福建省德化一中2015年春高二年第三次质检数学理科试卷

德化一中2013年秋第三次质检试卷高二数学（理）[试卷满分：150分，考试用时：120分钟]第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把你认为正确的答案填涂到机读答题卡上．）） 2．已知等差数列n a 中，2,124115==+a a a ，则=12a （ ）A ．5B ．10C ．15D ．203．若函数x e x x f 2)(=，则=')1(f （ ）C ，则角B 的大小为 （ ）A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°） A ．221⨯= B ．)4221(2321+++=+- C ．)441241(24131211+++=-+- D ．2212211+⨯=- 6．已知b a ,都是实数，那么“b a >”是“22b a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．下面给出了四个类比推理：（1）由“若R ∈c b a ,,则()()ab c a bc =”类比推出“若a ,b ,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)” ；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”； （3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④9．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是边BCOA ,A ．2B ．1C ．2D ．31 10．已知动点P 对应的复数z 满足)0(2>>=-++c a a c z c z ，且点P 与点)0,(),0,(a B a A -连线的斜率之积为21-，则c a等于（ ）B ．22第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 11．判断命题的真假：命题“042,2≥+-∈∀x x x R ”是 命题（填“真”或“假”）． 12．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是 ．13．若()()0,1,1,1,1,0=-=b a 且()a b a ⊥+λ，则实数λ的值是 ． 14．已知点Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为 ． 15．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为线段EF 上任意一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=S S S S Sλ记，2212S Sλλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步． 请．把答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 16．（本小题满分13分） 已知函数x ax x f ln 221)(2+=，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4． （1）求a 的值及切线方程；（2）点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点，求x y -的最小值．17．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,．（1）若0cos cos =-B a A b ，且4,2π=∠=C a ，求c 的值；（2）若1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==b a A B b B A a ，试判断三角形的形状？18．（本题满分13分）设命题p ：方程210x mx ++=有实根，命题q ：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和为n S ，对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．19．（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线AB 与平面BEF 所成的角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点M ，使得AM ∥平面BEF ？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2. （1）求a ，b 的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．21.（本小题满分14分）一个建设集团公司共有),2(3*N ∈≥n n n 个施工队，编号分别为.3,3,2,1n 现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第)31(n i i ≤≤个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i 天才能独立完成此项工程.（1）求证第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量不可能大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量；（2）如果该集团公司决定由编号为n n n 3,,2,1 ++共n 2个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作.德化一中2013年秋第三次质检试卷答案高二数学（理）答案[试卷满分：150分，考试用时：120分钟]第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把你认为正确的答案填涂到机读答题卡上．）A ） 2．已知等差数列n a 中，2,124115==+a a a ，则=12a （B ）A ．5B ．10C ．15D ．203．若函数x e x x f 2)(=，则=')1(f （ B ）C sin ，则角B 的大小为 ( A )A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°A ．221⨯=B ．)4221(2321+++=+- C ．)441241(24131211+++=-+- D ．2212211+⨯=- 6．已知b a ,都是实数，那么“b a >”是“22b a >”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．下面给出了四个类比推理： （1）由“若R ∈c b a ,,则()()ab c a bc =”类比推出“若a ,b ,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)” ；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”； （3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ； ②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是（ C ） A ．① B ．② C ．③ D ．④9．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是边BC OA ,的中点，点G 在线段MN 上，若GN MG λ=，且等于（A ） A ．2 B ．1 C ．21 D ．31 10．已知动点P 对应的复数z 满足)0(2>>=-++c a a c z c z ，且点P 与点)0,(),0,(a B a A -连线的斜率之积为21-，则c a等于（ B ）B ．22第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 11．判断命题的真假：命题“042,2≥+-∈∀x x x R ”是 真 命题（填“真”或“假”）． 12．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是2 ．13．若()()0,1,1,1,1,0=-=b a 且()a b a ⊥+λ，则实数λ的值是2-．15．已知点Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为 2 ． 15．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为线段EF 上任意一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=S S S S Sλ记，2212S Sλλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 25．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步． 请．把答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 16．（本小题满分13分） 已知函数x ax x f ln 221)(2+=，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4． （1）求a 的值及切线方程；（2）点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点，求x y -的最小值．解：（1） x ax x f ln 221)(2+=，∴xax x f 2)(+='……………………………2分 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4，∴42)1(=+='a f ………………3分 ∴2=a …………………………………………………………………………4分∴1)1(=f …………………………………………………………………………5分∴切线方程为034)1(41=---=-y x x y 即……………………………………7分（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞………………………………………………8分 点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点∴x y -222≥+=xx 当且仅当2=x 时，等号成立.…………………………12分 ∴x y -的最小值为22.………………………………………………………13分17．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,．（1）若0cos cos =-B a A b ，且4,2π=∠=C a ，求c 的值；（2）若1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==A B B A ，试判断三角形的形状？