应用数学MATHEMATICA APPLICATA 2021,34(1):98-106非线性椭圆障碍问题很弱解的全局可积性佟玉霞,杨雅琦,周艳霞(华北理工大学理学院,河北唐山063210)摘要：本文研究一类非线性椭圆方程的K rψ,θ(Ω)-障碍问题很弱解u 的全局可积性,其中u 的可积指数r 满足max {1,p −1}<r <p <n .令θ∗=max {θ,ψ},若θ∗∈W 1,q (Ω),q >r ,则上述问题的很弱解u 具有全局可积性,这里r 充分接近p .关键词：可积性;很弱解;障碍问题中图分类号：O175.25AMS(2000)主题分类：35J60;49J20文献标识码：A 文章编号：1001-9847(2021)01-0098-091.引言设Ω⊂R n (n ≥2)是一个有界正则区域,1<p <n ,这里正则域指的是具有有限测度并使得下文Hodge 分解(引理2.1)成立的区域.例如,Lipschitz 域和A 型区域是正则的.令ψ为Ω中任意取值于R ∪{−∞,+∞}的函数,θ∈W 1,r (Ω).令K r ψ,θ(Ω)={v ∈W 1,r(Ω):v ≥ψ,a.e.,v −θ∈W 1,r 0(Ω)},其中函数ψ为障碍函数,θ为边值函数.本文考虑非线性椭圆方程−div A (x,∇u )=B (x,∇u )(1.1)的K r ψ,θ(Ω)-障碍问题很弱解的全局可积性.文中θ∗=max {θ,ψ},q >r ,θ∗∈W 1,q (Ω).假设A (x,ξ)满足下面的条件:存在正常数0<λ≤Λ1,使得{|A (x,ξ)|≤Λ1(|ξ|p −1+a (x )),⟨A (x,ξ1)−A (x,ξ2),ξ1−ξ2⟩≥λ|ξ1−ξ2|p ,∀ξ1,ξ2∈R n\{0};(1.2)并且B (x,ξ)满足|B (x,ξ)|≤Λ2(|ξ|p −δ+b (x )),(1.3)这里1<δ<p ,a (x )∈L qp −1(Ω)，b (x )∈L nqq +np −n (Ω).现在介绍引理2.1中扰动向量场的Hodge 分解|∇(v −u )|p −2∇(v −u )∈L r/(r −p +1)(Ω):|∇(v −u )|r −p ∇(v −u )=∇φv,u +h v,u(1.4)其中φv,u ∈W 1,r/(r −p +1)0(Ω),h v,u ∈L r/(r −p +1)(Ω)是散度自由的矩阵场.下面给出方程(1.1)的K rψ,θ(Ω)-障碍问题很弱解的定义.定义1.1称u ∈θ+W 1,r 0(Ω)为(1.1)的K rψ,θ(Ω)-障碍问题的很弱解,max {1,p −1}<r <p ,如果∫Ω⟨A (x,∇u ),|∇(v −u )|r −p ∇(v −u )−h v,u ⟩d x ≥∫ΩB (x,∇u )φv,u d x(1.5)∗收稿日期：2020-01-05基金项目：河北省社会科学基金(HB17YJ094)作者简介：佟玉霞,女,汉族,河北人,副教授,研究方向：偏微分方程及其应用.第1期佟玉霞等：非线性椭圆障碍问题很弱解的全局可积性99对于任意v∈K rψ,θ(Ω)成立,这里φv,u和h v,u取自(1.4).上面定义中“很弱”的含义是指解u的可积指数r可以小于自然指数p,这不同于通常的经典弱解u∈θ+W1,p(Ω)的假设.首先回顾很弱解的相关进展.Iwaniec在文[1]中首次提出了很弱解的概念,对p-调和张量和弱拟正则映射,其弱导数的可积性低于自然指数.此外,Iwaniec-Sbordone[2]和Iwaniec等[3]分别考虑了变分积分的弱极小和r充分接近p时的弱p-调和型方程的正则性;通过对扰动向量场的Hodge分解的方法,得到了变分积分的弱极小和弱p-调和方程的很弱解实际上是经典意义下的弱解.另一方面,与Iwaniec使用的方法不同的是,Lewis[4]通过调和分析技术获得了某些椭圆型方程很弱解的高阶可积性.后来,Lewis的调和分析技术又扩展到p-拉普拉斯算子[5−6]的抛物型方程组,以及各种非标准增长的椭圆和抛物型方程组[7−10].这从本质上说是使用了弱导数的逆H¨o lder不等式从而提高可积性来实现的[11].Greco等在文[12]中研究了非齐次p-调和方程−div(|∇u(x)|p−2∇u(x))=−div f,获得了算子H的估计.郑神州和方爱农[13]研究了非线性椭圆方程组−DαAαi(x,Du)=B i(x,Du)(1.6)的很弱解,并且在扰动向量场的Hodge分解的基础上,得到了其很弱解的微商具有自我提高的可积性.有关很弱解的更多结果,参见[1,4,12,14].