF k k +=，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.21.(本小题满分14分）已知函数()||,()f x x x a a R =-∈（1）若2a =，解关于x 的不等式()f x x <；（2）若对(0,1]x ∀∈都有()(,f x m m R m <∈是常数）,求a 的取值范围．揭阳市高中毕业班高考第一次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．一．选择题：BCDB CADB 解析： 2. ∵(tan 3)1(tan 3)i z i iθθ--==-+，当3πθ=时，z i =是纯虚数，反之当z 是纯虚数时，θ未必为3π，故选C.3. (2,12,3)a b λλλλ-=--- ，由()a a b λ⊥-得2(2)12930λλλ--+-+-=2λ⇒=，选D.4. 依题意易得2()log f x x =（0x >）因函数的图象关于y 轴对 称，可得2()log ()g x x =-（0x <）,选B.66y=6-xy xOCBAM (1,1)2y=2-xy=x oyx5. 依题意可知该几何体的直观图如右，其俯视图应选C.6. 依题意知2ω=，故()2sin(2)3f x x π=-2sin 2()6x π=-，故选A.7. 共有1111153444960A A A A A ⋅⋅⋅⋅=种，选D.8. 如右图，设点A 的坐标为00(,6)x x -，圆心M 到直线AC 的距离为ｄ，则||sin30d AM = ，因直线AC 与M 有交点，所以||sin302d AM =≤2200(1)(5)16x x ⇒-+-≤015x ⇒≤≤，故选B.二．填空题： 9. 1,1,22；10.（－4,0），（4,0）、3y x =±； 11. 7210； 12.34；13. 3.4、样本的方差；14. 33；15. 4、－１. 解析：10. 依题意得双曲线的焦点坐标为（－４，０），（４，０），由22ce a a==⇒=∴2223b c a =-=，∵双曲线的焦点在x 轴，∴双曲线的渐近线方程为3y x =±.11. cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102712. 如图由定积分的几何意可得区域M 的面积，22(2)M S x x dx =-+=⎰1(3-32204)|3x x +=，区域N 的面积12112N S =⨯⨯=,由几何概型的概D EACB率计算公式可得所求的概率34N M S P S ==.14. ∵,E E EAD EBA ∠=∠∠=∠∴EDA ∆∽EAB ∆AE EDBE AE⇒=2AE ED BE ⇒=⋅39=⨯33AE ⇒=.15. 将1l 、2l 的方程化为直角坐标方程得：1:240l kx y k +--=，2:210l x y +-=，由1l //2l 得24211k k +=≠⇒4k =,由12l l ⊥得220k +=1k ⇒=-三、解答题：16. 解：（1）∵数列{}n a 是首项12a =，公比12q =的等比数列∴1212()22n n n a --=⋅=，--------------------------------3分12(1)124(1)1212n n nS -==--.------------------------------6分（2）依题意得数列{}n n b a +的公差2(2)22d --==----------------- -7分∴22(1)24n n b a n n +=-+-=-∴2242n n b n -=----------------------------------------------9分 设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n P 则(224)(3)2n n n P n n -+-==---------------------------------10分∴221(3)4(1)3422n n n n n T P S n n n n -=-=---=--+.--------- -12分（其他解法请参照给分）H G D EFABC 17. 解：（１）甲流水线样本的频率分布直方图如下：-----------------------------------------------4分（２）由图１知，乙样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，故合格品的频率为360.940=，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率0.9P =,---------------------------------6分 设ξ为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则(5,0.9)ξ∴3325(3)(0.9)(0.1)0.0729P C ξ===．即从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率为0.0729．------8分 （3）22⨯列联表如下：-------10分∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(120360) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706>∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．-------------12分 18、（1）证法１：∵//EF AD ,//AD BC ∴//EF BC 且EF AD BC ==∴四边形EFBC 是平行四边形 ∴H 为FC 的中点-------------2分又∵G 是FD 的中点∴//HG CD ---------------------------------------3分∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE ---------------------------------4分证法２：连结EA ，∵ADEF 是正方形 ∴G 是AE 的中点 -------1分∴在⊿EAB 中，//GH AB -----2分甲流水线乙流水线合计合格品 a =30b =36 66 不合格品c =10d =4 14 合 计 40 40 n =80HGDEFABCMzyxHGDEFABC又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD ，------------3分 ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE∴GH ∥平面CDE ---------------------------4分 （2）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .---- -----6分∵BD ⊥CD, 2BC =，CD x = ∴FA =2,24BD x =-（02x <<）∴ ABCD S CD BD =⋅ ＝24x x - ∴212()433ABCD V x S FA x x =⋅=- （02x <<）---------------------8分（3）要使()V x 取得最大值，只须24x x -＝22(4)x x -（02x <<）取得最大值，∵222224(4)()42x x x x +--≤=，当且仅当224,x x =-即2x =时 ()V x 取得最大值-----------10分解法１：在平面DBC 内过点D 作DM BC ⊥于M ，连结EM ∵BC ED ⊥ ∴BC ⊥平面EMD ∴BC EM ⊥∴EMD ∠是平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的平面角-------12分 ∵当()V x 取得最大值时，2CD =,2DB =∴112DM BC ==,225EM ED DM =+=∴25sin 5ED EMD EM ∠==即平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值为255.