解：（1）在ABC ∆中， 0cos cos =-B a A b ，∴由正弦定理有：0cos sin cos sin =-B A A B 即0)sin(=-A B ………………………………………………………………………2分 ∴B A =，∴2==b a …………………………………………………………………………5分 4π=∠C ，∴由余弦定理有：248cos 222-=-+=C ab b a c .……………………………………………6分（2） 1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==A B B A∴1sin sin cos cos =+B A B A ，即1)cos(=-B A ………………………………………………………………………8分 π<<B A ,0，∴B A = …………………………………………………………………………11分∴ABC ∆为等腰三角形.…………………………………………………………13分18．（本题满分13分）设命题p ：方程210x mx ++=有实根，命题q ：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和为n S ，对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：当命题p 为真命题，则22042-≤≥≥-=∆m m m 或即…………………………………………………3分当命题q 为真命题，则由111)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n S n 得 21≥n S ……………………………………………………………………………6分 又对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，∴21≤m ……………………………………………………………………………8分 p 或q 为真，p 且q 为假，∴q p ,一真一假…………………………………10分 ∴2,212≥≤<-m m 或…………………………………………………………13分19．（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF∥DE ，DE ＝3AF ＝3.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线AB 与平面BEF 所成的角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点M ，使得AM ∥平面BEF ？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．(Ⅰ)证明： ∵DE ⊥平面ABCD ，∴AC DE ⊥. ………………………………………………………………2分∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，又D DE BD =从而AC ⊥平面BDE . ………………………………………………………4分(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.∵3=DE ，由AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3得AF ＝1.………………………………………6分则)0,2,2(),3,0,0(),1,0,2(),0,0,2(B E F A ， )2,0,2(),1,2,0(-=-=∴………………7分设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BF n ，即⎩⎨⎧=-=+-02202z x z y ，令2=z ， 则)2,1,2(=n . ……………………………………………………………8分 ∵)0,2,0(=∴直线AB 与平面BEF 所成的角θ满足31322,cos sin =⨯==><=θ………………………………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个点，设)0,,(t t M ，则)0,,2(t t AM -=，∵AM ∥平面BEF ， ∴AM ⋅0=，………………………………………………………………11分即0)2(2=+-t t ，解得34=t . …………………………………………12分 此时，点M 坐标为)0,34,34(.………………………………………………13分 20．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l的距离为2（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？ 若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）设)0,(c F ，当l 的斜率为1时，其方程为0=--c y x …………………1分O 到l 的距离为 2200c c=-- ……………………………………………………………………2分 故1222==c c 即…………………………………………………………………3分 由33==a c e 得3=a ，222=-=c a b ……………………………………5分 （2）C 上存在点P ……………………6分由（1）知C 的方程为63222=+y x .设),(),,(2211y x B y x A （i ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为)1(-=x k y .C 上的点P ，使OP OA OB =+成立的充要条件是P 点的坐标为),(2121y y x x ++，且 6)(3)(2221221=+++y y x x …………………………………………………………………7分 整理得：6643232212122222121=+++++y y x x y x y x 又B A ,在C 上，即632,63222222121=+=+y x y x . 故03322121=++y y x x ………………………………… …………………………………8分 将)1(-=x k y 代入63222=+y x ，并化简得0636)32(2222=-+-+k x k x k ………9分∴222122213263,326k k x x k k x x +-=+=+，………………………………………………………10分 ∴221221324)1)(1(kk x x k y y +-=--=………………………………………………………11分 代入 解得22=k .此时2321=+x x ∴2)2(2121k x x k y y -=-+=+，即)2,23(k P - ∴当2=k 时，)22,23(-P ，l 的方程为022=--y x ； 当2-=k 时，)22,23(P ，l 的方程为022=-+y x .…………………………13分 （ii ）当l 垂直于x 轴时，l 的方程为1=x ，此时(2,0)OA OB +=即)0,2(P 不满足C 的方程，故C 上不存在点P ，使O P O A =+成立.…………………………………………………………14分所以综上所述：C 上存在点P )22,23(±使OP OA OB =+成立， 此时l 的方程为022=-±y x .21.（本小题满分14分）一个建设集团公司共有),2(3*N ∈≥n n n 个施工队，编号分别为.3,3,2,1n 现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第)31(n i i ≤≤个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i 天才能独立完成此项工程.（1）求证第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量不可能大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量；（2）如果该集团公司决定由编号为n n n 3,,2,1 ++共n 2个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作.证明：（1）依题意，第)31(n i i ≤≤个施工队的工作效率为i1…………………1分故本题即是证明当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，kn k m n m ++<………………3分 【法一】)()()(k n n k n m k n n nk mn mk mn k n k m n m +-=+--+=++- 当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，0)()(<+-k n n k n m 显然成立，故命题得证.……6分 【法二】假设第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量，即当*,1N ∈<≤m n m 且nk 21≤≤时，kn k m n m ++> 从而0)()()(>+-=+--+=++-k n n k n m k n n nk mn mk mn k n k m n m 0,0>>k n ，0>-∴n m 从而n m >与n m <矛盾，从而得到原命题成立.…6分【法三】要证明当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，kn k m n m ++<， 0,0,0,0>+>+>>k n k m n m故只需证)()(k m n k n m +<+即是证明nk mk <又0>k从而只需证n m <由题设可知n m <是成立的，从而原命题成立.…………………………………6分（2）要证明此命题，即是证明2（1n ＋1＋1n ＋2＋ (13)）＞1(n ≥2，n ∈N *)， 也就是证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12(n ≥2，n ∈N *)．………………………9分 【法一】：利用数学归纳法：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞12，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立．即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞12. 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋...＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞12＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝12. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立，由(1)，(2)知原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．……………………14分【法二】利用放缩法：∵n ≥2，∴1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞13n ＋13n ＋…＋13n ＝23＞12. 即1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12(n ≥2，n ∈N *)．……………………………………14分。

