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拟线性椭圆型方程三解存在性
抛物线，有可能是椭圆，还有可能是双曲线。
当一个抛物线是椭圆时，它可以
用一个被称为虚拟线性椭圆型方程的式子来描述。
虚拟线性椭圆型方程，是一种椭圆型方程，其中一个单变量既影响椭圆的长轴又影响椭圆的短轴。
它的定义为：
ax2 + by2 +cxy + dx +ey +f = 0。
以这个式子描述的椭圆，在一些特殊的情况下会出现三解的情况，比如：当下
列关系满足时：4c^2 = 4ae + b^2，6cd = 3 be + 2 a^2，6ef = 4 a^2+ 3 c^2。
另外满足一些特定的约束条件时，也有可能会出现三解。
抛物线实际上可以用一个二元二次方程来描述，但这里使用虚拟线性椭圆型
方程来描述可以更准确的描述抛物线的形态，所以它的应用范围更大一些，也更灵活一些。
虽然不同的抛物线，可以构成不同的椭圆，但使用虚拟线性椭圆型方程来描述
的椭圆，有可能出现三解的情况。
一般来说，当椭圆曲率，长短轴系数，长短轴平方根，满足特定的约束条件时，就会出现三解情况，而且这样的情况是非常少见的。
总之，虚拟线性椭圆型方程可以精确的描述抛物线的形态，并且在一些特殊的
情况下，也可以出现三解的情形。
但是由于需要满足特定的约束条件才能出现三解，所以这种情况非常罕见，通常是在特殊的情况出现的。
Heisenberg群上拟线性椭圆方程解的多重性
贾高;郭露倩;张龙杰
【期刊名称】《上海理工大学学报》
【年(卷),期】2015(037)003
【摘要】在Heisenberg群上研究一类拟线性椭圆方程边值问题解的多重性.在全空间中,假设方程的主导系数及导数有界,而方程的非线性项具有超线性增长.由于在该假设下,方程所对应的泛函是连续的,但没有可微性,因此必须使用不光滑临界点理论.首先,介绍不光滑临界点理论中的弱斜率、临界点、(PS)c条件等概念和相关的基本引理;其次,研究泛函的临界点的性质,利用非线性泛函理论、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理和Brezis-Browder定理证明(PS)c序列的强收敛性质;最后,借助推广的山路引理得到该边值问题具有无穷多个解,且这些解是彼此分离的.【总页数】6页(P210-214,237)
【作者】贾高;郭露倩;张龙杰
【作者单位】上海理工大学理学院,上海200093;上海理工大学理学院,上海200093;上海理工大学理学院,上海200093
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
【相关文献】
1.一类四阶拟线性椭圆方程解的存在性和多重性 [J], 吉蕾
2.Heisenberg群上一类含有临界Sobolev指数拟线性椭圆方程存在性定理 [J],
刘莉静;刘晓春
3.RN中一类拟线性椭圆方程组非负解的存在性和多重性 [J], 张文丽;钟立楠
4.含有Sobolev-Hardy临界指数的拟线性椭圆方程解的存在性和多重性 [J], 龚亚英
5.环域上一类拟线性椭圆方程正的径向解的多重性 [J], 张辉
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关于含参线性方程组(齐次,非齐次)解的存在性讨论,求通解及特解. 公共解,同解讨论及求取.宫庆义 08.12.24(1)解的存在性: 初等行变换, 通过秩确定参数[注:行变换时,倍乘系数分母不能含参数]()0()0()(|)b ()(|)b ()(|)1b R A n Ax R A n Ax R A R A b n Ax R A R A b n Ax R A R A b Ax =⇒=⎧⎪<⇒=⎪⎪==⇒=⎨⎪=<⇒=⎪⎪=-⇒=⎩只有零解有无穷多解有唯一解无穷多解无解(2)通解特解: 注意给自由变量赋初值时, 通过观察系数,尽量使其简单,尤其求特解时.(3)有公共解(齐,非),确定参数, 求取公共解12|.|A A R R n B B ββ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a.已知两个基础解系0112201122;X k k l l ξξξηηη=+++=+++ 设公共解为()()()1212121200,,,,,,,,,Tk k l l ξξηηηξ--=- 方程 如果方程有解[讨论秩], 则有公共解.b.已知两个基础解系()()0112201122011220121201122012;,,,,,,,X k k l l k k R k k R ξξξηηηξξξηηηηηξξξηηη=+++=++++++-⇒+++-= 设公共解为则可以由线性表示c. 给出I 的方程, II 的解*1122x x k k ξξ=+++ .设公共解为:*1122X x k k ξξ=+++ 带入I 求出12,k k(4)同解(齐,非)::()().A R A R B R B ⎛⎫== ⎪⎝⎭法一 [两个方程都含参数] :I ,I II 法二①由秩先确定参数②求出解代入③验算[一个方程含参数](5)给出基础解系,及特解 反求方程组*12:,,,,s x ξξξ 已知基础解系为特解()()()121212*12,,,0,,,0:,,,,,"0",,,,,s T s t T t A y A t A Ax A ξξξξξξααααααββ==== 因为求出的基础解系根据题目确定矩阵的行数如果大于则补行令则即为所求(6) 解抽象方程组, 利用向量组之间线性表出关系, 基础解系的线性无关性, 令系数(含参)全0, 得方程组。