本文研究的可积性问题在非线性椭圆偏微分方程的正则性理论和相应的障碍问题中占有重要地位.在文[15]中,GAO等研究解决在某些合适的强制性条件和控制增长条件下,一类各项异性椭圆方程n∑i=1D i(a i(x,Du(x)))=n∑i=1D i f i(x)的K p iψ,θ-障碍问题中解的可积性问题.关于本问题的更多文献,建议读者参考文[16–18].令t>0,Ω⊂R n,弱L t-空间或Marcinkiewicz空间[16]指的是包含所有满足|{x∈Ω:|f(x)|>s}|≤ks t的可测函数f构成的空间,其中正常数k=k(f),s>0,|E|是E的n维测度.记为弱L t-空间或L tweak (Ω).注意到,对于某些t>1,|Ω|<∞,如果f∈L tweak(Ω),则对于任意的1≤τ<t,有f∈Lτ(Ω).本文主要结果如下.定理1.1设θ∗=max{θ,ψ},θ∗∈W1,q(Ω),q>r.假设算子A(x,∇u)和B(x,∇u)满足结构性条件(1.2)和(1.3).那么存在一个常数ε0=ε0(n,p,Λ1,Λ2,λ)>0,使得对于(1.1)的K rψ,θ(Ω)-障碍问题的任意很弱解u∈θ+W1,r(Ω),max{1,p−1}<r<p<n,有u∈θ∗+L q∗weak(Ω),当1≤q<n时,θ∗+Lτ(Ω),当q=n且任意1≤τ<∞时,θ∗+L∞(Ω),当q>n时,(1.7)这里0<p−r<ε0,q∗=nqn−q.本文证明受高红亚和郑神州等人的论文[13,16,19−20]的启发,因为定义式(1.5)中很弱解不能做为容许函数,因此通过Hodge分解构造一个适当的容许函数.也就是说,本文的关键是通过Hodge分解选择一个合适的容许函数[2,13],然后根据Stampacchia引理[19]实现最终目标.需要说明的是,文[21]也考虑了一类A-调和方程的障碍问题的很弱解的全局可积性,但是其采用的方法主要是通过建立关于很弱解的梯度的弱逆H¨o lder不等式从而提高可积性来实现的.本文与其采用的方法是不同的.100应用数学20212.预备知识本节将介绍一些有用的引理.这些引理将在证明主要结论时起重要作用.用C (n,p,Λ1,···)表示仅依赖于规定数量的常数,各行中的常数C 可能有不同.首先,给出向量场的Hodge 分解,见文[13]中的引理2.2.引理2.1设v ∈W 1,r0(Ω,R m ),max {1,p −1}<r <p .则一定存在φ∈W 1,r r −p +10(Ω,R m )和散度自由的矩阵场h ∈L rr −p +1(Ω,R n ×m ),使得|∇v |r −p ∇v =∇φ+h,并且有估计式∥h ∥L r r −p +1(Ω)≤C (p −r )∥∇v ∥r −p +1L r (Ω),其中C =C (n,p,Ω).下面一个有效的工具就是著名的Stampacchia 引理,参见文[22]中的引理4.1.引理2.2令α,β为正常数,递减函数ϕ:[s 0,+∞)→[0,+∞),满足ϕ(r )≤C(r −s )α[ϕ(s )]β,其中常数C >0,r >s ≥s 0.于是(i)若β>1,则ϕ(s 0+d )=0,这里d =(C 2αββ−1(ϕ(s 0))β−1)1α;(ii)若β=1,则当s ≥s 0时,有ϕ(s )≤ϕ(s 0)e 1−(Ce )−1α(s −s 0);(iii)若β<1,则当s ≥s 0>0时,有ϕ(s )≤2α(1−β)2(C 11−β+(2s 0)α1−βϕ(s 0))(1s)α1−β.3.定理1.1的证明证令θ∗=max {θ,ψ}.对于任意的L >0,令M = u −θ∗+L,当u −θ∗<−L 时,0,当−L ≤u −θ∗≤L 时,u −θ∗−L,当u −θ∗>L 时,(3.1)因此,有M ∈W 1,r(E ),E ={|u −θ∗|>L },并且∇M =(∇u −∇θ∗)·1{|u −θ∗|>L },(3.2)其中1{|u −θ∗|>L }是集合E 的特征函数,即当x ∈E 时,1E =1.否则1E =0.令v =u −M,(3.3)那么v ∈K rψ,θ(Ω).这是因为,1)显然v ∈W 1,r (Ω);2)当u ∈θ+W 1,r0(Ω)时,因为θ∗=(ψ−θ)++θ,并且0≤(ψ−θ)+≤(u −θ)+∈W 1,r0(Ω),因此(ψ−θ)+属于W 1,r 0(Ω),因此θ∗∈θ+W 1,r(Ω).于是在∂Ω上θ∗=max {θ,ψ}=θ=u ,于是在∂Ω上M =0,从而v ∈θ+W 1,r0(Ω);3)第一种情况,当u −θ∗<−L 时,v =u −(u −θ∗+L )=θ∗−L >u ≥ψ;第二种情况,有v =u ≥ψ;第三种情况,v =u −(u −θ∗−L )=θ∗+L ≥θ∗≥ψ.