第4题图德化一中高二数学（理科）专题复习《必修3》班级______ 座号______ 姓名_________ 成绩_________1.用秦九韶算法计算多项式f （x ）=2x 6+3x 5+5x 3+6x 2+7x+8在x=2时，v 2的值为（ ） （A ）2 （B ）19 （C ）14 （D ）332.下列各进制中，最大的值是（ ）A .)9(85B . )2(111111C .)4(1000D .)6(210 3.从2 004名学生中抽取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是（ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为251 002D ．都相等，且为1404.如图给出的是计算201614121++++ 的条件是（ ）A ．8i >? B. 9i >? C. 10i >? D. 11i >?5．设有一个回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位6．如图，在一个边长为(),0a b a b >>的矩形内画一梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( ) A.31 B.21 C.52 D.125 7、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。

则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.38．在集合{}04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B.14 C.12D.349、利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下表，读出的第3个数是（ ）A ．841B ．114C ．014D ．14610、如果数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的平均数是x ，方差是2S ，则32,,3,23221+⋅⋅⋅++n x x x 的平均数和方差分别是（ ） A 、x 和S B 、32+x 和42S C 、32+x 和2S D 、32+x 和9124S 2++S11．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，其中结论正确的是( ) A. x x <甲乙，乙比甲的成绩稳定； B. x x >甲乙，甲比乙成绩稳定； C. x x >甲乙，乙比甲成绩稳定； D. x x <甲乙，甲比乙成绩稳定． 12．考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A.3619 B.187 C.94 D.361713中，设点M是点(2,3,5)N -关于坐标平面xoy 的对称点，点(1,2,3)P 关于x 轴对称点Q ，则线段 ） A C 14 ）A ．－1B ．0C ．2D ．115、某市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x (单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是(（第14题）A ．0.20B ．0.40C ．0.60D ．0.80 （第15题） 16．将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 1517、某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在抽取20人进行分层抽样，各年龄段抽取人数分别是 ．18. 已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为 ．19．两个整数490和910的最大公约数是 ．20．在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生．在考试结束后， 统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 这40个考生成绩的众数 ,中位数 ．21．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 124 121 123 127，则该样本标准差s ＝ (克)(用数字作答)． 注：样本数据n x x x ,21，的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为平均数 22．如图，平面上一长12cm ，宽10cm 的矩形ABCD 内有一半径为1cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径1cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，则硬币不与圆O 相碰的概率为________．23.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．24、一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：(1)画出散点图； (3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？参考公式：线性回归方程系数公式∑∑==∧---=ni ini i i x xy y x x b 12_1__)())((=1221ni ii nii x y n x yb xnx ==-⋅⋅=-∑∑ ，x b y aˆˆ-=；25、为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)； （Ⅱ）补全频数直方图；（Ⅲ）学校决定成绩在75.5 85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？26、袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个。

2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}xB y y x R ==+∈，则AB 等于A ．{24}x x <<B ．{14}x x <<C ．{12}x x <<D ．{4}x x >2． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．15B ．16C ．25D ．363． 21()n x x -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为A ．20-B ．15-C ．15D ．204． 某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加测试. 为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18. 抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A ，编号落入区间[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C . 则做试卷C 的人数为 A ．10B ．12C ．18D ．285． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60︒，则双曲线C 的离心率等于ABCD ．26． 函数cos(sin )y x =的图象大致是7． 已知集合10(,)30,1x y A x y x y x ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，{}222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>，且A B ≠∅，则R 的最小值为 A．2BC ．3D ．58． 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5. 若I 为△ABC 的内心，则CI CB 的值为A ．6B ．10C ．12D ．159． (N)n A n ∈系列的纸张规格如图，其特点是：①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ，…，1n A -对裁后可以得到两张n A .若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A纸的较短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是A ．存在N n ∈，使得21n S b +=B ．存在N n ∈，使得21n S b +=C ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≤D ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≥10．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增； ②函数()f x 的最小值为21e -； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 11．已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于__________.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________.13．在ABC ∆中，6ABC π∠=，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的概率是__________.14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为__________.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos cos 22f x x x x =+. （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移4π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值.如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=︒，PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分别交PB ，PC 于点E F ，. （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅱ）设13BE BP =，求AE 与平面PBC 所成的角的大小. 18．