2005年高考试题——数学理(湖北卷)

2005年高考数学试题(湖北等 )的分析及评价武汉市教育科学研究院 孔峰一、总体评价：2005年高考数学试题（湖北卷）严格依据教育部《数学科考试大纲》的各项要求，在遵循“有利于高校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于高校扩大办学自主权”原则的基础上，融入了新课程新大纲的理念，试题立意新颖，选材不拘一格。

与2004年全国其他独立命题省市试卷相比，试卷的结构、采用的题型和配备的题量，题型的分值比例等方面保持相对稳定。

与2004年全国新课程卷及2004年湖北卷的结构及考查内容更吻合一些，且比2004年湖北卷对新课程新大纲的整体把握与理解更加成熟，整份试卷从数学知识、思想方法、学科能力出发，多层次多角度地考查了学生的数学素养和学习潜能，对考生能力、知识灵活运用及综合运用提出了比较高的要求，尤其值得注意的是，对新增加内容的知识的考查、知识的灵活运用考查，以及在运用新增加内容知识去处理实际问题的实践能力的考查均提出了较高的要求，因此我们考生在高考复习中需引起足够重视和研究，订做到与时俱进。

二、2005年高考数学试题的特点今年，我省高考数学命题在2004年平稳过渡的基础上，站在新课程评价理念的高度，稳中求新、稳中求活。

在继续深化能力立意、倡导通性通法、坚持数学应用、加大新增知识的考查力度等各个方面又作了进一步的实践、探索、深化与创新。

审视试卷，笔者感悟到白纸黑字间的灵性的跳动，令人回味，试题命题呈现出诸多亮点，对我们高考复习有很多有益的启示。

１、立足基础，突出能力，考查思维的灵活性无论在选择题、填空题，还是解答题中均有许多试题突出对基础知识的考查。

但其中一些基础试题在强调基础知识的同时，试题对能力的考查也十分突出，可以从多方面去思考，体现了思维的灵活性。

不同能力的学生处理方式不同，体现了不同的思维水平和数学思维品质。

例1 （高考理科第7题文科第10题）若sin α+cos α=tan α (0<α<2π),则α∈A.⎪⎭⎫⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫⎝⎛4,6ππ C. ⎪⎭⎫⎝⎛3,4ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ 本题以方程的形式出现，似乎应该求出角α，但这只是一种表象，透过现象看本质，选择支是角α的范围，于是只需角α的一个三角不等式，由此联想大家熟知的基本结论：当α是锐角时，sin α+cos α>1.于是tan α>1,答案选C 。

