数学人教b版必修4教案：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 含答案

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一．学习要点：余弦函数、正切函数的图象与性质
二．学习过程：
1．余弦函数的图象
2．余弦函数的性质
（1）定义域： ．
（2）值域：
当 时，max 1y =．
当 时，min 1y =-．
（3）周期：
余弦类函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期公式：
（4）奇偶性： 余弦曲线cos y x =的对称轴方程为: ； 中心的坐标为
（5）单调性：
余弦函数cos y x =在 上是减函数;
余弦函数cos y x =在 上是增函数．
例1求下列函数的最大值或最小值：
(1) 3cos 1y x =-+； (2)21cos 32y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭．
例2判断下列函数的奇偶性：
(1) cos 2y x =+； (2)sin cos y x x =．
例３求函数12cos 3
4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期．
3．正切函数的图象
4．正切函数的性质
（1）定义域： ．
（2）值域：
（3）周期性：
正切类函数()tan y A x ωϕ=+最小正周期公式：
（4）奇偶性：
正切曲线tan y x =的对称中心的坐标为
（5）单调性：
例４求函数tan 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的定义域．
例４求下列函数的周期：
(1) tan 3y x =； (2)5tan
2
x y =
二．课堂练习：教材53页、57页练习
三．课后作业：见作业（10）。

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)明目标、知重点 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.函数y ＝tan x 的性质与图象三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此， 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.你能否根据研究正、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象及性质？ 探究点一 正切函数的图象思考1 类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，具体应如何操作？答 类比正弦函数图象的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2图象的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆. (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线.(3)在x 轴上，把⎝⎛⎭⎫－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置. (4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合.(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，如图所示.思考2 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？答 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无数条曲线组成的.思考3 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？ 答 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期. 探究点二 正切函数的性质思考1 根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？答 由诱导公式tan(x ＋π )＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. ∵y ＝A tan(ωx ＋φ)＝A tan(ωx ＋φ＋π)＝A tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω＋φ，∴周期T ＝πω. 思考2 根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图象有何对称性？ 答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x .故正切函数是奇函数.正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z ). 思考3 观察下图中的正切线，当角x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内增加时，正切函数值发生了什么变化？由此反映出一个什么性质？当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切值如何变化？当x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么？答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性. 当x →－π2时，tan x →－∞；当x →π2时，tan x →＋∞.所以y ＝tan x 可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R . 思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？答 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) 上都是增函数. 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) 上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数. 例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π， 所以所求x 的范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z ). 即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z ).反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线. 跟踪训练1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).解 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π (k ∈Z ).∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.根据正切函数图象，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z .例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期. 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 (k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间.解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z ).探究点三 正切函数性质的应用例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小： (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π7＝tan π7， 又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， 而－π2<－π5<π7<π2.∴tan ⎝⎛⎭⎫－π5<tan π7，即tan ⎝⎛⎭⎫－65π<tan ⎝⎛⎭⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π2<2<9－2π<π.由于函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数.跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°)＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在()－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°， 即tan(－1 280°)<tan 1 680°.(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.1.函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A.{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B.{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C.{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D.{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x答案 C4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.一、基础过关1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A.(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D.(π，0) 答案 C2.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )答案 A3.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 4.下列各式中正确的是( ) A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>－tan 2 C.tan 5π7<tan 4π7D.tan9π8<tan π7 答案 D5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A.0 B.1 C.－1 D.π4答案 A解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6.下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A.在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B.最小正周期是πC.图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D.图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.7.求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域. 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈.∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为. 二、能力提升8.已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A.0<ω≤1B.－1≤ω<0C.ω≥1D.ω≤－1答案 B解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.9.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x .故选D.10.函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11.已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈，θ∈(－π2，π2).(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值.(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间上是单调函数. 解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈)，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3.∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 解得θ的取值范围是π4，π2)∪(－π2，－π30,2π0,2π0,2π上有3个交点. (2)当k π≤x <k π＋π2，k ∈Z 时，tan x ≥0，则f (x )＝tan x ； 当k π－π2<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0，则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2<x <k π，k ∈Z ，其图象如图所示.由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)明目标、知重点 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.正弦函数、余弦函数的图象、性质对比R R探究点一余弦函数的图象思考如何快速做出余弦函数的图象？答(1)依据诱导公式cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x＋π2，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度即可.余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x ，x ∈的图象.探究点二 余弦函数的性质思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y ＝cos x 的变化情况，我们先选取一个周期区间来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之. 函数y ＝cos x ，x ∈的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间. 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ). 反思与感悟 确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z ). 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z ).∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z ). 例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域. 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值. 解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1. 探究点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称. 思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立.小结 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )；且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ). 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.(1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值. 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得：x ＝k π2－π3，k ∈Z (k ∈Z ).令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )， 则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0.∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得：φ＝π12－k π2(k ∈Z ). 令k ＝0，得：φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值.解 由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π3－φ＝k π (k ∈Z ).∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数答案 C2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z ).|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .4.试比较cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π的大小. 解 cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π ＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π.1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.如，它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.一、基础过关1.若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C 2.函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A. (k ∈Z )B. (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2 (k ∈Z ) D. (k ∈Z )答案 D解析 令u ＝－cos x ，则y ＝2u ， ∵y ＝2u 在u ∈(－∞，＋∞)上是增函数， ∴y ＝2－cos x 的增区间，即u ＝－cos x 的增区间， 即v ＝cos x 的减区间 (k ∈Z ).3.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin(2x ＋π2)B.y ＝cos(2x ＋π2)C.y ＝sin(x ＋π2)D.y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合.故选A.4.要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 5.函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 6.方程x 2＝cos x 的实数解有________个. 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.7.判断下列函数的奇偶性并求最小正周期. (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx －π2； (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π.解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＝sin πx ， ∴f (－x )＝sin(－πx )＝－sin πx ＝－f (x ). f (x )是奇函数.最小正周期T ＝2ππ＝2. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π＝－cos 23x ， ∴f (－x )＝f (x ).f (x )是偶函数.最小正周期T ＝2π23＝3π. 二、能力提升8.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4答案 A解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. 9.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈与y ＝cos x ，x ∈的图象，如图所示：观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于________.答案 23解析 首先由图象可知所求函数的周期为2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝⎛⎭⎫11π12，0代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点， ∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝－9π4＋2k π.令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A cos π4＝－23， ∴f (0)＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝A cos π4＝23. 11.已知函数f (x )＝lg cos 2x .(1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性；(3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性.解 (1)要使函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即－π2＋2k π<2x <π2＋2k π，k ∈Z ， －π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z . 由于在定义域内0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，∴函数的值域为(－∞，02·(－x )0,24，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.。