（本小题满分13分）“抢红包”的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味. “抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1，9]，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6，9]，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8，9]，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户. （Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q . 求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.已知函数2*2()()1n nx ax f x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =-. （Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.（Ⅲ）设12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知曲线22:3C x xy y -+=，矩阵22M ⎛= - ⎝⎭，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的方程；（Ⅱ）求曲线C 的离心率及焦点坐标.（2）（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(1,2)-. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （Ⅰ）判断点M 与直线l 的位置关系；（Ⅱ）设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.（Ⅰ）若2()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当14x -≤≤.。

2014-2015学年福建省泉州市德化一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．）1．已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．+i C．﹣i D．﹣i2．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=P，则P（﹣1＜ξ＜O）=（）A．P B．﹣P C． 1﹣2P D． 1﹣P3．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 54．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．5．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1且n∈N）时，在证明n=k+1这一步时，需要证明的不等式是（）A．++…+＞B．++…++＞C．++…++＞D．++…+++＞6．（x﹣）6的展开式中的常数项为（）A． 240 B．﹣240 C． 72 D．﹣727．从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A． 40个B． 36个C． 28个D． 60个8．已知x＞0，n∈N*，由下列结论x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，得到一个正确的结论可以是（）A． x+≥n+1B． x+≥n C． x+≥n D． x+≥n+19．若（x﹣1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，则a1等于（）A．﹣14 B． 448 C．﹣1024 D．﹣1610．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C． 3 D． 211．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（）A． 4027 B．﹣4027 C． 8054 D．﹣8054二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）13．曲线y=x2﹣1与直线x=2，y=0所围成的区域的面积为．14．某地区恩格尔系数y（%）与年份x的统计数据如下表：年份2004 2005 2006 2007恩格尔系数（%）47 45.5 43.5 41从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归直线方程=x+4055.25，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数（%）为．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于．16．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ= ；．17．我们把形如y=f（x）φ（x）的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lny=lnf（x）φ（x）=φ（x）lnf（x），两边对x求导数，得=φ′（x）lnf （x）+φ（x），于是y′=f（x）φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）]，运用此方法可以求得函数y=x x（x＞0）在（1，1）处的切线方程是．18．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排正中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是．三、解答题（本大题共5道题，共60分）19．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若实数a、b、c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．21．为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）0＜x≤66＜x≤1212＜x≤22票价（单位：元） 3 4 5现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里．已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，．（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x 轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．23．已知函数，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式恒成立．2014-2015学年福建省泉州市德化一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．）1．已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．+i C．﹣i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数的乘除运算法化简已知复数，由共轭复数的定义可得．解答：解：∵（2+i）z=1+2i，∴z=====+i，∴z的共轭复数=﹣i故选：C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数，属基础题．2．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=P，则P（﹣1＜ξ＜O）=（）A．P B．﹣P C． 1﹣2P D． 1﹣P考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．解答：解：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p，∴则P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p，P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p．故选：B．点评：本题考查正态分布，学习正态分布时需注意以下问题：1．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．3．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．解答：解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意故选：D．点评：本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．4．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题．分析：每1粒发芽的概率为，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布，即X～B（3，），根据二项分布的概率求法，做出结果．解答：解：∵每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次试验，由题意知独立重复实验服从二项分布即X～B（3，）∴P（X=2）==故选B点评：二项分布要满足的条件是每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．5．用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1且n∈N）时，在证明n=k+1这一步时，需要证明的不等式是（）A．++…+＞B．++…++＞C．++…++＞D．++…+++＞考点：数学归纳法．专题：计算题．分析：把不等式++…+＞中的n换成k+1，即得所求．解答：解：当n=k+1时，不等式++…+＞，即+＞．故选 D．点评：本题考查数学归纳法，体现了换元的数学思想，注意式子的结构特征，特别是首项和末项．6．（x﹣）6的展开式中的常数项为（）A． 240 B．﹣240 C． 72 D．﹣72考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：（x﹣）6的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣2）r•，令6﹣=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为 24•=240，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．7．从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A． 