因此,有∇v −∇u =−(∇u −∇θ∗)·1{|u −θ∗|>L }.(3.4)第1期佟玉霞等：非线性椭圆障碍问题很弱解的全局可积性101现在引入扰动向量场|∇(v −u )|p −2∇(v −u )∈L r/(r −p +1)(E )的Hodge 分解,如引理2.1所示.于是,|∇(v −u )|r −p ∇(v −u )=∇φv,u +h v,u ,(3.5)其中φv,u ∈W 1,r/(r −p +1)0(E )并且h v,u 属于散度自由的矩阵场L r/(r −p +1)(E ).于是有∥∇φv,u ∥L r/(r −p +1)(E )≤C (n,p )∥∇(v −u )∥r −p +1L r (E ),(3.6)且∥h v,u ∥L r/(r −p +1)(E )≤C (n,p )(p −r )∥∇(v −u )∥r −p +1L r (E ).(3.7)于是v ∈K rψ,θ(Ω)可以作为容许函数代入积分式(1.5),得到∫Ω⟨A (x,∇u ),|∇(v −u )|r −p∇(v −u )−h v,u ⟩d x ≥∫ΩB (x,∇u )φv,u d x.上式左侧利用(1.2),得到∫Ω⟨A (x,∇u ),|∇(v −u )|r −p ∇(v −u )−h v,u ⟩d x =−∫E⟨A (x,∇u ),|∇u −∇θ∗|r −p (∇u −∇θ∗)⟩d x −∫E⟨A (x,∇u ),h v,u ⟩d x=−∫E⟨A (x,∇u )−A (x,∇θ∗),(∇u −∇θ∗)⟩|∇u −∇θ∗|r −p d x−∫E⟨A (x,∇θ∗),(∇u −∇θ∗)⟩|∇u −∇θ∗|r −p d x −∫E ⟨A (x,∇u ),h v,u ⟩d x≤−λ∫E|∇u −∇θ∗|r d x −∫E⟨A (x,∇θ∗),(∇u −∇θ∗)⟩|∇u −∇θ∗|r −pd x −∫E⟨A (x,∇u ),h v,u ⟩d x,这表明∫E|∇u −∇θ∗|r d x ≤C(∫E|A (x,∇θ∗)||∇u −∇θ∗|r −p +1d x −∫E⟨A (x,∇u ),h v,u ⟩d x −∫ΩB (x,∇u )φv,u d x ):=C (I 1+I 2+I 3).(3.8)使用(1.2),(1.3),(3.7),(3.6),H¨o lder 不等式,Young 不等式和Sobolev-Poincar´e 不等式,I 1,I 2,I 3可估计如下:|I 1|=∫E|A (x,∇θ∗)||∇u −∇θ∗|r −p +1d x≤Λ1∫E (|∇θ∗|p −1+a (x ))|∇u −∇θ∗|r −p +1d x≤ε·C ∫E|∇u −∇θ∗|r d x +C (ε)∫E|∇θ∗|rd x +C (ε)∫E|a (x )|rp −1d x,(3.9)这里ε>0足够小.|I 2|≤∫E|A (x,∇u )||h v,u |d x ≤Λ1∫E(|∇u |p −1+a (x ))|h v,u |d x≤2max {0,p −2}Λ1(∫E|∇u −∇θ∗|p −1|h v,u |d x +∫E |∇θ∗|p −1|h v,u |d x )+Λ1∫Ea (x )|h v,u |d x≤C(∫E|∇u −∇θ∗|r d x)p −1r(∫E|h v,u |r r −p +1d x)r −p +1r102应用数学2021+C(∫E|∇θ∗|r d x )p −1r(∫E|h v,u |rr −p +1d x )r −p +1r +C(∫E |a (x )|r p −1d x )p −1r(∫E|h v,u |rr −p +1d x)r −p +1r≤C (p −r )(∫E|∇u −∇θ∗|r d x )p −1r(∫E|∇u −∇θ∗|r d x)r −p +1r+C (p −r )(∫E |∇θ∗|r d x )p −1r(∫E|∇u −∇θ∗|r d x )r −p +1r+C (p −r )(∫E |a (x )|rp −1d x )p −1r(∫E|∇u −∇θ∗|r d x)r −p +1r≤C (1+2ε)(p −r )∫E|∇u −∇θ∗|r d x +C (ε)(p −r )∫E|∇θ∗|r d x +C (ε)(p −r )∫E|a (x )|rp −1d x,(3.10)这里限制0<p −r <ε0,其中ε0为待定常数.