余弦函数的图象与性质教学设计一、教材分析1、地位和作用本节选自人教B版普通高中标准实验教科书必修四第一章第三单元第二节。

本节余弦函数图像可根据诱导公式，通过对正弦函数的平移得到。

因此，余弦函数的图像和性质既是正弦函数的图像和性质的转化与巩固，又是余弦函数的基础。

因此，学好本节课不仅可以为我们今后学习正切、余切函数的性质打下基础，还可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，他对知识起到了承上启下的作用。

2、教学目标（1）知识和技能目标：了解平移法，掌握五点发作余弦函数的图像，利用余弦函数的图像进一步研究余弦函数的性质，并解决简单余弦函数的问题。

（2）过程与方法目标：类比正弦函数的性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法。

（3）情感态度与价值观目标：通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系。

3、教学重难点教学重点：会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和＝Acoω＋φ的图象教学难点：理解余弦函数的性质，会求余弦函数的单调区间及最值二、学情分析结合对新课标的理解制定如下的学情分析：（1）认知分析：学生已学习了正弦函数的图像和性质、正弦型函数以及其性质的运用这三者形成了学生思维的“最近发展区”。

（2）能力分析：学生已具备了一定的函数图像平移能力和三角函数诱导公式的应用能力，但在数学的分析能力和应用意识方面等需进一步培养。

（3）情感分析：大多数学生对数学学习感兴趣，能够积极参与到讨论与研究中来。

三、教法分析本节采用先学后教、小组讨论的教学方式，真正让学生知其所以然，还要提示学生预防运用时可能的错误，这样就从理论到实践架起一座桥梁。

四、学法分析本节课采用的是“自学-小组讨论-解决问题-小结”的学习方式。

在教师的有效引导下自主学习。

让学生带着思考题在规定的时间内学习指定的内容，提出在自学过程中的问题，然后小组讨论，若小组讨论不能解决，在课堂上寻求其他组和老师的帮助解决问题。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(2)
一、学习目标
1、通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象；
2、借助图象理解正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）。

二、学习重点、难点
重点：正切函数的图象及正切函数的主要性质
难点：利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线2
π
±=x 是此图象的两条
渐近线。

三、学习方法
通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象，利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线2
π
±
=x 是此图象的两条渐近线。

借助单位圆的
直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。

四、学习过程
的单
，。

人教B版数学必修4：第一课时余弦函数的图象及性质一、教学目标1知识目标（1）学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象；（2）根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2、能力目标（1）让学生进一步学会作图；（2）引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质；（3）培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。

3、情感目标（1）渗透数形结合的数学思想；（2）培养学生静与动的辨证思想；（3）培养学生欣赏数学美的素质。

二、教学重、难点重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。

难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。

三、教学方法结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。

适当借助多媒体等教学辅助手段。

概念形成1、利用五点描图法画出]2,0[),2sin(ππ∈+=xxy的图象。

2、图象向两边延伸于是得到余弦函数的图象。

余弦函数xy cos=的图象叫做余弦曲线。

通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：0，1，2π，0、π，－1，23π，0，2π，13、类比正弦函数的性质及余弦函数的图象，得余弦函数图象的性质：1 定义域：=co的定义域为R2 值域：①引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|co|≤1 （有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论：值域为[－1，1]②对于=co当且仅当=2π∈Z时ma=1当且仅当=2ππ∈Z时min=－1③观察R上的=co的图象可知当2π－2π2π当2π2π23π0 2co ≤12例2、求下列函数的最值 （1） =－3co1； 变式：cos 5(0)y a x a =-≠ （2）3)21(cos 2--=x y解：1 ∵ －1≤co ≤1，∴ －8≤－3co1≤10 即max 10y =, min 8y =- 2 ∵ －1≤co ≤1，∴ 当co=21时，min 3y =-，当co=－1时，max 34y =-练习：课本A 组练习4。