40个B． 36个C． 28个D． 60个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41=16种．∴共有20+16=36个合要求的数，故选：B．点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制．8．已知x＞0，n∈N*，由下列结论x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，得到一个正确的结论可以是（）A． x+≥n+1B． x+≥n C． x+≥n D． x+≥n+1考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：通过观察可以发现，每一个不等式的右边的数都是对应的个数加1，左边的分式中分子是对应个数的数字的相应次方，解答：解：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…，每一个不等式的右边的数都是对应的个数加1，左边的分式中分子是对应个数的数字的相应次方，于是可以得到结论为x+≥n+1．故选：D．点评：本题主要考查了归纳推理的问题，找到规律是关键，属于基础题．9．若（x﹣1）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，则a1等于（）A．﹣14 B． 448 C．﹣1024 D．﹣16考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据[﹣2+（x+1）]7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，可得a1=•（﹣2）6，计算求的结果．解答：解：由于（x﹣1）7=[﹣2+（x+1）]7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a7（x+1）7，则a1=•（﹣2）6=448，故选：B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C． 3 D． 2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由=3，可得=，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出．解答：解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵=3，∴=，又|MF|=p=4，∴|NQ|=，∵|NQ|=|QF|，∴|QF|=．故选：A．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可得M，F1，F2的坐标，进而可得，的坐标，由＞0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，结合离心率的定义可得范围．解答：解：联立，解得，∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（，），=（，），由题意可得＞0，即＞0，化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e=＞2故选D点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1、x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（）A． 4027 B．﹣4027 C． 8054 D．﹣8054考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件得到函数对称中心，即可得到结论．解答：解：∵当x=1时，f（1）=1+sinπ﹣3=﹣2，∴根据对称中心的定义，可得当x1+x2=2时，恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，即a=1，b=﹣2，即函数的对称中心为（1，﹣2）∴f（）+f（）+…+f（）+f（）=2013[f（）+f（）]+f（）=2013×（﹣4）﹣2=﹣8054，故选：D．点评：点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，综合性较强，有一点的难度．二、填空题（本大题共6道题，每小题5分，共30分）13．曲线y=x2﹣1与直线x=2，y=0所围成的区域的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分表示区域面积，然后计算即可．解答：解：由曲线y=x2﹣1与直线x=2，y=0所围成的区域的面积为：==；故答案为：．点评：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．14．某地区恩格尔系数y（%）与年份x的统计数据如下表：年份2004 2005 2006 2007恩格尔系数（%）47 45.5 43.5 41从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归直线方程=x+4055.25，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数（%）为29.25 ．考点：线性回归方程．专题：阅读型；图表型．分析：由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知（，）在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的值，根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预报出2013年该地区的恩格尔系数，这是一个估计值．解答：解：∵点（，），在回归直线上，计算得==2005.5，==44.25，∴回归方程过点（2005.5，44.25）代入得44.25=2005.5×+4055.25，∴=﹣2，当x=2013（年）时，该地区的恩格尔系数是2013×（﹣2）+4055.25=29.25所以根据回归方程的预测，使用2012年时，预报该地区的恩格尔系数是29.25．故答案为：29.25．点评：本题考查回归方程过定点（，），考查线性回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题．15．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解答：解：P（A）=，P（AB）=．由条件概率公式得P（B|A）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．16．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ= 0.196 ；．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：确定发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，即可得到结果．解答：解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故答案为：0.196点评：本题考查离散型随机变量的方差，运用离散型随机变量服从二项分布，直接利用公式求解．17．我们把形如y=f（x）φ（x）的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lny=lnf（x）φ（x）=φ（x）lnf（x），两边对x求导数，得=φ′（x）lnf （x）+φ（x），于是y′=f（x）φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）]，运用此方法可以求得函数y=x x（x＞0）在（1，1）处的切线方程是y=x ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：新定义；导数的概念及应用．分析：由新定义，可得由f（x）=x，g（x）=x，所以f′（x）=1，g′（x）=1，所以y′=（1•lnx+x•）x x，令x=1即可得到切线的斜率，再由点斜式方程，可得切线方程．解答：解：由f（x）=x，g（x）=x，所以f′（x）=1，g′（x）=1，所以y′=（1•lnx+x•）x x，所以y′|x=1=[（1•lnx+x•）x x]x=1=1，即：函数y=x x（x＞0）在（1，1）处的切线的斜率为1，故切线方程为：y﹣1=x﹣1，即y=x，故答案为：y=x．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查对数法求导数的方法，考查运算能力，属于中档题．18．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排正中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：分类讨论．分析：由题意知本题是一个分类计数问题，可以根据甲和乙的位置分类，甲和乙都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右两边有4×4×2种，甲乙都在后排共有110种，甲乙分列在前后两排，列出所有的情况，相加得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种都在前排右面4个座位6种分列在中间3个的左右4×4×2=32种在前排一共6+6+32=44种甲乙都在后排共有=110种甲乙分列在前后两排A22×12×8=192种一共有44+110+192=346种，故答案为：346点评：本题考查排列组合和分类计数问题，在分类计数过程中，要考虑到各种情况是解题的关键，因为本题的分类情况比较多，要做到不重不漏．三、解答题（本大题共5道题，共60分）19．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若实数a、b、c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．考点：柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤3等价于m﹣3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a﹣2b+c=2，再利用柯西不等式求得a2+b2+c2的最小值．解答：解：（Ⅰ）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a﹣2b+c=2，由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2=4，∴a2+b2+c2≥当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为．点评：本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．20．