-------14分 解法２：以点D 为坐标原定，DC 所在的直线为ｘ轴建立空间直角 坐标系如图示，则(0,0,0)D ,(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)C B E∴(0,0,2)DE = ,(2,0,2)EC =- ,(0,2,2)EB =--------12分设平面ECF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，平面ECF 的法向量(,,)n a b c =由,,n EC n EB ⊥⊥得220,220a c b c -=-=令1c =得(2,2,1)n =又∵平面ABCD 的法向量为DE∴25cos 5||||25DE n DE n θ⋅===⋅⋅∴25sin 5θ=.-------------------------14分19、解：（１）依题意知在△DBC 中30BCD ∠=,18045135DBC ∠=-=CD=6000×160＝100(ｍ),1801353015D ∠=--=，------3分由正弦定理得sin sin CD BCDBC D=∠∠∴sin 100sin15sin sin135CD D BC DBC ⋅∠⨯==∠＝6210050(62)450(31)222-⨯-==-（ｍ）-----6分在Rt△ABE 中，tan AB BEα=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时B ECD ⊥------------------8分当BE CD ⊥时，在Rt△BE C 中cos EC BC BCE =⋅∠350(31)25(33)2=-⋅=-(ｍ),--------------------9分设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟， 则25(33)606060006000EC t -=⨯=⨯334-=（分钟）------------------------------------------10分（２）由（１）知当α取得最大值60°时， BE CD ⊥，在Rt△BE C 中,sin BE BC BCD =⋅∠--------------------- -----------12分∴tan 60sin tan 60AB BE BC BCD =⋅=⋅∠⋅＝150(31)325(33)2-⋅⋅=-（m ）即所求塔高为25(33)-m.----------------------------------------- -----14分 20、解：（１）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2my x =+--------①-----1分直线22A N 的方程为：(2)2ny x =-------------②----------2分设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =--由3mn = 整理得22143x y +=----------------------------------------5分∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上-----------------6分∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±）-----------------------------------7分（2）∵点(1,)A t (0t >)在轨迹M 上 ∴21143t +=解得32t =，即点A 的坐标为3(1,)2------------------------------------------------8分 设AE k k =，则直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=并整理得2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=---------------10分设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F , ∵点3(1,)2A 在轨迹M 上，∴2234()122x 34E k k --=+ ------③,32E E y kx k =+------④----------------------------11分又0AE AF k k +=得AF k k =-，将③、④式中的k 代换成k -，可得2234()122x 34F k k +-=+，32F F y kx k =-++-----------------------------------------------12分∴直线EF 的斜率()2F E F E EF F E F Ey y k x x kK x x x x --++==--∵2228624,4343E F F E k k x x x x k k -+=-=++∴22222862(86)2(43)1432424243EF k k kk k k k k K k k k --⋅+--+++===+即直线EF 的斜率为定值，其值为12--------------------------14分21、解：（1）当2a =时，不等式()f x x <即|2|x x x -<显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|2|1121x x -<⇒-<-<13x ⇒<<---------------------------------2分当0x <时，原不等式可化为：|2|121x x ->⇒->或21x -<-3x ⇒>或1x < ∴0x <--------------------------------------------4分综上得：当2a =时，原不等式的解集为{|130}x x x <<<或-----------------5分 （2）∵对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，显然0m >即()m x x a m -<-<⇒对(0,1]x ∀∈，m mx a x x-<-<恒成立⇒对(0,1]x ∀∈，m mx a x x x-<<+-------------------------------------6分设(),(0,1]m g x x x x =-∈，()mp x x x=+，(0,1]x ∈则对(0,1]x ∀∈，m mx a x x x-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----8分∵2'()1,mg x x=+当(0,1]x ∈时'()0g x >∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()1g x m =----------------------------9分又∵2'()1m p x x =-＝2()()x m x m x-+，当1m ≥即1m ≥时，对于(0,1]x ∈，'()0p x < ∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)1p x p m ==+-------------------------------------------------11分当1m <，即01m <<时，当(0,]x m ∈，'()0p x ≤ 当(,1]x m ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，m i n ()()2p x p m m ==-----------------------------------12分（或当01m <<时，在(0,1]上，()m p x x x =+22mx m x≥⋅=，当x m =时取等号）又∵当01m <<时，要max min ()()g x a p x <<即12m a m -<<还需满足21m m >-解得3221m -<<∴当3221m -<<时，12m a m-<<；-----------------------------------------------13分当1m ≥时，11m a m -<<+．--------------------------14分。