|I 3|≤∫E|B (x,∇u )||φv,u |d x ≤Λ2∫E(|∇u |p −δ+b (x ))|φv,u |d x≤Λ2(∫E (|∇u |p −δ+b (x ))q 0d x )1q 0(∫E|φv,u |nrnr −r −np +n d x)nr −r −np +n nr≤C ((∫E|∇u |(p −δ)q 0d x )1q 0+(∫E|b (x )|q 0d x )1q 0)(∫E|∇φv,u |r r −p +1d x)r −p +1r≤C ((∫E|∇u |(p −δ)q 0d x )1q 0+(∫E |b (x )|q 0d x )1q 0)(∫E|∇(v −u )|r d x)r −p +1r≤C(∫E|∇u |(p −δ)q 0d x )1q 0(∫E|∇u −∇θ∗|r d x)r −p +1r+C (∫E |b (x )|q 0d x )1q 0(∫E|∇u −∇θ∗|r d x)r −p +1r:=C (J 1+J 2),其中q 0=nrr +np −n.通过计算得到当δ∈(1,p )时p −δr <1q 0,于是有J 1≤C |E |1q 0−p −δr (∫E |∇u |r d x )p −δr (∫E|∇u −∇θ∗|r d x)r −p +1r ≤C |E |1q 0−p −δr((∫E |∇u −∇θ∗|r d x )p −δr +(∫E|∇θ∗|r d x)p −δr)(∫E |∇u −∇θ∗|r d x )r −p +1r =C |E |1q 0−p −δr ((∫E |∇u −∇θ∗|r d x )r −δ+1r +(∫E |∇θ∗|r d x )p −δr (∫E|∇u −∇θ∗|r d x)r −p +1r )≤C ·ε∫E|∇u −∇θ∗|r d x +C (ε)|E |(1q 0−p −δr )rδ−1+C (ε)|E |(1q 0−p −δr )rp −1(∫E|∇θ∗|r d x)p−δp −1,第1期佟玉霞等：非线性椭圆障碍问题很弱解的全局可积性103并且J 2≤C ·ε∫E|∇u −∇θ∗|r d x +C (ε)(∫E|b (x )|q 0d x )r q 0(p−1).将J 1和J 2的估计值放在一起,得到|I 3|≤C ·ε∫E|∇u −∇θ∗|r d x +C (ε)|E |(1q 0−p −δr )r δ−1+C (ε)|E |(1q 0−p −δr )rp −1(∫E|∇θ∗|r d x )p −δp −1+C (ε)(∫E|b (x )|q 0d x )r q 0(p−1).(3.11)因此,结合(3.8),(3.9),(3.10)和(3.11),可得∫E|∇u −∇θ∗|r d x ≤C ·(2ε+(1+2ε)(p −r ))∫E|∇u −∇θ∗|rd x +C (ε)(1+(p −r ))∫E|∇θ∗|r d x+C (ε)|E |(1q 0−p −δr )rp −1(∫E|∇θ∗|r d x)p −δp −1+C (ε)(p −r +1)∫E|a (x )|rp −1d x+C (ε)(∫E|b (x )|q 0d x )r q 0(p −1)+C (ε)|E |(1q 0−p −δr )rδ−1,(3.12)其中0<p −r <ε0,取正常数ε,ε0足够小,使得C ·(2ε+(1+2ε)(p −r ))≤12.于是(3.12)右边的第一项可以被左边吸收,于是得到∫E|∇u −∇θ∗|r d x ≤C ∫E|∇θ∗|r d x +C |E |(1q 0−p −δr )r p −1(∫E |∇θ∗|r d x )p −δp −1+C∫E|a (x )|rp −1d x +C(∫E|b (x )|q 0d x )r q 0(p−1)+C |E |(1q 0−p −δr )rδ−1:=C (K 1+K 2+K 3+K 4+K 5).(3.13)由于θ∗∈W 1,q (Ω),q >r ,使用H¨o lder 不等式可得K 1≤(∫E|∇θ∗|q d x )r q|E |1−rq ≤∥∇θ∗∥r L q (Ω)|E |1−r q (3.14)和K 2≤|E |(1q 0−p −δr )rp −1(∫E|∇θ∗|q d x )rq p −δp −1|E |(1−r q )p −δp −1≤∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)|E |(1q 0−p −δr )r p −1+(1−r q )p −δp −1.