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：乘坐里程x（单位：km）0＜x≤66＜x≤1212＜x≤22票价（单位：元） 3 4 5现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里．已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为，，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为，．（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．（Ⅱ）求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率…（2分）所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率…（4分）（Ⅱ）由题意可知，ξ=6，7，8，9，10则…（10分）所以ξ的分布列为ξ 6 7 8 9 10P则…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x 轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若点E的坐标为（，0），点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；（3）是否存在点E，使得+为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由，设a=3k（k＞0），则，b2=3k2，可设椭圆C的方程为，由于直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y即可得出．（2）将代入，解得y，可得直线AB的方程，与椭圆方程联立解得B，又PA过原点O，可得P，|PA|，直线PA的方程，求出点B到直线PA的距离h，k可得S△PAB=．（3）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），当直线AB与x轴重合时，有=，当直线AB与x轴垂直时，可得=，利用，解得x0，若存在点E，此时，为定值2．根据对称性，只需考虑直线AB过点，设A（x1，y1），B（x2，y2），又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，利用根与系数的关系即可得出．解答：解：（1）由，设a=3k（k＞0），则，b2=3k2，∴椭圆C的方程为，∵直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，∴椭圆C的方程为．（2）将代入，解得y=±1，∵点A在第一象限，从而，由点E的坐标为，∴，直线AB的方程为，联立，解得，又PA过原点O，于是，|PA|=4，∴直线PA的方程为，∴点B到直线PA的距离，．（3）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），当直线AB与x轴重合时，有，当直线AB与x轴垂直时，，由，解得，，∴若存在点E，此时，为定值2．根据对称性，只需考虑直线AB过点，设A（x1，y1），B（x2，y2），又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，化简得，∴，，又，∴，将上述关系代入，化简可得．综上所述，存在点，使得为定值2．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了分类讨论思想方法、探究能力、推理能力与计算能力，属于难题．23．已知函数，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）由，得，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=﹣，由此能求出实数a的取值范围．（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．由此能够证明对任意的正整数m，n，不等式恒成立．解答：解：（1）∵，∴，①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；单调增区间是（0，a），（1，+∞）．③当a=1时，则，故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣，此时，f（1）≥0，解得a≤﹣，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）．（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．当x＞1时，变换为，在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，则有＞﹣，即对任意的正整数m，n，不等式恒成立．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用．。

德化一中2015年春高二年第一次质检试卷数 学卷面总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．）1．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形对角线相等，以上三段论推理中错误的是（ ） Ａ．大前提Ｂ．小前提Ｃ．推理形式Ｄ．大小前提及推理形式2. 用反证法证明命题：“如果0>>b a ，那么a b >”时，假设的内容应是 ( ) A ．a b =B ．a b <C ．a b ≤D ．a b >且a b =3．用数学归纳法证明不等式n n <-++++12131211 （*N n ∈且1>n ）时， 第一步应验证不等式 ( )A ．2211<+B ．231211<++ C ．331211<++ D ．34131211<+++4．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2560x x -+≠” B ．若x 、y ∈R ，则“x y =”是2()2x y xy +≥成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则220x x ++≥ 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -，若11AA z AB y AD x BD ++=，则x y z ++的值为 （ ）A ．3B ．1C ．－1D ．－3 6、已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，1A则91078a a a a +=+（ ）A ．12B ．12C ．322+D ．322-7、令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x项的系数，则数列}1{na 的前n 项和为 （ ）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n8．某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A ．18种B ．36种C ．48种D ．120种９．从装有1+n 个球的口袋中取出m 个球（N n m n m ∈≤<，，0），共有mn C 1+种取法。

德化一中2013年秋第三次质检试卷高二数学（理）[试卷满分：150分，考试用时：120分钟]第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把你认为正确的答案填涂到机读答题卡上．）） 2．已知等差数列n a 中，2,124115==+a a a ，则=12a （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．203．若函数xe x xf 2)(=，则=')1(f （ ）C sin ，则角B 的大小为）A ．221⨯=B ．)4221(2321+++=+-C ．)441241(24131211+++=-+- D ．2212211+⨯=-（1）由“若R ∈c b a ,,则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)” ；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”； （3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； （4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④9．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是边BC OA ,的中点，点G 在线段MN 上，若GN MG λ=，且OC OB OA OG 313161++=,则λ等于（ ） A ．2B ．1C ．21D ．31 10．已知动点P 对应的复数z 满足)0(2>>=-++c a a c z c z ，且点P 与点)0,(),0,(a B a A -连线的斜率之积为21-，则ca等于（ ） A ．23．22 C ．21 D ．33第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 11．判断命题的真假：命题“042,2≥+-∈∀x x x R ”是 命题（填“真”或“假”）．12．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是 ．13．若()()0,1,1,1,1,0=-=b a 且()a b a ⊥+λ，则实数λ的值是 ．14．已知点(22,0)Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为 ．15．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为线段EF 上任意一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=SS S S Sλ记，2212S Sλλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步． 请．把答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 16．（本小题满分13分）已知函数x ax x f ln 221)(2+=，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4． （1）求a 的值及切线方程；（2）点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点，求x y -的最小值．17．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,． （1）若0cos cos =-B a A b ，且4,2π=∠=C a ，求c 的值；（2）若1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==A B B A ，试判断三角形的形状？ 18．