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题卷(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分(选择题 共60分)注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.考试结束,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P ＋Q ＝},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ,则P ＋Q 中元素的个数是 ( )A.9B.8C.7D.6 2.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知向量a ＝(－2,2),b ＝(5,k).若|a ＋b |不超过5,则k 的取值范围是 ( ) A.[－4,6] B.[－6,4] C.[－6,2] D.[－2,6] 4.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )5.木星的体积约是地球体积的30240倍,则它的表面积约是地球表面积的 ( )A.60倍B.6030倍C.120倍D.12030倍6.双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合,则mn 的值为( )A.163 B.83 C.316 D.38 7.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当1021<<<x x 时,使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 8.已知a 、b 、c 是直线,β是平面,给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a ,b 都垂直.其中真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.49.把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( ) A.168 B.96 C.72 D.144 10.若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin( )A.)6,0(πB.)4,6(ππ C.)3,4(ππ D.)2,3(ππ 11.在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.012.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270；使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270； 关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13.函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14.843)1()2(xx xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15.函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元；另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费 元. 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间(－1,1)上是增函数,求t 的取值范围.18.(本小题满分12分) 在△ABC 中,已知63,31cos ,3tan ===AC C B ,求△ABC 的面积.19.(本小题满分12分)设数列}{n a 的前n 项和为S n ＝2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-=(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (Ⅱ)设nnn b a c =,求数列}{n c 的前n 项和T n .20.(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB＝4,BC＝2,CC1＝3,BE＝1.(Ⅰ)求BF的长；(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.21.(本小题满分12分)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率；(Ⅲ)当p1＝0.8,p2＝0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).22.(本小题满分14分)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分. 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C 11.D 12.D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13.)4,3()3,2[⋃ 14.38 15.212-π 16.500 三、解答题17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线,故要使x x t 232-≥在区间(－1,1)上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线,时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ,.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c ＝8. 又由余弦定理可得.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=⋅=⋅>⋅==<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即 故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19.本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：(1)：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即(II),4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20.本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：(Ⅰ)过E 作EH//BC 交CC 1于H,则CH ＝BE ＝1,EH//AD,且EH ＝AD. 又∵AF ∥EC 1,∴∠FAD ＝∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF ＝C 1H ＝2..6222=+=∴DF BD BF(Ⅱ)延长C 1E 与CB 交于G ,连AG,则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ,垂足为M,连C 1M,由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC,且AG ⊂面AEC 1F,所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中,作CQ ⊥MC 1,垂足为Q,则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0), C(0,4,0),E(2,4,1),C 1(0,4,3).设F(0,0,z ). ∵AEC 1F 为平行四边形,.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴(II)设1n 为平面AEC 1F 的法向量,)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ,则 .333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 21.本小题主要考查概率的基础知识和运算能力,以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：(I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -(II)对该盏灯来说,在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1-p 1)2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2),故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=(III)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况,换5只的概率为p 5(其中p 为(II)中所求,下同)换4只的概率为415p C (1-p),故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(I)解法1：依题意,可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入,整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根,0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点,得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝-1,代入②得,λ>12,即λ的取值范围是(12,＋∞).于是,直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意,.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ(II)解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程,整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根,).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④ 将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12,使得A 、B 、C 、D 四点共圆,则CD 必为圆的直径,点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时,A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心,2||CD 为半径的圆上. (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形,A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知,⑧式左边＝.212-λ 由④和⑦知,⑧式右边＝)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立,即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(II)解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程,整理得 .04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程,整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ )21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅,∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点,∴A 、B 、C 、D 四点共圆.(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD)。

2005年全国统一高考数学试卷ⅰ（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．4．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．6．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）的展开式中，常数项为．（用数字作答）15．（4分）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=度．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．2005年河北省高考数学试卷Ⅰ（理）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行．【解答】解：复数====i，故选B．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x 有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故∴故选C．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【分析】先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得a，进而根据c=求得c，双曲线的离心率可得．【解答】解：双曲线的准线为抛物线y2=﹣6x的准线为因为两准线重合，故=，a2=3，∴c==2∴该双曲线的离心率为=故选D7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据抛物线的开口方向就可确定a的值【解答】解：∵b＞0∴抛物线对称轴不能为y轴，∴可排除掉前两个图象．∵剩下两个图象都经过原点，∴a2﹣1=0，∴a=±1．∵当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，∴第四个图象也不对，∴a=﹣1，故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，其面积S△ABC=×（2×1+2×）=，故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对【分析】直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可．【解答】解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）．故选D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m= 155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•安徽）的展开式中，常数项为672．（用数字作答）=C n r a n﹣r b r求出通项，进行指【分析】利用二项式定理的通项公式T r+1数幂运算后令x的指数幂为0解出r=6，由组合数运算即可求出答案．=C9r（2x）9﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r x9【解答】解：由通项公式得T r+1﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r，令9﹣=0得r=6，所以常数项为（﹣1）623C96=8C93=8×=672故答案为67215．（4分）（2005•山西）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=115度．【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；再利用角平分线的定义可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），代入数值即可求答案．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．故答案为：115°．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形B FD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知x 0 πy ﹣﹣1 0 1 0 ﹣故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB 为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n ＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．【分析】（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1），根据S1＞0可知a1大于零，当q不等于1时，根据等比数列前n项和公式，进而可推知1﹣q n＞0且1﹣q＞0，或1﹣q n＜0且1﹣q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．（Ⅱ）把a n的通项公式代入，可得a n和b n的关系，进而可知T n和S n的关系，再根据（1）中q的范围来判断S n与T n的大小．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1）根据S n＞0，显然a1＞0，当q不等于1时，前n项和s n=所以＞0 所以﹣1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1当q=1时仍满足条件综上q＞0或﹣1＜q＜0（Ⅱ）∵∴b n==a n q2﹣a n q=a n（2q2﹣3q）∴T n=（2q2﹣3q）S n∴T n﹣S n=S n（2q2﹣3q﹣2）=S n（q﹣2）（2q+1）又因为S n＞0，且﹣1＜q＜0或q＞0，所以，当﹣1＜q＜﹣或q＞2时，T n﹣S n＞0，即T n＞S n；当﹣＜q＜2且q≠0时，T n﹣S n＜0，即T n＜S n；当q=﹣，或q=2时，T n﹣S n=0，即T n=S n．20．（12分）（2005•安徽）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）【分析】首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率的分布列．【解答】解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1﹣C330.53=0.875由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，ξ=0，表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率P（ξ=0）=C330.8753=0.670P（ξ=10）=C320.8752×0.125=0.287P（ξ=20）=C31×0.875×0.1252=0.041P（ξ=30）=0.1253=0.002∴变量的分布列是ξ0 10 20 30P0.670 0.287 0.041 0.002∴ξ的数学期望为：Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.7521．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．22．（12分）（2005•安徽）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．【分析】（1）根据总体的概念：所要考查的对象的全体即总体进行回答；（2）根据频率=频数÷总数进行计算；（3）首先计算样本中的频率，再进一步估计总体．【解答】解：（1）总体是某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩．（2），答：竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率为0.25．（3），答：估计全校约有300人获得奖励．。