目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式1引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的, 在变分过程中增加了未知函数导数的阶数. 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函, 使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说, 变分法最终寻求的是极值函数, 它们使得泛函取得极大或极小值. 变分原理在物理学中, 尤其是力学中有着广泛运用, 如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等, 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达. 在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具.2椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：G u G y x f u v k =∈=+∇∇-Γ)2.1(,),(,)(σ, 其中Γ是边界, G 是平面区域).()()(),(),(,0),(,0min ),(),(21y u k y x u k x u k C g G L f G C G c y x k k G∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇∇Γ∈∈≥∈>∈=σσ 定义：{}),(,)(),()(221b a I I L f I L f f I H =∈'∈= 在解决第一边值问题的变分形式的过程中, 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式, 再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果: 极小位能原理, 虚功原理, 格林第一公式.格林第一公式：G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，nu ∂∂是u 沿n 的方向导数，则有: .)()(vds n u dxdy y v y u x v x u xdy vd u GG ⎰⎰⎰Γ∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-,),(),,(G y x y x f u ∈=∆- （2.1.3）,0=Γu （2.1.4） 定义：).,(),(21)(u f u u a u J -= 其中∆是Laplace 算符.2222yx ∂∂+∂∂ 极小位能原理: 设)(2*G C u ∈是边值问题(2.1.3)，（2.1.4）的解，则*u 使)(u J 达到极小.,反之，若)()(102*G H G C u ∈使)(u J 达到极小，则*u 是边值问题（2.1.3），（2.1.4）的解. 虚功原理: 设)(2G C u ∈，则u 满足（2.1.3），（2.1.4）的充要条件是：1E H u ∈且对于任意1E H v ∈满足变分方程，0),(),(=-v f v u a .2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理（1）极小位能原理： 设)(20G C u ∈为一特定函数，g u =Γ令0u u v -=，则得到（2.1），（2.2）的等价问题： .0)()(00⎪⎩⎪⎨⎧=-∂∂∂∂+==+∇∇-Γv u y u k y f F v v k σσ 构造v 的二次泛函,外内W W J +=∧ dxdy v v v k W G)((212⎰⎰+∇-∇=σ）内 dxdy Fv W G ⎰⎰=-外).,(),)((21)2)((212v F v v v k dxdy Fv v v v k J G -+∇-∇=-+∇-∇=⎰⎰∧σσ 在2C 中，dxdy Fv v F G⎰⎰=),(.21)(21),(),)((212⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∇∇-=-+∇-∇=∧GG G Fvdxdy dxdy v vdxdy v k v F v v v k J σ .)()()()(22222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰G G G G Gdxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy v y v k v y v y k v x v k v x v x k vdxdy y v k y x v k x vdxdyv k运用格林第一公式 .)()()(22dxdy y v x v k kvds n v dxdy y kv y v x kv x v dxdy v y v y k v x v x k GG G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=Γ .)(),(y uvdxd dxdyy y v y u x v x u k v u a GG ⎰⎰⎰⎰+∂∂∂∂+∂∂∂∂=σ令 则).,(),(21)(v F u v a v J -=∧ 下面回到原问题.)()()()(21)()()()(21)()(21),(),(2100200220000202020dxdy x u k x dxdy fu dxdy uu dxdy u dxdy y u y u x u x u k dxdy y u k x u k dxdy u u u y u k y x u k x f dxdy u u dxdy y u y u k x u x u k v F v v a J G G G G G G G GG ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂---+∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂+∂∂∂∂+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=-=∧σσσσ依据极小位能原理：)(**x v v =是下列变分问题的解, )(min )(*v J v J v =∧.变分问题表述为：求1*E H u ∈使).