非线性椭圆型方程(王明新著)思维导图

第一学期上海市高二下册12【学习要点】1.定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于定长〔定长大于两定点间的距 离〕的点的轨迹为椭圆，其中两定点1F 、2F 叫做焦点，定点间的距离叫做焦距.2.椭圆规范方程：①焦点在x 轴上，中心在原点，方程为：12222=+by a x )0(>>b a ；)0,(1c F -,)0,(2c F , 焦距c F F 221=, 222c b a +=.②焦点在y 轴上，中心在原点，方程为：12222=+bx a y )0(>>b a .),0(1c F -,),0(2c F , 焦距c F F 221=, 222c b a +=.3.椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的性质：（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：坐标轴是对称轴，原点是对称中心；（3）顶点：)0,(1a A -、)0,(2a A 、),0(1b B 、),0(2b B -，21A A 为长轴，21B B 为短轴. 4.椭圆的几个结论：（1）椭圆上的点到其焦点的最大值为c a +，最小值为c a -； （2）椭圆上的点),(00y x P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形面积2tan2θb S =，其中5.假定直线b kx y +=与椭圆12222=+by a x 相交于),(21y x A 、),(22y x B 两点，那么椭圆弦长2122124)(1x x x x k AB ⋅-+⋅+=.6.椭圆普通式：)0,0,(122>>≠=+n m n m ny mx 【例题解说与训练】例1.动圆过定点)4,0(F ，并和定圆100)4(22=++y x 相内切，求动圆圆心P 的轨 迹方程.〖变式训练1〗1.三角形的两个顶点是(6,0)B -和(6,0)C ，周长是32，那么第三个顶点A 的轨迹方程是___________. 2.△ABC 的三边ab c ，且,,a b c 成等差数列，A C 、两点的坐标区分是(1,0),(1,0)，那么点B 的轨迹方程是___________.3.动圆M 和圆221:(1)36C x y ++=内切，并和圆222:(1)4C x y -+=外切，求 动圆圆心M 的轨迹方程.例2.ABC ∆的顶点B C 、在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，那么ABC ∆的周长是___________. 〖变式训练2〗1.椭圆的焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ，P 是椭圆上一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，那么此椭圆方程是___________.2.焦点在y 轴上，满足1:2:=b a ，6=c 的椭圆的规范方程是___________.3.把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分红8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半局部于1234567P P P P P P P 、、、、、、七个点，F 是椭圆的一个焦点，那么1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=___________. 例 3.假定椭圆22221(1)x y m m +=-的焦点在y 轴上，那么m 的取值范围是___________. 〖变式训练3〗1.假定方程22cos sin 1,(0,2)x y θθθπ+=∈表示椭圆，那么θ的取值范围是_________.2.椭圆228mx y +=与22925100x y +=的焦距相等，那么实数m =__________.3.假定椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么k =__________.例4.假定椭圆的中心在原点，一个顶点和一个焦点区分是直线063=-+y x 与两坐标轴的交点，求椭圆的规范方程. 〖变式训练4〗1.椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，那么椭圆 的方程是__________.2.点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离区分是和，过点P 作长轴的垂线恰恰过椭圆的一个焦点，那么椭圆的规范方程是__________. 3.设椭圆的中心为原点，在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连线相互垂直，且此，求椭圆的方程.例5.0,0()P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内且不在x 轴上的一点，直线l 过点P ，且直线l 与这个椭圆交于A B 、两点，A B 、两点的中点恰恰为点P .求证：直线l 的斜率2020b x k a y =-.〖变式训练5〗1.椭圆221ax by +=的一条弦AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M ，O 为坐标 原点，假定OM 的斜率为0k ，那么0k k ⋅=___________.2.直线l 交椭圆224580x y +=于M N 、两点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，假定BMN ∆的重心恰恰为椭圆的右焦点，那么直线l 的方程是____________.3.椭圆2212x y +=.〔1〕求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；〔2〕过(2,1)A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；〔3〕求过点11(,)22P 且被P 平分的弦所在的直线方程.例6.一动直线y x t =+与椭圆2214x y +=交于A B 、两点，求AB 的最大值.〖变式训练6〗1.设直线l 过点(1,0)P -，倾角为3π，求l 被椭圆2224x y +=所截得的弦长.2.点P 在圆22(4)1x y +-=上移动，点Q 在椭圆2214x y +=上移动，求PQ 的最大值.3.直线1y x =-和椭圆221(1)1x y m m m +=>-交于点A B 、，假定以AB 为直径的圆过椭圆的左焦点F ，务实数m 的值.例7.椭圆221169x y +=上的点到直线100x y --=的距离的最小值是_________. 〖变式训练7〗1.椭圆22194x y 上的点到直线2180xy 的距离的最大值是 .2.点(0,1)P 到椭圆2212x y +=上点的最大距离是 .3.点)0,1(P 到椭圆2212x y +=上点的最大距离是 ，最小距离是 .例8.点P 是椭圆22154y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，且 3021=∠PF F ,那么21PF F ∆的面积为 . 〖变式训练8〗1.点P 是椭圆369422=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，且 6021=∠PF F ,那么 21PF F ∆的面积为 .2.椭圆369422=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时， 点P 横坐标的取值范围是 .3.以椭圆上的一点与椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积的最大值是1，那么此椭圆的长轴的最小值是〔 〕C.2D.例9.)2,2(M ，)0,3(N ,P 是椭圆1162522=+y x 上的恣意一点，求PN PM +的 最小值.〖变式训练9〗1.1F 是22195x y 的左焦点，P 是椭圆上的动点，(1,1)A 为定点，那么1||||PA PF的最大值是 .2.在直线04=-+y x 上任取一点M ，过M 且以椭圆1121622=+y x 的焦点为焦点作 椭圆，问：M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆.例10.设A B 、为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点，且AB 过原点O ，1F 为椭圆的一个焦点，求1F AB ∆的面积的最大值. 〖变式训练10〗1.倾斜角为4π的直线l 过点(0,)m ，且与椭圆2214x y +=相交于A B 、两点，O 为坐标原点.求：当AOB ∆面积最大时m 的值. 2.过原点O 且倾斜角为,(0)2πθπθθ-<<的两条直线区分交椭圆22221(00)x y a b a b +=>>，于A C 、和B D 、四点. （1）求四边形ABCD 的面积S ； 〔2〕当θ变化时，求S 的最大值.答案例1.192522=+x y 〖变式训练1〗 1.)0(16410022≠=+y y x ； 2.)02(13422<<-=+x y x ； 3.1151622=+y x 例2. 34〖变式训练2〗 1.13422=+y x ； 2.12822=+x y ； 3.35 例3. 21>m〖变式训练3〗 1.)2,4()4,0(πππθ ∈； 2.10103； 3.1例4. 144022=+y x 或1364022=+x y 〖变式训练4〗 1.1922=+y x 或198122=+x y ； 2.1103522=+y x ； 3.151022=+y x 例5. 略〖变式训练5〗 1.1-； 2.)3(562-=+x y ； 3.略例6.5104 〖变式训练6〗 1.7224； 2.略； 3.32+=m 例7.225 〖变式训练7〗 1.略； 2.略； 3.略 例8. 348- 〖变式训练8〗 1.334； 2.略； 3.略 例9. 2910-〖变式训练9〗 1.26+； 2.161022=+y x 例10. bc。