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ）A ．[－4，6]B ．[－6，4]C ．[－6，2]D ．[－2，6]4．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是 （ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ） A ．60倍 B ．6030倍 C ．120倍 D ．12030倍 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．在x y x y x y y x 2co s ,,lo g ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂； ④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A ．168B ．96C ．72D ．14410．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ） A ．)6,0(π B ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14．843)1()2(x x xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nn n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.。

2005年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修I ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么P(A²B)=P(A)²P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题1．设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下面论断正确的是（ ） A ． I S I ∩（S 2∪S 3）= B ．S 1⊆（ I S 2∩ I S 3）C ． I S I ∩ I S 2 ∩ I S 3=D ．S 1⊆（ I S 2∪ I S 3）2．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 （ ）A ．8π2B ．8πC ．4π2D ．4π3．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）A ．32 B ．33 C ．34 D ．235．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．23B ．23 C ．26 D ．332 6．当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．43 7．)21(22≤≤-=x x x y 的反函数是（ ）A ．)11(112≤≤--+=x x yB ．)10(112≤≤-+=x x yC ．)11(112≤≤---=x x yD ．)10(112≤≤--=x x y8．设x x f a a x f a x x a 的则使函数0)(),22(log )(,102<--=<<的取值范围是 （ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a9．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||3,1x y x y 所表示的平面区域面积为 （ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．210．在△ABC 中，已知C BA sin 2tan =+,给出以下四个论断 （ ）①tanA ²cotB=1 ②0<sinA+sinB ≤2 ③sin 2A+cos 2B=1④cosA 2+cos 2B=sin 2CA ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ ）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点12．设直线l 过点（－2，0），且与圆x 2+y 2=1相切，则l 的斜率是（ ）A ．±1B ．±21 C ．±33 D ．±3第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6] 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 （ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14．843)1()2(xx xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 18．（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .----资料来源高中数学教师交流分享QQ群545423319----整理收集不易，转载请注明出处20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[⋃ 14．38 15．212-π 16．500 三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B 得由 应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C 8232263sin sin =⨯==B C b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A 故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC 解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin .12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 222122222+=<-=>=⋅=⋅>⋅==<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=a a B b A B b a B b A a A C B a a a a a a B ac c a b 故舍去而得由所得即 故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c ]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH.∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2..6222=+=∴DF BD BF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0）， C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .333341161133||||cos 1111=++⨯=⋅=n CC α ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N k k k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得 .3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④ 将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ 由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±-λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλ )21233,23123(-------+=λλλλ 计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）。

绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ）A ．[－4，6]B ．[－6，4]C ．[－6，2]D ．[－2，6] 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 （ ）A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．双曲线)0(122≠=-mn nymx离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．387．在x y x y x y y x 2c o s ,,lo g ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把一排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A ．168B ．96C ．72D ．144 10．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 .14．843)1()2(xx xx ++-的展开式中整理后的常数项等于 .15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.18．（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nn n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .20．（本小题满分12分）如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.21．（本小题满分12分）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.22．（本小题满分14分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（此题不要求在答题上画图）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．)4,3()3,2[⋃ 14．38 15．212-π 16．500三、解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ，.21cos ,23sin ,60,3tan ==∴==B B B B得由应用正弦定理得又,322cos 1sin 2=-=C C8232263sin sin =⨯==BC b c ..3263332213123sin cos cos sin )sin(sin +=⨯+⨯=+=+=∴C B C B C B A故所求面积.3826sin 21+==∆A bc S ABC解法2：同解法一可得c=8，又由余弦定理得，3826sin 21646822,038226136322233121sin sin cos cos )cos(cos .cos 2222+==+=+=∴>+=-=⨯+⨯-=+-=+-=-+=∆B ac S a a C B C B C B A A bc c b aABC 故所求面积而解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得.12030,900,60.64,64.0108,21826454,cos 22122222<<∴<<=-=+==+-∴⨯⨯-+=-+=A C B a a a a a a B ac c a b所得即.64,,364,32321236330sin sin sin sin ,sin sin 2+=<-=>=⋅=⋅>⋅==a a Bb A Bb a Bb Aa 故舍去而得由故所求面积.3826sin 21+==∆B ac S ABC19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b qb b 的通项公式为即（II ）,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121nn n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-nn nnn n n T n n T20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. 又∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DFBDBF（Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG .过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ，且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到平面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BGABAG BG CGBG CC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0）， C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）. ∵AEC 1F 为平行四边形，.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为平面AEC 1F 的法向量， )1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则 .333341161133cos 11=++⨯=⋅=n CC α∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p 需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125p p C -（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(2121p p p p -+-=（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，下同）换4只的概率为415p C （1-p ），故至少换4只灯泡的概率为 .34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=⨯⨯+=∴=⨯+===-+=p p p p p p C p p22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.（I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k①设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，0])3(3)3([422>--+=∆∴k k λ ②)3,1(.3)3(2221N kk k x x 由且+-=+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠.04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ（II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x.016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥.||||.,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当假设在在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为.2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ,2122923-=--=λλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆 解法2：由（II ）解法1及12>λ.,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,2122,4,321-±-=-±=λλx x不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0CA，∴A在以CD为直径的圆上.⋅DA=又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）。

2005普通高等学校招生全国统一考试（湖北考卷）
武宛宝
【期刊名称】《中学生英语：高中版》
【年(卷),期】2005(000)007
【总页数】6页(P25-30)
【作者】武宛宝
【作者单位】湖北省武汉市
【正文语种】中文
【中图分类】G43
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绝密★启用前【高考数学试题】2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．62．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ）A ．[－4，6]B ．[－6，4]C ．[－6，2]D ．[－2，6]4．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是 （ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ） A ．60倍 B ．6030倍 C ．120倍 D ．12030倍 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．在x y x y x y y x 2c o s ,,l o g,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂； ④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ）A ．168B ．96C ．72D ．14410．若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ） A ．)6,0(π B ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 11．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样----资料来源高中数学教师交流分享QQ 群 545423319----整理收集不易，转载请注明出处第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.13．函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 . 14．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 15．函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 .16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元. 在满足需要的条件下，最少要花费 元.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.18．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.。