（本题满分13分）设命题p ：方程210x mx ++=有实根，命题q ：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和为n S ，对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．19．（本小题满分13分） 如图, ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线AB 与平面BEF 所成的角的正弦值； (3)线段BD 上是否存在点M ，使得AM ∥平面BEF ？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22（1）求a ，b 的值； （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．21.（本小题满分14分）一个建设集团公司共有),2(3*N ∈≥n n n 个施工队，编号分别为.3,3,2,1n Λ现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第)31(n i i ≤≤个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i 天才能独立完成此项工程.（1）求证第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量不可能大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量；（2）如果该集团公司决定由编号为n n n 3,,2,1Λ++共n 2个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作.德化一中2013年秋第三次质检试卷答案高二数学（理）[试卷满分：150分，考试用时：120分钟]第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把你认为正确的答案填涂到机读答题卡上．）A ） 2．已知等差数列n a 中，2,124115==+a a a ，则=12a （B ） A ．5 B ．10C ．15D ．203．若函数xe x xf 2)(=，则=')1(f （ B ）C sin ，则角B 的大小为 ( A )A ．150°B ．30°C ．120°D ．60°A ．221⨯=B ．)4221(2321+++=+-C ．)441241(24131211+++=-+- D ．2212211+⨯=-（1）由“若R ∈c b a ,,则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)” ；（2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”； （3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”； （4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”． 上述四个推理中，结论正确的个数有（ B ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是（ C ） A ．① B ．② C ．③ D ．④9．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是边BC OA ,的中点，点G 在线段MN 上，若GN MG λ=，且OC OB OA OG 313161++=,则λ等于（A ）A ．2B ．1C ．21D ．31 10．已知动点P 对应的复数z 满足)0(2>>=-++c a a c z c z ，且点P 与点)0,(),0,(a B a A -连线的斜率之积为21-，则ca等于（ B ）A ．23．22 C ．21 D ．33第Ⅱ卷（非选择题 100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案写在答题卡上．．．．．．．．．．） 11．判断命题的真假：命题“042,2≥+-∈∀x x x R ”是 真 命题（填“真”或“假”）．12．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是2 ．13．若()()0,1,1,1,1,0=-=且()⊥+λ，则实数λ的值是2-．15．已知点(22,0)Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为 2 ．15．在ABC ∆中，E ，F 分别为,AB AC 中点，P 为线段EF 上任意一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，设,,ABC PCA PAB ∆∆∆的面积分别为1121,,=SS S S Sλ记，2212S Sλλλ=⋅，则取得最大值时，23x y +的值为 25．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步． 请．把答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 16．（本小题满分13分）已知函数x ax x f ln 221)(2+=，曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4． （1）求a 的值及切线方程；（2）点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点，求x y -的最小值． 解：（1）Θx ax x f ln 221)(2+=，∴xax x f 2)(+='……………………………2分 Θ曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为4，∴42)1(=+='a f ………………3分 ∴2=a …………………………………………………………………………4分 ∴1)1(=f …………………………………………………………………………5分 ∴切线方程为034)1(41=---=-y x x y 即……………………………………7分（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞………………………………………………8分Θ点),(y x P 为曲线)(x f y '=上一点 ∴x y -222≥+=xx 当且仅当2=x 时，等号成立.…………………………12分 ∴x y -的最小值为22.………………………………………………………13分17．（本小题13分）已知ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,． （1）若0cos cos =-B a A b ，且4,2π=∠=C a ，求c 的值；（2）若1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==A B B A ，试判断三角形的形状？ 解：（1）在ABC ∆中，Θ0cos cos =-B a A b ， ∴由正弦定理有：0cos sin cos sin =-B A A B 即0)sin(=-A B .................................................................................2分 ∴B A =，∴2==b a (5)分Θ4π=∠C ，∴由余弦定理有：248cos 222-=-+=C ab b a c .……………………………………………6分（2）Θ1),sin ,(cos ),sin ,(cos =⋅==b a A B b B A a∴1sin sin cos cos =+B A B A ，即1)cos(=-B A ………………………………………………………………………8分 Θπ<<B A ,0，∴B A = …………………………………………………………………………11分 ∴ABC ∆为等腰三角形.…………………………………………………………13分18．（本题满分13分）设命题p ：方程210x mx ++=有实根，命题q ：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和为n S ，对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：当命题p 为真命题，则22042-≤≥≥-=∆m m m 或即…………………………………………………3分当命题q 为真命题，则由111)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n S n Λ得 21≥n S ……………………………………………………………………………6分 又对*N ∈∀n 恒有n S m ≤，∴21≤m ……………………………………………………………………………8分 Θp 或q 为真，p 且q 为假，∴q p ,一真一假…………………………………10分∴2,212≥≤<-m m 或…………………………………………………………13分19．（本小题满分13分）如图, ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线AB 与平面BEF 所成的角的正弦值； (3)线段BD 上是否存在点M ，使得AM ∥平面BEF ？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，说明理由．(Ⅰ)证明： ∵DE ⊥平面ABCD ，∴AC DE ⊥. ………………………………………………………………2分 ∵ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥， 又D DE BD =I从而AC ⊥平面BDE . ………………………………………………………4分(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. ∵3=DE ，由AF ∥DE ，DE ＝3AF ＝3 得AF ＝1.………………………………………6分则)0,2,2(),3,0,0(),1,0,2(),0,0,2(B E F A ，)2,0,2(),1,2,0(-=-=∴………………7分 设平面BEF 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF n ，即⎩⎨⎧=-=+-02202z x z y ，令2=z ，则)2,1,2(=. ……………………………………………………………8分 ∵)0,2,0(=∴直线AB 与平面BEF 所成的角θ满足31322,cos sin =⨯==><=θ…………… ………………10分(Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个点，设)0,,(t t M ，则)0,,2(t t AM -=，∵AM ∥平面BEF ，∴AM ⋅0=，………………………………………………………………11分 即0)2(2=+-t t ，解得34=t . …………………………………………12分 此时，点M 坐标为)0,34,34(.