(min )(1*v J v J E H v ∈= (1E H 是所有满足非齐次边值（2.2）的函数类构成)(1I H 的子空间)2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的1E H v ∈, 有0),(),(=-v f v u a .证明: 以v 乘（2.1)的两端并在G 上积分，得 []).,(),(()()()()(2222v f v u a dxdy Fv dxdy uv dxdy y v y u x v x u k dxdy Fv dxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy Fv vdxdy y v k y x v k x dxdyFv v v v k GG G GG G GG G-=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=-+∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσ 原问题的变分问题变为：求u ，12E H C u ∈，满足变分方程0),(),(=-v F v u a ，对任意的1E H v ∈.3椭圆型方程的第二边值问题在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型poisson 方程. 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第二边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就方程poisson :.),(),,(G y x y x f v ∈=∆- (3.1.1)G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量.在Γ上u 满足第二边值条件δ=∂∂nu (3.1.2) 3.1建立第二边值条件的极小位能原理 取一特定函数)(20u C u ∈，δ=∂∂nu 0，令0u u v -=，则.0=∂∂n v 先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到（3.1.1），（3.1.2）的等价问题 ,0F u f v =∆+=∆- (3.1.2).0=∂∂nv (3.1.3) 构造二次泛函:,外内W W J +=∧其中, ,dxdy Fv W G ⎰=外.)(21v d x d y v W G ⎰⎰∆-=内 .)(2121)()(2121)()(21),(),(21),(),(21)(21)(,00000020022222常数常数所以外内+∆-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=+∆---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-=-∆-=+∆-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓxdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J xdy ud u xdy fud ds auu ds au xdy d y u y u x u x u dxdy y v x v xdy Fvd ds av dxdy y v x v v F v v v F v v dxdy Fv dxdy v v W W v J uu u u u G uG G G其中，.)()(0000xdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J uu ⎰⎰⎰⎰⎰∆-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ又由格林第一公式知道.)(0000ds n u xdy d y u y u x u x u xdy ud u u u ⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆- (3.1.6) 原问题的变分问题的变分形式为：求)(1*u H u E ∈，使得)(min )(*u J u J n u δ=∂∂= .21)(00⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=uG fudxdy dxdy y u y u x u x u u J 3.2建立第二边值条件的虚功原理对任意的1E H v ∈,有0),(),(=-v f v u a以v 乘（1.1)的两端并在G 上积分，得[],0)(=-∆-⎰⎰dxdy fv v u G（3.2.1）利用公式（1.2.3）及关于v u ,的边值条件（)()得.)()()(dxdy y v y u x v x u vds n u dxdy y v y u x v x u vdxdy u GG G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-Γ定义双线性形式:dxdy yv y u x v x u v u a G ⎰⎰∂∂∂∂+∂∂∂∂=)(),( 则（3.2.1）写成 0),(),(=-v f v u a . 设12),(E H v G C u ∈∈，则由(3.1.6)得到，,)(),(),(dxdy v f u v f v u a G⎰⎰-∆-=-则原问题的变分问题的变分形式还可以表述为：求u ，12)(E H G C u ∈，对任意.0),(),(,1=-∈v f v u a H v E4椭圆型方程的第三边值问题：在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型poisson 方程. 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第三边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就.),(),,(G y x y x f u poisson ∈=∇-方程 （4.1.1）G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，nu ∂∂是u 沿n 的方向导数.