绝密★启用前揭阳市2020年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|3}A x x =<， {|B y y ==，则A B =I（A ）(,3)-∞ （B ）(3,)+∞ （C ） （D ）(-∞（2）已知复数()23z i =+，则z =（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 （3）已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ⊥，则a b +=（A ）(2,0) （B ）(3,1)- （C ）(3,1) （D ）(1,3)-（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为 （A ）112 （B ）16 （C ）14 （D ）13（5）已知()sin cos f x x x =-，实数α满足()()3f fαα'= ，则tan 2α=（A ）43-（B ）34- （C ）34 （D ）43（6）与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：正视图图1“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为（A ）3.5里 （B ）7里 （C ）14里 （D ）28里 （7）函数||ln x x y =的部分图象大致为（8）已知两条直线1:20l x +=与2:60l x -=被圆C 截得的线段长均为2，则圆C 的面积为（A ）5π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为（A ）164+π（B ）16)22(2++π（C ）84+π（D ）8)22(2++π（10）已知F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，线段1PF的垂直平分线经过点F 2，且621π=∠F PF ，则此双曲线C 的离心率为（A ）13+ （B ）213+（C ）3 （D ）213+ （11）某地铁站有A 、B 、C 、D 、E 五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为 （A ）60 （B ）180 （C ）360 （D ）720 （12）已知0x 是函数()sin2xf x π=的极值点，且满足()0020182018f x x -<-，则符合要求的0x 的个数为（A ）2015 （B ）2016 （C ）2017 （D ）2018第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必频数图3PFCBDAE 须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上．（13）图2是一个算法流程图，若输入x 的值为2log 3，则输出的y 的值是 .（14）已知实数,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则3x y +的取值范围为是 ．（15）已知数列}{n a 满足1212+=+++n n a a a ，设数列{a 前n 项和为n S ，则n S 163=___________. （16）已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上的动点P （不在原点）在y 轴上的投影为E ，点E关于直线PF 的对称点为E '，点F 关于直线PE 的对称点为F '，当E F ''最小时，三角形PEF 的面积为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1)c o s (s in 3=+-C B A ，8sin sin sin 7B C A +=，7=a .（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）如图3，在三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 和 △PAC 都是正三角形，2=AC ，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且 PD ⊥AB 于D .（Ⅰ）证明：平面PEF ⊥平面PED ； （Ⅱ）求二面角D PA E --的正弦值． （19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元.内更换的易损零件数，得图4的条形图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（II ）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率． （ⅰ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5，求n 的最小值；（ⅱ）假设n 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此 作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？（20）（本小题满分12分）已知A 是椭圆22:+14x T y =上的动点，点1(0,)2P ，点C 与点A 关于原点对称. （I ）求△P AC 面积的最大值；（II ）若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ，且AP mPB =，CP nPD =，证明：m n +为定值．（21）（本小题满分12分）已知0a ≠，函数()x x f x e e e ax =-++.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）已知当a e <-时，函数()f x 有两个零点1x 和2x （12x x <），求证：e a x x f +>)(21． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧=+-=kt y t x 24（t 为参数），直线l 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=k m y m x 2（m 为参数），当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ． （I ）以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（II ）设曲线C 上的点A 的极角为6π，射线OA 与直线022)sin(:3=-+ϕθρl )20(πϕ<<的交点为B ，且||7||OA OB =，求ϕ的值．（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数|1||1|)(xa x a x f -++=，a 为实数． （I ）当1=a 时，求不等式3)(>x f 的解集； （II ）求)(a f 的最小值．揭阳市2020年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．合体，其表面积222=522122S ππ⨯++⋅-表2)16π=+.（10）不妨设点P 在第一象限，依题意有112||2||cos3023PF F F ==，122||||F F PF =，又由12||||2PF PF a -=得22c a -=c e a ⇒==.