考虑q 0=nrr +np −n,δ∈(1,p ),有(1q 0−p −δr )rp −1+(1−r q )p −δp −1=r p −1(r +np −n nr −p −δr )+1−r q +(1−r q )(p −δp −1−1)=1−r q +1p −1(r −n +nδn +q −rq (1−δ))=1−r q +1p −1(δ−1)rn +rq nq >1−r q,于是K 2≤∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)|E |1−r q |Ω|(δ−1)rn +rq nq (p −1)≤∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)|E |1−r q (|Ω|+1)(δ−1)pn +pq nq (p −1).(3.15)104应用数学2021由于a (x )∈L qp −1(Ω),b (x )∈L nqq +np −n (Ω),可得K 3≤(∫E|a (x )|q p −1d x )rq |E |1−rq ≤∥a (x )∥r p −1L qp −1(Ω)|E |1−rq(3.16)和K 4≤(∫E|b (x )|nqq +np −n d x )(q +np −n )r nq(p −1)|E |r (p −1)q 0−(q +np −n )r nq (p −1)≤∥b (x )∥r p −1L nqq +np −n (Ω)|E |r(p −1)q 0−(q +np −n )r nq (p −1)=∥b (x )∥r p −1L nqq +np −n (Ω)|E |1−rq ,(3.17)其中r (p −1)q 0−(q +np −n )rnq (p −1)=1−r q.类似地,由于(1q 0−p −δr )r δ−1=(1−r q )+[r (δ−1)n +r q ]>1−r q ,于是有K 5≤|E |1−r q|Ω|r(δ−1)n+r q ≤|E |1−r q(|Ω|+1)p(δ−1)n+p q .(3.18)将K 1,K 2,K 3,K 4和K 5的估计值代入(3.13),得到∫E |∇u −∇θ∗|r d x ≤C (∥∇θ∗∥rL q (Ω)+∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)+∥a (x )∥r p −1L q p −1(Ω)+∥b (x )∥rp −1L nqq +np −n (Ω)+1)|E |1−rq ,(3.19)其中C =C (n,p,q,λ,Λ1,Λ2,δ,|Ω|).现在把注意力转回到函数v ∈W 1,r(E )上.根据在E 中|v −u |=|u −θ∗|−L ,Sobolev 嵌入定理和(3.4),可得(∫E(|u −θ∗|−L )r ∗d x )1r ∗=(∫E|v −u |r ∗d x )1r ∗≤C (n,r )(∫E|∇v −∇u |r d x )1r =C (n,r )(∫E|∇u −∇θ∗|r d x )1r .(3.20)因此,当˜L>L 时,有(˜L−L )r ∗|{|u −θ∗|>˜L }|=∫{|u −θ∗|>˜L}(˜L −L )r ∗d x ≤∫{|u −θ∗|>˜L}(|u −θ∗|−L )r ∗d x ≤∫{|u −θ∗|>L }(|u −θ∗|−L )r ∗d x.(3.21)通过整理(3.19),(3.20),(3.21)和E ={|u −θ∗|>L },得到((˜L −L )r ∗|{|u −θ∗|>˜L }|)1r ∗≤C ∗(∥∇θ∗∥r L q (Ω)+∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)+∥a (x )∥r p −1L q p −1(Ω)+∥b (x )∥r p −1L nqq +np −n(Ω)+1)1r|{|u −θ∗|>L }|1r −1q ,其中C ∗=C ∗(n,p,q,λ,Λ1,Λ2,δ,|Ω|).于是有|{|u −θ∗|>˜L}|第1期佟玉霞等：非线性椭圆障碍问题很弱解的全局可积性105≤1(˜L −L )r ∗C r ∗∗(∥∇θ∗∥rL q (Ω)+∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)+∥a (x )∥r p −1L q p −1(Ω)+∥b (x )∥rp −1L nq q +np −n (Ω)+1)r ∗r ·|{|u −θ∗|>L }|r ∗(1r−1q ).(3.22)令ϕ(s )=|{|u −θ∗|>s }|,α=r ∗,C =C r ∗∗(∥∇θ∗∥rL q (Ω)+∥∇θ∗∥r p −δp −1L q (Ω)+∥a (x )∥rp −1L q p −1(Ω)+∥b (x )∥r p −1L nqq +np −n (Ω)+1)r ∗r,β=r ∗(1r−1q),s 0>0.