在Γ上u 满足第三边值条件βα=+∂∂Γu n u 0≥α （4.1.2）4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理取一特定函数)(20u C u ∈，βα=+∂∂Γ00u n u ，令0u u v -=，则,0=+∂∂Γv nv α 则得到（3.3,1），（3,3,2）的等价问题,0F u f v =∆+=∆- （4.1.3）.0=+∂∂Γv nv α （4.1.4） 常数常数所以+∆--∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=+∆---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-=-∆-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓxdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J xdy ud u xdy fud ds auu ds au xdy d y u y u x u x u dxdy y v x v xdy Fvd ds av dxdy y v x v v F v v v F v v v J uu uu u G uG 00000020022222)()(2121)()(2121)()(21),(),(21),(),(21)(,β其中， xdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J uu ⎰⎰⎰⎰⎰∆--∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ0000)()(β 又由格林第一公式知道.)(0000ds n u xdy d y u y u x u x u xdy ud u u u ⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-原问题的变分问题的变分形式为：求)(1*u H u E ∈，使得)(min )(*u J u J u n u βαγ=+∂∂=.2121)(200⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=uds fudxdy dxdy u dxdy y u y u x u x u u J u G βα 4.2建立第三边值条件等价的虚功原理依据虚功原理，对任意的1E H v ∈,有， 0),(),(=-v f v u a证明：以v 乘（4.1.1)的两端并在G 上积分，得[]0)(=-∆-⎰⎰dxdy fv v u G（4.2.1）利用公式（1.2.3）及关于v u ,的边值条件（4.1.2）得 ..)()()(ds uv dxdy y v y u x v x u vds n u dxdy y v y u x v x u vdxdy u G G G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓ+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-α (4.1.3) 定义双线性形式:,)()(),(vds u n u dxdy y v y u x v x u v u a G α+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰Γ则（4.2.1）写成，0),(),(=-v f v u a 设12),(E H v G C u ∈∈，则由(4.1.3)得到 vds u nu dxdy v f u v f v u a G )()(),(),(α+∂∂+-∆-=-⎰⎰⎰Γ. 边值问题的另一变分形式是：求U u ∈，对任意的U v ∈, 使).,(),(v f v u a =结束语经过两个多月的努力，论文终于完成在整个设计过程中，出现过很多的难题，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了，在不断的学习过程中我体会到：写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对变分问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识，我体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。
一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性的开题报告
椭圆方程共振问题是指存在一种非线性椭圆方程，其解具有多重性质，即存在多个不同形态的解。
这类问题具有广泛的应用背景，例如在物理学、生物学、化学等领域的研究中都存在这种问题。
椭圆方程解的存在性和多重性一直是一个热门的研究领域，其中最具代表性的问题是Liouville方程的研究。
在19世纪，Liouville首次研究了一类具有特殊非线性项和特定域的二维椭圆方程，并发现该方程具有非平凡解的存在性和多重性。
此后，许多学者继续研究该问题，并提出了许多解的存在性和多重性的判定条件。
基于这些研究成果，学者们提出了一系列解决共振问题的方法，其中包括正则化技术、KAM理论等，这些方法都能够有效地解决椭圆方程共振问题。
总之，椭圆方程共振问题的研究对于深入理解自然现象及其背后的数学本质具有重要意义。
目前，该问题仍存在许多未解决的问题，需要继续深入研究。