………………………………………………13分 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l的距离为2（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）设)0,(c F ，当l 的斜率为1时，其方程为0=--c y x …………………1分 O到l的距离为2200cc=-- ……………………………………………………………………2分 故1222==c c 即…………………………………………………………………3分 由33==a c e 得3=a ，222=-=c ab ……………………………………5分 （2）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 成立.……………………………………………………………………………………6分 由（1）知C 的方程为63222=+y x .设),(),,(2211y x B y x A（i ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为)1(-=x k y .C 上的点P ，使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立的充要条件是P 点的坐标为),(2121y y x x ++，且 6)(3)(2221221=+++y y x x …………………………………………………………………7分整理得：6643232212122222121=+++++y y x x y x y x又B A ,在C 上，即632,63222222121=+=+y x y x .故03322121=++y y x x ………………………………… …………………………………8分将)1(-=x k y 代入63222=+y x ，并化简得0636)32(2222=-+-+k x k x k ………9分 ∴222122213263,326k k x x k k x x +-=+=+，………………………………………………………10分 ∴221221324)1)(1(kk x x k y y +-=--=………………………………………………………11分 代入 解得22=k .此时2321=+x x ∴2)2(2121k x x k y y -=-+=+，即)2,23(k P - ∴当2=k 时，)22,23(-P ，l 的方程为022=--y x ； 当2-=k 时，)22,23(P ，l 的方程为022=-+y x .…………………………13分 （ii ）当l 垂直于x 轴时，l 的方程为1=x ，此时(2,0)OA OB +=u u u r u u u r 即)0,2(P 不满足C 的方程，故C 上不存在点P ，使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 成立.……………………………………………………………………………………………14分所以综上所述：C 上存在点P )22,23(±使OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 成立， 此时l 的方程为022=-±y x .21.（本小题满分14分）一个建设集团公司共有),2(3*N ∈≥n n n 个施工队，编号分别为.3,3,2,1n Λ现有一项建设工程，因为工人数量和工作效率的差异，经测算：如果第)31(n i i ≤≤个施工队每天完成的工作量都相等，则它需要i 天才能独立完成此项工程.（1）求证第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量不可能大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量；（2）如果该集团公司决定由编号为n n n 3,,2,1Λ++共n 2个施工队共同完成，求证它们最多不超过两天即可完成此项工作. 证明：（1）依题意，第)31(n i i ≤≤个施工队的工作效率为i 1…………………1分 故本题即是证明当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，k n k m n m ++<………………3分 【法一】)()()(k n n k n m k n n nk mn mk mn k n k m n m +-=+--+=++-Θ 当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，0)()(<+-k n n k n m 显然成立，故命题得证.……6分 【法二】假设第n 个施工队用),1(*N ∈<≤m n m m 天完成的工作量大于第)21(n k k n ≤≤+个施工队用k m +天完成的工作量，即当*,1N ∈<≤m n m 且nk 21≤≤时，kn k m n m ++> 从而0)()()(>+-=+--+=++-k n n k n m k n n nk mn mk mn k n k m n m 0,0>>k n Θ，0>-∴n m 从而n m >与n m <矛盾，从而得到原命题成立.…6分【法三】要证明当*,1N ∈<≤m n m 且n k 21≤≤时，kn k m n m ++<， 0,0,0,0>+>+>>k n k m n m Θ故只需证)()(k m n k n m +<+即是证明nk mk <又0>k Θ从而只需证n m <由题设可知n m <是成立的，从而原命题成立.…………………………………6分（2）要证明此命题，即是证明2（1n ＋1＋1n ＋2＋ (13)）＞1(n ≥2，n ∈N *)， 也就是证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞12(n ≥2，n ∈N *)．………………………9分 【法一】：利用数学归纳法：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞12，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立．即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞12. 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋...＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (13)＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)＞12＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝12. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立，由(1)，(2)知原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．……………………14分【法二】利用放缩法：∵n≥2，∴1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＞13n＋13n＋…＋13n＝23＞12.即1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＞12(n≥2，n∈N*)．……………………………………14分。

德化一中2015年春季高二数学（理科）周练5班级______ 座号______ 姓名_________ 成绩_________一、选择题1、将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.66B.48C.36D.302、现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A. 81B. 64C. 48D. 243、有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A. 8种B. 9种C. 10种D. 11种4、某班组织文艺晚会，准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A,B两个节目至少有一个选中，且A,B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为A.1860B.1320C.1140D.10205、七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（A）240种（B）192种（C）120种（D）96种6、某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A.15种B.30种C.45种D.90种7、将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A. 12种B. 18种C. 36种D. 54种8、用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，则上述四位数中“渐降数”的个数为( )A. 14B. 15C. 16D. 179、如下图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )A. 72种B. 96种C. 108种D. 120种10.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右上图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有 ( )A．2 680种B．4 320种 C．4 920种D．5 140种11．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( )A．4种 B．10种 C．18种 D．20种12．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为 ( )A．80 B．120 C．140 D．5013．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( ) A．152 B．126 C．90 D．5414．研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A，B，C，D，E五个操作实验，每位同学上、下午各做一个实验，且不重复，若上午不能做D实验，下午不能做E 实验，则不同的安排方式共有 ( ) A．144种 B．192种 C．216种 D．264种15．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 ( )A．72 B．108 C．180 D．216二、填空题16、现有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有种（用数字作答）．17、学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法.18、有4本不同的书，其中语文书1本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆成一排，则同一科目的书不相邻的摆法有＿＿＿＿种（用数字作答）。