（11）212454360C C A =；（12）法1：由0x 是函数()sin2xf x π=的极值点可得0'()0f x =，即0cos02x π=，故01,3,5,x =±±±因()[]020181,1f x -∈-，当01,3,,2015x =±±±时，020182x -≥，()0020182018f x x -<-成立；当02017,2019x =±±时，()0020182018f x x -=-；当02021,2023,x =±±时，020183x -≤-，()0020182018f x x ->-；综上知，满足题意的01,3,,2015x =±±±时，共2016个．【法:2：由题意知πππk x +=22，得120+=k x (k Z ∈)；由)(x f 图象得x x f <)(的解为01<<-x 或1>x ，即0||201810<-<-x 或1||20180>-x ，即02018||2019x <<或0||2017x <，因120+=k x (k Z ∈)故02018||2019x <<无解，由0||2017x <得01,3,,2015x =±±±时，共2016个．】解析（16）显然1E F PF PE PF PE ''''≥-=-=，即E F ''的最小值为1，仅当P 、E '、F ' 共线且点E '在P 、F '之间时取等号，此时120E PF FPE EPF ''∠=∠=∠=，即直线PF 的斜率为（取也可），联立)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得1(,33P ，故113239PEF S ∆=⨯=．三、解答题（17）解：（Ⅰ）由已知及A C B cos )cos(-=+，得1cos sin 3=+A A ，-------------------------------------------------------------------------------2分 即1)6sin(2=+πA ，得21)6sin(=+πA -----------------------------------------------------------4分 又6766πππ<+<A ，∴656ππ=+A ， 即32π=A ；-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由已知及正弦定理得878==+a c b ，--------------------------------------------------------------7分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得bc bc bc c b -=+-+=642)(492， -----------------------------------------------------------9分 解得15=bc ，-------------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴△ABC 的面积为4315sin 21=A bc ．-----------------------------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF //AB ，----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 在正三角形PAC 中，PE ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，∴PE ⊥平面ABC ，----------------------------------------------------------------------------------------3分 ∴PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ，∴AB ⊥平面PED ， --------------------------------------------------------------------------------------5分 又EF //AB ，∴EF ⊥平面PED ，又⊂EF 平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面PED .------------------------------------------------------6分B（Ⅱ）解法1：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面PAC ，----------------------------------------------------------------------------------------7分 以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则(000)E ，，,(100),(00),A B ，，(00P ,--------8分(0EB =,(103),(1PA AB =-=-，，，,设(,,),m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则由,m ABm AP ⊥⊥得a a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1c =，得1a b ==，即(3,1,1),m =------------------------------10分 设二面角E PA D --的大小为θ，则cos ||||5m EBm EB θ⋅===⋅sinθ==即二面角E PA D --. ---------------------------------------------------------12分】 【解法2：由（Ⅰ）知EF ⊥平面PED ，∴EF ⊥ED ，以点E 为坐标原点，ED 所在的直线为x 轴，EF 所在的直线为y 建立空间直角坐标系如图示， ∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=12,2DE =,32DB =,又PE =∴13(00),(,0),(0)22222D A B -，，，,(00P , 则1(2AP =-，,1(0,0),2AD =，33(0)2EB =，，, -------------------------------------8分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面PAE ，故33(0)2EB =，，为平面PAE 的法向量，----------------------------------9分GE ADBCFP设(,,),m a b c =为平面PAD 的一个法向量，则由,m AD m AP ⊥⊥得1022102b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令1c =得2a =，故(2,0,1),m =---------------------------------10分 设二面角E PA D --的大小为θ，则cos ||||5mEB m EB θ⋅===⋅sinθ==即二面角E PA D --. ---------------------------------------------------------12分】 【解法3：二面角E PA D --即二面角C -PA -B ， 在平面PAB 内过点B 作BG PA ⊥于G ，连结GE,∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面PAC ，∴BE PA ⊥, 又BG PA ⊥，BEBG B =,∴PA ⊥平面BEG ，∴PA ⊥GE ，∴∠EGB 为二面角C -PA -B 的平面角，----------------------------8分 ∵3=BE ,3sin 60GE AE ==， 21522=+=GE BE BG ，552sin ==∠BG BE EGB ，--------------------------------11分即二面角E PA D --. --------------------------------------------------------12分】 （19）解：（I ）依题意得1900,19,()2502850,19,x y x N x x *≤⎧=∈⎨->⎩------------------------------------------3分（Ⅱ）（ⅰ）由条形图知,(16)0.06P n ==，(17)0.16P n ==，(18)0.24P n ==，(19)0.24P n ==，故(18)(16)(17)(18)0.46P n P n P n P n ≤==+=+==，------------------------------------5分(19)(18)(19)0.460.240.70P n P n P n ≤=≤+==+=，--------------------------------------6分由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n 的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分 （ⅱ）n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为1y 元和2y 元,则1y 的可能取值为：1900,2150,2400.且1(1900)0.7P y ==,1(2150)0.2P y ==,1(2400)0.1P y ==，故119000.721500.224000.12000Ey =⨯+⨯+⨯= (元) -----------------------------------9分2y 的可能取值为：2000,2250.且2(2000)0.9P y ==，2(2250)0.1P y ==，故220000.922500.12025Ey =⨯+⨯=（元） ------------------------------------------------11分12Ey Ey <，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分（20）解：（Ⅰ）设()11,A x y ，依题意得点()11,C x y --,------------------------------------------------1分 则1111||2||||22PAC S OP x x ∆=⋅=----------------------------------------------------------------------2分 ∵点A 在椭圆22:+14x T y =上，∴1||2x ≤，------------------------------------------------------3分 ∴11||12PAC S x ∆=≤（当且仅当12x =±时等号成立） ∴△PAC 面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为12y kx =+， 由221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y ，得()221+4430k x kx +-=，----------------------------------------5分设()22,B x y ，由韦达定理，得122122414314k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，而由AP mPB =，得112211,,22x y m x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12x mx -=，12x x m =-， 代入①、②，得122121411+431+4k x m k x m k ⎧-⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎪-=⎪⎩③④两式相除，得()1314m k x -=，代入④，整理得2219304+90m m x -+=；-----------------7分 对于射线CP ，同样的方法可得2219304+90n n x -+=，故,m n 是方程2219304+90x x x -+=的两个根， ------------------------------------------------9分由韦达定理，103m n +=； --------------------------------------------------------------------------10分 当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为（0,1）时，则B 、C 重合于点（0.-1），D 、A 重合，由AP mPB =，CP nPD =，得1,3,3m n ==这时103m n +=；--------------------------11分 若点A 为椭圆T 的下顶点（0,-1），同理可得103m n +=；综上可知m n +为定值，该值为103.-------------------------------------------------------------------12分【证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为12y kx =+由221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y ，得()221+4430k x kx +-=，------------5分设()22,B x y ，由韦达定理，得221413k x x +-=，----------------------------------------------------6分又1121x y k -=，代入上式得212112)21(43-+-=y x x x ，----------------------------------------------7分由AP mPB =，得112211,,22x y m x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12x mx -=， 得3)21(4212121-+=-=y x x x m ，-----------------------------------------------------------------------8分 对于射线CP ，同样的方法可得3)21(43)21(4)(21212121++=--+-=y x y x n ，----------9分 ∴31032)4(22121=++=+y x n m ．-------------------------------------------------------------------10分当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为（0,1）时，则B 、C 重合于点（0.-1），D 、A 重合，由AP mPB =，CP nPD =，得1,3,3m n ==这时103m n +=；---------------------------11分 若点A 为椭圆T 的下顶点（0,-1），同理可得103m n +=；综上可知m n +为定值，该值为103.