RN上一类拟线性椭圆型方程弱解的多重性贾高; 陈洁; 郭露倩【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2014(029)004【总页数】9页(P453-461)【关键词】拟线性椭圆型方程; 不光滑临界点理论; 变分法【作者】贾高; 陈洁; 郭露倩【作者单位】上海理工大学理学院上海200093【正文语种】中文【中图分类】O175.252000年,Gazzola和Radulescu[1]在RN上研究了方程的解的存在性.2010年,Aouaoui[2]在RN上讨论了拟线性椭圆型方程的多解性问题,其中As(x,u)=事实上还有许多学者对半线性或拟线性方程的多解性进行研究,如文献[3-6].本文在RN中,对A(x,s)及f(x,s)在适当的假设之下,研究下列方程弱解的多重性.所谓是(1.1)的弱解,是指下列关系成立根据变分原理,研究(1.1)弱解的存在性等价于寻求如下泛函的临界点其中首先指出,由于被积函数A(x,u)依赖于未知函数u,这使得泛函J在空间中可能不Gateaux可微,而只在(在下文中,将空间简记为HL)中可微.因此运用古典的临界点理论不能解决(1.1)弱解的存在性问题,将利用不光滑临界点理论和山路定理,研究(1.1)弱解的多重性.另外,在本文中主要是依靠条件(f-3)来证明紧性,而在文献[6]中,在得到紧性过程中,条件定义2.1称u为泛函J的临界点,如果即为了得到(PS)c序列(见定义2.4)的紧性,进而证明方程(1.1)具有多重解,假设N≥3,2∗=函数A(x,s)和f(x,s)分别满足:(A-1)A(·,·):RN×R→R,使得(i)对于每个s∈R,A(x,s)关于x是可测的,(ii)对几乎所有的x∈RN,A(x,s)关于s是属于C1;(A-2)存在0＜α＜β＜+∞,使得(A-3)存在使得(f-1)设Carathodary函数f(·,·):RN×R→R,满足:f(x,0)=0,a.e.x∈RN,其中θ与(A-3)中一致;定义2.2[7]设X是完备的度量空间,泛函I:X→R为连续泛函,|dI|(u)表示实数σ的上确界,并称|dI|(u)为I在u处的弱斜率.其中σ＞0满足:存在δ＞0和连续映射H(u,t): B(u,δ)×[0,δ]→X,使得对任意v∈B(u,δ)和任意t∈[0,δ],当d(H(v,t),t)≤t时,有定义2.3[7]设c∈R,称泛函I在水平c满足具体的Palais-Smale条件(简称(CPS)c 条件),如果对任意序列(RN),满足:〈I′(un),v〉≤εn‖v‖,∀v∈HL,其中εn≥0,且则中有强收敛子列.定义2.4[7]设X为完备的距离空间,I:X→R为连续泛函且c∈R.称I在水平c满足Palais-Smale条件(简写(PS)c),如果X中的每一序列{un}满足则{un}存在强收敛子列.本文的主要结果是:定理3.1假设A(x,s)和f(x,s)满足条件(A-1)−(A-3),(f−1)−(f−3).进一步假设A(x,−s)=A(x,s),f(x,−s)=−f(x,s),a.e.x∈RN,∀s∈R.那么存在序列{un}⊂HL是问题(1.1)的弱解,且有J(un)→+∞.为了证明定理3.1,先建立或给出下列命题和引理.命题3.2在满足假设(A-1)−(A-3),(f−1)−(f−3)之下,则泛函J(由(1.2)给出,以下均如此)是连续的,且对每一个有其中|dJ|(u)表示J在u的弱斜率.证容易验证J是连续的,且对每一个u∈和v∈HL,有进一步,函数u｜→〈J′(u),v〉也是连续的.如果sup{〈J′(u),v〉,v∈HL,‖v‖≤1}=0,命题显然成立.否则,考虑σ＞0使得则存在v∈HL,‖v‖≤1,使得利用连续性,存在ζ＞0,使得对每一个ω∈B(u,ζ),成立显然‖H(ω,t)−ω‖=‖tv‖≤t.另一方面,由(3.1)容易得到J(H(ω,t))≤J(ω)−σt,即由弱斜率的定义,对于给定且满足上述条件的σ＞0,则有|dJ|(u)≥σ.再利用σ的任意性,便得到命题3.3设c∈R,如果J满足(CPS)c条件,则J满足(PS)c条件.证设中序列{un}满足注意到,对v∈HL,有|〈J′(un),v〉|≤sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1}‖v‖.由命题3.2,有|dJ|(un)≥sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1}.取εn=sup{〈J′(un),v〉,‖v‖≤1},故结论成立. 为了得到本文的结论,还需要下面的几个引理.引理3.4如果是泛函J的临界点,则u∈L∞(RN).证对于k＞1,M＞0,考虑定义在R上的实函数Tk,UM,WM,其中定义s+=max(s,0),s-=max(−s,0).在(2.1)中取测试函数v=UM(u+)∈HL,便有因为因此当M→+∞时,有UM(u+)→Tk(u+)几乎处处成立,和在中有UM(u+)⇀Tk(u+).从而当M→+∞时,有定义如果那么结论成立.在接下来的讨论中,假设由假设(A-2)可得利用[8]的定理5.2知u+∈L∞(RN).将WM(−u-)代替UM(u+),同样方法可以证明u-∈L∞(RN).从而u∈L∞(RN).引理3.5设{un}是中的有界序列且其中{εn}是收敛于0的实数序列,则存在,使得在RN上∇un→∇u几乎处处成立,并且存在子序列(不妨仍记为{un}),有un⇀u在H01(RN)中.进一步成立即u是J的临界点.证因为中有界,则存在使得n→∞时,存在{un}的子序列(仍记为{un})成立中,un→u,a.e.在RN中.进一步,因为{un}满足(3.6),由文献[9]的定理2.1有(可能是子序列)∇un→∇u,a.e.在RN中.下面将用文献[10]中的方法进行分析和讨论.考虑测试函数由(3.13)及上式,可得结合(3.9)及上式,利用Fatou引理,可以得到引理3.8设序列{un}由引理3.5给出,则存在{un}的子列(仍记为{un}),在中强收敛于点u.证由引理3.5知,u是泛函J的临界点,由引理3.4得到u∈L∞(RN).因此,在(3.7)式中取v=u,有根据引理3.5的证明知∇un→∇u,a.e.x∈RN.因此,利用Fatou引理,可以得到运用类似于证明(3.10)的方法可以得到,对于r＞1,成立因为q+1∈[2,2∗),故对给定ε＞0,当r足够大时,对所有n成立进一步,由(f-3)存在R1＞0,使得另外,因为un→u在Lq(B(0,R1))中.