于是,上述估计(3.22)可估计成ϕ(˜L)≤C (˜L−L )α[ϕ(L )]β,(3.23)其中˜L>L >0.现在讨论由Stampacchia 引理得到的三种情况.情形(i)如果1≤q <n ,有β<1.在这种情况下,如果s ≥1,由引理2.2可以得到|{|u −θ∗|>s }|≤C (α,β,s 0)s −t ,其中t =α1−β=q ∗.如果0<s <1,有|{|u −θ∗|>s }|≤|Ω|=|Ω|s q ∗s −q ∗≤|Ω|s −q ∗.综上,得到u ∈θ∗+L q ∗weak (Ω).情形(ii)如果q =n ,有β=1.任意的1≤τ<∞,由(3.23)知ϕ(˜L )≤C (˜L −L )αϕ(L )=C (˜L −L )α[ϕ(L )]1−ατ[ϕ(L )]ατ≤C |Ω|ατ(˜L−L )α[ϕ(L )]1−ατ.综上,根据Stampacchia 引理得到u ∈θ∗+L τ(Ω).情形(iii)如果q >n ,有β>1.引理2.2意味着对某些d =d (α,β,s 0,r,∥∇θ∗∥L q ,∥a (x )∥Lq p −1,∥b (x )∥Lnq q +np −n)有ϕ(d )=0.因此|{|u −θ∗|>d }|=0,这里u −θ∗≤d 在Ω中几乎处处成立.于是u ∈θ∗+L ∞(Ω).证明完毕.参考文献：[1]IWANIEC T.p -Harmonic tensors and quasiregular mappings[J].Ann.of Math.,1992,136(3):589-624.[2]IWANIEC T,SBORDONE C.Weak minima of variational integrals[J].J.Reine Angew.Math.,1994,454:143-162.[3]IWANIEC T,SCOTT C,STROFFOLINI B.Nonlinear Hodge theory on manifolds with boundary[J].Ann.Mat.Pura Appl.,1999,177(1):37-115.[4]LEWIS J L.On very weak solutions of certain elliptic systems[J].Comm.Part.Diff.Equ.,1993,18(9-10):1515-1537.[5]KINNUNEN J,LEWIS J L.Higher integrability for parabolic systems of p -Laplacian type[J].DukeMath.J.,2000,102(2):253-271.[6]KINNUNEN J,LEWIS J L.Very weak solutions of parabolic systems of p -Laplacian type[J].Ark.Mat.,2002,40(1):105-132.106应用数学2021[7]B¨OGELEIN V,ZATORSKA-GOLDSTEIN A.Higher integrability of very weak solutions of systemsof p(x)-Laplacean type[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,336(1):480-497.[8]B¨OGELEIN V.Very weak solutions of higher-order degenerate parabolic systems[J].Adv.Diff.Equ.,2009,14(1-2):121-200.[9]B¨OGELEIN V,LI Qifan.Very weak solutions of degenerate parabolic systems with non-standardp(x,t)-growth[J].Nonlinear Anal.,2014,98:190-225.[10]LI Q F.Very weak solutions of subquadratic parabolic systems with non-standard p(x,t)-growth[J].Nonlinear Anal.,2017,156:17-41.[11]GIAQUINTA M.Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic system-s[M]//Ann.Math.Studies,Vol.105.Princeton:Princeton University Press,1983.[12]GRECO L,IWANIEC T,SBORDONE C.Inverting the p-harmonic operator[J].Manuscripta Math.,1997,92(1):249-258.[13]郑神州,方爱农.一类非线性椭圆组很弱解的正则性[J].数学学报,1999,42(1):119-124.[14]BUL´IˇCEK M,SCHWARZACHER S.Existence of very weak solutions to elliptic systems of p-Laplacian type[J].Calc.Var.,2016,55(3):1-14.[15]GAO H Y,DI Q H,MA D N.Integrability for solutions to some anisotropic obstacle problems[J].Manuscripta Math.,2015,146(3-4):433-444.[16]GAO H Y,LIANG S,CUI Y.Integrability for very weak solutions to boundary value problems ofp-harmonic Equation[J].Czech.Math.J.,2016,66(1):101-110.[17]LEONETTI F,SIEPE F.Integrability for solutions to some anisotropic elliptic equations[J].NonlinearAnal.,2012,75(5):2867-2873.[18]LEONETTI F,SIEPE F.Global integrability for minimizers of anisotropic functionals[J].Manuscrip-ta Math.,2014,144(1-2):91-98.[19]GAO H Y,LEONETTI F,WANG L H.Remarks on Stampacchia Lemma[J].J.Math.Anal.Appl.,2018,458(1):112-122.[20]郑神州.自然增长下的具VMO系数拟线性椭圆组的部分正则性[J].数学年刊,2008,29A(1):49-58.[21]周树清,胡振华,彭冬云.一类A-调和方程的障碍问题的很弱解的全局正则性[J].数学物理学报,2014,34A(1):27-38.[22]STAMPACCHIA G.`Equations Elliptiques du Second Ordre`a Coefficients Discontinus[M].Montr´e al:Les Presses de l’Universit´e de Montr´e al,1966.Global Integrability of Very Weak Solution to the NonlinearElliptic Obstacle ProblemTONG Yuxia,YANG Yaqi,ZHOU Yanxia(College of Science,North China University of Science and Technology,Tangshan063210,China)Abstract:This paper is devoted to the global integrability of very weak solution u to the K r(Ω)-ψ,θobstacle problem of a class of nonlinear elliptic equation,max{1,p−1}<r<p<n.Letθ∗=max{θ,ψ}. Ifθ∗∈W1,q(Ω)for q>r,then we prove that the very weak solution u for the above-mentioned problem is integrable provided that r is sufficiently close to p.Key words:Integrability;Very weak solution;Obstacle problem。