--------------------------------------------------------------12分】（21）解：（Ⅰ） (),12,1xxxax e x f x e e e ax e ax e x +<⎧=-++=⎨+-≥⎩，(),12,1xa x f x e a x <⎧'=⎨+≥⎩，①若0a >，显然()0f x '>恒成立，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；-----------------------2分 ②若20e a -≤<，当1x <时，()0f x a '=<，当1x ≥时，()20xf x e a '=+≥，故()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；----------------------------------------4分 ③若2a e <-，当1x <时，()0f x a '=<，当1x ≥时，由20xe a +<，得1ln 2a x ⎛⎫≤<-⎪⎝⎭，由20xe a +>，得ln 2a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；-----------------6分 （Ⅱ）证法1：∵a e <-，故()10f a e =+<，结合()f x 的单调性知，()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=，且121x x <<，----7分∴222x e e a x -=，2212x ex ex a e e =-=-，于是222122x ex x x e e =-，-------------------------8分令()22xex g x e e=-，（1x >） 则()()()()()2222222222x xx x xxex e e ex e ex e e xe g x ee ee --⋅--'==--，----------------------------9分记()2x xh x e e xe =--，1x >，则()'0xxh x e xe =-<，∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，()()10h x h <=，故()0g x '<，即函数 ()g x 在(1,)+∞上单调递减，∴()()11g x g <=，∴121x x <，----------------------------------------------------------------------------------------11分 又()f x 在∞（-,1)上单调递减，∴()12f x x a e >+---------------------------------------------------------------------------------12分 【证法2：∵a e <-，故()10f a e =+<，结合()f x 的单调性知，()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=，且121x x <<，----7分要证明()12f x x a e >+，只需证121x x <，即证121x x <，--------------------------8分 注意到1x 、()21,1x ∈-∞，且()f x 在∞（-,1)上单调递减， 故只需证()121f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即证210f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，--------------------------------------9分而222222222221121x x e e ex e e f a e e x x x x x ⎛⎫-+-=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭， 记()22xg x e e ex =-+，()1,x ∈+∞，()22xg x e ex '=-+，记()()22xh x g x e ex '==-+，()1,x ∈+∞，则()220xh x e e '=-+<，故()h x 即()g x '单调递减，()()10g x g ''<=，-------------------------------------11分 故()g x 单调递减，()()10g x g <=， 于是210f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，原题得证．----------------------------------------------------------12分】 选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 1的普通方程为)2(4-=-x k y ，----------------------------------------------1分直线l 2的普通方程为kx y 2+=，-----------------------------------------------------------------------2分 联立两方程消去k ，得4422-=-x y ，即曲线C 的普通方程为4422=+y x ，--------3分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得曲线C 的极坐标方程为4)sin 4(cos 222=+θθρ；---------------------4分 化简得22(13sin )4ρθ+=-------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）把6πθ=代入22(13sin )4ρθ+=，得4)41443(2=⨯+ρ，∴7162=ρ，得74=A ρ， --------------------------------------------------------------------------7分由已知得47==A B ρρ，------------------------------------------------------------------------------8分把6πθ=，4=ρ代入方程l 3得22)6sin(=+ϕπ， 又20πϕ<<，∴2663πππϕ<+<---------------------------------------------------------------------9分 ∴64ππϕ+=，12πϕ=．--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式3)(>x f 即3|||1||1|)(>-++=x x x x f ，-------------------1分①当1-<x 时，得32)(>=x f ，无解；------------------------------------------------------------2分 ②当11≤≤-x 时，得3||2)(>=x x f ，解得2||3x <，得3232<<-x ；-------------------------------------------------------------------------3分 ③当1>x 时，得32)(>=x f ，无解；---------------------------------------------------------------4分综上知，不等式3)(>x f 的解集为)32,32(-.-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）|||1||1|)(22a a a a f -++=|||1|122a a a -++=，--------------------------------------------------6分①当1-<a 或1>a 时，2||2||2)(2>==a a a a f ，-----------------------------------------------8分 ②当11≤≤-a 时，2||2)(≥=a a f ，-------------------------------------------------9分 综上知，)(a f 的最小值为2．-----------------------------------------------------------10分。