再次利用(f-2),对足够大的n,有结合(3.22)-(3.23)及上式,对足够大的n成立由弱收敛的定义,对足够大的n,有综合上述讨论有由(3.21),(3.25),对(3.17)式取上极限,得到另一方面,由Lebesgue控制收敛定理和un⇀u在中,可得由于A(x,un)∇un在L2(RN)上有界,则有A(x,un)∇un⇀A(x,u)∇u在L2(RN),因此由弱收敛的定义,有结合(3.25)-(3.30),得到所以,在中序列{un}强收敛于u.引理3.9对每一个实数c,泛函J满足(CPS)c条件.证设中序列{un}满足(3.6)和(3.18).由引理3.7得,序列{un}在上有界.因此,由引理3.8可以推出结论.证明定理3.1还基于下列基本引理[11].引理3.10设X是无限维Banach空间,I:X→R为连续偶泛函,并且对任意c∈R,I满足(PS)c条件.更进一步假设:(i)存在ρ＞0,α＞I(0)和一个余维数有限的子空间V⊂X,满足:(ii)对于任意有限维子空间W⊂X,存在R＞0,使得则I存在临界点序列{uh}满足定理3.1的证明容易验证泛函J是连续且为偶泛函.进一步,由命题3.3和引理3.9,对于∀c∈R,泛函J满足(PS)c.另一方面,由(1.2),(A-2),(f-1)和(f-2),对,有因此,存在ρ＞0,δ＞0,使得当‖u‖=ρ时,J(u)≥δ.这说明泛函J在V=H10(RN)上满足引理3.10的条件(i).现在考虑的有限维子空间W.设u∈WZ,J(u)≥0.由(A-2),有由(f-1)和(f-2),存在z(x)∈L∞(RN)满足z(x)＞0,a.e.x∈RN和一个正常数C2,使得结合(3.32)-(3.33),有由于W是有限维空间,而W上所有范数等价.注意到也是W中范数,由(3.34)知存在C3＞0,使得‖u‖θ≤C3‖u‖2.因为θ＞2,故集合上有界,说明引理3.10的条件(ii)成立.这样便得到定理3.1的结论.【相关文献】[1]Gazzola F,Radulescu V.A nonsmooth critical point theory approach to some nonlinear elliptic equations in RN[J].Di ff erential and Integral Equations,2000,13(1-3):47-60.[2]Aouaoui S.Multiplicity of solutions for quasilinear elliptic equations in RN[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,370(2):639-648.[3]Chen Yu,Li Yongqing.In fi nitely many solutions for a semilinear elliptic equations with sign-changing potential[J].Boundary Value Problems,2009,2009:1-7.[4]Squassina M.Weak solutions to general Euler’s via nonsmooth critical point theory[J]. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse,2000,9(1):113-131.[5]Pellacci B,Squassina M.Unbounded critical points for a class of lower semicontinuous functionals[J].Journal of di ff erential equations,2004,201(1):25-62.[6]Jia Gao,Chen Jie,Zhang Longjie.In fi nitely many solutions for a class of quasilinear elliptic equations with p-Laplacian in RN[J].Boundary Value Problems,2013,179:1-13. [7]Degiovanni M,Marzocchi M.A critical point theory for nonsmooth functionals[J].Annali di Matematica Pura ed Applicata,1994,167(4):73-100.[8]Ladyzenskaya O A,Uralceva N N.Equations aux derivees partielles de type elliptiques[M]. Paris:Dunod,1968,88-225.[9]Boccardo L,Murat F.Almost everywhere convergence of the gradients of solutions to elliptic and parabolic equations[J].Nonlinear Analysis,1992,19(6):581-597.[10]Boccardo L,Murat F,Puel J P.Existence de solutions non bornées pour certaineséquations qu asi-linéaires[J].Portugaliae Mathematica,1982,41:507-534.[11]Rabinowitz P H.Minimax methods in critical point theory with applications to di ff erential equations[A].Conference Board of the Mathematics Sciences,Regional Conference series in Mathematics,Vol.65[C].Providence:American Mathematical Society,1986.。
